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1、1.1.2分类计数原理分类计数原理与分步计数原理分步计数原理(二二)2021/8/2611、分类加法计数原理、分类加法计数原理：完成一件事，有：完成一件事，有n类办法，在类办法，在第第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类办法中有类办法中有m2种不同的方法种不同的方法在第在第n类办法中类办法中有有m mn n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方种不同的方法法. .2 2、分步乘法计数原理、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步个步骤，做第骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法种不同的方法,
2、 ,做第做第2 2步有步有m m2 2种不同的种不同的方法方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事那么完成这件事共有共有 种不同的方法种不同的方法. .分类加法计数原理和分步乘法计数原理的分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点：共同点：不同点：不同点：分类加法计数原理与分类有关，分类加法计数原理与分类有关，分步乘法计数原理与分步有关。分步乘法计数原理与分步有关。回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题2021/8/262 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理联系联系区别一区别一完成一件事情共有完成一件事
3、情共有n类类办法，关键词是办法，关键词是“分类分类”完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个步骤，关键词是步骤，关键词是“分步分步”区别二区别二每类办法都能每类办法都能独立完独立完成成这件事情。这件事情。它是独立它是独立的、一次的、且每次得到的、一次的、且每次得到的是最后结果，的是最后结果，只须一种只须一种方法就可完成这件事方法就可完成这件事。每一步得到的只是每一步得到的只是中间结果中间结果，任何一步都任何一步都不能能独立完成不能能独立完成这件事情这件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也不能完成这件事情，不能完成这件事情，只有每只有每个步骤完成了，才能完成这个步骤完成了，才能完成这件事情。件事
4、情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三区别三各类办法是互相独各类办法是互相独立的立的各步之间是互相关联的各步之间是互相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：分类计数与分步计数原理的区别和联系：2021/8/263例例1. 1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？种？
5、 解：（解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有个学生都有4种报名方法，种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为这一事件故报名方法种数为44444= 种种 .（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种种故有故有n=5= 种种 .2021/8/264例例2要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2名分别上白名分别上白班和晚班，有多少
6、种不同的选法？班和晚班，有多少种不同的选法？解：要排好一个白班和晚班须分两个步骤来完成解：要排好一个白班和晚班须分两个步骤来完成解：要排好一个白班和晚班须分两个步骤来完成解：要排好一个白班和晚班须分两个步骤来完成: :第第第第1 1步步步步是从甲、乙、丙是从甲、乙、丙是从甲、乙、丙是从甲、乙、丙3 3人中选人中选人中选人中选1 1人上白班人上白班人上白班人上白班, ,有有有有3 3种选法种选法种选法种选法: :第第第第2 2步是步是步是步是选选选选1 1人上晚班人上晚班人上晚班人上晚班, ,但这时只能从剩下的但这时只能从剩下的但这时只能从剩下的但这时只能从剩下的2 2人中选人中选人中选人中选1
7、 1人人人人, ,有有有有2 2种方种方种方种方法法法法, ,根据分步计数原理根据分步计数原理根据分步计数原理根据分步计数原理, ,不同的选法种数是：不同的选法种数是：不同的选法种数是：不同的选法种数是：32=6.32=6.具具体体排排法法白班白班晚班晚班白班白班晚班晚班甲甲甲甲乙乙乙乙甲甲甲甲丙丙丙丙乙乙乙乙甲甲甲甲丙丙丙丙乙乙乙乙丙丙丙丙甲甲甲甲乙乙乙乙丙丙丙丙2021/8/265例例3在所有的两位数中，个位数字大于十位数字在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？的两位数共有多少个？分析分析1:按个位数字是按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成分成8类，类，在每一
