《高考数学 第八章 第七节 双曲线课件 理 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 第八章 第七节 双曲线课件 理 新人教A版（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节 双曲线1.1.双曲线的定义双曲线的定义|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|2.2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质图图 形形标准方程标准方程_(a0(a0，b0)b0) _(a0(a0，b0)b0) 性性质质范围范围_对称性对称性 对称轴：对称轴：_对称中心：对称中心：_对称轴：对称轴：_对称中心：对称中心：_顶点顶点顶点坐标：顶点坐标：A A1 1_,A_,A2 2_顶点坐标：顶点坐标：A A1 1_,A_,A2 2_渐近线渐近线_离心率离心率e=_,ee=_,e_ xaxa或或x-ax-ay-ay-a或或yaya坐标轴坐标轴原点原点坐标轴坐标轴原点原点
2、(-a,0)(-a,0)(a,0)(a,0)(0(0，-a)-a)(0(0，a)a)y=y= x xy=y=(1,+)(1,+)性性质质a,b,ca,b,c的关系的关系 c c2 2=_=_实虚轴实虚轴线段线段A A1 1A A2 2叫做双曲线的实轴，它的长叫做双曲线的实轴，它的长|A|A1 1A A2 2|=_|=_；线段；线段B B1 1B B2 2叫叫做双曲线的虚轴，它的长做双曲线的虚轴，它的长|B|B1 1B B2 2|=_|=_；a a叫做双曲线的半实轴叫做双曲线的半实轴长，长，b b叫做双曲线的半虚轴长叫做双曲线的半虚轴长. .a a2 2+b+b2 2 2a2a2b2b判断下面结
3、论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).).(1)(1)平面内到点平面内到点F F1 1(0(0，4),F4),F2 2(0,-4)(0,-4)距离之差等于距离之差等于6 6的点的轨迹的点的轨迹是双曲线是双曲线.( ).( )(2)(2)平面内到点平面内到点F F1 1(0(0，4),F4),F2 2(0(0，-4)-4)距离之差的绝对值等于距离之差的绝对值等于8 8的的点的轨迹是双曲线点的轨迹是双曲线.( ).( )(3)(3)方程方程 =1(mn0)=1(mn0)表示焦点在表示焦点在x x轴上的双曲线轴上的双曲线.( ).( )(4)(4)双曲线方程双曲
4、线方程 =(m=(m0,n0,0)0,n0,0)的渐近线方程的渐近线方程是是 =0=0，即，即 =0.( )=0.( )(5)(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 ( )( )(6)(6)若双曲线若双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)与与 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的离的离心率分别是心率分别是e e1 1,e,e2 2, ,则则 =1(=1(此结论中两条双曲线为共轭双此结论中两条双曲线为共轭双曲线曲线).( ).( )【解析【解析】(1)(1)错误错误. .由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，
5、而非双曲线的全部非双曲线的全部. .(2)(2)错误错误. .因为因为|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=8=|F|=8=|F1 1F F2 2| |，表示的轨迹为两条射，表示的轨迹为两条射线线. .(3)(3)错误错误. .当当m0,n0m0,n0时表示焦点在时表示焦点在x x轴上的双曲线，而轴上的双曲线，而m0,n0m0,n0,b0)=1(a0,b0)的渐近线方程为的渐近线方程为y=y= x x即即 =0=0，当当00时，时， =1(m0,n0)=1(m0,n0)的渐近线方程为的渐近线方程为 =0.=0.即即 =0=0，即，即 =0.=0.同理当同理当00)(a0)的渐近线方程
6、为的渐近线方程为x x2 2-y-y2 2=0=0即即y=y=x x，显然两直线互相垂直，其实轴、虚轴长均为，显然两直线互相垂直，其实轴、虚轴长均为2a,c= a2a,c= a，e=e=(6)(6)正确正确. .双曲线双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的离心率的离心率e e1 1= =同理同理e e2 2= = =( ) =( )2 2+( )+( )2 2=1.=1.答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (5) (6) (4) (5) (6) 1.1.已知平面内两定点已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0)A(-5,0),B(5,0)，动点，动点M
7、 M满足满足|MA|-|MB|=6|MA|-|MB|=6，则点则点M M的轨迹方程是的轨迹方程是( )( )(A) =1 (B) =1(x4)(A) =1 (B) =1(x4)(C) =1 (D) =1(x3)(C) =1 (D) =1(x3)【解析解析】选选D.D.由由|MA|-|MB|=6|MA|-|MB|=6，且，且6|AB|=1060,b0)C: =1(a0,b0)的离心率的离心率e=2,e=2,且它的一且它的一个顶点到相应焦点的距离为个顶点到相应焦点的距离为1 1，则双曲线，则双曲线C C的方程为的方程为_._.【解析【解析】由已知由已知e= =2,c=2a. e= =2,c=2a.
