电路分析教程 高等教育出版社 第8章 动态电路的瞬态分析

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1、第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl第第8 8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析本章重点本章重点 动态电路的时间域分析涉及许多重要概念和方法。学习本章，要掌握好以下内容：1. 一阶电路微分方程与在直流信号和阶跃信号作用下的零状态响应。2. 换路定律与零输入响应的概念，时间常数的概念与求法。3. 分析一阶电路的三要素法经常应用，要认真掌握好。4. 冲激函数与冲激响应的概念。5. 二阶电路微分方程和零输入响应的特点。 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.1 8.1 一阶电路：零输入响应一阶电路：零输入响应8.2 8.2 一阶电路：零状态响应一阶电

2、路：零状态响应8.3 8.3 一阶电路的全响应及响应特性一阶电路的全响应及响应特性 8.4 8.4 一阶电路：三要素法一阶电路：三要素法8.5 8.5 冲激函数与冲激响应冲激函数与冲激响应8.68.6 二阶电路与零输入响应二阶电路与零输入响应* *8.7 8.7 二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应* *8.8 8.8 状态方程状态方程 本章目录本章目录第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.1 8.1 一阶电路：零输入响应一阶电路：零输入响应8.1.1 8.1.1 一阶电路方程的建立一阶电路方程的建立8.1.28.1.2 换路定律换路定律及初始值的计算及初始值的计算8

3、.1.3 8.1.3 零输入响应与时间常数零输入响应与时间常数第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl电容C和电感L的VCR方程为直流稳态下，电容相当于开路，电感相当于短路。若电容电感的初始能量为0，那么 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.1.1 一阶电路方程的建立一阶电路方程的建立图8-1 RC电路一阶电路方程 图8-2 RL电路uR( t ) + uC( t ) = uS( t ) iR( t ) + iL( t ) = iS( t ) 一般形式：一般形式： y ( t ) + a y( t ) = f( t ) 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态

4、电路的瞬态分析 xxl 由于电容的电流值有限时，电容的电流值有限时，uC( t )不能跃变；不能跃变；电感上电压值有限时，电感上电压值有限时，iL ( t )不能跃变。不能跃变。 8.1.2 换路定律及初始值的计算换路定律及初始值的计算 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 所以t = 0+时有 按换路定律，有 uC C( 0+ + ) = uC C( 0 ) iL L( 0+ + ) = iL L( 0 ) 0+起始值 初始状态第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 一般取电路发生换路的时刻为t=0，把换路前一瞬间记为t=0-，而把换路后一瞬间记为t=

5、0+ 。换路定律告诉我们：换路前后电容电压和电感电流不会发生跃变。同时一定注意，电路中的其它电压和电流都可能发生跃变（包括电容电流和电感电压）。 换路后的一瞬间（即t=0+时刻）的电流、电压值，统称为初始值。为便于计算，由换路定律和替代定理，可以用电压等于uC(0+)的电压源替代电容元件，用电流等于iL(0+)的电流源替代电感元件。 本定律和求初始值的方法适用任意n阶电路。 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl图8-3 初始值的两种典型变化示意第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl初始状态的等效 图8-4第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 x

6、xl求初始值的简要步骤如下：求初始值的简要步骤如下： 由t0时的电路，求出uC(0-)、iL(0-)； 画出t= 0+时的等效电路； 由t=0+时的等效电路，求出各电流、电压的初始值。 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 例例 电路如图8-5(a)所示，t=0时开关S由1扳向2，在t0时电路已处于稳定。求初始值i2(0+)，iC(0+)。 (2) 画出t=0+时的等效电路。按换路定律，有解解 (1)图8-5 (3) 由t=0+时的等效电路，计算各初始值第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.1.3 零输入响应与时间常数零输入响应与时间常数概念 一阶电路

7、中，设f( t ) = 0，则y ( t ) + a y( t ) = 0 特征根 = a 故 y( t ) = y( 0+ )eat ( t 0+ ) 从观察的起始时刻从观察的起始时刻t0起不再加输入信号（即零输起不再加输入信号（即零输入），仅由入），仅由t0以前的历史输入或以前的历史输入或t0时刻动态电路时刻动态电路的储能状态引起的响应称为的储能状态引起的响应称为零输入响应零输入响应（或称储（或称储能响应）。能响应）。 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl图8-6电容的放电 对t 0而言，由图8-6，有第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 特征根 故

