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1、上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 2.7 函数的弹性函数的弹性一、一、函数弹性的定义函数弹性的定义二、二、 弹性在经济分析中的应用弹性在经济分析中的应用三、小结三、小结2021/8/221上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页1. 函数的绝对变化率与相对变化率函数的绝对变化率与相对变化率前面讨论的函数改变量与函数变化率为前面讨论的函数改变量与函数变化率为绝对绝对改变量改变量与与绝对变化率绝对变化率. 但从实践中得知但从实践中得知, 仅仅研究仅仅研究函数的绝对改变量与绝对变化率是很不够的函数的绝对改变量与绝对变化率是很不够的, 还需还需要研究函数的要研究函数的相对改变量相对改变量与与相
2、对变化率相对变化率.一、函数弹性的定义一、函数弹性的定义2021/8/222上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页2021/8/223上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页设函数设函数 y = f (x)可导，当自变量可导，当自变量 x 在在 x0处给以增量处给以增量 时，相应地，函数时，相应地，函数 y 有增量有增量 称称 为函数自变量与因变量的为函数自变量与因变量的绝对改变量绝对改变量， 而称而称 为自变量与因变量的为自变量与因变量的相对改变量相对改变量称称为函数从为函数从 的的相对变化率相对变化率2021/8/224上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页如如 当当 x 由由10变到
3、变到12时时, y 由由100变到变到144. 此时，绝对改变量为此时，绝对改变量为 而相对改变量为而相对改变量为表示当表示当 x 由由10变到变到12时，时，x 产生了产生了20%的改变，的改变， 而而y产生了产生了44%的改变的改变2021/8/225上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页表示在表示在(10, 12)内内, x 从从 x=10, 每改变每改变 1%时时, y平均改变了平均改变了2.2%，它为从，它为从 x=10 到到 x=12时时, 函函数数 y = x2 的的相对变化率相对变化率且且2021/8/226上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页定义定义2.7.1 设函数设
4、函数 y = f (x) 在点在点 x = x0处可导，函数处可导，函数的相对改变量的相对改变量与自变量的相对改变量与自变量的相对改变量 之比之比称为称为 f (x) 在点在点 x = x0 到到 两点间的相对两点间的相对2. 函数弹性的定义函数弹性的定义2021/8/227上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页变化率变化率，或称为从或称为从x = x0到到 两点间的弹性两点间的弹性 而当而当 , 两点间相对变化率的极限两点间相对变化率的极限 称为称为 f(x)在点在点 x = x0的的相对变化率相对变化率，也称为，也称为f(x)在在x0的的弹性弹性. 记作 且且2021/8/228上一页上
5、一页下一页下一页返回首页返回首页一般的，如果一般的，如果 y = f (x) 可导，称可导，称为为f (x) 的的弹性函数弹性函数 函数函数 f (x) 在点在点 x的弹性的弹性 反映了函数反映了函数 f (x) 随自随自变量的变化而变化的幅度大小变量的变化而变化的幅度大小(灵敏度灵敏度):当当 x 变化变化1%时，函数时，函数 y 变化了变化了 2021/8/229上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页由由边际函数边际函数 平均函数平均函数 即，弹性可理解为边际函数与平均函数之商即，弹性可理解为边际函数与平均函数之商注意注意 两点间的弹性是有方向性的两点间的弹性是有方向性的, 因为因为“相
6、对性相对性”是对初始值而言的是对初始值而言的.也就是说也就是说: 两点间的弹性是不同的两点间的弹性是不同的.2021/8/2210上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页即指数函数的弹性为线性函数即指数函数的弹性为线性函数例例2 求函数求函数 的弹性函数的弹性函数 解解 例例1 求函数求函数 的弹性函数的弹性函数解解 即幂函数的弹性为其幂指数即幂函数的弹性为其幂指数b. 2021/8/2211上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页二、弹性在经济分析中的应用二、弹性在经济分析中的应用1. 需求弹性与供给弹性需求弹性与供给弹性定义定义2.7.2 设某商品的需求函数为设某商品的需求函数为 Q =
