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1、已知两个力已知两个力F1和和F2同时作用在一个物体上同时作用在一个物体上,其中其中F1=40N,方向向东方向向东,F2=30N,方向向北方向向北,求它们的合力求它们的合力.东东B 北北A O C F2 F1F 1.什么是向量？向量和数量有何不同？什么是向量？向量和数量有何不同？向量：向量：即有大小又有方向的量即有大小又有方向的量（数量：数量：只有大小，没有方向的量）只有大小，没有方向的量）向量的向量的模模向量的向量的长度长度在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？量中，哪些是数量？哪些是向量？数量有：数量有：
2、质量、身高、面积、体积质量、身高、面积、体积向量有：向量有：重力、速度、加速度重力、速度、加速度2. 向量如何表示？向量如何表示？AB几何表示几何表示向量向量常用常用有向线段有向线段表示：有向线段的长表示：有向线段的长度表示度表示向量的大小向量的大小，箭头所指的方向表示，箭头所指的方向表示向量的方向。向量的方向。注注: 以以A为起点，为起点，B为终点的有向线段记为为终点的有向线段记为 线段线段AB的长度记作的长度记作 （读为（读为模模）；）；也可以表示：也可以表示：大小记作大小记作: FG练习练习:1.:1.温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么
3、？2.2.向量向量 AB AB 和和 BA BA 同一个向量吗？为什么？同一个向量吗？为什么？我们所说的我们所说的向量向量，与，与起点无关起点无关，用有向线段表示向量时，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫所以数学中的向量也叫自由向量自由向量. .如图：他们都表示如图：他们都表示同一个向量同一个向量。不是，温度只有大小，没有方向。不是，温度只有大小，没有方向。不是，方向不同不是，方向不同aa说明说明1 1：有向线段有向线段与与向量向量的区别：的区别：有向线段有向线段：有固定起点、大小、方向有固定起点、大小、方向向量向量：可选：可选任意点任意点作为作
4、为向量的起点、有大小、有方向。向量的起点、有大小、有方向。ABCDABCD有向线段有向线段ABAB、CDCD是是不同的不同的。向量向量 ABAB、CD CD 是是同一个向同一个向量量。说明说明2 2：思考：思考：1、若两个向量相等，则它们的起点和终点、若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合吗？分别重合吗？2、向量与是共线向量，则、向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上吗？四点必在一直线上吗？3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？、平行于同一个向量的两个向量平行吗？、若四边形、若四边形ABCD是平行四边形，则有是平行四边形，则有吗吗?ABCD3. 什么是零向量和单位向量？什么是零
5、向量和单位向量？零向量：零向量： 长度为长度为0的向量，记为的向量，记为 ；单位向量：单位向量：长度为长度为1的向量的向量.注注:零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的.4. 什么是平行向量？什么是平行向量？方向方向相同相同或或相反相反的非零向量叫的非零向量叫平行向量平行向量.注：注：1.1.若是两个平行向量，则记为若是两个平行向量，则记为2.2.我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量 ，都有都有三、向量之间的关系：三、向量之间的关系：练习练习.判断下列各组向量是否平行？判断下列各组向量是否平行
6、？ABCABC向量的平行与线段的平行有什么区别向量的平行与线段的平行有什么区别?B例例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用在图中分别用 向量表示向量表示A地至地至B、C两地的位移，并求出两地的位移，并求出A地至地至B、 C两地的实际距离两地的实际距离(精确到精确到1km).1:80000005.什么是相等向量和共线向量？什么是相等向量和共线向量？长度长度相等相等且方向且方向相同相同的向量叫的向量叫相等向量相等向量注：注：1.若向量若向量 相等，则记为相等，则记为 ； 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来任意两个相等的非零向量，都可用同
7、一条有向线段来 表示，并且与有向线段的表示，并且与有向线段的起点无关起点无关。abc a=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4平行向量也叫平行向量也叫共线向量共线向量注：注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上任一组平行向量都可以平移到同一直线上.OABCB 相等相等B5.如图，设如图，设O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与的中心，分别写出图中与 相等的向量。相等的向量。 OABCDEFABCDEF6.如图，设如图，设O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与的中心，分别写出图中与 相等的向量。相等的向量。 O7 7：如
8、图如图,EF,EF是是ABCABC的中位线的中位线,AD,AD是是BC BC 边是的中边是的中 线线, ,在以在以A A、B B、C C、D D、E E、F F为端点的有向线为端点的有向线 段表示的向量中请分别写出段表示的向量中请分别写出（1 1）与向量）与向量CDCD共线的向量有共线的向量有_个个, ,分别是分别是_；（2 2）与向量）与向量DFDF的模一定相等的向的模一定相等的向量有量有_个个, ,分别是分别是_；（3 3）与向量）与向量DEDE相等的向量有相等的向量有_个个, ,分别是分别是_。 ABCDEF7DC,DB,BD,FE,EF, CB, BC5FD,EB,BE,EA,AE2C
9、F, FA8 8：如图：如图,D,D、E E、F F分别是分别是ABCABC各边上的中点，四边形各边上的中点，四边形BCMFBCMF是平行四边形，请分别写出是平行四边形，请分别写出： （1 1）与）与EDED共线的向量；共线的向量；（2 2）与）与EDED相等的向量；相等的向量；（3 3）与）与FEFE相等的向量。相等的向量。ABCDFEM解：（解：（1）DE、BF、FB、FA、 AF、CM、MC、AB、BA（2 2）FBFB、AFAF、MCMC（3）BDBD、DCDC、EMEM课本课本 P8687嘉祥一中高一、一科数学组嘉祥一中高一、一科数学组向量加法、减法运算及向量加法、减法运算及其几何意