8、储能响应 其中uC( 0+ ) = uC( 0 ) = U0 uC( t )的变化快慢取决于电路参数RC。第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl时间常数0 RC电路： RL电路：不同 t 值对应的y( t )t00 2030405010.3680.1350.0500.0180.0070第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl图8-7第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl例例 如图8-8所示电路，已知R = 4，L = 0.1H，US = 24V，开关在t = 0打开，求t 0时的电流i，其中电压表的内阻RV = 10k，量程为100V。问开关

9、打开时，电压表有无危险？ 图8-8第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl解解: 因t = 0 时，电感相当于短路，故u( 0 ) = 0。而 所以iL( 0+ ) = iL( 0 ) = 6A 时间常数 所以第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl电压u( t )为 故u( 0+ ) = 60kV 这就是说，在开关打开瞬间，电压表两端要承受60kV的高压，而表的量程只有100V，所以电压表立即被打坏。工程中为安全起见，应在开关断开前先把电压表移去。第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl例例 如图8-9(a)所示电路，已知电容电压uC(0)=6

10、 V。t=0闭合开关，求t 0的电容电压和电容电流。图8-9解解: 在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻，电阻值为 所以时间常数为 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.2 8.2 一阶电路：零状态响应一阶电路：零状态响应8.2.1 8.2.1 零状态响应的概念零状态响应的概念8.2.2 8.2.2 零状态响应零状态响应8.2.3 8.2.3 阶跃函数与阶跃响应阶跃函数与阶跃响应第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.2.1 零状态响应的概念零

11、状态响应的概念零状态响应 一阶电路微分方程的一般形式为y ( t ) + a y( t ) = f( t )当电路中储能状态为零时，由外加激励信号产生当电路中储能状态为零时，由外加激励信号产生的响应（电压或电流）称为的响应（电压或电流）称为零状态响应零状态响应（或称受（或称受激响应）。激响应）。 求解公式 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 依此可以导出求零状态响应y( t )的一般方法。将上式两边乘以eat，得eat y ( t ) + aeat y( t ) = eat f( t ) 即 从0 到t积分上式，有 即 设激励f( t )在t = 0加入，它不可能在t =

12、 0以前引起响应，故y( 0 ) = 0，从而得零状态响应y ( t ) + a y( t ) = f( t )第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl特别地，当激励为直流量时， 其中，f(t)/a的值即为y()的值 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxlRC电路的零状态响应（直流输入） 电路方程图8-108.2.2 零状态响应零状态响应第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 利用公式第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxluR和uC在不同时刻的值 t00.3680.632200.1350.865300.0500.95400.

13、0180.982500.0070.993看曲线规律。 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxlRL电路的零状态响应（直流输入） 电路方程图8-11第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 利用公式图8-12第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl例例 如图8-13(a)所示电路，已知电感电流iL(0)=0。t=0闭合开关，求t0的电感电流和电感电压。图8-13解解:开关闭合后的电路如图(b)所示。开关闭合后的电路等效成图(c)，则此电路求得时间常数为 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 假如还要计算电阻中的电流i(t)，可以

14、根据图(b)电路，用欧姆定律求得 所以第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.2.3 阶跃函数与阶跃响应阶跃函数与阶跃响应单位阶跃函数 若阶跃信号迟延，则 1 ( t 0 ) 0 ( t t0 ) 0 ( t t0 )( t t0 ) =图8-14第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl阶跃响应 若一阶电路方程y ( t ) + a y( t ) = b ( t ) 则阶跃响应为储能状态为零的动态电路，在单位阶跃信号作用下储能状态为零的动态电路，在单位阶跃信号作用下产生的受激响应称为产生的受激响应称为阶跃响应阶跃响应。用。用s( t )表示。表示。第第8章章

15、 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl例例 如图8-15(a)所示电路，求阶跃响应 uC 。图8-15解解:先将电路ab左端的部分用戴维南定理化简，得图 (b)所示电路。由图(a)可得 将ab端短路，设短路电流为ISC（从a流向b） ，因为 3u1+ u1=0，即u1=0，则 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 所以， 式中=R0C=210-6 s 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.3 8.3 一阶电路的全响应及响应特性一阶电路的全响应及响应特性 8.3.1 8.3.1 一阶电路的全响应一阶电路的全响应8.3.2 8.3.2 线线性与时不

16、变性性与时不变性第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl响应的分解（一般输入） 如图8-16所示电路，输入uS( t ) = (1 e2t)，t 0；求t 0时响应uC( t ) 。开关打开前电路已处稳态。图8-168.3.1 一阶电路的全响应一阶电路的全响应第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 初始状态： uC( 0 ) = 4V 起始值： uC( 0+ ) = uC( 0 ) = 4V t 0时电路方程： 零输入响应： 零状态响应：第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 完全响应：可用以下通用形式描述为 第第8章章 动态电路的瞬态分析动

