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1、方差分析方差分析任课老师：禤宇明任课老师：禤宇明1.方差分析的原理方差分析的原理估算误差方差估算误差方差平方和分解平方和分解2.单因素方差分析单因素方差分析完全随机完全随机随机区组随机区组3.多重比较多重比较4.多因素方差分析多因素方差分析1.方差分析的原理方差分析的原理 p2661.1 什么是方差分析什么是方差分析 Analysis of Variance简称简称ANOVA，检验多个总体均值是否相等检验多个总体均值是否相等分析实验数据中不同来源的变异对总体变异的分析实验数据中不同来源的变异对总体变异的贡献大小，从而确定实验中的贡献大小，从而确定实验中的自变量自变量是否对是否对因因变量变量有重
2、要影响（有重要影响（见见P167第二段）第二段）比较两个以上的样本平均数比较两个以上的样本平均数可以把方差分析看成是检验的扩展可以把方差分析看成是检验的扩展分析两个以上的自变量的效应及其变量之间的分析两个以上的自变量的效应及其变量之间的交互作用交互作用1.2从一个例子看方差分析的原理从一个例子看方差分析的原理Craik & Lockhart (1972) 记忆效果和加工方式有关记忆效果和加工方式有关Eysenck (1974)50名名5565岁的被试随机分组岁的被试随机分组Counting 计算计算字母字母的数目的数目Rhyming 想出想出押韵押韵的词的词Adjective 想出一个想出一个
3、修饰修饰词词Imagery 把词把词想象想象成画成画Intentional 告知有记忆告知有记忆测验测验 （前（前4组都不知道要测验）组都不知道要测验）过程：包含过程：包含27个词的表过个词的表过3遍后要求被试写下记遍后要求被试写下记住的词住的词1.2.1几个概念几个概念因素：自变量因素：自变量 independent variable，处理，处理 treatment 如：加工方式如：加工方式因素的水平：一个因素的不同情况或取值，不同的因素的水平：一个因素的不同情况或取值，不同的实验处理实验处理如：如：Counting, Rhyming, Adjective, Imagery, Intenti
4、onal因变量：自变量影响的结果因变量：自变量影响的结果如：记忆效果如：记忆效果单因素方差分析单因素方差分析 one-way ANOVA只有一个因素，一个因变量只有一个因素，一个因变量多因素方差分析多因素方差分析 two, three, -way ANOVA 多个因素，一个因变量多个因素，一个因变量1.2.2虚无假设、前提假设虚无假设、前提假设 p273虚无假设虚无假设H0: m m1 1 = = m m2 2 = = m m3 3 = = m m4 4 = = m m5 5方差分析的前提假设方差分析的前提假设正态正态 normality方差齐性方差齐性 homogeneity of vari
5、ance误差方差误差方差 error variance：和实验处理无关的方差：和实验处理无关的方差某种实验处理的效果相当于在每个人的分数的基础上某种实验处理的效果相当于在每个人的分数的基础上加一个常数加一个常数变异可加变异可加1.2.3 估计总体方差的两种方法估计总体方差的两种方法方法一方法一方法二方法二方差分析的逻辑方差分析的逻辑用两个方法来估计总体方差用两个方法来估计总体方差一种方法与虚无假设是否成立无关一种方法与虚无假设是否成立无关另一种方法以虚无假设成立为前提另一种方法以虚无假设成立为前提如果两种方法算出来的结果一致，接受如果两种方法算出来的结果一致，接受H0，否则拒绝否则拒绝H0处理
6、效应处理效应 treatment effect1.2.4平方和的分解平方和的分解 sum of squares平方和的优越性在于其可加性平方和的优越性在于其可加性均方和方差只有在自由度相等时才可加均方和方差只有在自由度相等时才可加变异的分解变异的分解 p268均方均方如果当如果当F1，数据的总变异中大部分是由实，数据的总变异中大部分是由实验误差或个体差异造成的，不同的实验处理验误差或个体差异造成的，不同的实验处理之间差异不大，即实验处理基本无效之间差异不大，即实验处理基本无效如果如果F1且落入且落入F分布的临界区外，实验处理分布的临界区外，实验处理的作用显著大于组内变异的作用，可以确认的作用显