8、类中满足条件的两位数分别是：在每一类中满足条件的两位数分别是：1个个,2个个,3个个,4个个,5个个,6个个,7个个,8个个.则根据则根据加法原理共有加法原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个个).分析分析2:按十位数字是按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成分成8类，在类，在每一类中满足条件的两位数分别是：每一类中满足条件的两位数分别是：8个个,7个个,6个个,5个个,4个个,3个个,2个个,1个个.则根据加法原理共有则根据加法原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个个).2021/8/266变式：从变式：从1到到200的自然数中的自然数中,各个各个数位上都不含数位
9、上都不含8的自然数有多少个？的自然数有多少个？分三类分三类:第一类：一位数中除第一类：一位数中除8以外的数符以外的数符 合要求，共合要求，共 个个8第二类：两位数中十位、个位都第二类：两位数中十位、个位都不含不含8的数的数,有有 个个.98=7299+1=82第三类第三类:三位数中符合要求三位数中符合要求的数的数,共有共有 个个.则满足条件的总的自然数有则满足条件的总的自然数有:N=8+98+99+1=162个个.2021/8/267例例例例4 4某艺术组有某艺术组有某艺术组有某艺术组有9 9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐
10、人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中有器，其中有器，其中有器，其中有7 7人会钢琴，人会钢琴，人会钢琴，人会钢琴，3 3人会小号，从中选出会钢琴与人会小号，从中选出会钢琴与人会小号，从中选出会钢琴与人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各会小号的各会小号的各会小号的各1 1人，有多少种不同的选法？人，有多少种不同的选法？人，有多少种不同的选法？人，有多少种不同的选法？解：由题意可知，艺术组解：由题意可知，艺术组解：由题意可知，艺术组解：由题意可知，艺术组9 9人中，只会钢琴的有人中，只会钢琴的有人中，只会钢琴的有人中，只会钢琴的有6 6人，只会人，只会人，只会人，只会小号的有小号的有小号的有
11、小号的有2 2人，既会钢琴又会小号的有人，既会钢琴又会小号的有人，既会钢琴又会小号的有人，既会钢琴又会小号的有1 1人人人人( (可把该人称为多面手可把该人称为多面手可把该人称为多面手可把该人称为多面手) )因此，选出会钢琴与会小号的各因此，选出会钢琴与会小号的各因此，选出会钢琴与会小号的各因此，选出会钢琴与会小号的各1 1人可分两类：人可分两类：人可分两类：人可分两类：第一类：不选多面手，分第一类：不选多面手，分第一类：不选多面手，分第一类：不选多面手，分2 2步：第一步从只会钢琴的步：第一步从只会钢琴的步：第一步从只会钢琴的步：第一步从只会钢琴的6 6人中人中人中人中选选选选1 1人，有人
12、，有人，有人，有6 6种选法；第二步从只会小号的种选法；第二步从只会小号的种选法；第二步从只会小号的种选法；第二步从只会小号的2 2人中选人中选人中选人中选1 1人，有人，有人，有人，有2 2种选种选种选种选法，因此，共有法，因此，共有法，因此，共有法，因此，共有62=12(62=12(种种种种). ).第二类：选多面手，分第二类：选多面手，分第二类：选多面手，分第二类：选多面手，分2 2步：第一步从多面手中选，有步：第一步从多面手中选，有步：第一步从多面手中选，有步：第一步从多面手中选，有1 1种种种种选法；第二步从非多面手中选，有选法；第二步从非多面手中选，有选法；第二步从非多面手中选，有
13、选法；第二步从非多面手中选，有8 8种选法，因此，共有种选法，因此，共有种选法，因此，共有种选法，因此，共有18=818=8( (种种种种). ).故共有故共有故共有故共有12+8=20(12+8=20(种种种种).).注：先分类，后分步注：先分类，后分步.特殊元素优先考虑法特殊元素优先考虑法.2021/8/268例例5用红、黄、蓝不同颜色旗各用红、黄、蓝不同颜色旗各3面，每次升一面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？组成多少种不同的信号？解：不同的信号可分为三类：解：不同的信号可分为三类：解：不同的信号可分为三类
14、：解：不同的信号可分为三类：第一类：升一面旗，又可分三类，有第一类：升一面旗，又可分三类，有第一类：升一面旗，又可分三类，有第一类：升一面旗，又可分三类，有1+1+1=31+1+1=3种种种种第二类：升两面旗，可分两步，有第二类：升两面旗，可分两步，有第二类：升两面旗，可分两步，有第二类：升两面旗，可分两步，有33=933=9种种种种第三类：升三面旗，可分三步，有第三类：升三面旗，可分三步，有第三类：升三面旗，可分三步，有第三类：升三面旗，可分三步，有333=27333=27种种种种故共有故共有故共有故共有3+9+27=39(3+9+27=39(种种种种) )评注：先分类，再在每一类中分类或分
