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1、第九章第九章 梁的弯曲梁的弯曲2021/8/61第九章第九章 梁的弯曲梁的弯曲9-39-3、用内力方程法绘制剪力图和弯矩图、用内力方程法绘制剪力图和弯矩图9-19-1、平面弯曲、平面弯曲9-49-4、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图9-29-2、梁的弯曲内力、梁的弯曲内力-剪力和弯矩剪力和弯矩9-59-5、用叠加法画弯矩图、用叠加法画弯矩图9-69-6、梁弯曲时的应力和强度计算、梁弯曲时的应力和强度计算9-79-7、梁的变形、梁的变形9-89-8、梁的应力状态、梁的应力状态2021/8/62回顾与比较内力内力应力应力FAyFSM2021/8/63梁段梁段CDCD上
2、，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲Pure bending 梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力剪力弯曲剪力弯曲Bending by transverse force 9-6 9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算梁的弯曲时的应力及强度计算一、弯曲正应力弯曲正应力 Normal stress in bending beam2021/8/64研究对象：等截面直梁研究对象：等截面直梁研究方法：实验研究方法：实验观察观察假定假定2021/8/65q 横线仍是直线，但发生横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交相对转动，仍与纵线正交q 纵线弯成曲
3、线，且梁的纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短下侧伸长，上侧缩短实验观察实验观察梁表面变形特征梁表面变形特征以上是以上是外部外部的情况，的情况，内部内部如何？如何？ 想象想象 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁透明的梁2021/8/662021/8/67 总之总之 ，由外部去，由外部去想象内部想象内部 得到得到 梁弯曲假设梁弯曲假设：q横截面保持为平面横截面保持为平面 变形后，仍为平面，且垂
4、直变形后，仍为平面，且垂直 于变形后梁的轴线，只是绕于变形后梁的轴线，只是绕 梁上某一轴转过一个角度梁上某一轴转过一个角度q 纵向各水平面间无挤压纵向各水平面间无挤压 均为单向拉、压状态均为单向拉、压状态2021/8/68 弯曲中弯曲中梁的梁的中性层中性层neutral surface 既不伸长又不缩短的纵面既不伸长又不缩短的纵面 截面的截面的中性轴中性轴neutral axis 中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线2021/8/69纯弯曲时正应力公式纯弯曲时正应力公式变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系为梁弯曲变形后的曲率为梁弯曲变形后的曲率为曲率半径为曲率半径2
5、021/8/610 梁截面上正应力梁截面上正应力1、沿、沿 y 轴线性分布轴线性分布2、与、与 z 坐标无关坐标无关zy2021/8/611正应力计算公式适用范围正应力计算公式适用范围q剪力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立但当梁跨度剪力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立但当梁跨度 l 与高度与高度 h 之比大于之比大于5（即为细长梁）时，弹性力学指出：上述公式（即为细长梁）时，弹性力学指出：上述公式近似成立近似成立q截面惯性积截面惯性积 Iyz = 0 q推导时用到郑玄推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面胡克定律，但可用于已屈服的梁截面P124例题9-132021
6、/8/612BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径Vx90kN90kN1. 求支反力求支反力解：解：xM2021/8/613BAl = 3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN2. C 截面最大正应力C 截面弯矩C 截面惯性矩xM2021/8/614BAl = 3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1m30z
7、y180120KFSx90kN90kN3. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩截面惯性矩截面惯性矩xM2021/8/615BAl = 3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN4. C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩C 截面惯性矩截面惯性矩2021/8/616二、弯曲剪应力弯曲剪应力 Shearing stress in bending beamV为横截面上的剪力Sz*为面积A*对中性轴的静矩A*VVVV矩形梁截面上的切应力分布矩形梁截面上的切应力分布最大剪应力2021/8/617 讨讨 论论1、沿高度方向抛
8、物线分布、沿高度方向抛物线分布2、y=0时，切应力值最大时，切应力值最大3、梁上下表面处切应力为零、梁上下表面处切应力为零2021/8/618腹板为矩形截面时腹板为矩形截面时 yzBHhbtyA*腹板腹板翼板翼板工字形梁腹板上的切应力分布工字形梁腹板上的切应力分布2021/8/619Bh H 讨讨 论论1、沿腹板高度方向抛物线分布、沿腹板高度方向抛物线分布2、y=0时，切应力值最大时，切应力值最大3、腹板上下边处切应力最小、腹板上下边处切应力最小2021/8/6201 1、弯曲正应力强度条件、弯曲正应力强度条件1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.