7、著大于组内变异的作用，可以确认实验处理的有效作用，至少有两个处理之间实验处理的有效作用，至少有两个处理之间的差异显著的差异显著方差分析就是检验组间变异在统计上是否显方差分析就是检验组间变异在统计上是否显著地大于组内变异著地大于组内变异用原始数值计算用原始数值计算方差分析表方差分析表1.2.5 方差分析的基本过程方差分析的基本过程 p270建立假设建立假设H0：无处理效应：无处理效应H1：有处理效应：有处理效应求平方和求平方和确定自由度确定自由度求均方求均方进行进行F检验检验 ，单侧，单侧列出方差分析表列出方差分析表1.2.6方差齐性检验方差齐性检验哈特莱哈特莱Hartley法法 p271(p4
8、67)1.2.7方差分析和实验设计方差分析和实验设计 p274因素因素单因素单因素多因素多因素设计设计完全随机设计完全随机设计随机区组设计随机区组设计1.2.7.1完全随机设计完全随机设计 p274 Complete randomized design把被试随机分成若干组，每个组随机指派一把被试随机分成若干组，每个组随机指派一种实验处理。完全随机分组后，各实验组的种实验处理。完全随机分组后，各实验组的被试之间是相互独立的，因而这种设计又称被试之间是相互独立的，因而这种设计又称“独立组设计独立组设计”或或“被试间设计被试间设计”不足之处不足之处误差项包括实验本身的误差又包括个体差异引误差项包括实
9、验本身的误差又包括个体差异引起的误差起的误差1.2.7.2 随机区组设计随机区组设计 p274/283 randomized block design原则：同一组内的被试应尽量原则：同一组内的被试应尽量“同质同质”一个被试作为一个区组，不同的被试一个被试作为一个区组，不同的被试(区组区组)均需均需接受全部个实验处理接受全部个实验处理每一区组内被试的人数是实验处理的整数倍每一区组内被试的人数是实验处理的整数倍区组内的基本单元标识是以一个团体为单元区组内的基本单元标识是以一个团体为单元同一区组接受所有实验处理，实验处理之间同一区组接受所有实验处理，实验处理之间有相关，所以也称为有相关，所以也称为“
10、相关组设计相关组设计”或或“被被试内设计试内设计”区组效应和误差变异的分离区组效应和误差变异的分离总平方和组间平方和区组平方和误差平总平方和组间平方和区组平方和误差平方和方和2.单因素方差分析单因素方差分析2.1 单因素单因素完全随机设计完全随机设计等重复设计等重复设计各实验处理组的样本容量相同各实验处理组的样本容量相同不等重复设计不等重复设计各实验处理组样本容量不同各实验处理组样本容量不同有各组均值、方差、样本容量而无原始数据有各组均值、方差、样本容量而无原始数据2.1.1 等重复设计等重复设计 p276各实验处理组的样本容量相同各实验处理组的样本容量相同k个处理组，每个组样本容量均为个处理
11、组，每个组样本容量均为n例例 为研究不同科目的教师当班主任，对学生某一为研究不同科目的教师当班主任，对学生某一学科的学习是否有影响。把学科的学习是否有影响。把40名学生随机分派名学生随机分派到到5名教不同科目的班主任负责的班级中，经过名教不同科目的班主任负责的班级中，经过一段时间以后对这一段时间以后对这40名学生进行数学考试，结名学生进行数学考试，结果见下表。请检验果见下表。请检验5组不同班主任的学生数学成组不同班主任的学生数学成绩是否有显著差异。绩是否有显著差异。2.1.2 不等重复设计不等重复设计 p278各实验处理组样本容量不同各实验处理组样本容量不同计算组间平方和时，注意公式中的各组的
12、计算组间平方和时，注意公式中的各组的nj不同不同2.1.3 有样本统计量无原始值有样本统计量无原始值(p.281)例例： p281把把20名被试随机分成名被试随机分成4组，每组组，每组(5人人)接受一接受一种教学方法，问四种教学方法是否有显著差种教学方法，问四种教学方法是否有显著差异？异？教学方法教学方法: A B C D每组人数每组人数: 5 5 5 5每组平均数每组平均数: 5 5.4 8 7.2每组方差每组方差: 1.99 1.04 1.20 1.762.2 单因素随机区组设计方差分析单因素随机区组设计方差分析有四种小学语文实验教材，分别代号为有四种小学语文实验教材，分别代号为A、B、C
13、、D。为。为比较其教学效果，按随机区组设计原则，将小学分为城镇比较其教学效果，按随机区组设计原则，将小学分为城镇重点小学、城镇一般小学和乡村小学三个区组，分别代号重点小学、城镇一般小学和乡村小学三个区组，分别代号为为I、II、III，并分别在每个区组中随机地抽取，并分别在每个区组中随机地抽取4所小学，所小学，它们分别被随机地指派实验一种教材。经一年教学后通过它们分别被随机地指派实验一种教材。经一年教学后通过统一考试得到各校的平均成绩如下表。问四种教材的教学统一考试得到各校的平均成绩如下表。问四种教材的教学效果是否一致？效果是否一致？随机区组设计平方和分解随机区组设计平方和分解随机区组设计方差分