15、步评注：先分类，再在每一类中分类或分步. .2021/8/269例例6如图，要给地图如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别四个区域分别涂上涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？的涂色方案有多少种？（染色问题）（染色问题）（染色问题）（染色问题）2021/8/26102021/8/2611解解解解: :按地图按地图按地图按地图A A、B B、C C、D D四个区四个区四个区四个区域依次分四步完成域依次分四步完成域依次分四步完成域依次分四步完成, ,第一
16、步第一步第一步第一步,mm1 1=3=3种种种种,第二步第二步第二步第二步,mm2 2=2=2种种种种, ,第三步第三步第三步第三步, m m3 3=1=1种种种种, ,第四步第四步第四步第四步,mm4 4=1=1种种种种, ,根据乘法原理根据乘法原理根据乘法原理根据乘法原理, ,得到不同的涂色得到不同的涂色得到不同的涂色得到不同的涂色方案种数共有方案种数共有方案种数共有方案种数共有:N=3211:N=3211=6=6种种种种. .例例例例6 6 如图，要给地图如图，要给地图如图，要给地图如图，要给地图A A、B B、C C、D D四个区域分别涂上四个区域分别涂上四个区域分别涂上四个区域分别涂
17、上3 3种种种种不同颜色中的某一种不同颜色中的某一种不同颜色中的某一种不同颜色中的某一种, ,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次, ,但相邻但相邻但相邻但相邻区域必须涂不同的颜色区域必须涂不同的颜色区域必须涂不同的颜色区域必须涂不同的颜色, ,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？思考思考思考思考: :若有若有若有若有4 4种或种或种或种或5 5种颜色可供选择种颜色可供选择种颜色可供选择种颜色可供选择, ,结果结果结果结果分别如何？分别如何？分别如何？分别如何？提示提示提示提示: :
18、涂色种数分别是涂色种数分别是涂色种数分别是涂色种数分别是:4322=484322=48种；种；种；种； 5433=1805433=180种；种；种；种；2021/8/261243例例7(1)将将3封信投入封信投入4个不同的信箱，个不同的信箱，共有共有种不同的投法。种不同的投法。2021/8/2613例例7 （2）由）由4名学生争夺名学生争夺3个比赛个比赛项目的冠军，冠军获得者共有多少种项目的冠军，冠军获得者共有多少种可能？可能？住店法住店法住店法住店法: : : : 解决解决解决解决“允许重复排列问题允许重复排列问题允许重复排列问题允许重复排列问题”要注意区分两类要注意区分两类要注意区分两类要
19、注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复元素：一类元素可以重复，另一类不能重复元素：一类元素可以重复，另一类不能重复元素：一类元素可以重复，另一类不能重复. . . .把不能重把不能重把不能重把不能重复的元素看作复的元素看作复的元素看作复的元素看作“客客客客”,”,”,”,能重复的元素看作能重复的元素看作能重复的元素看作能重复的元素看作“店店店店”,”,”,”,再利用分步计数原理直接求解的方法称为再利用分步计数原理直接求解的方法称为再利用分步计数原理直接求解的方法称为再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法住店法住店法住店法”.”.”.”.2021/8/2614变式：变式：（1）
20、3名学生走进有名学生走进有4个大门个大门的商店，共有的商店，共有种不同的走法。种不同的走法。（2）3个不同的球放入个不同的球放入4个不同的布袋个不同的布袋内，共有内，共有种不同的放法。种不同的放法。（3）四名学生分配到三个车间劳动）四名学生分配到三个车间劳动实习，共有实习，共有分配方案。分配方案。2021/8/2615课堂练习课堂练习1、将、将5封信投入封信投入3个邮筒，则有个邮筒，则有种不同投法种不同投法( (用数字作答用数字作答用数字作答用数字作答) )2、已知集合、已知集合从从A、B中各取一个元素作为点的坐标，在第一、二象限中的不中各取一个元素作为点的坐标，在第一、二象限中的不同点的个数
21、是同点的个数是()A.8B.12C.14D.16243C2021/8/2616拓展性练习拓展性练习1 1、书架上原来并排放着、书架上原来并排放着、书架上原来并排放着、书架上原来并排放着5 5本不同的书，现要插入三本本不同的书，现要插入三本本不同的书，现要插入三本本不同的书，现要插入三本不同的书，那么不同插法的种数是不同的书，那么不同插法的种数是不同的书，那么不同插法的种数是不同的书，那么不同插法的种数是()()A.336B.120C.24D.162 2、将、将、将、将3 3种作物种植在如图的种作物种植在如图的种作物种植在如图的种作物种植在如图的5 5块试块试块试块试验田里，每块种植一种作物，且