9、脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与目录三、梁的强度条件三、梁的强度条件2021/8/621P126 例题9-142 2、弯曲剪应力强度条件、弯曲剪应力强度条件2021/8/622作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足要同时满足分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。目录例题9-12021/8/623（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z
10、 z的惯性矩的惯性矩 （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：目录2021/8/624（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图目录2021/8/625（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图目录2021/8/626 悬臂梁由三块木板粘接而悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为成。跨度为1m1m。胶合面的许。胶合面的许可切应力为可切应力为0.34MPa0.34MPa，木材，木材的的= 10 MPa= 10 MPa，=1MPa=1MPa，求许可载荷。，求许可载荷。1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和
11、弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 解：解：例题922021/8/6274.4.按胶合面强度条件计按胶合面强度条件计算许可载荷算许可载荷 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 2021/8/6281. 1. 降低降低 M Mmaxmax 合理安排支座合理安排支座合理布置载荷合理布置载荷提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施2021/8/629合理布置支座合理布置支座FFF2021/8/630合理布置载荷合理布置载荷F2021/8/6312. 2. 增大增大 W WZ Z 合理设计截面合理设计
12、截面合理放置截面合理放置截面2021/8/632合理设计截面合理设计截面2021/8/633合理放置截面合理放置截面2021/8/6343、等强度梁、等强度梁 2021/8/6352021/8/636一一. .基本概念基本概念挠曲线方程：挠曲线方程：由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠度转角关系为：挠曲线挠曲线挠度挠度转角转角挠度挠度y y：截面形心：截面形心在在y y方向的位移方向的位移向下为正向下为正转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。顺时针为正顺时针为正9-7梁的变形梁的变形 Beam defor
13、mation2021/8/637 变形后梁轴变形后梁轴 线挠曲线线挠曲线 挠度：挠度：y y 变形后梁截面：仍为平面变形后梁截面：仍为平面 梁截面转角：梁截面转角： PxyC C1f变形前梁截面：平面变形前梁截面：平面2021/8/638叠加原理：叠加原理： 承受复杂载荷时，可承受复杂载荷时，可分解分解成几种成几种简单载荷简单载荷，利用利用简单载荷作用下的简单载荷作用下的位位移计算结果移计算结果，叠加后得在复杂载荷作叠加后得在复杂载荷作用下的挠度和转角用下的挠度和转角条件：条件： 材料服从材料服从胡克定律胡克定律和和小变形小变形 挠度和转角均与载荷成线性关系挠度和转角均与载荷成线性关系二二.
14、.用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形2021/8/639例例 按叠加原理按叠加原理 求求 A A点转角点转角 和和 C C点挠度点挠度解：解：载荷分解如图载荷分解如图查梁的简单载荷变形表，查梁的简单载荷变形表， 得到变形得到变形AqPBCaa=+PABqAB例题例题9-32021/8/640叠加叠加AqPBCaa=+PABqAB2021/8/641三、刚度条件三、刚度条件一般钢筋混凝土梁的许可挠度：一般钢筋混凝土梁的许可挠度：钢筋混凝土吊车梁的许可挠度：钢筋混凝土吊车梁的许可挠度：2021/8/642四、提高弯曲刚度的一些措施四、提高弯曲刚度的一些措施1 1、减小梁的跨度、减小梁的跨度2 2
15、、选择合理截面形状，提高抗弯刚度、选择合理截面形状，提高抗弯刚度EIEI3 3、改善梁的受力和支座位置、改善梁的受力和支座位置4 4、预加反弯度、预加反弯度5 5、增加支座、增加支座2021/8/643选择合理的截面形状选择合理的截面形状2021/8/644改善结构形式，减少弯矩数值改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式2021/8/645改改变变载载荷荷类类型型改善结构形式，减少弯矩数值改善结构形式，减少弯矩数值2021/8/646Lq0MABAq0LRBABxq0LABf或或用变形比较法解简单超静定用变形比较法解简单超静定梁梁(补充补充)处理方法：处理方法：3 3种方程（变形协
16、调、物理、平衡）相结合，种方程（变形协调、物理、平衡）相结合， 求全部未知力求全部未知力解：解：建立静定基建立静定基 确定超静定次数确定超静定次数 用反力代替多余约束用反力代替多余约束 得新结构得新结构 静定基静定基等价等价2021/8/647几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程q0LRBAB=+RBABq0AB物理方程物理方程补充方程补充方程求解其它问题求解其它问题 （反力、应力、变形等）（反力、应力、变形等）2021/8/6489-8 梁的应力状态梁的应力状态脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢低碳钢铸铸 铁铁2021/8/649yxz 单