14、析的步骤随机区组设计方差分析的步骤随机区组设计的方差分析表随机区组设计的方差分析表3.多重比较多重比较 multiple comparisonp289如果如果方差分析的结果方差分析的结果表明差异显著，只能说表明差异显著，只能说明多个平均数之间至少有两个之间的差异显明多个平均数之间至少有两个之间的差异显著，但著，但没有指出哪些平均数之间的差异显著没有指出哪些平均数之间的差异显著是否可以用是否可以用 t 检验检验对平均数两两比较来寻找对平均数两两比较来寻找哪些有显著差异的平均数对呢？哪些有显著差异的平均数对呢？不行！不行！因为犯因为犯a a错误的概率增加错误的概率增加若若H0为真，一次比较犯错误的
15、概率是为真，一次比较犯错误的概率是a a若一次实验中做了若一次实验中做了n次独立的比较，那么这次独立的比较，那么这n次次比较中犯错误的次数是比较中犯错误的次数是na a这这n次比较中至少有一次犯次比较中至少有一次犯a a错误的概率是错误的概率是1-(1- 1-(1- a a) )nN-K法法Newman-Keul p290 p468例例4 多因素方差分析多因素方差分析4.1 几个基本概念几个基本概念 p387析因设计析因设计 factorial design实验处理包括所有自变量的所有水平之间的两两组合，实验处理包括所有自变量的所有水平之间的两两组合，如如 52，333，2222因素和水平因素
16、和水平主效应主效应 main effect单个自变量和单个因变量之间的基本关系单个自变量和单个因变量之间的基本关系交互作用交互作用 interaction两个或多个自变量的效应是彼此依赖的两个或多个自变量的效应是彼此依赖的22肥料：肥料：A、B土壤：红、黑土壤：红、黑红黑AB红黑AB产量产量红黑AB4.2 多因素方差分析总平方和分解多因素方差分析总平方和分解在在两因素的完全随机设计两因素的完全随机设计中中SSt=SSA+SSB+SSAB+SSe在两因素的随机区组设计中在两因素的随机区组设计中SSt=SSbk+SSA+SSB+ SSAB +SSe4.3 二因素完全随机设计方差分析二因素完全随机设
17、计方差分析例：研究不同的教学态例：研究不同的教学态度（因素度（因素A）和不同的）和不同的教学方法（因素教学方法（因素B）对）对儿童识字量的作用，将儿童识字量的作用，将20名被试随机分成四组名被试随机分成四组（每组（每组5人），每组接受人），每组接受一种实验处理，结果见一种实验处理，结果见下表下表A因素：因素：A1为为“严肃严肃”，A2为为“轻松轻松” B因素：因素：B1 为集中识字，为集中识字，B2为分散识字为分散识字因变量为因变量为“识字量识字量”P392二因素完全随机设计方差分析表二因素完全随机设计方差分析表4.4 交互作用和主效应交互作用和主效应两因素之间的交互作用非常显著，表明集中两因
18、素之间的交互作用非常显著，表明集中识字与分散识字效果的不同是受不同教学态识字与分散识字效果的不同是受不同教学态度影响的。同样，不同的教学态度对识字量度影响的。同样，不同的教学态度对识字量的不同作用也受到识字教学方式的影响。的不同作用也受到识字教学方式的影响。如果方差分析的结果，交互作用不显著，则如果方差分析的结果，交互作用不显著，则对每个因素主效应的检验是重要的；若交互对每个因素主效应的检验是重要的；若交互作用显著，则对每个主效应检验就意义不大作用显著，则对每个主效应检验就意义不大了。交互作用显著表明两个因素对实验结果了。交互作用显著表明两个因素对实验结果具有共同的重要性。具有共同的重要性。4
19、.5 简单效应简单效应分析分析 p394当交互作用显著时，进一步分析一个因素在当交互作用显著时，进一步分析一个因素在另一个因素的哪些水平上效应显著另一个因素的哪些水平上效应显著例：进一步讨论教学方法在教学态度的哪一个例：进一步讨论教学方法在教学态度的哪一个水平上主效应显著，教学态度在教学方法的哪水平上主效应显著，教学态度在教学方法的哪一个水平上主效应显著一个水平上主效应显著对简单效应的讨论对简单效应的讨论虽然教学方法主效应不显著，虽然教学方法主效应不显著，但不同的识字教学方式，在但不同的识字教学方式，在轻松的教室气氛中差异显著，轻松的教室气氛中差异显著，而在严肃的情境中二者差异而在严肃的情境中二者差异不显著。教学态度在教学方不显著。教学态度在教学方法的两个水平上主效应都显法的两个水平上主效应都显著，表明不管用哪一种教学著，表明不管用哪一种教学方法，不同的教学态度对学方法，不同的教学态度对学生的识字量均有显著影响。生的识字量均有显著影响。其中，在集中识字教学中两其中，在集中识字教学中两种教学态度使识字量的差异种教学态度使识字量的差异更显著。更显著。