10、义其几何意义知识回顾知识回顾 1. 向量与数量有何区别向量与数量有何区别? 2. 怎样来表示向量向量怎样来表示向量向量? 3. 什么叫相等向量向量什么叫相等向量向量?数量只有大小没有方向数量只有大小没有方向,如如:长度长度,质量质量,面积等面积等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如位移如位移,速度速度,力等力等1)用有向线段来表示用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所线段的长度表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方向指方向表示向量的方向。AB2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示字母表示.如,长度相等长
11、度相等,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.(正因为如此正因为如此,我们研究的向量是我们研究的向量是与起点无关与起点无关的的自由向量自由向量,即任何向即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置移到任何位置.) 上海上海香港香港台北台北引入引入1：上海上海香港香港台北台北OABOABOA+AB=OB向量加法的三角形法则：向量加法的三角形法则：CAB首首尾尾连连首首尾尾相相接接尝试练习一：尝试练习一：ABCDE（1）根据图示填空：）根据图示填空：例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。 则则 三角形法则三角形法则作法作法1
12、：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，例题讲解：例题讲解：思考思考1：如图，当在数轴上两个向量：如图，当在数轴上两个向量共线共线时，加法的时，加法的三角形三角形法法 则则是否还适用？如何作出两个向量的和？是否还适用？如何作出两个向量的和？（1）（2）ABCBCA 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边综合以上探究我们可得结论： 图图1 1表示橡皮条在两个力表示橡皮条在两个力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向
13、方向伸长了伸长了EOEO；图；图2 2表示橡皮条在一个力表示橡皮条在一个力F F的作用下，沿相同的作用下，沿相同方向伸长了相同长度方向伸长了相同长度EOEO。从力学的观点分析，力。从力学的观点分析，力F F与与F F1 1、F F2 2之间的关系如何？之间的关系如何？MCEOF1F2图图1ME OF图图2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1F引入引入2：OABC起起点点相相同同向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则：OABC起起点点相相同同向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则： 文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平
14、行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。和向量。例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。例题讲解：例题讲解：作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，以以 为邻边作为邻边作 OACB ，连结连结OC，则，则平行四边形法则平行四边形法则尝试练习二：尝试练习二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法的，用向量加法的三角形法则三角形法则和和平行四边形平行四边形法则作出法则作出 思考思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意数的加法满足交换律和结合律，即对任意 ，有有 那么对任意向量那么对
15、任意向量 的加法是否也满足交换律和结合律？的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。请画图进行探索。OABCACD例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速
16、度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。ADBC例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示
17、）。答：船实际航行速度为答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为方向与水的流速间的夹角为60。ADBC（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考思考：如设如设实数实数 的相反数记作的相反数记作 。如何定义向量的减法运算呢？如何定义向量的减法运算呢？ 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义回顾：回顾：一、相反向量：一、相反向量：规定：规定：设向量设向量 ，我们把与，我们把与 长度相同，方向相反长度相同，方向相反的向量叫做的向量叫做 的
18、相反向量。的相反向量。（1）（3）设）设 互为相反向量，那么互为相反向量，那么2.2.2 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义记作：记作： 的相反向量仍是的相反向量仍是 。二、向量的减法：二、向量的减法：（2）BAC设设DE又又所以所以你能利用我们学过的向量的加法法则作出你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？吗？ 不借助向量的加法法则你能直接作出不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？吗？ 三、几何意义：三、几何意义： 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量（1）如果从）如果从 的终点指向的终点指向 终点作向量，所得向量是什么
19、呢？终点作向量，所得向量是什么呢？（2）当）当 ， 共线时，怎样作共线时，怎样作 呢？呢？ABOABO注意：注意：（1）起点必须相同起点必须相同。（。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。一般地一般地BAO（三三角角形形法法则则）练习：练习：已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ， 。例例3OBACD作法：作法：在平面内任取一点在平面内任取一点O，则则作作注意：注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。练习：练习：已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。（1）（2）（3）（4）例例4在在 ABCD 中，中，你能用你能用 表示表示 吗？吗