17、态电路的瞬态分析 xxl8.3.2 线性与时不变性线性与时不变性线性 对线性电路，必有a1f1( t ) + a2f2( t ) a1y1( t ) + a2y2( t ) 微、积分特性 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl时不变性 线性时不变（Linear-Time Invariant，LTI ）第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl图8-17例例 如图8-17所示电路，输入为方波uS( t )，试求零状态响应uC( t )。设 ，A = 5V。第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl解解 uS( t ) = A( t ) A( t t0

18、 )(电路方程 ) ( t ) 作用 由时不变性和线性叠加性，得第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 零状态响应波形：图8-18如何理解零输入响应、零状态响应和时间常数的概念？分析时如何应用线性和时不变性。阅读与思考阅读与思考第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.4 8.4 一阶电路：三要素法一阶电路：三要素法 对一阶电路方程 y ( t ) + a y( t ) = f( t ) ( t 0 ) 其解三要素公式三要素公式 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 令t = 0+，则y( 0+ ) = y( ) + K 从而K = y(

19、 0+ ) y( ) 故得一般公式一般公式：（三要素： y( )、 y( 0+ ) 、0）第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl三要素的求法三要素的求法 y( 0+ )：换路前，求初始状态uC( 0 )或iL( 0 )定uC( 0+ )或iL( 0+ )；用电压源uC( 0+ )和电流源iL( 0+ )分别代替电容和电感，则可求其他元件的起始值。y( )：换路后，作t 的等效电路：电容开路可定uC( )，电感短路可定iL( )。继而可定其他y( )。 0：换路后，除电容和电感外，将电路等效为戴维宁电路或诺顿电路（图8-19）。 则 0 = R0C （对RC电路） （对RL电路

20、） 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl图8-19 求时间常数的最简电路第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl例例 如图8-20(a)所示电路，t0时电路处于稳态。t=0时S1打开，S2闭合。求电容电压uC和电流i并作波形图。图8-20第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 解解 (1) 求uC(0+)和i(0+)。 t=0时，电容C相当于开路，所以 (2) 求uC ()和i()。 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl(3) 求0。 (4) 求uC和i。 图8-21第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xx

21、l例例 图8-22是一种测速装置的原理电路。图中A、B为金属导体，A、B相距为S=1 m，当子弹匀速地击断A再击断B时，测得uC=8 V，求子弹的速度。图8-22 解解 子弹未击穿金属挡板时，电路中A将C短路；击穿A未击穿B时，电源、R和C构成串联回路；B也被击穿时，整个电路开路。所以A、B就是一个开关。 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl (1) 求uC(0+) 。uC( ) = 10V所以 (2) 求uC () 。 uC( 0+ ) = uC( 0 ) = 0V0 = RC = 1ms(3) 求0。 因t=t1时B被击断，这时有 解得 t1=1.6 ms 最后得子弹的

22、速度 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl例例 如图8-23所示电路，已知t 0 )所以第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl例例 如图8-24(a)所示电路，开关S断开已经很久，t=1 s时开关S闭合，t=2 s时开关S重新断开，试求t1 s电容电压uC(t)和电阻电压uo(t)。图8-24第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl (1) 1 st2 s区间内响应的计算 。 解解 本题要求计算电容电压和1.6 k电阻电压，先将电路其余部分用戴维宁等效电路代替，得到开关S断开和闭合时的等效电路如图(b)和(c)所示，再从时间上分段计算。 (

23、2) t2 s区间内响应的计算 。 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl同样用三要素法也可以求出电压uo(t)： 画出uC(t)和uo(t)的波形如图(d)和(e)所示。 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl微分电路微分电路 图8-25 微分电路及响应 由图8-25(a)，有 u1( t ) = uC + u2第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 若u2 0，则u1 uC 故 实际输出：由三要素法 又u2( T ) = U1 （0 T， uC( T ) = U0 则 若uC 0，则uS uR， 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的

24、瞬态分析 xxl例例 确定RC分压器的阶跃响应u2( t ) 。图8-28第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 解解 已知uC1( 0 ) = uC2( 0 ) = 0，由KVL，在t = 0+ 时 u1( 0+ ) + u2( 0+ ) = A (1) 由电荷守恒原理，应 C1u1( 0+) = C2u2( 0+) (2) 联合式(1)和(2)解之 又第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 由三要素公式，得 图8-29第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 本例也可在正弦稳态下分析。 图8-30第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬

