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1、考纲要求1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.热点提示本节的复习，应充分利用二次函数的图象，理顺三个“二次”的关系，进而把握函数与方程之间的关系，重点解决：(1)三个“二次”的关系；(2)函数的零点；(3)用二分法求方程的近似解.1函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使 成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)几个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有f(x)0零点 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函
2、数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数yf(x)在区间内有零点，即存在c(a，b)，使得，这个 也就是f(x)0的根f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点无交点零点个数(x1,0)，(x2,0)(x1,0)两个零点一个零点无零点3.二分法 (1)二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法f(a)f(b)0一分为二零点(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证 ，给定精确度；第二步，求区间
3、(a，b)的中点x1；第三步，计算；若，则x1就是函数的零点；若 ，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若 ，则令ax1(此时零点x0(x1，b)；第四步，判断是否达到精确度；即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步f(a)f(b)0f(x1)f(x1)0f(a)f(x1)0f(x1)f(b)01若函数yf(x)在R上递增，则函数yf(x)的零点()A至少有一个B至多有一个C有且只有一个 D可能有无数个答案：B2如下图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()ABCD答案：B3用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)
4、0可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为()A(0,0.5)f(0.25) B(0,1)f(0.25)C(0.5,1)f(0.75) D(0,0.5)f(0.125)解析：本题是考查了利用二分法求零点的有关知识f(x)x33x1是R上的连接函数，且f(0)0，则f(x)在x(0,0.5)上存在零点且第二次验证时需验证f(0.25)的符号答案：A4函数y(x22x)29的图象与x轴交点的个数是_解析：令y0，(x22x3)(x22x3)0，x22x30，x22x30，解得x1或x3，即方程f(x)0只有两个实数根答案：25已知二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区
5、间1,1内至少存在一个实数c，使f(c)0，求实数p的取值范围思路分析：本题是函数零点的问题，由函数零点的定义判断即可答案：D本题是江苏版数学必修1第81页习题2“求证：方程5x27x10的根一个在区间(1,0)内，另一个在区间(1,2)内”的一个改编题考题将方程改成了一个函数，方程的根就变成了函数的零点，将证明题改成了一个选择题考题更加直接明了地考查函数的零点的判断，没有设计其他求解的障碍. 【例2】(1)若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，求实数a的值；(2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围思路分析：(1)二次项系数含有字母，分类讨论即可(2)利用函数图象求
6、解(2)若f(x)|4xx2|a有4个零点即|4xx2|a0有四个根，即|4xx2|a有四个根令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出g(x)的图象，由图象可知如果要使|4xx2|a有四个根，那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点故需满足0a4，即4af(2)或a6或a6即为所求故填(，6)(6，)答案：(，6)(6，)端(中)点坐标中点函数值符号零点所在区间|anbn|1,1.50.51.25f(1.25)01.25,1.3750.1251.3125f(1.3125)01.3125,1.3750.0625|1.3751.3125|0.06250.1，函数的零点落在区间长度小于0.1的区间1
7、.3125,1.375内，故函数零点的近似值为1.3125.用二分法求函数的零点的近似值，使精确度为正数，指将零点的初始值区间a，b逐次二等分所得的区间a，b满足|ab|，此时，取a，b的一个端点值a(或b)作为函数的零点的近似值即可. 变式迁移 3求函数f(x)x25的负零点(精确度0.1)解：由于f(2)10，故取区间3，2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值3，22.51.252.5，22.250.06252.25，22.1250.48442.25，2.1252.18750.21482.25，2.18752.218750.0771根据上表计算知，区间2.25
8、，2.1875的长度是0.06250.1，所以原方程的近似解可以是2.1875.【例4】已知函数f(x)mx2(m3)x1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是()A(0,1B(0,1)C(，1) D(，1变式迁移 4若关于x的方程3tx2(37t)x40的两实根，满足012，则实数t的取值范围是_解析：依题意，函数f(x)3tx2(37t)x4的两个零点满足012，且函数f(x)过点(0,4)，则必有1函数零点的理解(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点的个数(
9、2)变号零点与不变号零点若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点(3)若函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续的曲线，则f(a)f(b)0是f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件2用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根(2)求曲线yf(x)和yg(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数yf(x)g(x)的零点，即求f(x)g(x)0的根3关于用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题(1)第一步中要使：区间长度尽量小；f(a)、f(b)的值比较容易计算且f(a)f(b)0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)的根，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)g(x)的根(3)我们可用二分法来求方程的近似解由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算其流程图如下：
