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1、 第二章 常用统计量之二：差别量数人文院：滕瀚hanteng99163n问题：假设有两组数据问题：假设有两组数据n 甲组为甲组为8，9，10，13，13，14，14，15，其均数为，其均数为12；n 乙组为乙组为3，5，5，7，9，13，21，33，其均数也为，其均数也为12。n 试问这两列数据的分布一样吗？为什么？哪一组试问这两列数据的分布一样吗？为什么？哪一组平均数的代表性更好一些呢？平均数的代表性更好一些呢？一、方差与规范差一、方差与规范差n一离均差一离均差d和平均差和平均差ADn d= n n AD= nd:每个数据每个数据 与其平均数与其平均数 的差距大小或分的差距大小或分开平均数的
2、间隔开平均数的间隔 ，即每个数据离均差简，即每个数据离均差简称离差，源于英文称离差，源于英文deviation from mean的大小的大小 nAD是次数分布中一切原始数据与平均数间隔的绝对是次数分布中一切原始数据与平均数间隔的绝对值的平均。值的平均。n n n例：有5名被试的错觉实验数据如下，求其平均差。 n 被试12345错觉量（单位：毫秒）1618202217表3-1 方差的含义与计算表n象表示一列数据普通程度时需将各个数据进展平均一样，表示一列数据离均差的普通程度亦需将各个离均差进展平均。这是由于一列数据的离均差有大有小，而作为该列数据差别程度大小的一个最好代表值是离均差的平均数，即
3、有AD=问题：求离均差的平均数，首先需求出每一列数据的离均差，如表4-1第3栏和第6栏。但是离均差有正有负，正负抵消，离均差的和为0，即 ，那么离均差的平均数 也为0，计算结果无意义。 问题的处理：方差和规范差！n为了使离均差之和不为0，我们可采用代数的处置方法，对每一个离均差进展平方后再求和，即先求离均差的平方，即 ；再将一切离均差平方相加求和，即 ，详见第4栏和第7栏；最后再求离均差平方算术平均数，即为方差n 方差是对一列数据的平均差距进展了平方，要复原为一列数据的平均差距那么需开平方根，规范差Standard Deviation就是方差的算术平方根，表示一列数据的平均差距。样本规范差用S
4、或SD表示。 n方差variance：离均差平方和的算术平均数，符号为S 2或SD 2样本方差。方差又称变异数，有时用符号VVariation表示，或称均方差、均方 Mean Square Deviation 。n规范差standard deviation：方差的正的平方根，即离均差平方和求算术平均数后的正的平方根，符号为S或SD。n总体方差体方差n总体体规范差范差n总体方差的无偏估体方差的无偏估计量量n总体体规范差的无偏估范差的无偏估计量量n方差或规范差可以很好地度量数据的变异性，假设数据越集中，方差或规范差的值就越小；反之，数据越分散，方差或规范差的值就越大。n值得留意的是这种比较需在平均
5、数相等的条件才干进展，假设两列数据的平均数不同，尤其平均数相差悬殊时那么不能进展这种比较，需求其他的方法进展比较。 n二方差和规范差的分析方法n 方差与规范差的计算有多种方法，如定义式，原始数据式和加权式等计算方法。n1、定义式 n根据上述方差和规范差定义进展的计算，即有 样本方差的计算 =样本规范差的计算 -1-1-1-1教材p44公式213和2142、计算式 n一方面是由于其计算过程较多、较繁杂，另一方面那么由于平均数的计算出现小数时，离均差及离均差平方的计算过程需四舍五入，由此会损失一部分数据信息，呵斥计算结果的欠准确。计算式是直接利用原始数据计算方差和规范差的方法，它不仅可以抑制这些缺
6、陷，而且也方便计算机编程，其公式为3、加权式次数分布整理之后的方差计算n例3-：某班32名学生的发明性思想检验成果如表4-3所示，试问该班学生发明性思想检验分数的平均差距是多少？或规范差是多少？表3-2 学生发明性思想成果分布表 1求各组次数与组中值的乘积 及乘积和 ，见表4-3的第4行。 2求平均数 3求各组的离均差 及各组的离均差平方 ，见表4-3的第5行和第6行。 4求各组的次数与离差平方的乘积 及其连加和 ，见表3-2的第7行。5代入公式，计算结果 4、方差和规范差的组合n假设知各组数据的方差或规范差计算总方差或总规范差，那么需求进展方差或规范差的组合，其公式为方差 规范差 式中 为小
7、组方差，n为小组人数，d为组平均数与总平均数的离差 即 n例：有四个学习小组参与英语竞赛，经初步统计四个学习小组竞赛成果统计量如表3-3所示，试问其总平均数和总规范差是多少？表3-3 四个学习小组英语竞赛成果统计量分析过程1求总平均数 2求离差d和离差的平方 3代入公式，计算结果三方差与规范差的性质1、每一个观察值都加一个相同常数c后，计算得到的标准差等于原标准差。2、每一个观察值都乘以一个相同的常数c，则所得的标准差等于原标准差乘以这个常数。3、每个观察值都乘以同一个常数c（c不等于0），再加上一个常数d，所得标准差等于原标准差乘以这个常数。用途：1.反映变量值的离散程度；2.进展统计估计和