20、？DBAC变式一变式一 本例中，当本例中，当 满足什么条满足什么条件时，件时， 与与 互相垂直？互相垂直？ 变式二变式二 本例中，当本例中，当 满足什么条满足什么条件时，件时， 向量的减法向量的减法一、定义（利用向量的加法定义）。一、定义（利用向量的加法定义）。二、几何意义（二、几何意义（起点相同起点相同，由减向量的终点，由减向量的终点 指向指向被减向量被减向量的终点）。的终点）。向量的概念向量的概念: :向量的表示方法：向量的表示方法：零向量、单位向量概念：零向量、单位向量概念： 平行向量定义：平行向量定义： 相等向量定义：相等向量定义： 共线向量与平行向量关系：共线向量与平行向量关系： 复
21、习复习(1)两个有共同起点且相等的向量两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同其终点可能不同.(2) (3)若非零向量若非零向量 共线共线,则则(4)四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形,则必有则必有 = (5)向量向量 平行平行,则则 的方向相同或相反的方向相同或相反判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确, ,若不正确若不正确, ,请简请简述理由述理由. .(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。CAB1 1、位移、位移OFEGEGABEOCF1F2FGOCF1F2F为F1与F2的合力它们之间它们之间有什么关有什么关系系2 2、力的合
22、成、力的合成F1F2FF1 + F2 = F数的加法启发我们数的加法启发我们, ,从运算的角度看从运算的角度看, ,ACAC可以认为是可以认为是ABAB与与BCBC的和的和, ,F F可以认为是可以认为是F F1 1与与F F2 2的和的和, ,即位移即位移, ,力的合成可看作向量的加法力的合成可看作向量的加法. .向量的加法作法（1）在平面内任取一点OAB这种作法叫做 向向量量加加法法的的三三角角形形法法则则还有没有其他的做法？还有没有其他的做法？向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则位位移移的的合合成成可可以以看看作作向向量量加加法法三三角角形形法法 则则 的的 物物 理理 模模 型型o
23、ABC作法（1）在平面内任取一点O还有没有其他的做法？还有没有其他的做法？向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则这种作法叫做 向向量量加加法法的的平平行行四四边边形形法法则则力的合成可以看作向力的合成可以看作向量加法的平行四边形量加法的平行四边形法则的物理模型法则的物理模型o已知向量a,b,分别用向量加法的三角形法则与向量加法的四边形法则作出a+bABC(1) 同向(2)反向规定：ABC判断判断 的大小的大小1 1、不共线、不共线oAB2 2、 共线共线(1)同向(2)反向判断判断 的大小的大小BCDAa+b+ca+bb+cabcBCDAbabaa+b 数的加法满足交换律与结合律数的
24、加法满足交换律与结合律,即对任即对任意意a,bR,有有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 任意向量任意向量a,b的加法是否也满足交换律的加法是否也满足交换律与结合律与结合律?是否成立？是否成立？根据图示填空根据图示填空:(1)a+d=_(2)c+b=_ACDBOabcdDCBAEgefdcab根据图示填空根据图示填空:(1)a+b=_(2)c+d=_(3)a+b+d=_(4)c+d+e=_cffg例例2 2 长江两岸之间没有大桥的地方长江两岸之间没有大桥的地方, ,常常通过轮渡进行运输常常通过轮渡进行运输. .如如图所示图所示, ,一艘船从长江南岸一艘船从长江南岸A A点出发点出发
25、, ,以以5km/h5km/h的速度向垂直于对的速度向垂直于对岸的方向行驶岸的方向行驶, ,同时江水的速度为向东同时江水的速度为向东2km/h.2km/h.(1)(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度( (保留保留两个有效数字两个有效数字) )解解:(1)CAD船速B 水速船实际航行速度(2)(2)求船实际航行的速度的大小与方向求船实际航行的速度的大小与方向( (用与江水速度间的夹角用与江水速度间的夹角表示表示, ,精确到度精确到度).).在在RtABC中中,CADB船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为70小
26、结小结1.向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则(要点：两向量首尾连接要点：两向量首尾连接)2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则(要点：两向量起点重合组成平行四边形两要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边邻边)3.向量加法满足交换律及结合律向量加法满足交换律及结合律学习目标学习目标:1、向量的加法运算，及其几何意义、向量的加法运算，及其几何意义 2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量、向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量 的和向量的和向量 ABC1、位移、位移2、力的合成、力的合成F1F2FF1 + F2 = F 数的加法启发我们，从运算的角度看，数的
27、加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为可以认为是是AB与与BC的和，的和，F可以认为是可以认为是F1与与F2的和，即位移、力的的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。合成可以看作向量的加法。求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 作法（1）在平面内任取一点OoAB还有没有其他的做法？还有没有其他的做法？oABC作法（1）在平面内任取一点O起点相同，连对角起点相同，连对角ABC(1)同向(2)反向规定：ABCoAB数的加法满足交换律与结合律，即对任数的加法满足交换律与结合律，即对任意意a，bR，有，有a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+a) 任意向量任意向量 的加法是否也满的加法是否
28、也满足交换律与结合律？足交换律与结合律？练习：练习：方法与技巧：方法与技巧：5化简下列各式：化简下列各式：D1、下列说法正确的是（）A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C、向量的大小与方向有关.D、向量的模可以比较大小.DDCC练习练习:2:23、判断下列命题是否正确，若不正确，说明理由、判断下列命题是否正确，若不正确，说明理由3、相反向量就是方向相反的量、相反向量就是方向相反的量4、若、若 ，则，则A、B、C三点是一个三角形的定点三点是一个三角形的定点（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）6、两个向量是互为相反向量，则两个向量共线、两个向量