8、 又一个顶点到相应焦点的距离为又一个顶点到相应焦点的距离为1 1，即，即c-a=1. c-a=1. 由由得得a=1,c=2,ba=1,c=2,b2 2=c=c2 2-a-a2 2=4-1=3,=4-1=3,双曲线双曲线C C的方程为的方程为 =1.=1.答案答案: : =1 =1 考向考向 1 1 双曲线的定义及应用双曲线的定义及应用【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013阳江模拟阳江模拟) )“abab00”是是“方程方程axax2 2+by+by2 2=c=c表表示双曲线示双曲线”的的( )( )(A)(A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)(B)充分不必要条件充分不必要条件
9、(C)(C)充分必要条件充分必要条件 (D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件(2)(2012(2)(2012辽宁高考辽宁高考) )已知双曲线已知双曲线x x2 2-y-y2 2=1=1，点，点F F1 1，F F2 2为其两个焦为其两个焦点，点点，点P P为双曲线上一点，若为双曲线上一点，若PFPF1 1PFPF2 2，则，则|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2| |的值为的值为_._.(3)(3)已知定点已知定点A(0, 7),B(0,-7),C(12,2),A(0, 7),B(0,-7),C(12,2),以以C C为一个焦点作过为一个焦点作过A A，B B的椭圆，求另
10、一个焦点的椭圆，求另一个焦点F F的轨迹方程的轨迹方程. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)将方程化为将方程化为 =1=1的形式，然后根据充的形式，然后根据充要条件的判定方法判断即可要条件的判定方法判断即可. .(2)(2)解题关键是根据双曲线的定义及勾股定理构建关于解题关键是根据双曲线的定义及勾股定理构建关于|PF|PF1 1|,|,|PF|PF2 2| |的方程，进而求解的方程，进而求解. .(3)(3)先根据椭圆的定义得出动点先根据椭圆的定义得出动点F F满足的等式，再探究出动点满足的等式，再探究出动点F F与两定点与两定点A A，B B的差为常数，从而用定义法求轨迹方程的差为常数，从
11、而用定义法求轨迹方程. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选A.A.若若axax2 2+by+by2 2=c=c表示双曲线，即表示双曲线，即 =1=1表示双曲线，则表示双曲线，则 00，这就是说，这就是说“abab00”是必要条件，然而若是必要条件，然而若abab00，c c可以等于可以等于0 0，即，即“abab0|PF|PF2 2|.|.由双曲线方程由双曲线方程x x2 2-y-y2 2=1=1知知a=b=1a=b=1，c=c=由双曲线定义得由双曲线定义得|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a=2 |=2a=2 由已知条件由已知条件PFPF1 1PFPF2 2及勾股定理得
12、及勾股定理得|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2=|F=|F1 1F F2 2| |2 2=(2c)=(2c)2 2=8 =8 上述两式上述两式联立，联立，解得解得|PF|PF1 1|= +1,|PF|= +1,|PF2 2|= -1,|= -1,故故|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=|=答案答案: :(3)(3)由椭圆的定义知由椭圆的定义知: |AC|+|AF|=|BC|+|BF|: |AC|+|AF|=|BC|+|BF|，又因为又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2),A(0,7),B(0,-7),C(12,2),所以所以|AC|=13,
