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1、高考微专题十一离心率求解技巧高考微专题十一离心率求解技巧椭圆和双曲线的离心率问题是高考的一个高频考点椭圆和双曲线的离心率问题是高考的一个高频考点, ,求解时有一些技巧求解时有一些技巧, ,下面给予总结下面给予总结. .技巧一求出技巧一求出a,ca,c后求离心率的值后求离心率的值【例【例1 1】 已知点已知点A A是抛物线是抛物线x x2 2=4y=4y的对称轴与准线的交点的对称轴与准线的交点, ,点点B B为抛物线的焦为抛物线的焦点点,P,P在抛物线上且满足在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,|PA|=m|PB|,当当m m取最大值时取最大值时, ,点点P P恰好在以恰好在以A,BA,B为焦
2、为焦点的双曲线上点的双曲线上, ,则双曲线的离心率为则双曲线的离心率为( () )思路点拨思路点拨: :求出当求出当m m取最大值时点取最大值时点P P的坐标的坐标, ,根据定义求出根据定义求出a a值值. .反思归纳反思归纳 在能够直接求出椭圆、双曲线中的在能够直接求出椭圆、双曲线中的a,ca,c值时值时, ,直接求出再根据直接求出再根据离心率的定义求得离心率离心率的定义求得离心率, ,这是求椭圆、双曲线离心率最直接的方法这是求椭圆、双曲线离心率最直接的方法. .技巧二求出技巧二求出a,ca,c之间的等量关系后求离心率的值之间的等量关系后求离心率的值思路点拨思路点拨: :利用利用FF1 1B
3、A=90BA=90得出关于得出关于a,b,ca,b,c的方程的方程, ,消掉消掉b,b,得出得出a,ca,c的齐的齐次方程次方程, ,方程两端除以方程两端除以a a2 2得出关于得出关于e e的一元二次方程的一元二次方程, ,解方程即得解方程即得. .反思归纳反思归纳 当能够把已知条件转化为关于当能够把已知条件转化为关于a,ca,c的齐次方程时的齐次方程时, ,通过把通过把方程两端除以方程两端除以a a的某个方幂的某个方幂( (齐次方程的次数齐次方程的次数) )即可得出关于即可得出关于e e的方程的方程, ,解解方程得出离心率方程得出离心率, ,但要注意离心率本身的范围但要注意离心率本身的范围
4、. .技巧三建立关于技巧三建立关于a,ca,c的不等关系确定离心率的范围的不等关系确定离心率的范围思路点拨思路点拨: :ABEABE是锐角三角形是锐角三角形, ,只要只要AEBAEB为锐角即可为锐角即可, ,据此建立据此建立a,b,ca,b,c的不等式的不等式, ,消掉消掉b b得出关于得出关于a,ca,c的不等式的不等式, ,再转化为关于再转化为关于e e的不等式的不等式, ,解不解不等式得出所求范围等式得出所求范围. .反思归纳反思归纳 如果建立的关于如果建立的关于a,ca,c的不等式中各项的次数相同的不等式中各项的次数相同, ,即可以把即可以把其化为关于离心率其化为关于离心率e e的不等
5、式的不等式, ,解不等式得出离心率的范围解不等式得出离心率的范围, ,要注意椭圆、要注意椭圆、双曲线离心率本身的范围双曲线离心率本身的范围. .技巧四用圆锥曲线定义解离心率问题技巧四用圆锥曲线定义解离心率问题反思归纳反思归纳 圆锥曲线的离心率与定义之间关系密切圆锥曲线的离心率与定义之间关系密切, ,解题时要善于把解题时要善于把圆锥曲线上的点与两个焦点联系起来圆锥曲线上的点与两个焦点联系起来, ,利用圆锥曲线定义确定利用圆锥曲线定义确定a,ca,c之间的之间的数量关系数量关系. .思路点拨思路点拨: :连接连接AFAF1 1,AF,AF1 1F F2 2中进行相关计算中进行相关计算, ,根据双曲线定义得出根据双曲线定义得出a,ca,c之之间的数量关系后间的数量关系后, ,根据离心率定义解之根据离心率定义解之. .技巧五在焦点三角形中使用正、余弦定理解决离心率问题技巧五在焦点三角形中使用正、余弦定理解决离心率问题思路点拨思路点拨: :在在PFPF1 1F F2 2中中, ,使用正弦定理建立使用正弦定理建立|PF|PF1 1|,|PF|,|PF2 2| |之间的数量关之间的数量关系系, ,再结合椭圆定义求出再结合椭圆定义求出|PF|PF2 2|,|,利用利用a-c|PFa-c|PF2 2|a+c|a+c建立不等式确定所建立不等式确定所求范围求范围. .