29、是互为相反向量，则两个向量共线（ ）例例3:化简化简解解(1)AB-CB=AB+(-CB)=AB+BC=AC;(2)AB+BC+DA-DC=AB+BC+CD+DA=AB+BC+DA+CD=(3)MN-MP-PQ=MN-(MP+PQ)=MN-MQ =MN+QM =QM+MN=QN.练习练习1化简：化简：练习120oADBCO120oADBCO 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则特点特点：首尾相接首尾相接特点特点: :共起点共起点BAO特点：共起点，连终点，方向指向被减向量特点：共起点，连终点，方向指向被减向量2.2.向量加法平
30、行四边形向量加法平行四边形法则法则3.3.向量减法三角形法则向量减法三角形法则复习回顾复习回顾: :实际背景实际背景 思考：思考：已知非零向量已知非零向量 , 作出作出 和和 , 你能说明它们的几何意义吗？你能说明它们的几何意义吗？ BACONMQP 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，（1 1）（2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。特别的，当特别的，当 时，时，一.向量数乘的定义它的长度和方向
31、规定如下：它的长度和方向规定如下：=探探究究设设 为实数，那么为实数，那么特别的，我们有特别的，我们有向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量对于任意向量 ，以及任意实数，以及任意实数 ，恒有，恒有2、实数与向量积的运算律实数与向量积的运算律结合律结合律分配律分配律分配律分配律例例1.计算：计算：解解:二.例题讲解练习练习: :思考思考:向量共线定理向量共线定理(重点重点)例例2.如图，已知任意两个向量如图，已知任意两个向量 ，试作，试作你能判断你能判断A、B、C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？ABCO解解:
32、练习练习:如图，已知如图，已知AD=3AB，DE=3BC，试判断试判断AC与与AE是否共线。是否共线。解：解：ABCMD练习练习:ADCBA 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用： 1. 1. 证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线 2. 2. 证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线: AB=: AB= BC A,B,CBC A,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线 3. 3. 证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行: : AB= AB= CD ABCD ABCDCD AB AB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上
33、不在同一直线上不在同一直线上直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCD一、一、一、一、a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 b=a 向量向量a与与b共线共线课堂小结课堂小结:练习练习:CAB4. 已知四边形已知四边形ABCD中，中，E、F分别是分别是AD和和BC的中点，的中点， 求证：求证：名师一号名师一号P 79P 79练习练习:AP91 A组组 9 11作业作业:思考题:例例1计算计算：（1）（2）（3）注注：向量与实数之间可以象多项式一：向量与实数之间可以象多项式一 样进行运算样进行运算.例：例：已知向量已知向量试判断试判断，是否共线。是否共线。ABCDEAB
34、DEC 与与 共线共线 解解：练习强化如如图，在任意四，在任意四边形形ABCDABCD中，中，E E为ADAD的中的中点，点，F F为BCBC的中点，的中点，则平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示一般地一般地, ,实数实数 与向量与向量 的积是一个向量的积是一个向量, ,记作记作: : (1)(2)当当 时时, 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同; 当当 时时, 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同;(3)当当 时时,或或 时时,一、数乘的定义：一、数乘的定义：它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下:二、二、数乘数乘的运算律：的运算律
35、：(2)(2)第一分配律第一分配律: :(1)(1)结合律结合律: :(3)(3)第二分配律第二分配律: :1. 1. 定理定理: :向量向量 与非零向量与非零向量 共线的共线的充要条件充要条件是有是有且只有一个实数且只有一个实数 , ,使得使得. . 三、向量共线的充要条件：三、向量共线的充要条件：2).2).证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线: :直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCDAB=CD ABAB=CD ABCDCD 利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题直线平行问题. .但要注意的
36、是但要注意的是: :向量平行和直线平行在重合概念向量平行和直线平行在重合概念上有区别上有区别. .一般说两直线平行不包含两直线重合一般说两直线平行不包含两直线重合, ,而两向量平行而两向量平行则含两向量重合则含两向量重合. .2. 2. 定理的应用：定理的应用：定理的应用：定理的应用：1).1).证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线3).3).证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行: :ABAB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上又又又又B B为公共点为公共点为公共点为公共点 A,B,CA,B,C三点共线三点共线三点共线三点