7、f (P), 在在 处可导，称处可导，称为需求函数为需求函数Q=f(P) 在在P=P0与与 两点间两点间 的需求价格弹性的需求价格弹性， 记作记作 (2.7.3)2021/8/2212上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页而称而称为需求函数为需求函数Q=f(P) 在在P=P0处的处的需求需求(价格价格)弹性弹性， 记作记作 (2.7.4)价格从价格从 每每 2021/8/2213上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页表示表示: 当商品价格为当商品价格为P0时时, 若价格若价格上涨上涨(下降下降)1%时，时， 当把定义中的当把定义中的 P0 换成换成 P 时，所得结果分别称为需时，所得结果分
8、别称为需及及需求的需求的(价格价格)弹性函数弹性函数 2021/8/2214上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页说明说明 需求弹性是刻画当商品价格变动时需求弹性是刻画当商品价格变动时, 需求需求 变动的强弱变动的强弱. 由于需求函数由于需求函数 Qf (P) 是单调减少是单调减少函数函数, 则则P 与与 Q 异号异号, 而而P0, Q0 是正数是正数, 于是于是都是负数都是负数.为了用为了用正数表示正数表示需求弹性需求弹性, 于是采用需求函数于是采用需求函数相对变化率的相对变化率的反号反号来定义需求弹性来定义需求弹性.2021/8/2215上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例3 某
9、商品的需求函数为某商品的需求函数为 求求（2）P=30的需求弹性的需求弹性解解 （1） 说明价格从说明价格从30降至降至 20，在此区间内，价格每降，在此区间内，价格每降 1%, 需求量从需求量从40平均增加平均增加 1.5%. 2021/8/2216上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页（2） 则则 需求的弹性函数为常数，说明在任何价格需求的弹性函数为常数，说明在任何价格 P处，处，弹性都不变，称为弹性都不变，称为不变弹性函数不变弹性函数, 即价格上涨即价格上涨（下降）（下降）1%需求量就会下降（上涨）需求量就会下降（上涨） 1%.2021/8/2217上一页上一页下一页下一页返回首页返回
10、首页例例4 某商品的需求函数为某商品的需求函数为 求求（1）需求弹性函数；）需求弹性函数；（2）P=3,5,6时的需求弹性时的需求弹性 解解 （1） （2） 2021/8/2218上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页说明需求变动的幅度小于价格变动说明需求变动的幅度小于价格变动的幅度的幅度 即即P=3时，价格上涨（下降）时，价格上涨（下降）1%，需求，需求量下降量下降( 上涨上涨 ) 0.6%. 一般的一般的, 当当 时时, 称商品称商品需求在此处需求在此处缺乏弹性缺乏弹性说明当说明当P=5时需求与价格的变动幅度相同时需求与价格的变动幅度相同, 称商品需求在此处具有称商品需求在此处具有单位弹
11、性单位弹性说明当说明当P=6时需求变动幅度大于价格时需求变动幅度大于价格2021/8/2219上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页变动幅度即变动幅度即 P=6 时，价格上涨（下降）时，价格上涨（下降）1%, 需需求量下降（上涨）求量下降（上涨）1.2% .一般的，若一般的，若 商品需求在此处商品需求在此处富有弹性富有弹性则称则称下面讨论下面讨论供给弹性供给弹性:2021/8/2220上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页定义定义2.7.3 设某商品的供给函数为设某商品的供给函数为 Q=g(P), 在在处可导，称处可导，称为供给函数为供给函数 Q=g(P)在在P=P0与与 两点间的两点间的
12、 供给弹性，供给弹性， 记作记作 2021/8/2221上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页而称而称为供给函数为供给函数Qg(P) 在在PP0处的处的供给弹性供给弹性， 记作记作 2. 需求弹性与总收益需求弹性与总收益总收益总收益=商品的价格商品的价格需求量需求量 商品的需求弹性会引起总收益如何变化商品的需求弹性会引起总收益如何变化? 由于由于2021/8/2222上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页即即 2021/8/2223上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页可以看出可以看出: 即该商品为即该商品为缺乏弹性商品缺乏弹性商品时，时， 价格价格上涨上涨, 总收益会总收益会增加增加;