25、态分析 xxl应用应用图8-31 实际的多档分压器第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl如何求一阶电路的三要素？正弦信号输入时三要素如何求？如何认识微分电路和积分电路的本质？阅读与思考阅读与思考第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.5 8.5 冲激函数与冲激响应冲激函数与冲激响应8.5.1 8.5.1 单位冲激函数单位冲激函数8.5.2 8.5.2 冲激响应冲激响应第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl引例 8.5.1 单位冲激函数单位冲激函数 p( t ) = 图8-32 当0， ，面积为1，则p( t ) ( t )第第8章章 动态

26、电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl定义 图8-33 两种波形：第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl( t )与( t )的关系 因 故 即 相应地第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl图8-34第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl( t ) 的性质 1. ( t )是偶函数：( t ) = ( t ) 2. 具有筛选性:f ( t ) ( t ) = f ( 0 ) ( t ) 进而第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 一般的，若一阶方程为 y ( t ) + a y( t ) = b( t ) 则从书式（8-

27、10）得h( t ) = y( t ) = beat( t )概念 8.5.2 冲激响应冲激响应储能状态为零的电路，在单位冲激信号作用下产生的零储能状态为零的电路，在单位冲激信号作用下产生的零状态响应称为状态响应称为冲激响应冲激响应，记为，记为h( t )。 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl求解h( t )的常用方法 因为又由一阶电路的微分特性，得第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl例例 如图8-35所示RC电路，设uC( 0 ) = 0，输入信号为 ( t )，试以uC( t )为响应，求冲激响应h( t )。图8-35第第8章章 动态电路的瞬态分

28、析动态电路的瞬态分析 xxl 解解 由三要素法求得阶跃响应为 又t=0时 0，而t0时 ，即 必为0，则 或写作 所以， 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl如何理解冲激函数的物理意义和它的筛选性质？阅读与思考阅读与思考第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.6 8.6 二阶电路与零输入响应二阶电路与零输入响应8.68.6.1 .1 二阶电路方程二阶电路方程8.68.6.2 .2 零输入响应零输入响应第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.6.1 二阶电路方程二阶电路方程图8-36RLC串联电路 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路

29、的瞬态分析 xxl 如图8-36所示RLC串联电路，在t 0时可列KVL方程： 又因 所以有 即有标准形式第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 其特征方程为 可求得特征根 1和2常称为二阶电路的固有频率，它们仅依赖于电路本身的参数，为阻尼系数，0为振荡角频率。 令 和 ，则上式可以写成第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxlGCL并联电路（对偶） 对图8-37，由KCL图8-37第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 因为 所以有标准形式方程 从而可由特征方程得特征根（固有频率） 令 和 ，上式变为 可见，二阶电路方程的一般标准形式为y (

30、 t ) + a1 y ( t ) + a0 y( t ) = b f( t ) 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.6.2 零输入响应零输入响应 如RLC串联电路，当输入为零时，则 即 特征根第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 对式(1)，令t = 0，应有 K1 + K2 = U K11 + K22 = 0 1. 当 0，即 ，称为过阻尼过阻尼情况，这时1和2为两个不相等的负实根。 uC( t )可表示为 式中，K1和K2为待定系数，由起始条件决定。由电路的假设知 uC( 0+ ) = U i ( 0+ ) = 0 第第8章章 动态电路的瞬态分

31、析动态电路的瞬态分析 xxl 解得 由此可得第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl2. 当 = 0，即 ，称为临界阻尼临界阻尼情况，这时1= 2 = 为相等的实根。 uC( t )可表示为 与上类似，可以求得 K1 = U K2 = U 故有uC( t ) = U( 1 + t )et ( t 0 ) (3)第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl3. 当 0，即 ，称为欠阻尼欠阻尼情况，这时1和2 为共轭复根。 式中， 。则解为第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 根据t = 0时的起始条件，可得 K1 = U 代入式（4）可求得uC(

32、t )，它是一个衰减振荡。 式（4）还可以表示为 uC( t ) = Kcos(d t + ) （5） 式中第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl图8-38 上述解答的三种波形示意图：第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.78.7* * 二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应8.78.7.1 .1 冲激响应冲激响应8.78.7.2 .2 阶跃响应阶跃响应第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.7.1 冲激响应冲激响应 定义算子：算子方程 设有方程y ( t ) + a1y ( t ) + a0y( t ) = b f( t ) (6

33、) 则算子方程( p2 + a1 p+ a0 ) y( t ) = b f( t ) 设特征根为1和2，则( p 1) ( p 2) y( t ) = b f( t ) 即第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl图8-39求解方法 分解为一阶算子求响应。第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 例如，对典型的二阶电路微分方程式（6），当输入f( t ) = ( t )时，其响应y( t )即为h( t )，即有 进而 把 看作新的输入f( t )，则由图8-39(c)，有 最后得第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl例例 在RLC串联电路中，设