13、|BC|=15,|AC|=13,|BC|=15,因此因此|AF|-|BF|=2,|AF|-|BF|=2,所以所以F F的轨迹是双曲线的一支，其中的轨迹是双曲线的一支，其中c=7,a=1,bc=7,a=1,b2 2=48,=48,因此所求轨迹方程为：因此所求轨迹方程为： =1(y-1).=1(y-1).【互动探究【互动探究】本例题本例题(2)(2)中中“PFPF1 1PFPF2 2”改为改为“F F1 1PFPF2 2=60=60”，结果如何？结果如何？【解析【解析】不妨设不妨设|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |，由双曲线方程由双曲线方程x x2 2-y-y2 2=1,=1,知知a=b=
14、1,a=b=1,c= c= 由双曲线定义得由双曲线定义得|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a=2,|=2a=2,|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|=4 |=4 又又F F1 1PFPF2 2=60=60, ,由余弦定理得：由余弦定理得：|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-|PF-|PF1 1|PF|PF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |2 2=(2c)=(2c)2 2=8 =8 -得得|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=4 |=4 代入代入得：得：|PF|P
15、F1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2=4+2|PF=4+2|PF1 1|PF|PF2 2| |=4+2=4+24=12.4=12.|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=|= = =【拓展提升【拓展提升】1.1.“焦点三角形焦点三角形”中常用到的知识点及技巧中常用到的知识点及技巧(1)(1)常用知识点：在常用知识点：在“焦点三角形焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用双曲线的定义经常使用. .(2)(2)技巧：经常结合技巧：经常结合|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|2a2a，运用平方的方法，建，运用平方的方法，建立
16、它与立它与|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |的联系的联系. .2.2.利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点特别注意条件特别注意条件“差的绝对值差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，并且要在其方程中还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，并且要在其方程中准确限定变量准确限定变量x(yx(y) )的范围的范围. .【变式备选【变式备选】(2013(2013绵阳模拟绵阳模拟) )过双曲线过双曲线x x2 2-y-y2 2=8=8的左焦点的左焦点F F1 1有有一条弦一条弦PQPQ交左支于交左支
17、于P P，Q Q两点，若两点，若|PQ|=7|PQ|=7，F F2 2是双曲线的右焦点，是双曲线的右焦点，则则PFPF2 2Q Q的周长为的周长为_._.【解析【解析】因为因为x x2 2-y-y2 2=8=8，所以，所以2a=2a=由题设及双曲线的定义得由题设及双曲线的定义得:|PF:|PF2 2|-|PF|-|PF1 1|=|=|QF|QF2 2|-|QF|-|QF1 1|=|=所以所以|PF|PF2 2|+|QF|+|QF2 2|-|PF|-|PF1 1|-|QF|-|QF1 1|=|=即即|PF|PF2 2|+|QF|+|QF2 2|-|PQ|=|-|PQ|=又因为又因为|PQ|=7|