22、相验田里，每块种植一种作物，且相验田里，每块种植一种作物，且相验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一作物，不邻的试验田不能种植同一作物，不邻的试验田不能种植同一作物，不邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有同的种植方法共有同的种植方法共有同的种植方法共有种种种种. .A423 3、已知集合、已知集合、已知集合、已知集合A=aA=a1 1,a ,a2 2,a ,a3 3,a ,a4 4,集合集合集合集合B=bB=b1 1,b,b2 2, ,其中其中其中其中a ai i ,b,bj j 均为实数均为实数均为实数均为实数, ,(1)(1)从集合从集合从集合从集合A A到集合到集
23、合到集合到集合B B能构成多少个不同的映射？能构成多少个不同的映射？能构成多少个不同的映射？能构成多少个不同的映射？(2)(2)能构成多少个以集合能构成多少个以集合能构成多少个以集合能构成多少个以集合A A为定义域为定义域为定义域为定义域, ,以集合以集合以集合以集合B B为值域的不同函数为值域的不同函数为值域的不同函数为值域的不同函数? ?16142021/8/2617课堂小结课堂小结较复杂的分步问题，后面的步骤可能要受前面较复杂的分步问题，后面的步骤可能要受前面步骤的制约；步骤的制约；解决一个较复杂问题解决一个较复杂问题,可能要综合分类与分步，可能要综合分类与分步，一般是先分类，再在每一类
24、中考虑分类与分步；一般是先分类，再在每一类中考虑分类与分步；对于有对于有“特殊元素特殊元素”的问题，分类和分步时一般的问题，分类和分步时一般可从特殊元素出发考虑，即可从特殊元素出发考虑，即“特殊优先原则特殊优先原则”；科学、规范、有序的思维方法的培养从正确书科学、规范、有序的思维方法的培养从正确书写解题过程开始！写解题过程开始！2021/8/2618作业布置作业布置:1.同室同室4人各写人各写1张贺年卡张贺年卡,先集中起来先集中起来,然后每然后每人从中各拿人从中各拿1张别人送出的贺年卡张别人送出的贺年卡,则则4张贺年张贺年卡不同的分配方式有（卡不同的分配方式有（）A6种种B9种种C11种种D2
25、3种种B探究与拓展探究与拓展2021/8/2619方法一方法一:树型图树型图甲甲乙乙丙丙丁丁21 3 44 4 13 1 331 4 44 2 12 1 241 3 32 1 23 2 1四名同学分别为四名同学分别为:甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁，所写贺卡依次为所写贺卡依次为1，2，3，42021/8/2620方法二方法二:采用采用”分步分步”处理法处理法第一步第一步:甲先拿，按规定甲可拿甲先拿，按规定甲可拿2，3，4当中的当中的一张，有一张，有3种方法。种方法。第二步：让与甲取走的卡片相对应的人来拿，第二步：让与甲取走的卡片相对应的人来拿，有有3种拿法种拿法.(例如甲拿的是例如甲拿的是2,
26、则乙有则乙有3种拿法种拿法.)第三步第三步:让剩余的两个人拿让剩余的两个人拿,都均有都均有1种拿法种拿法.四名同学分别为四名同学分别为:甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁，所写贺卡依次为所写贺卡依次为1，2，3，4总的方法数总的方法数 N=3x3x1x1=92021/8/26212.自然数自然数630有多少个正约数？有多少个正约数？分析：分析：63023257,其正约其正约数的结构式为数的结构式为其中其中可取可取0 0，1 1；可取可取0 0，1 1，2 2；可取可取0 0，1 1；可取可取0 0，1 1；即在、所形成的取值所形成的取值集合中，各取一个元素填入上式，集合中，各取一个元素填入上式，就
27、得就得630的一个约数。由乘法原理，的一个约数。由乘法原理， 得得N= 2322=24.2021/8/26223.3.如图示如图示如图示如图示, , , ,从从从从A A地到地到地到地到B B地有地有地有地有3 3条不同的道路条不同的道路条不同的道路条不同的道路, , , ,从从从从B B地到地到地到地到C C地地地地有有有有4 4条不同的道路条不同的道路条不同的道路条不同的道路, , , ,从从从从A A地不经地不经地不经地不经B B地直接到地直接到地直接到地直接到C C地有地有地有地有2 2条不同条不同条不同条不同的道路的道路的道路的道路. .求：求：求：求：(1)(1)从从从从A A地到
28、地到地到地到C C地共有多少种不同的走法？地共有多少种不同的走法？地共有多少种不同的走法？地共有多少种不同的走法？(2)(2)从从从从A A地到地到地到地到C C地再回到地再回到地再回到地再回到A A地有多少种不同的走法地有多少种不同的走法地有多少种不同的走法地有多少种不同的走法？(3)(3)从从从从A A地到地到地到地到C C地再到地再到地再到地再到A A地地地地, ,但回来时要走与去时但回来时要走与去时但回来时要走与去时但回来时要走与去时不同不同不同不同的道的道的道的道路路路路, , , ,有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？(4)(4)从从从从
29、A A地到地到地到地到C C地再到地再到地再到地再到A A地地地地, , , ,但回来时要走与去时但回来时要走与去时但回来时要走与去时但回来时要走与去时完全不同完全不同完全不同完全不同的道路的道路的道路的道路, , , ,有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？CBA2021/8/2623解法分析解法分析(1)(1)从从从从A A地到地到地到地到C C地的走法可分为两类地的走法可分为两类地的走法可分为两类地的走法可分为两类: :一类经过一类经过一类经过一类经过B,B,另一类不经过另一类不经过另一类不经过另一类不经过B,B,则不同的走法总数为：则不同的走法
