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1、返回4.3 向量组的秩与最大无关组向量组的秩与最大无关组一、向量组的秩与最大无关组的概念一、向量组的秩与最大无关组的概念二、二、Rn 的基、维数与坐标的基、维数与坐标返回境盟白碘尖瞅灼抬棠袜平愿缓虚绪夯吱腔取嘿众廷组膊枯湍久骇悍剁蚊悠线性代数与空间解析几何4.3线性代数与空间解析几何4.3返回一、向量组的秩与最大无关组的概念一、向量组的秩与最大无关组的概念例例1 1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) 。 1, 2, 3 线性相关线性相关. 1, 2 线性无关；线性无关； 2 ， 3 线性无关，线性无关，最大无关组最大无关组定义定义 设向量组设向量组T满足满足1
2、o 在在T中有中有r 个向量个向量 1, 2, , r 线性无关；线性无关；2o T中任意中任意r + 1个向量都线性相关；个向量都线性相关；则称则称 1, 2, , r 是向量组是向量组T的一个的一个最大无关组最大无关组，数数 r 为向量组为向量组T的的秩秩.最大无关组一般不惟一，秩是惟一的最大无关组一般不惟一，秩是惟一的.华阜缉痞磺鞍舍昭败刊皱龋触悔雹痞遁照掣搀赐凶衰源咀缄啼烧貌春喧昂线性代数与空间解析几何4.3线性代数与空间解析几何4.3返回若向量组线性无关，则其最大无关组就是它本若向量组线性无关，则其最大无关组就是它本身，秩身，秩 = 向量个数向量个数.向量组线性无关向量组线性无关(相
3、关相关) 向量组的向量组的秩秩 = ()向量组所含向量个数向量组所含向量个数.例例2 Rn 的秩为的秩为 n, 且任意且任意 n 个线性无关的个线性无关的 n 维向维向量均为量均为Rn 的一个最大无关组的一个最大无关组.矩阵矩阵A的的列秩列秩：A的列向量组的秩；的列向量组的秩；矩阵矩阵A的的行秩行秩：A的行向量组的秩的行向量组的秩.寅褒湍黎蒲毕预涧胆禾涕缴澳出惦舶略嚏兵曼对赋水适谣靛嗽屁茸琢佳砷线性代数与空间解析几何4.3线性代数与空间解析几何4.3返回定理定理1 若若则则A的任意的任意 k个个(1kn)个列向量与个列向量与B的对应的对应 k 个列向量有相同的线性相关性个列向量有相同的线性相关
4、性.任取任取A的的k个列向量所得个列向量所得Ak X=0与与 Bk X=0 同时有非零解或只有零解同时有非零解或只有零解. Ak 的列向量与的列向量与 Bk 的列向量有相同的线性相关性的列向量有相同的线性相关性.证证州踪骇梨如酶乙挣蝎弄鹰睦懦到屏孔施遂蓝才宽侗屿西曾云股恩颠厂袁饭线性代数与空间解析几何4.3线性代数与空间解析几何4.3返回定理定理2 矩阵的矩阵的 行秩行秩 = 列秩列秩 = 矩阵的秩矩阵的秩.证证 设设 R(A) = r,B有有 r 个非零行，个非零行，B的的r 个非零行的非零首元素所在个非零行的非零首元素所在的的r 个列向量线性无关，个列向量线性无关，为为B的列向量组的最大无
5、关组的列向量组的最大无关组.为什么？为什么？为什么？为什么？A中与中与B的这的这 r 个列向量相对应的个列向量相对应的r 个列向量也是个列向量也是A的列向量组的最大无关组的列向量组的最大无关组.故故 A 的列秩等于的列秩等于 r . 同理，由同理，由R(A) = R(AT), 及及A的行向量即的行向量即 AT 的列的列向量，可得向量，可得A的行秩等于的行秩等于 r .硫泵钾背然及飘悟洼博柿闽踪堤知兽陨雾醇倒苞辞蛊奶蝎蛇乱穿楷苦林寡线性代数与空间解析几何4.3线性代数与空间解析几何4.3返回定理定理2的证明的证明求向量组的秩和最大无关组的方法求向量组的秩和最大无关组的方法. 例例3 求向量组求向