13、 价格价格下降下降, 总收益会总收益会减少减少; 需求量的变动幅度与价格的变动幅度需求量的变动幅度与价格的变动幅度相等相等，价格的，价格的变动不会引起总收益变化变动不会引起总收益变化 即该商品为即该商品为单位弹性商品单位弹性商品时，时， 2021/8/2224上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页即该商品为即该商品为富有弹性商品富有弹性商品时，时， 价格价格上涨上涨，总收益，总收益减少减少；价格；价格下降下降，总收益，总收益增加增加 综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化随商品需求弹性的变化而变化. 一般来说一般来说, 富有
14、弹性富有弹性商品商品降低价格降低价格可以可以增大收益增大收益, 缺乏弹性商品缺乏弹性商品提高价格提高价格可以可以增大收益增大收益. 下面讨论总收益的变化率问题下面讨论总收益的变化率问题.2021/8/2225上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页由由 则则 例例5 某商品的需求函数为某商品的需求函数为说明当价格变化说明当价格变化 1%时时, 总收益将变化总收益将变化2021/8/2226上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页 （1）求需求弹性函数；）求需求弹性函数；（2）求）求P=3时的需求弹性，说明其经济意义；时的需求弹性，说明其经济意义； （3）当P=3时，若价格上涨时，若价格上涨 1
15、%，总收益如何变化？，总收益如何变化？解解 （1） （2） 2021/8/2227上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页经济意义经济意义为为: 当价格当价格P=3时，若价格上涨（下降）时，若价格上涨（下降） 1%商品的需求量将下降（上涨）商品的需求量将下降（上涨）0.176%. （3） P=3 时，若价格上涨时，若价格上涨1%, 由于由于 则总则总收益增加，且增加的幅度为收益增加，且增加的幅度为 即增加即增加 2021/8/2228上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页3. 需求弹性与边际收益需求弹性与边际收益若将商品的价格若将商品的价格P看成需求量看成需求量Q的函数的函数 , 则则 总收
16、益为总收益为 边际收益为边际收益为又又2021/8/2229上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页从中可以看出：对从中可以看出：对富有弹性富有弹性商品，商品，增加增加产品的产品的销售量销售量可使总可使总收益增加收益增加，而对，而对缺乏弹性缺乏弹性的商品，的商品，减少减少产品的产品的销售量销售量可使总可使总收益增加收益增加2021/8/2230上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例6 某商品的价格某商品的价格P与销售量与销售量Q的函数关系为的函数关系为 而成本函数为而成本函数为 当边际收益当边际收益 需求弹性需求弹性 时，利润时，利润 最大最大（1）求利润最大时的产量；）求利润最大时的产
17、量；（2）求）求a,b的值的值 2021/8/2231上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解（1）由最大利润原则）由最大利润原则有有解得解得 因为因为 而而 则则 又又 因此因此 2021/8/2232上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页又因为又因为 得得 则只有则只有Q=11满足满足 因此，产量为因此，产量为11时，利润最大时，利润最大（2）由需求弹性与边际收益的关系）由需求弹性与边际收益的关系且且 由已知，由已知， 2021/8/2233上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页时，利润最大，而由（时，利润最大，而由（1）知，此时产量为）知，此时产量为Q=11, 代入上述条件，有代入上述条件，有解方程组得解方程组得 2021/8/2234上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页内容小结内容小结1. 函数弹性的定义函数弹性的定义2. 弹性在经济分析中的应用弹性在经济分析中的应用需求弹性与供给弹性需求弹性与供给弹性 需求弹性与总收益、边际需求弹性与总收益、边际收益的关系收益的关系2021/8/2235上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页作作 业业 2021/8/2236