34、uC( 0 ) = 0，iL( 0 ) = 0，输入信号uS( t ) = ( t )，试求在下列情况下的冲激响应uC( t )。（1）R = 4，L = 1H，C = F；（2）R = 2，L = 1H，C = 1F；（3）R = 1，L = 1H，C = 1F。第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl解解 对于（1），以uC( t )为求解量，可列方程 其特征方程的根为1= 1， 2 = 3 算子方程为( p2 + 4 p+ 3 ) uC( t ) = 3( t ) 或第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 对每个因式应用图8-39中的结论，得 把 e3t

35、看作新的f( t )，从而得 即h( t ) = uC( t ) = 1.5 et 1.5e3t ( t 0 )第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 对于情况（2），可列方程 其特征根为1= 2 = 1 对应的算子方程为( p2 + 2p+ 1 ) uC( t ) = ( t ) 即第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 进而 把 et看作新的f( t )，从而得 即h( t ) = uC( t ) = tet ( t 0 )第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 对于情况（3），用类似方法得 由上可以看出，引用算子方程后，求解变得规范、

36、简便，免去了用经典法求解非齐次微分方程的繁琐过程。第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.7.2 阶跃响应阶跃响应 对RLC串联电路，当输入uS(t) = (t)时，对上例情况（1），有 算子方程为( p2 + 4 p+ 3 ) uC( t ) = 3( t ) 即第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 进一步表示为 解得s( t ) = uC( t ) = 1 1.5 et + 0.5e3t ( t 0 ) 同法，对情况（2），则有s( t ) = 1 et tet ( t 0 )第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 对于情况（3），

37、可类似地得 阶跃响应的测量结果： 过阻尼 临界阻尼 欠阻尼 无阻尼图8-40第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl利用算子方程求解零状态响应的规律是什么？阅读与思考阅读与思考第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl8.8 8.8 状态方程状态方程状态变量状态变量 若电路中一组变量能够反映动态电路的储能状若电路中一组变量能够反映动态电路的储能状态，并且一旦由这组变量的初始状态和可能的外加输态，并且一旦由这组变量的初始状态和可能的外加输入解出这组变量时，电路中任意处的响应均可以唯一入解出这组变量时，电路中任意处的响应均可以唯一地确定，则这组变量就称为地确定，则这组

38、变量就称为状态变量状态变量。 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl状态方程状态方程 图8-41 以状态变量、状态变量的一阶导数和可能的外加输入描述的动态电路方程称为状态方程状态方程（state equation）。第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 例如，对图8-41，首先对包含电感的回路列KVL方程，有 对于节点a，列KCL方程，有 整理可得第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 上述形式的一阶微分方程就是状态方程。写成矩阵形式为 令 则上式方程可简写为第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl例例 如图8-42所示电

39、路，有外加电源，试列出状态方程。 图8-42第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 解解 设uC( t )和iL( t )为状态变量，对节点a，由KCL，有 即 对电感所在的网孔，由KVL，得 又 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 代入上式，得 联合起来，得 即标准形式标准形式 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 一般地，列写状态方程的步骤列写状态方程的步骤如下：（1）选择一个树，使电压源和尽可能多的电容支路选为树支，电流源和电感支路选为连支。（2）对每一个电容树支所确定的基本割集列KCL方程。（3）对每一个电感连支所确定的基本回

40、路列KVL方程。（4）消去非状态变量，列出标准形式的状态方程。一般步骤一般步骤 第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 求解一阶微分方程组即状态方程有多种方法。其中数值方法较为方便。在数值方法中，逐次逼近法是最简单、最基本的方法。这里介绍逐次逼近法逐次逼近法的思路。 设有状态方程状态方程的解状态方程的解 给定初始状态X( 0 )，求X( t )。 将X( t )展成泰勒级数，并取一次项近似：第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl 又在kt时，状态方程为 将式（2）代入式（1），得X (k+1)t X( kt ) + A X(kt )t + B f(kt )t 式中t为步长，k = 0，1，2，n。当步长t足够小时，求解结果非常接近真实解。第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl状态轨迹状态轨迹 在二维状态平面上，状态变量x1和x2随时间变化在该平面上点的运动轨迹。 例如：图8-43第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl图8-44 状态变量uC，iL的状态轨迹第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl四种典型的状态轨迹：图8-45第第8章章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析 xxl如何认识状态、状态方程和状态轨迹的概念？阅读与思考阅读与思考