30、总数为：则不同的走法总数为：则不同的走法总数为：3 34 4+ + + +2=142=14种；种；种；种；(2)(2)从从从从A A地到地到地到地到C C地再回到地再回到地再回到地再回到A A地不同的走法地不同的走法地不同的走法地不同的走法可分为两大步：可分为两大步：可分为两大步：可分为两大步：第一步第一步第一步第一步去去去去, ,第二步第二步第二步第二步回回回回, ,则不同的走法总数为则不同的走法总数为则不同的走法总数为则不同的走法总数为: :1414=1961414=196种种种种(3)(3)该事件的过程与该事件的过程与该事件的过程与该事件的过程与(2)(2)(2)(2)一样可分为两大步一
31、样可分为两大步一样可分为两大步一样可分为两大步, , , ,但不同的是第二步即但不同的是第二步即但不同的是第二步即但不同的是第二步即回来的走法比去时的走法少一种回来的走法比去时的走法少一种回来的走法比去时的走法少一种回来的走法比去时的走法少一种, ,则不同的走法总数为则不同的走法总数为则不同的走法总数为则不同的走法总数为1413=1821413=182种种种种(4)(4)该事件同样分去与回两大步，但需对去时的各类走法分别讨该事件同样分去与回两大步，但需对去时的各类走法分别讨该事件同样分去与回两大步，但需对去时的各类走法分别讨该事件同样分去与回两大步，但需对去时的各类走法分别讨论论论论: :若去
32、使用第一类走法若去使用第一类走法若去使用第一类走法若去使用第一类走法, ,则回来时用第二类走法或用第一类中则回来时用第二类走法或用第一类中则回来时用第二类走法或用第一类中则回来时用第二类走法或用第一类中的部分走法即第一类中的两步各去掉的部分走法即第一类中的两步各去掉的部分走法即第一类中的两步各去掉的部分走法即第一类中的两步各去掉1 1种走法种走法种走法种走法, ,则走法数为：则走法数为：则走法数为：则走法数为： 34(2+32)=9634(2+32)=96种种种种若去使用第二类走法若去使用第二类走法若去使用第二类走法若去使用第二类走法, ,则回来时用第一类走法或用第二类中的则回来时用第一类走法
33、或用第二类中的则回来时用第一类走法或用第二类中的则回来时用第一类走法或用第二类中的另一种走法另一种走法另一种走法另一种走法, ,则走法数为则走法数为则走法数为则走法数为2(43+1)=262(43+1)=26种种种种故共有的走法总数为：故共有的走法总数为：故共有的走法总数为：故共有的走法总数为：96+26=12296+26=122种种种种2021/8/2624练习练习1、在所有的两位数中，个位数字比十位数、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？字大的两位数有多少个？2、8本不同的书，任选本不同的书，任选3本分给本分给3个同学，每个同学，每人人1本，有多少种不同的分法？本，有多
34、少种不同的分法？3、将、将4封信投入封信投入3个不同的邮筒，有多少种不个不同的邮筒，有多少种不同的投法？同的投法？4、已知、已知则方程则方程可表示不同的圆的可表示不同的圆的个数有多少？个数有多少？2021/8/2625课堂练习课堂练习5、已知二次函数、已知二次函数若若则可以得到多少个则可以得到多少个不同的二次函数？其中图象过原点的二次函不同的二次函数？其中图象过原点的二次函数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限的二次函数又有多少个？的二次函数又有多少个？2021/8/26266.给程序模块命名，需要用给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符个字符，其中
35、首个字符要求用字母要求用字母AG或或UZ，后两个要求用数字，后两个要求用数字19，问最多可以给多少个程序命名？问最多可以给多少个程序命名？分析：分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。解：解：首字符共有首字符共有7+613种不同的选法，种不同的选法，答：答：最多可以给最多可以给10531053个程序命名。个程序命名。中间字符和末位字符各有中间字符和末位字符各有9种不同的选法种不同的选法根据分步计数原理，最多可以有根据分步计数原理，最多可以
36、有13991053种不同的选法种不同的选法课堂练习课堂练习2021/8/26277.核糖核酸（核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的碱基，分别用学成分所占据，总共有个不同的碱基，分别用A，C，G，U表示，在一个表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其以任意次序出现，所以在任意一个位置
37、上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由分子由100个个碱基组成，那么能有多少种不同的碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？分子？课堂练习课堂练习2021/8/26288.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有了每一位只有0或或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个机能够
