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1、分类计数原理和分步计数原理分类计数原理和分步计数原理授课人:yang问题一：问题一：问题一：问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有车，一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班那么一天中，班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？走法？ 变式：变式：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘飞机。从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘飞机。一天中，火车有一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班，飞机有班，飞机有2班那么一天中，乘坐这些班那么一天中，乘坐这些
2、交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 分类计数原理和分步计数原理3+2=53+2+2=7 完成一件事，有完成一件事，有 n 类办法，在第类办法，在第1类类办法中有办法中有 m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类办类办法中有法中有m2 种不同的方法，种不同的方法，在第，在第 n 类办法中有类办法中有mn 种不同的方法种不同的方法 ,那么完成那么完成这件事共有：这件事共有： 种不同的方法种不同的方法 分类计数原理分类计数原理:问题二：问题二：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地一到丙地，
3、再于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班那么两天中，班那么两天中，从甲地到乙从甲地到乙 地共有多少种不同的走法地共有多少种不同的走法 ？ 变式：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到丁地，第三天乘飞机从丁地到乙地一天日从丙地乘汽车到丁地，第三天乘飞机从丁地到乙地一天日从丙地乘汽车到丁地，第三天乘飞机从丁地到乙地一天日从丙地乘汽车到丁地，第三天乘飞机从丁地到乙地一天中，火车有中，火车有中，火车有中，火车有3
4、 3班，汽车有班，汽车有班，汽车有班，汽车有2 2班，飞机有班，飞机有班，飞机有班，飞机有2 2班那么三天中，从班那么三天中，从班那么三天中，从班那么三天中，从甲地到乙甲地到乙甲地到乙甲地到乙 地共有多少种不同的走法地共有多少种不同的走法地共有多少种不同的走法地共有多少种不同的走法 ？ 3 2=63 2 2=12 完完成成一一件件事事，需需要要分分成成 n 个个步步骤骤，做做第第1步步有有m m1 1 种种不不同同的的方方法法，做做第第2步步有有m m2 2 种种不不同同的的方方法法，做做第第n n 步步有有m mn n 种种不不同同的的方方法法，那那么么完完成成这这件事共有：件事共有： 种不
5、同的方法种不同的方法 分步计数原理分步计数原理: : 思考思考: :分类计数原理与分步计数原理有什么相同点和不同点分类计数原理与分步计数原理有什么相同点和不同点 ？相同点：相同点： 分类计数原理与分步计数原理都是涉及到完成一件事分类计数原理与分步计数原理都是涉及到完成一件事的不同方法的种数。的不同方法的种数。不同点：不同点： 分类计数原理与分类计数原理与“分类分类”有关，各种方法相互独立，有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成有关，各个步骤相互依存，只有各
6、个步骤都完成了，这件事才算完成了，这件事才算完成 分类则加，分步则乘。分类则加，分步则乘。例例例例1 1 书书架架的的第第1层层放放有有4本本不不同同的的计计算算机机书书，第第2层层放放有有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书 （ 1） 从从 书书 架架 上上 任任 取取 1本本 书书 ， 有有 多多 少少 种种 不不 同同 的的 取法？取法？ （ 2 ）从从书书架架的的第第1、2、3层层各各取取1本本书书，有有多多少少种种不不同同的取法？的取法？解解:(1)从书架上任取一本书从书架上任取一本书,有有3类办法类办法:第第1类办法是从第类办法是从第1
7、层层取取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法种方法;第第2类办法是从第类办法是从第2层取层取1本文艺本文艺书书,有有3种方法种方法;第第3类是从第类是从第3层取层取1本体育书本体育书,有有2种方法种方法.根据根据分类计数原理分类计数原理,不同取法的总数是不同取法的总数是: 4+3+2=9答答:从书架上任取从书架上任取1本书本书,有有9种不同的取法种不同的取法. (2)从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,可以分成可以分成3个步骤完成个步骤完成:第第1步从第步从第1层取层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法种方法;第第2步从第步从第2层取层取1本文艺书本文艺书,有有3种方法
8、种方法;第第3步从第步从第3层取层取1本体育书本体育书,有有2种方法种方法.根据分步计数原理根据分步计数原理,不同取法的总数是不同取法的总数是: 43 2=24答答:从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,有有24种不同的取法种不同的取法.练习练习: 1.填空填空: (1)一件工作可以用一件工作可以用2种方法完成种方法完成,有有5人会用第人会用第1种方法完种方法完成成,另有另有4人会用第人会用第2种方法完成种方法完成,从中选出从中选出1人来完成这人来完成这件工作件工作,不同选法的种数是不同选法的种数是 (2)从从A村去村去B村的道路有村的道路有3条条,从从B村去村去C村的道路有村
9、的道路有2条条,从从A村经村经B村去村去C村，不同走法的种数是村，不同走法的种数是 962. 现有高中一年级的学生现有高中一年级的学生3名名,高中二年级的学生高中二年级的学生5名名,高中高中三年级的学生三年级的学生4名名. (1)从中任选从中任选1人参加接待外宾的活动人参加接待外宾的活动,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? (2)从从3个年级的学生中各选个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多人参加接待外宾的活动，有多 少种不同的选法少种不同的选法? 答案答案: (1) 3+5+4=12 (2) 3 5 4=60例例2 一种号码锁有一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号个拨号盘，每个拨号盘
10、上有从盘上有从0到到9共共10个数字，这个数字，这4个拨号盘个拨号盘可以组成多少个四位数字的可以组成多少个四位数字的号码？号码？ 解：由于号码锁的每个拨号盘有从解：由于号码锁的每个拨号盘有从0到到9这这10个数字，个数字，每个拨号盘的数字有每个拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，种取法。根据分步计数原理，4个拨号盘上各取个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字的号码的个个数字组成的四位数字的号码的个数是数是 N=10 10 10 10=10000答：可以组成答：可以组成10000个四位数字号码。个四位数字号码。练习练习: 1一城市的某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字一城市的某电话局管辖
11、范围内的电话号码由八位数字 组成组成,其中前四位数字是统一的其中前四位数字是统一的,后四位数字都是后四位数字都是0到到9之之 间的一个数字间的一个数字,那么不同的电话号码最多有多少个那么不同的电话号码最多有多少个?2.乘积乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后展开后 共有多少项共有多少项?答案答案:10 10 10 10=10000答案答案: 3 4 5=60例例要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2名名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解：从解：从3名工人中选名工人中选1名上日班和名上
12、日班和1名上晚班，可以看成名上晚班，可以看成是经过先选是经过先选1名上日班，再选名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成名上晚班这两个步骤完成.先选先选1名上日班名上日班,共有共有3种选法种选法;上日班的工人选定后，上上日班的工人选定后，上晚班的工人有晚班的工人有2种选法种选法.根据分步计数原理根据分步计数原理,所求的不同的所求的不同的选法数是选法数是 N=3 2=6答答:从从3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚班名分别上日班和晚班,有有6种不同的种不同的选法选法.练习练习:从从5位同学中产生位同学中产生1名组长、名组长、1名副组长，有多少不同名副组长，有多少不同的选法？的选法？答案：答案：5 4=20小结:分类计数原理与分步计数原理体现了解分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决，它不仅是我们以分类解决或分步解决，它不仅是我们以后推导排列数与组合数计算公式的依据，后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终要注意题的始终要注意“类与类类与类”之之间互相间互相独立独立,“步与步步与步”之间互相联系之间互相联系 .作业: P87 习题10.1 1. 2. 3