18、PQ|=7，所以，所以|PF|PF2 2|+|QF|+|QF2 2|=7+|=7+因此因此,PF,PF2 2Q Q的周长为的周长为|PF|PF2 2|+|QF|+|QF2 2|+|PQ|=14+|+|PQ|=14+答案答案: :14+14+考向考向 2 2 双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质【典例【典例2 2】(1)(2012(1)(2012湖南高考湖南高考) )已知双曲线已知双曲线C C： =1(a=1(a0,0,b b0)0)的焦距为的焦距为1010，点，点P(2,1)P(2,1)在在C C的渐近线上，则的渐近线上，则C C的方程为的方程为( )( )(A) =1 (B)
19、 =1(A) =1 (B) =1(C) =1 (D) =1(C) =1 (D) =1(2)(2012(2)(2012浙江高考改编浙江高考改编) )如图，如图，F F1 1,F,F2 2分别是双曲线分别是双曲线C C： =1(a=1(a0,b0)0,b0)的左、右焦点，的左、右焦点，B B是虚轴的是虚轴的端点，直线端点，直线F F1 1B B与与C C的两条渐近线分别交于的两条渐近线分别交于P,QP,Q两点，线两点，线段段PQPQ的垂直平分线与的垂直平分线与x x轴交于点轴交于点M M，若，若|MF|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |，则，则C C的离心率是的离心率是_._.【思
20、路点拨【思路点拨】(1)(1)利用待定系数法利用待定系数法. .先根据双曲线的几何性质，先根据双曲线的几何性质，由焦距为由焦距为1010，求出，求出c=5,c=5,再将再将P(2,1)P(2,1)代入渐近线方程，得代入渐近线方程，得a=2ba=2b，从而由从而由a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，求出，求出a a，b.b.(2)(2)利用双曲线的几何性质，结合图形的特征，通过求利用双曲线的几何性质，结合图形的特征，通过求PQPQ的中的中点，再由点，再由|MF|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |构建关于构建关于a,b,ca,b,c的方程，进而求解的方程，进而求解. .【规范
21、解答【规范解答】(1)(1)选选A. =1A. =1的焦距为的焦距为1010，c=5= c=5= 又双曲线渐近线方程为又双曲线渐近线方程为y=y= x x，且，且P(2,1)P(2,1)在渐近线上，在渐近线上， =1 =1，即，即a=2b a=2b 由由解得解得a= b= a= b= 所以方程为所以方程为 =1.=1.(2)(2)设双曲线的焦点坐标为设双曲线的焦点坐标为F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0);(c,0);B(0,b),B(0,b),点点F F1 1，B B所在直线为所在直线为 =1,=1,双曲线渐近线方程为双曲线渐近线方程为y=y= x, x,由由 得得Q
22、( )Q( )，由由 得得P( ),P( ),线段线段PQPQ的中点坐标为的中点坐标为( ).( ).由由a a2 2+b+b2 2=c=c2 2得，线段得，线段PQPQ的中点坐标可化为的中点坐标可化为( )( )，直线直线F F1 1B B的斜率为的斜率为k=k=线段线段PQPQ的垂直平分线为的垂直平分线为y- =y- =令令y=0y=0，得，得x= +c,Mx= +c,M( +c,0),( +c,0),|F|F2 2M|=M|=由由|MF|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |得得 = =2c,= =2c,即即3a3a2 2=2c=2c2 2, ,ee2 2= e= e=答案答
23、案: :【拓展提升】【拓展提升】1.1.利用待定系数法设双曲线方程的三种常见类型及相应技巧利用待定系数法设双曲线方程的三种常见类型及相应技巧(1)(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为设为 =1(mn=1(mn0)0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为为AxAx2 2+By+By2 2=1(AB=1(AB0)0)，这种形式在解题时更简便，这种形式在解题时更简便. .(2)(2)当已知双曲线的渐近线方程当已知双曲线的渐近线方程bxbxayay=0=0，求双曲线方程时，可，求双曲线方