38、识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成，问单位，每个字节由个二进制位构成，问（1）一个字节（）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（）计算机汉字国标码（GB码）包含了码）包含了6763个汉字，一个汉个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？少个字节表示？第1位第2位第3位第8位2种2种2种2
39、种如如00000000，10000000，11111111.课堂练习课堂练习2021/8/2629开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A9.计算机编程人员在编写计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即程底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组程序模块又许多子模块组成，它的一个具有许多执成，它的
40、一个具有许多执行路径的程序模块。问：行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？以减少测试次数吗？2021/8/2630开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A分析：分析：整个模块的任整个模块的任意一条路径都分两步意一条路径都分两步完成完成：第：第1步是从开步是从开始执行到始执行到A点；第点；第2步
41、步是从是从A点执行到结束。点执行到结束。而第步可由子模块而第步可由子模块1或子模块或子模块2或子模块或子模块3来完成；第二步可由来完成；第二步可由子模块子模块4或子模块或子模块5来来完成。因此，分析一完成。因此，分析一条指令在整个模块的条指令在整个模块的执行路径需要用到两执行路径需要用到两个计数原理。个计数原理。2021/8/2631开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A再测试各个模块之间的信再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测息交流是否正常，需要测试的次数为：试的次数为：3*2=6。如果每个子模块都正常
42、工如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。整个程序模块就正常。这样，测试整个这样，测试整个模块的次数就变为模块的次数就变为 172+6=178（次）（次）2）在实际测试中，程序）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独这样，他可以先分别单独测试测试5个模块，以考察每个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。个子模块的工作是否正常。
43、总共需要的测试次数为：总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172。2021/8/263210.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽个数字也必须合成一组出
44、现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照车上牌照?课堂练习课堂练习2021/8/2633课堂练习课堂练习11、乘积、乘积展开后共有几项？展开后共有几项？12、某商场有、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？少种不同的进出商场的方式？2021/8/2634 3.如图如图,该电该电路路,从从A到到B共共有多少条不有多少条不同的线路可同的线路可通电？通电？AB课堂练习课堂练习2021/8/26352021/8/26362021/8/26372021/8/2638
45、2021/8/26392021/8/26402021/8/26412021/8/26422021/8/26432021/8/26442021/8/26452021/8/26462021/8/26472021/8/26482021/8/26492021/8/26502021/8/26512021/8/26522021/8/2653所以所以,根据分类原理根据分类原理,从从A到到B共有共有N=3+1+4=8条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。解解:从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类,第一类第一类,m1=3条条第二类第二类,m2=1条条第三类第三类,m3=22=4,条条2021/8/2654 刚才的发言，如刚才的发言，如有不当之处请多指有不当之处请多指正。谢谢大家！正。谢谢大家！2021/8/2655部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