17、元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的正应力；主平面上的正应力称为称为主应力，主应力，分别用分别用 表示，并且表示，并且该单元体称为该单元体称为主应力单元。主应力单元。通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该该点的应力状态。点的应力状态。 2021/8/650空间（空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零应力状态分类2021/8/651x xy ya a1.1.斜截面上的应力斜截面上的
18、应力d dA An nt t平面应力状态分析平面应力状态分析-解析法解析法2021/8/652列平衡方程列平衡方程d dA An nt t2021/8/653利用三角函数公式利用三角函数公式并注意到并注意到 化简得化简得2021/8/654x xy ya a2.2.正负号规则正负号规则正应力：拉为正；反之为负正应力：拉为正；反之为负正应力：拉为正；反之为负正应力：拉为正；反之为负切应力：切应力：切应力：切应力：使微元顺时针方向使微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。角：角：由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。n
19、txP136例题9-222021/8/655确定正应力极值确定正应力极值设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即正正应力极值和方向应力极值和方向即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零主应力、主平面、主切应力主应力、主平面、主切应力2021/8/656 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为：主应力主应力按代数值按代数值排序：排序：1 1 2 2 3 32021/8/657对于同一个点，所截取的不同方位的单元体，其相互
20、垂直面对于同一个点，所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面上的正应力之和是一个不变量上的正应力之和是一个不变量。最大切应力、最小切应力最大切应力、最小切应力：最大切应力等于两个主应力之差的一半。2021/8/658这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆或莫尔圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆或莫尔圆图解法图解法-应力圆应力圆2021/8/659RC1. 1. 应力圆：应力圆： 10-4 10-4 图解法图解法-应力圆应力圆2021/8/6602.2.应力圆的画法应力圆的画法D( x ,t txy)D/( y ,t tyx)cRDDx xy y 10-4 10-4 图解法图解法-应力圆
21、应力圆2021/8/661点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力微元某一截面上的正应力和切应力3 3、几种对应关系、几种对应关系D( x ,t txy)D/( y ,t tyx)cx xy yHn nH 10-4 10-4 图解法图解法-应力圆应力圆2021/8/6629.49.4 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线 梁发生横力弯曲，梁发生横力弯曲，M与与Q 0，试确定截面上，试确定截面上各点主应力大小及主平面各点主应力大小及主平面位置位置单元体上：单元体上：q2021
22、/8/663 主应力迹线（主应力迹线（Stress Trajectories) ) 主应力方向线的包络线主应力方向线的包络线 曲线上每一点的切线曲线上每一点的切线 都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位实线表示主拉应力迹线实线表示主拉应力迹线虚线表示主压应力迹线虚线表示主压应力迹线2021/8/664主应力迹线的画法主应力迹线的画法xy11截截面面22截截面面33截截面面44截截面面ii截截面面nn截截面面bacdq 1 3 3 12021/8/6651 1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力、熟练求解各种形式静定梁的支座反力2 2、明确剪力和弯矩的概念
23、，理解剪力和弯矩的、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定正负号规定3 3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值4 4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图力图和弯矩图6 6、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用度条件及其应用7 7、了解提高梁强度的主要措施、了解提高梁强度的主要措施5 5、熟练利用叠加法，正确绘制剪力图和弯矩图、熟练利用叠加法，正确绘制剪力图和弯矩图小结小结2021/8/6668 8、明确挠曲线、挠度和转角的概念、明确挠曲线、挠度和转角的概念9 9、掌握计算梁变形的叠加法、掌握计算梁变形的叠加法2021/8/667