24、程时，可设双曲线方程为设双曲线方程为 b b2 2x x2 2-a-a2 2y y2 2=(0)=(0)，再根据其他条件确定，再根据其他条件确定的值的值. .(3)(3)与双曲线与双曲线 =1=1有相同的渐近线的双曲线方程可设有相同的渐近线的双曲线方程可设为为 =(0)=(0)，再根据其他条件确定，再根据其他条件确定的值的值. .2.2.双曲线的几何性质的三大关注点双曲线的几何性质的三大关注点(1)(1)“六点六点”: :两焦点、两顶点、两虚轴端点两焦点、两顶点、两虚轴端点. .(2)(2)“四线四线”：两对称轴：两对称轴( (实、虚轴实、虚轴) )，两渐近线，两渐近线. .(3)(3)“两形
25、两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点形，双曲线上的一点( (不包括顶点不包括顶点) )与两焦点构成的与两焦点构成的焦点三角形焦点三角形. .3.3.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系双曲线的离心率与渐近线斜率的关系(1)(1)已知双曲线的离心率已知双曲线的离心率e e求渐近线方程时要注意求渐近线方程时要注意e= e= 及判断焦点的位置及判断焦点的位置. .(2)(2)已知渐近线方程已知渐近线方程y=mx(my=mx(m0)0)求离心率时，当焦点不确定时，求离心率时，当焦点不确定时，m= m= 或或m= m= 因此离心率有两种可能因此离心率有两种
26、可能. .【提醒【提醒】双曲线中双曲线中a a，b b，c c之间的关系为之间的关系为c c2 2=a=a2 2+b+b2 2, ,不要和椭圆不要和椭圆之间的关系混淆之间的关系混淆. .【变式训练【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为已知双曲线的渐近线方程为2x2x3y=0.3y=0.(1)(1)求该双曲线的离心率求该双曲线的离心率. .(2)(2)若双曲线经过点若双曲线经过点P( 2)P( 2)，求双曲线的方程，求双曲线的方程. .【解析【解析】(1)(1)当焦点在当焦点在x x轴上时，轴上时， 即即所以所以e e2 2= = 解得解得e= e= ；当焦点在当焦点在y y轴上时，轴上时， 即即
27、所以所以e e2 2= = 解得解得e=e=即双曲线的离心率为即双曲线的离心率为 或或(2)(2)由双曲线的渐近线方程为由双曲线的渐近线方程为2x2x3y=0,3y=0,可设双曲线方程为可设双曲线方程为4x4x2 2-9y-9y2 2=(0).=(0).双曲线过点双曲线过点P( 2),P( 2),446-96-94=,4=,=-12,=-12,故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为4x4x2 2-9y-9y2 2=-12,=-12,即即 =1.=1. 考向考向 3 3 双曲线与直线、圆及其他圆锥曲线的综合双曲线与直线、圆及其他圆锥曲线的综合【典例【典例3 3】(1)(2012(1)(2012新课
28、标全国卷新课标全国卷) )等轴双曲线等轴双曲线C C的的中心在原点，焦点在中心在原点，焦点在x x轴上，轴上，C C与抛物线与抛物线y y2 2=16x=16x的准线的准线交于交于A,BA,B两点，两点， |AB|AB| 则则C C的实轴长为的实轴长为( )( )(A) (B) (C)4 (D)8(A) (B) (C)4 (D)8(2)(2013(2)(2013东莞模拟东莞模拟) )已知椭圆已知椭圆C C1 1: =1(ab0): =1(ab0)与双与双曲线曲线C C2 2： =1=1有公共的焦点，有公共的焦点，C C2 2的一条渐近线与以的一条渐近线与以C C1 1的长轴为直径的圆相交于的长