6、量组 1=(1,2,0,3), 2 =(2,-1,3,1), 3 =(4,-7,9,-3) 的秩和一个最大无关组，并判断线性相关性的秩和一个最大无关组，并判断线性相关性. 解解 A=( 1T, 2T, 3T)所以所以,秩秩( 1, 2, 3) = 2 1, 2 , 3 线性相关线性相关.s, 则则 1, 2 , , r 线性相线性相关关,滇缄祈凸刃迹坍捆溢首踢蠕钡重拾气墩邯隔钻巡卡雅噪氢炼棍屯藏土询人线性代数与空间解析几何4.3线性代数与空间解析几何4.3返回两向量组秩的关系：两向量组秩的关系：若向量组若向量组()可由组可由组()线性表出，则线性表出，则 组组()的秩的秩 r1 组组()的秩的
7、秩 r2. 证证 设设 为为() 的最大无关组，的最大无关组， 为为() 的最大无关组的最大无关组. 组组()可由组可由组()线性表出线性表出,所以所以可由可由线性表出线性表出, 又又线性无关，线性无关，故故 r1 r2.若组若组()与组与组()等价，则等价，则 组组()的秩的秩 r1= 组组()的秩的秩 r2.张耶咏妖物鸵辉逸疾胞塘朔殃避弟邹区邓蔫曰姨虑烦费酞鞭递唾塑吉捍熏线性代数与空间解析几何4.3线性代数与空间解析几何4.3返回 定理定理4 设设是是 1, 2, , s的线性无关部的线性无关部 分组，它是最大无关组的充要条件是分组，它是最大无关组的充要条件是 1, 2, , s中中每一个
8、向量均可由每一个向量均可由 线性表出线性表出.若若 1, 2, , s可由可由线性表出线性表出,则则 1, 2, , s中任中任r + 1个向量线性相关，个向量线性相关，是最大无关组是最大无关组.若若 是是 1, 2, , s的最大无关的最大无关组，组，结论显然结论显然必要性必要性：证证 充分性：充分性：靴章廊翟诲锤踊槽茄裕抢霹酚误领拜壤飘侯醇窒救畔糖轻溺豁叛摹扼矢澄线性代数与空间解析几何4.3线性代数与空间解析几何4.3返回例例6 设设A, B分别为分别为mr, r n矩阵，证明矩阵，证明 R(AB)minR(A), R(B).证证 设设Cmn = AB，(AB)的列向量组可由的列向量组可由
9、A的列向量组线性表出，的列向量组线性表出，故故 R(AB)R(A).又，又，R(C) = R(CT)=R(BTAT)R(BT)=R(B).所以所以 R(AB)minR(A), R(B).烫稍亡鹃累搏汁库欣艰还届啸筛识慑眶栓冶诉兼洁稳颇韧部绽诽搭袜猾幢线性代数与空间解析几何4.3线性代数与空间解析几何4.3返回二、二、Rn的基、维数与坐标的基、维数与坐标Rn：n维向量空间维向量空间Rn的一组基的一组基： Rn 的一个最大无关组的一个最大无关组Rn的维数的维数(dim Rn)：Rn 的秩的秩, dim Rn = n.设设 1, 2, , n为为Rn的一组基，则的一组基，则Rn = L( 1, 2,
10、 , n)又，又， Rn = L(1, 2, , n)Rn 的标准基的标准基拙台辆演受琳脏迸霉刹方夕朔证痢看杀松掏占汕司榆攀瘟发瞒邹胚坎倦篙线性代数与空间解析几何4.3线性代数与空间解析几何4.3返回 Rn, 1, 2, , n为一组基，为一组基， = x1 1+ x2 2+ + xn n 在基在基 1, 2, , n下的坐下的坐标标一个向量在确定基下的坐标是惟一的一个向量在确定基下的坐标是惟一的(坐标的惟一性坐标的惟一性). 例例7 (1) 设设 = (x1, x2, x3) 0， L( ) : R3的一维子空间的一维子空间; (2) 设设 = (x1, x2, x3) , = (y1, y2, y3) 线性无关，线性无关， L( , ) : R3的二维子空间的二维子空间.狗斟棕刷悸畦忍鼎搜酣心弯服婴崇诊筏侈添炉拾双径波睦蔑怒旭拇琵洼罩线性代数与空间解析几何4.3线性代数与空间解析几何4.3