37、共线AB AB BC BC AB=BCAB=BC 设设 、 是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共线的向量，线的向量，a 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，我们研究我们研究 a 与与 、 之间的关系。之间的关系。a研究研究OC = OM + ON =OC = OM + ON =OA + OBOA + OB即即 a = + .= + .aA AO OaC CB BN NM M M MN N平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数 、 使共线向量，那么对于这一平面内的任 如果 、 是同一平面内的两个不a = + 示这一平面内所有向量的一组基底。我们把不共线的向量 、 叫做
38、表（1）一组平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ （可以不同，也可以相同）O OC CF FM MN NaE E E EA AB BN NOC = 2OB + ON OC = 2OB + ON OC = 2OA + OEOC = 2OA + OEOC = OF + OE OC = OF + OE (1)(1)不共线的向量不共线的向量 叫做这一平面内所有向量叫做这一平面内所有向量 的一组基底的一组基底; ; 平面向量基本定理平
39、面向量基本定理:(4)基底给定时基底给定时,分解形式唯一分解形式唯一.(2)基底不唯一基底不唯一; 如果如果 是同一平面内的两个不共线向量是同一平面内的两个不共线向量,那么那么对这一平面内的任一向量对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数有且只有一对实数 , 使使(3) 任一向量任一向量 都可以沿两个不共线的方向（都可以沿两个不共线的方向（ 的的 方向）分解成两个向量（方向）分解成两个向量（ ）和的形式；）和的形式；说明：说明：已知向量 求做向量-2.5 +3 例1： 、 OABC例例2：凸四边形：凸四边形ABCD的边的边AD,BC的中点分别为的中点分别为E,F, 用用 表示表示DABCEF
40、例例3.3.如图如图, , 不共线不共线, , 用用 表示表示OPBA变式：变式： 不共线不共线, ,点点P P在在O O、A A、B B所在的平面内所在的平面内, ,且且 求证：求证：A A、B B、P P三点共线三点共线 例4、 如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点. 请大家动手,在图中确定一组基底，将其他向量用这组基底表示出来。ANMCDB解析：BC = BD + DC = MN = DN-DM =(AN-AD)- DC(ADAB)+DCANMCDBDC = AB =设AB = ,AD = ,则有：= - .= - + = = - - - -
41、+ 评析评析 能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，再利用有关知识解决问题。向量的夹角向量的夹角 两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ， 与与 反向反向OABOAB则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角记作记作与与 垂直垂直，OAB注意注意:在两向量的夹角在两向量的夹角定义中定义中,两向量必须是两向量必须是同起点同起点的的 与与 同向同向OAB向量的正交分解向量的正交分解在平面上，如果选取互相垂直的向量作在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便为基底时，会为我们研究问题带来方便平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示Oxy平面内的任一向量
42、平面内的任一向量 ,有且只有一对实数有且只有一对实数x,y,使使 成立成立则称（则称（x，y）是向量是向量 的坐标的坐标 如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,分别取与分别取与x轴、轴、y轴正方向轴正方向同向的两个同向的两个单位向量单位向量 作基底作基底.记作：记作：（1）与）与 相等的向量的坐标均为（相等的向量的坐标均为（x, y)注意：注意：(4)如图以原点如图以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置的位置 被被 唯一确定唯一确定.Oxy平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(x, y)A此时点此时点A的坐标即为的坐标即为 的坐标的坐标（5）区别点的坐标和向量坐标）区别点的坐标和
43、向量坐标相等向量的坐标是相同的相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同但起点、终点的坐标可以不同（1）与）与 相等的向量的坐标均为（相等的向量的坐标均为（x, y)注意：注意：（3）两个向量）两个向量 相等的充要条件：相等的充要条件：(6)例例1如图，用基底如图，用基底 ， 分别表示向量分别表示向量 并求它们的坐标并求它们的坐标解：由图可知解：由图可知同理，同理，平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示A1AA2yxO1小结回顾小结回顾一、对一、对一、对一、对 平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理 的理解：的理解：的理解：的理解：e e1 1 , , , ,e
44、 e2 2是平面向量内两个不共线的固定向量，则任是平面向量内两个不共线的固定向量，则任是平面向量内两个不共线的固定向量，则任是平面向量内两个不共线的固定向量，则任意向量意向量意向量意向量a a可以在这两个向量的方向上进行分解。可以在这两个向量的方向上进行分解。可以在这两个向量的方向上进行分解。可以在这两个向量的方向上进行分解。当当当当| |e e1 1|=|=|e e2 2|=1|=1且且且且e e1 1与与与与e e2 2垂直时，就可以建立直角坐标垂直时，就可以建立直角坐标垂直时，就可以建立直角坐标垂直时，就可以建立直角坐标系，这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。系，这为下一节学习向量的
45、坐标表示奠定了基础。系，这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。系，这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。二、两类问题：二、两类问题： 1.用一组基底用一组基底表示表示任一向量任一向量 2.由一组基底的线性组合求由一组基底的线性组合求作向量作向量 作业：习题作业：习题作业：习题作业：习题5.3 P110-6,75.3 P110-6,7O问问问问: : : :能否作出向量能否作出向量能否作出向量能否作出向量 使使使使 成立？成立？成立？成立？ 这样的这样的这样的这样的 有几个？有几个？有几个？有几个？已知向量已知向量已知向量已知向量 （如图如图如图如图），），），），及实数及实数及实数及实数1