29、轴为直径的圆相交于A A，B B两点，若两点，若C C1 1恰好将线段恰好将线段ABAB三三等分，则等分，则( )( )(A)a(A)a2 2= (B)a= (B)a2 2=13=13(C)b(C)b2 2= (D)b= (D)b2 2=2=2(3)(2013(3)(2013中山模拟中山模拟) )已知双曲线已知双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的两条渐近线均和圆的两条渐近线均和圆C C：x x2 2+y+y2 2-6x+5=0-6x+5=0相切，且双曲线相切，且双曲线与椭圆：与椭圆： =1=1有相同的焦点，则该双曲线的标有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为准方程为_._.【思路点拨【
30、思路点拨】(1)(1)设出等轴双曲线方程，与抛物线准线方程设出等轴双曲线方程，与抛物线准线方程联立，求得联立，求得A A，B B两点坐标，利用两点坐标，利用|AB|AB| 构建方程求解构建方程求解. .(2)(2)画出图形，设画出图形，设ABAB与椭圆的一个交点为与椭圆的一个交点为C(C(靠近靠近A A的交点的交点) )，由题意求出由题意求出|OC|OC|及及COxCOx的正切值，进而确定点的正切值，进而确定点C C的坐标，的坐标，代入椭圆方程求得结果代入椭圆方程求得结果. .(3)(3)先写出渐近线方程，利用其和圆相切，构建关于先写出渐近线方程，利用其和圆相切，构建关于a,ba,b的的方程，
31、再利用与椭圆有相同的焦点得方程，再利用与椭圆有相同的焦点得c,c,从而得解从而得解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选C.C.不妨设点不妨设点A A的纵坐标大于零的纵坐标大于零. .设设C C： =1(a=1(a0),0),抛物线抛物线y y2 2=16x=16x的准线为的准线为x=-4,x=-4,联立得方程组联立得方程组解得：解得：A(-4, ),B(-4, ),A(-4, ),B(-4, ),|AB|=2 = |AB|=2 = 解得解得a=2,2a=4.a=2,2a=4.C C的实轴长为的实轴长为4.4.(2)(2)选选C.C.如图所示，设直线如图所示，设直线ABAB与椭圆与椭圆C
32、 C1 1的一个交点为的一个交点为C(C(靠近靠近A A的的交点交点) )，则，则|OC|= |OC|= 因因tanCOxtanCOx=2,=2,sinCOxsinCOx= =cosCOxcosCOx= = 则则C C的坐标为的坐标为( ),( ),代入椭圆方程得代入椭圆方程得 =1,=1,5=a5=a2 2-b-b2 2,b,b2 2= =(3)(3)圆圆C C：x x2 2+y+y2 2-6x+5=0-6x+5=0可化为：可化为：(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=4.=4.所以其圆心所以其圆心C(3,0),C(3,0),半径半径r=2,r=2,双曲线双曲线 =1=1的渐近线方程是：
33、的渐近线方程是：bxbxayay=0,=0,又渐近线与圆相切，所以又渐近线与圆相切，所以 =2 =2 又椭圆又椭圆 =1=1的焦点为的焦点为(-3,0),(3,0),(-3,0),(3,0),双曲线的焦点为双曲线的焦点为(-3,0),(3,0),(-3,0),(3,0),即即a a2 2+b+b2 2=c=c2 2=9 =9 由由得得b=2,c=3,ab=2,c=3,a2 2=5.=5.双曲线的标准方程为：双曲线的标准方程为： =1.=1.答案答案: : =1=1【拓展提升】【拓展提升】1.1.解决简单直线与双曲线位置关系问题的方法及相应的技巧解决简单直线与双曲线位置关系问题的方法及相应的技巧
34、(1)(1)通法：将直线通法：将直线l的方程的方程Ax+By+CAx+By+C=0(A=0(A，B B不同时为不同时为0)0)代入双曲代入双曲线线E E的方程的方程F(x,yF(x,y)=0)=0，消去，消去y(y(也可以消去也可以消去x)x)得到一个关于变量得到一个关于变量x(x(或变量或变量y)y)的一元二次方程的一元二次方程. .解此方程或利用根与系数的关系解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题整体代入的思想解题. .(2)(2)点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作