8、假设检验；3.用于求正常范围；4.计算变异系数，规范分数和规范误等 规范差的运用：异常值的取舍n在一个正态分布中，平均数上下一定的规范差处，包含有确定百分数的数据个数。根据这个原理，在整理数据时：n数据较多时：n常采用三个规范差法那么，进展取舍数据，即假设有一个数据的取值落在平均数加减三个规范差之外，那么在整理数据时，可将此数据作为异常值加以取舍。、二、差别系数n规范差运用前提：丈量变量同质且样本间均值一样或差别不大。n问题：我们经常会遇到：(1)两个或两个以上样本所测的特质不同；(2)两个或两个以上样本所测的特质一样，但样本间程度相差较大，这时不能用绝对差别量来比较不同样本的离散程度，而应运
9、用相对差别量数。n一差别系数Coefficient of Variation又叫变异系数、规范差系数，是一种相对差别量，常用CV或CVs表示，其计算公式：CV=(S/X)100%。n S：样本规范差n X：样本平均数二差别系数的运用n 规范差系数不仅可以用于比较单位不同数据的差别程度，而且还可以用于比较单位一样平均数相差较大数据的差别程度等。规范差系数在教育与心思研讨中的运用主要有以下三个方面。n1比较丈量单位不同事物的差别程度n例3-1：某幼儿园大班儿童的平均体重为22公斤，规范差为3.7；平均身高为108厘米，规范差6.2厘米。试问该班幼儿身高和体重哪方面的差别程度大一些？结果阐明，该班幼
10、儿身高方面的差别程度远远大于体重，就是说该班幼儿在体重方面的分布比较均匀或整齐，在身高方面的分布那么不太均匀或整齐，即幼儿高矮差距较大。n2比较丈量单位一样，均数相差悬殊数据的差别程度n 例3-：初一甲、乙两班的学生在一次数学检验后，算得甲班平均成果92分，规范差8.95；乙班平均成果71分，规范差7.40分。试问两个班谁的数学成果更整齐一些？结果阐明，甲班数学成果的差别程度小于乙班，其成果比乙班整齐一些。假设从直接规范差来看，似乎甲班的差别程度大于乙班。之所以两种分析结果不同，是由于两班的平均成果差距太大，有21分之差。 规范差系数是由规范差和平均数构成的一种比数，因此，它既受规范差的影响，
11、又受平均数的影响。在用规范差系数阐明事物的差别程度时，除了列出规范差系数的数值外，还必需同时列举其均数和规范差。n例3-：某学校高考语文科平均分为63分，规范差为11分，数学平均分为75分，规范差为12分，试比较该校考生哪一科离散程度大。n 解：CV语=11/63100%=17.5%n CV数=12/75100%=16%n CV语 CV数n 语文课的离散程度更大。n3判别班内学习分化的情况n在教育教学中，防止出现差生或学习困难的学生，使一切学生得到充分开展，提高教学质量是教育者所追求终极目的。在班级管理中，教师或管理者对学生学习的分化主要是经过判别学生的两极端分数或经过简单的平均数来进展的，这
12、种方式难以准确、全面地判别一个班内学习分化的程度，尤其是各科学习分化的情况，差别系数那么可处理这一问题。n用差别系数来判别学习分化程度是把实际阅历和实际分析结合起来，确定相应的判别规范。这种规范确实定从两方面进展，一是规定无分化景象的目的，二是规定有分化景象的目的，两种目的的中间形状亦可看作一种目的，从而构成一评价学习分化的三种目的。n一是无分化景象的目的，即 9%。由于根据阅历，普通以为学生成果在60100之间是合格的，亦可视为无分化景象，而其平均分那么为80，设均数上下各有3个规范差，即6080之间有3个规范差，80100之间有3规范差，再加上均数本身，80100之间共有7个规范差，即有n
13、二是有分化景象的目的，即 20%。 n三是有分化苗头的目的，即 9% 20%。n例3-：某校初三一班各科成果的差别程度如表4-6所示。试分析该班的成果分化，以协助教师采取相应的教学对策和调整或改良教学，协助管理者监控教学质量和指点教育教学。 表3-6 各科差别系数 三、其它差别量数n方差和规范差、差别系数是最重要的，也是最常用的目的。除此之外，还有全距、平均差等。n一、全距P13):全距是指一列数据最大差距，一列数据中最大数与最小数的差距，又称极差，用符号Range表示，其公式为n二、平均差(P42)n三、百分位差和四分位差全距和规范差关系n在样本数量相当大(N500)时，规范差约为全距的六分
14、之一，换句话说，全距约六倍于规范差。在小样本中，全距和规范差的比率要小一些。概而言之，在不同样本量的分布中，规范差和全距的比率变化如表2所示。运用规范差与全距之间的这种比率关系，还可对实践计算得到的规范差进展核对 n 表二：全距与规范差的比率随N变化表一四分位距一四分位距quartile range：又名四：又名四分位差，指在一分位差，指在一组排序的数据中，中排序的数据中，中间50%的数据的全距的一半，通常用的数据的全距的一半，通常用Q来表示。来表示。1/4 1/23/4 Q1 Q3n特点与运用：与全距相比，较少受极端特点与运用：与全距相比，较少受极端数值的影响，且能反映中间数值的分布数值的影响，且能反映中间数值的分布情况，但由于它也未将全部数据思索在情况，但由于它也未将全部数据思索在内，因此也不够可靠，普通只在数据中内，因此也不够可靠，普通只在数据中存在极端值时，才用它和中位数一同反存在极端值时，才用它和中位数一同反映数据的分布情况。映数据的分布情况。作业n1甲、乙、丙三名高中学在七门课程的考试成果及全体考生的平均成果和规范差如表3-所示，试比较其优劣，对三位考生他有何建议。n2、P68第5题表3- 考试成果统计表