46、 1 1 1=-2.5=-2.5=-2.5=-2.5，2 2 2 2=3 =3 =3 =3 已知向量已知向量已知向量已知向量及向量及向量及向量及向量 （如图）（如图）（如图）（如图）问问问问: : : :能否找出实数对能否找出实数对能否找出实数对能否找出实数对1 1 1 1与与与与2 2 2 2 使使使使 成立？成立？成立？成立？ 而这样的而这样的而这样的而这样的1 1 1 1与与与与2 2 2 2有多少对？有多少对？有多少对？有多少对？O9/20/2024平面向量基本定理平面向量基本定理: : 有且只有一对实数有且只有一对实数 、 使使向量，那么对于这一平面内的任向量，那么对于这一平面内的任
47、一向量一向量 如果如果 、 是同一平面内的两个不是同一平面内的两个不共线共线这一平面内所有向量的一组这一平面内所有向量的一组基底基底。我们把不共线的向量我们把不共线的向量 、 叫做表示叫做表示研究更一般的情况研究更一般的情况9/20/2024(4)基底基底 给定时，分解形式唯一给定时，分解形式唯一. 平面向量基本定理平面向量基本定理: : 探究：探究：(1)我们把我们把不共线不共线向量向量 、 叫做表示这一叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量由定理可将任一向量 在给出基底在给出基底 、
48、 的条件下进行分解；的条件下进行分解；是由是由 、 、 唯一确定的数量唯一确定的数量9/20/2024平面向量基本定理平面向量基本定理 探究：探究：（5 5）一组平面向量的基底有多少对？）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对）（有无数对） (6)若基底选取不同，则表示同一向量的实数若基底选取不同，则表示同一向量的实数 、 是否相同？是否相同？ （可以不同，也可以相同）（可以不同，也可以相同）(7)特别的，若特别的，若 a = 0 ，则有且只有，则有且只有 ：= 0(8)特别的，若特别的，若 与与 共线，则有，共线，则有，使得使得:例例1.已知向量已知向量e1,e2，求作向量，求作向量-2.
49、5e1+3e2作法作法:1、任取一点、任取一点O,作作 OABC2、作、作 OACB.3、 就是求作的向量就是求作的向量9/20/2024例例2 如图，如图， 、 不共线，不共线， ， 用用 、 , 表示表示 .OABP解：解：9/20/2024 例例3 3 ABCD ABCD中，中，E E、F F分分别是别是DCDC和和ABAB的中点，试判的中点，试判断断AE,CFAE,CF是否平行？是否平行？FBADCE解：取基底取基底则有则有 共线，又无公共点共线，又无公共点,9/20/2024Fs OABFS 我们学过功的概念，即一个物体在我们学过功的概念，即一个物体在力力F的作用下产生位移的作用下产
50、生位移s(如图如图)平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解叫作把向量正交分解9/20/2024探索探索1:以以O为起点，为起点， P 为终点的向量能为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？否用坐标表示？如何表示？oPxya9/20/20249/20/2024向量的坐标表示向量向量 P（x ，y）一一 一一 对对 应应9/20/2024 在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探索探索2: Aoxyaa 可通过向量的可通过向量的平
51、移，将向量的起点平移，将向量的起点移到坐标的原点移到坐标的原点O处处. 解决方案解决方案: :9/20/2024OxyA平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作）叫做向量的（直角）坐标，记作 其中，其中，x叫做叫做 在在x轴上的坐标，轴上的坐标，y叫做叫做 在在y轴上轴上的坐标，的坐标，式叫做向量的坐标表示。式叫做向量的坐标表示。 如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方轴方向相同的单位向量，若以向相同的单位向量，若以 为基为基底，则底，则xyo例例1.如图，分别用基底如图，分别用基底 ， 表示向量表示向量 、 、 、 ，并求出
52、，并求出 它们的坐标。它们的坐标。AA1A2解：如图可知解：如图可知同理同理 例题例题2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算罗俊富温故知新温故知新向量的加法向量的加法( (三角形法则三角形法则) )aba+baba+b向量的加法向量的加法( (平行四边形法则平行四边形法则) )向量的减法向量的减法( (三角形法则）三角形法则）aba-b向量的数乘运算向量的数乘运算(1) |(1) |aa|=|=| | | | |a a| |(2) (2) 当当当当00时时时时, ,aa的方向与的方向与的方向与的方向与a a方向相同；方向相同；方向相同；方向相同； 当当当当00时时,a 的方向与的方向
53、与a方向相同；方向相同； 当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相反；方向相反； 特别地，当特别地，当=0或或a=0时时, a=0 设设a,b为任意向量，为任意向量，,为为任意实数任意实数，则有：，则有： (a)=() a (+) a=a+a (a+b)=a+b已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，则，则AOB= （0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直， 记为ab.OAab 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下
54、产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。 已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a| |b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a| |b| cos规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。 |a| cos（|b| cos）叫）叫做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向量量b在在
55、a方向上）的方向上）的投影投影。注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。 向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？ab=|a| |b| cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当 =90时时ab为零。为零。设设是非零向量，是非零向量，方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，的夹角，则的夹角，则特别地特别地OAB abB1解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10例例2 2 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=