35、差时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解后结合已知条件进行转化求解. .【提醒【提醒】利用点差法时，对求出的结果要验证其是否满足相交利用点差法时，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即的要求，即0.0.2.2.解决双曲线与圆、椭圆、双曲线交汇问题的两大策略解决双曲线与圆、椭圆、双曲线交汇问题的两大策略(1)(1)以图助解，数形结合以图助解，数形结合. .(2)(2)各个击破各个击破. .【变式训练【变式训练】已知双曲线已知双曲线E E的中心为原点，的中心为原点，F(3,0)F(3,0)是是E E的一个焦点，过的一个焦点，过F F的直线的直线l与与E
36、 E相交于相交于A A，B B两点，且两点，且A A与与B B的中点为的中点为N(-12N(-12，-15)-15)，则，则E E的方程为的方程为( )( )(A) =1 (B) =1(A) =1 (B) =1(C) =1 (D) =1(C) =1 (D) =1【解析【解析】选选B.B.方法一：设双曲线的方程为方法一：设双曲线的方程为 =1=1(a0,b0)(a0,b0)，由题意知直线，由题意知直线l的斜率为的斜率为 =1,=1,可知直线可知直线l的方程为的方程为y=x-3.y=x-3.联立方程得联立方程得 整理得整理得(b(b2 2-a-a2 2)x)x2 2+6a+6a2 2x-9ax-9
37、a2 2-a-a2 2b b2 2=0,=0,设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1+x+x2 2= =又又A A与与B B中点中点N(-12,-15), =-24,N(-12,-15), =-24,5a5a2 2=4b=4b2 2, ,又又c=3,ac=3,a2 2+b+b2 2=9,=9,可得可得a a2 2=4,b=4,b2 2=5.=5.故双曲线的方程为故双曲线的方程为 =1.=1.方法二：设双曲线的方程为方法二：设双曲线的方程为 =1(a0,b0)=1(a0,b0)，由题意知，由题意知c=3,ac=3,a2 2+b+b2
38、2=9=9，设，设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )，则有：，则有： 两式作差得：两式作差得：又直线又直线ABAB的斜率是的斜率是 =1,=1,所以所以4b4b2 2=5a=5a2 2，将，将4b4b2 2=5a=5a2 2与与a a2 2+b+b2 2=9=9联立，联立，解得解得a a2 2=4,b=4,b2 2=5=5，所以双曲线的方程为所以双曲线的方程为 =1.=1.【易错误区【易错误区】 忽略讨论双曲线的焦点位置致误忽略讨论双曲线的焦点位置致误【典例【典例】(2013(2013天津模拟天津模拟) )已知双曲线已知双曲线 =1(mn=1(mn0
39、)0)的的一条渐近线方程为一条渐近线方程为y= xy= x，则该双曲线的离心率，则该双曲线的离心率e e为为_._.【误区警示【误区警示】本题易出现的错误是误认为焦点在本题易出现的错误是误认为焦点在x x轴上，不讨轴上，不讨论焦点位置而丢解论焦点位置而丢解. .【规范解答【规范解答】当当m0,n0m0,n0时，时，e=e=当当m0m0，n0n0,b0): =1(a0,b0)与双与双曲线曲线C C2 2: =1: =1有相同的渐近线，且有相同的渐近线，且C C1 1的右焦点为的右焦点为F( 0)F( 0)，则则a=_,b=_.a=_,b=_.【解析【解析】由题意可得由题意可得 解得：解得：a=1
40、,b=2.a=1,b=2.答案答案: :1 21 24.(20124.(2012湖北高考湖北高考) )如图，双曲线如图，双曲线 =1(a=1(a0,b0)0,b0)的两的两顶点为顶点为A A1 1,A,A2 2，虚轴两端点为，虚轴两端点为B B1 1，B B2 2，两焦点为，两焦点为F F1 1,F,F2 2. .若以若以A A1 1A A2 2为直径的圆内切于菱形为直径的圆内切于菱形F F1 1B B1 1F F2 2B B2 2，切点分别为，切点分别为A,B,C,D.A,B,C,D.则则(1)(1)双曲线的离心率双曲线的离心率e=_.e=_.(2)(2)菱形菱形F F1 1B B1 1F
