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1、2.3.1抛物线及其抛物线及其 标准方程标准方程喷泉喷泉复习回顾：复习回顾： 我们知道我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：椭圆、双曲线的有共同的几何特征： 都可以看作是都可以看作是, ,在平面内与一个在平面内与一个定点定点的距离和一条的距离和一条定直线定直线的距离的比是的距离的比是常数常数e的点的轨迹的点的轨迹. .MFl0e 1(2) 当当e1时，是双曲线时，是双曲线;(1)当当0e0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yly y2
2、 2=2px=2px(p0)(p0)x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)P的意义的意义:抛物抛物线的焦点到准线的焦点到准线的距离线的距离方程的特点方程的特点:(1)左边左边是二次是二次式式,(2)右边右边是一次是一次式式;决定了决定了焦点焦点的位置的位置.四四种四四种抛物线的抛物线的对比对比 椭圆，双曲线，抛物线各有几条准椭圆，双曲线，抛物线各有几条准线线？ 根据上表中抛物线的标准方程根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形，焦点坐标，的不同形式与图形，焦点坐标，准线方程对应关系如何判断抛物准线方程对应关系如何判断抛物线的焦点位置，开口方向线的焦点位置，开口方向？问题：问题： 第
3、第一一：一一次次项项的的变变量量如如为为X（或或Y） 则则X轴轴（或或Y轴轴）为为抛抛物物线线的的对对称轴，焦点就在对称轴上呀！称轴，焦点就在对称轴上呀！ 第二：一次的系数决定了开口方第二：一次的系数决定了开口方向向 思考：思考： 二次函数二次函数 的图像为什么的图像为什么是抛物线？是抛物线？ 当当a0时与当时与当a0)开口向右:y2 =2px(x 0)开口向左:y2 = -2px(x 0)标准方程为x2 =+ 2py(p0)开口向上:x2 =2py (y 0)开口向下:x2 = -2py (y0)抛物线的标准方程抛物线的标准方程上下上下型型一次项变量定轴一次项变量定轴; ;一次项正负定方向一
4、次项正负定方向例例1（1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它，求它的焦点坐标及准线方程的焦点坐标及准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，2），求），求抛物线的标准方程抛物线的标准方程（3）已知抛物线的准线方程为）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物，求抛物线的标准方程线的标准方程（4）求过点）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程）的抛物线的标准方程焦点焦点F ( , 0 )32准线：准线：x =32x 2 =8 yy 2 =4 xy 2 = x 或或 x 2 = y4392看图看图看图 1.由于抛物线的标准方程有四
5、种形式，且每一由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中种形式中 都只含一个系数都只含一个系数p，因此只要给出确，因此只要给出确定定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程 2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解就会有多解课堂练习：课堂练习：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3
6、，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是x = ；（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或或 x2 = -4y2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2 = 20x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=- -5（0，）18y= - 188x= 5（- - ，0）58（0，- -2）y=2注意：求抛注意：求抛物线的焦点物线的焦点一定要先把一定要先把抛物线化为抛物线化为标
7、准形式标准形式反思研究反思研究已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程先定位先定位，后定量后定量例例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为天线的径口（直径）为4.8m，深度为，深度为0.5m。建。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。坐标。解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内
8、建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。原点重合。 设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是 ，由已知条件，由已知条件可得，点可得，点A的坐标是的坐标是 ，代入方程，得，代入方程，得即即所以，所求抛物线的标准方程是所以，所求抛物线的标准方程是 ，焦点的坐标是焦点的坐标是例例3 3、M是抛物线是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，若点）上一点，若点 M 的横坐标为的横坐标为X0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 X0 + 2pOyxFM例例4 4 点点M与点与点F(4, 0)的距离比它到的距离比它到直线直线l: x+5
9、=0的距离小的距离小1，求点，求点M的的轨迹方程轨迹方程.练习、练习、 焦点在直线焦点在直线x 2y 4=0上上的抛物线的抛物线的标准方程为的标准方程为_.4.4.标准方程中标准方程中p前面的前面的正负号正负号决定抛物线的决定抛物线的开口开口方向方向 1.1.抛物线的定义抛物线的定义: :2.2.抛物线的标准方程有四种不同的形式抛物线的标准方程有四种不同的形式: :每一对焦点和准线对应一种形式每一对焦点和准线对应一种形式. .3.3.p的几何意义是的几何意义是: :焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离（2013.全国）过抛物线 的焦点 作一条直线交抛物线于 ， 两点，若线段 与 的长
10、分别为 ，则 等于（ ）A. B. C. D.xyolF（0,2）返回解：（2）因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且p2 = 2，p = 4 ，所以所求抛物线的标准方程是 x2 =8y .xyolFX = 1返回解：（3）因为准线方程是 x = 1，所以 p =2 ，且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是 y2 =4x .返回xyo(3,2)解：（4）因为(3，2)点在第一象限，所以抛物线的开口方向只能是向右或向上，故设抛物线的标准方程是 y2 = 2px（p0），或 x2 = 2py（p0），将（3，2）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为 y 2 = x 或或 x 2 = y4392