56、4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求abab。例例3 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2OAB|b|cos abB1等于等于的长度的长度与与的乘积。的乘积。O投影投影OO练习：练习：1 1若若a = =0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =04 4若若a b= =0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0
57、，a b= = b c，则，则a=c6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= =0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：其中，其中，是任意三个向量，是任意三个向量，注：注： 则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律证明运算律(3)例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb
58、2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.P116 例例4例例4 小结：小结：l1.l2.可用来求向量的模可用来求向量的模3.投影投影作业：作业：4、已知已知a、b都是非零向量都是非零向量，且且a + 3 b 与与7 a 5 b 垂直垂直，a 4 b 与与7 a 2 b垂直垂直，求求a与与b的夹角的夹角。 解： （a + 3 b ）（7
59、a 5 b） （a 4 b ）（7 a 2 b ） （a + 3 b ）（7 a 5 b） =0 且 （a 4 b ） （7 a 2 b ）=0 即 7a a + 16 a b 15 b b =0 7a a - 30 a b + 8 b b =0 两式相减得： 2 a b = b 2， 代入其中任一式中得: a 2= b 2cos=2.4.2 2.4.2 平面向量数量积平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的坐标表示、模、夹角一、复习引入 我们学过两向量的和与差可以转我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算化为它们相应的坐标来运算, ,那么那么怎怎样用样用二、新课学习二、新课学习1 1
60、、平面向量数量积的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示如图，如图， 是是x x轴上的单位向量，轴上的单位向量， 是是y y轴上的单位向量，轴上的单位向量，由于由于 所以所以 x y o B(x2,y2) A(x1,y1) . . . 1 1 0 更多资源更多资源 下面研究怎样用下面研究怎样用设两个非零向量设两个非零向量 =(x1,y1), =(x2,y2),则则故故两个向量的数量积等于它们对应两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。坐标的乘积的和。即即x o B(x2,y2) A(x1,y1) y 根据平面向量数量积的坐标表示，向根据平面向量数量积的坐标表示，向量的量的数量积的运算数量积的运
61、算可可转化为转化为向量的向量的坐标运坐标运算。算。2、向量的模和两点间的距离公式（1）垂直）垂直3、两向量垂直和平行的坐标表示（2）平行）平行4、两向量夹角公式的坐标运算、两向量夹角公式的坐标运算三、基本技能的形成与巩固三、基本技能的形成与巩固练习：课本练习：课本P1191、2、3. 例例2 2 已知已知A(1A(1，2)2)，B(2B(2，3)3)，C(-2C(-2，5)5)，试判断试判断 ABCABC的形状，并给出证明的形状，并给出证明. .A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y 练习练习2：以原点和：以原点和A（5，2）为两）为两个顶点作等腰直角三角形个顶点作等腰直角三角形OAB，
62、 B=90 ，求点，求点B的坐标的坐标.yBAOx四、逆向及综合运用四、逆向及综合运用 例例3 3 （1 1）已知）已知 = =（4 4，3 3），向量），向量 是是垂直于垂直于 的单位向量，求的单位向量，求 . .提高练习提高练习 2、已知、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形，则四边形ABCD的形状是的形状是 .矩形矩形 3、已知、已知 = (1，2)， = (-3，2)，若若k +2 与与 2 - 4 平行，则平行，则k = . - 1小结小结 、理解各公式的正向及逆向运用；、理解各公式的正向及逆向运用； 、数量积的运算转化为向量的坐标运算；数量积的运算转
63、化为向量的坐标运算； 、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，、掌握平行、垂直、夹角及距离公式， 形成转化技能。形成转化技能。 在物理课中，我们学过功的概念，在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力即如果一个物体在力 的作用下产生位的作用下产生位移移 ，那么力，那么力 所做的功所做的功 已知两个非零向量与，它们已知两个非零向量与，它们的夹角为的夹角为，则我们把数量，则我们把数量 叫做叫做 与与 的数量积的数量积( (或或内积内积) )，记作：，记作： 思考：两非零向量思考：两非零向量 与与 的数量积的数量积是一个是一个实数实数，不是一个向量，不是一个向量，其值可以其值可以为正，也可以为负，还
64、可以为零为正，也可以为负，还可以为零，请说，请说出什么时候为正，什么时候为负，什么出什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？时候为零？三、向量的投影三、向量的投影 设设是向量与间的夹角，是向量与间的夹角， 叫做向量叫做向量 方向上的投方向上的投影；而影；而 称为称为 方向上方向上的投影。的投影。 说明：说明：一个向量在另一个向量方向一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数，当上的投影是一个数，当009090时，它为正值；当时，它为正值；当=90=90时，它为时，它为0 0；当当9090180180时，它为负值特时，它为负值特别地，当别地，当=0=0，它就等于；而当，它就等于；而当=180=1
65、80时，它等于时，它等于 。四、向量数量积的运算律四、向量数量积的运算律 已知向量已知向量 与实数与实数，则向量，则向量的数量积满足下列运算律：的数量积满足下列运算律： 说明：向量数量积不满足消去律，说明：向量数量积不满足消去律，也就是说：也就是说：巩固训练巩固训练 题题1 1、求证：、求证：2 2、判断下列说法的正误，并说明理由、判断下列说法的正误，并说明理由=-3=-3=-34=-34=-5=-52.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角一、复习：一、复习：a与与b的数量积的数量积 ？已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量|a|