41、F2 2B B2 2的面积的面积S S1 1与矩与矩形形ABCDABCD的面积的面积S S2 2的比值的比值 =_.=_.【解析【解析】(1)(1)如题干图：如题干图： 化简得：化简得：c c4 4-3a-3a2 2c c2 2+a+a4 4=0=0，即，即e e4 4-3e-3e2 2+1=0+1=0，又，又e1,e1,则则e=e=(2)(2)由题意知：由题意知：S S1 1=2bc,=2bc,在在OFOF2 2B B2 2中连接中连接OA,OA,则则AFAF2 2=b=b，矩形，矩形ABCDABCD边长边长AD=AD=AB= SAB= S2 2= = 则则答案答案: :(1) (2)(1)
42、 (2) 5.(20135.(2013湛江模拟湛江模拟) )如图，已知抛物线如图，已知抛物线y y2 2=2px(p=2px(p0)0)的焦点的焦点F F恰好是双曲线恰好是双曲线 =1=1的右焦点的右焦点, ,且两条曲线的交点的连线且两条曲线的交点的连线过过F,F,则该双曲线的离心率是则该双曲线的离心率是_._.【解析【解析】由已知得由已知得 =c,=c,即即p=2c p=2c 又两条曲线的交点的连线过又两条曲线的交点的连线过F,F,可得交点坐标为可得交点坐标为( p)( p)，( -p).( -p).即点即点( p)( p)在双曲线在双曲线 =1=1上，上，所以有所以有 由由得得:b:b2
43、2c c2 2-4a-4a2 2c c2 2=a=a2 2b b2 2 又又b b2 2=c=c2 2-a-a2 2，代入，代入整理得整理得c c4 4-6a-6a2 2c c2 2+a+a4 4=0=0，解得：，解得：又双曲线的离心率又双曲线的离心率e= e= 1,e1,e2 2=3+=3+得得e= +1.e= +1.答案答案: : +1+11.1.如图，如图，F F2 2为双曲线为双曲线 =1(a=1(a0,b0,b0)0)的右焦点，的右焦点，E E为为OFOF2 2中点，过双曲线左顶点中点，过双曲线左顶点A A作两渐近线的平行线分别与作两渐近线的平行线分别与y y轴交于轴交于C,DC,D
44、两点，两点，B B为双曲线右顶点为双曲线右顶点. .若四边形若四边形ACBDACBD的内切圆经过点的内切圆经过点E E，则双，则双曲线的离心率为曲线的离心率为( )( )(A)2(A)2(B)(B)(C)(C)(D)(D) 【解析【解析】选选C.C.由题意得：直线由题意得：直线ADAD的方程为：的方程为：y= (x+ay= (x+a),),即即:bx-ay+ab:bx-ay+ab=0,=0,因为直线因为直线ADAD与四边形与四边形ACBDACBD的内切圆相切，的内切圆相切，故故 a=b,a=b,双曲线的离心率为双曲线的离心率为e=e=故选故选C.C.2.2.以双曲线以双曲线 =1(a0,b0)
45、=1(a0,b0)的左焦点的左焦点F F为圆心，作半径为为圆心，作半径为b b的圆的圆F F，则圆，则圆F F与双曲线的渐近线与双曲线的渐近线( )( )(A)(A)相交相交 (B)(B)相离相离 (C)(C)相切相切 (D)(D)不确定不确定【解析【解析】选选C.C.由已知双曲线的左焦点由已知双曲线的左焦点F F为为( 0)( 0)，渐近线方程为渐近线方程为y=y= x, x,即即bxbxayay=0.=0.圆心圆心F F到渐近线的距离到渐近线的距离d= =b,d= =b,又圆又圆F F的半径为的半径为b,b,所以圆所以圆F F与双曲线的渐近线相切与双曲线的渐近线相切. .3.3.已知双曲线
46、已知双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的焦距为的焦距为 一条渐近线一条渐近线平分圆平分圆x x2 2+y+y2 2-4x+2y=0-4x+2y=0，则双曲线的标准方程为，则双曲线的标准方程为_._.【解析【解析】由已知由已知2c= c=2c= c=又渐近线又渐近线bx+aybx+ay=0=0过圆过圆(x-2)(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=5=5的圆心的圆心(2,-1).(2,-1).有有2b-a=0,2b-a=0,即即a=2b.a=2b.又又a a2 2+b+b2 2=5,=5,即即(2b)(2b)2 2+b+b2 2=5,=5,解得解得b=1,b=1,a=2,a=2,所以双曲线的标准方程为所以双曲线的标准方程为 =1.=1.答案答案: : =1=1