66、b|cos叫做叫做a与与b的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作ab ，即，即ab=|a|b|cos a b的几何意义：？的几何意义：？数量积数量积a b等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上投的方向上投|b|cos 的的乘积。乘积。向量的基底？向量的基底？不共线的平面向量不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底叫做这一平面内所有向量的一组基底.探索探索1: 已知两个非零向量已知两个非零向量a=(x 1, y2) ， b=(x1 , y2) ，怎样用，怎样用a 与与 b的坐标表示呢？请同学们看下列问题的坐标表示呢？请同学们看下列问题.设x轴上单位向
67、量为 ，Y轴上单位向量为请计算下列式子：=1100问题问题2：你能：你能推导出 的坐标公式？解解:即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。已知已知由向量的数量积的坐标表示，类似可得：若设则这就是A、B两点间的距离公式. 例例1：的夹角有多大？想想解：解：（1）（2）（3）问题问题3：你能写出向量夹角公式的坐标表示式，你能写出向量夹角公式的坐标表示式，以及向量平行和垂直的坐标表示式以及向量平行和垂直的坐标表示式.例例2：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（2,5）,试判断 ABC的形状，并给出证明。解：如图在平面直角坐标系中标出A（1, 2）,B（2,3）,C（2,5）三点，我们以现A
68、BC是直角三角形，下面证明：证明：证明：ABC是直角三角形思考：还有其他证明方法吗？提示：尝试用勾股定理来证明提示：尝试用勾股定理来证明例3：设a=(5, 7) ， b=( 6 , 4) ，求ab 及a、b间的夹角（精确到1）解：解：ab=5（ 6）+（ 7）（ 4）= 30+28=2四、练习：P121练习123题五、演练反馈、演练反馈1、若 则 与 夹角的余弦值 为 （ ）由计算器得利用计算器可得：超链超链六、小结小结A、B两点间的距离公式:已知（2）（3）（1）六、布置作业:答案：1.解：2.解3.解：平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背向量概念和运算
69、，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为以后，向量的运算就可以完全转化为“代代数数”的计算，这就为我们解决物理问题和的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。几何研究带来极大的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的
70、此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。一些问题。问题：问题：平行四边形是表示向量加法与减法平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图的几何模型。如图，你能发现平行四边形你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？吗？ABCD猜想：猜想：1.1.长方形对角线的长度长方形对角线的长度长方形对角线的长度长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有何关系？何关系？何关系？何关系？2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？例例1、证明平行四边形四边平方和等于两
71、对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：解：解：设 ，则 分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。你能总结一下利用向量法解决平面几何问题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题
72、；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形例例2 如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别分别是是AD 、 DC边的中点，边的中点，BE 、 BF分别分别与与AC交于交于R 、 T两点，你能发现两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC解：设解：设 则则由于由于 与与 共线，故设共线，故设又因为又因为 共线，共线，所以设所以设因为因为 所以所以ABCDE
73、FRT线线，故故AT=RT=TCABCDEFRT练习、证明直径所对的圆周角练习、证明直径所对的圆周角是直角是直角ABCO如图所示，已知O，AB为直径，C为O上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 。解：解：设 则 ，由此可得：即 ，ACB=90思考：能否用向量思考：能否用向量坐标形式证明？坐标形式证明？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系
74、，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。小结：小结：用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：作业：作业：课本课本P125 1,2一、向量与物理学的联系一、向量与物理学的联系 向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物理中，通常被向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术中有广泛的应用，因此，我们称为矢量！在物理学，工程技术中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识！要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识！1、向量既是有大小又有方向的量
75、，物理学中，力、速度、向量既是有大小又有方向的量，物理学中，力、速度、加速度、位移等都是向量！加速度、位移等都是向量！2、力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减、力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减法，运动的叠加也用到向量的合成！法，运动的叠加也用到向量的合成！3、功的定义即是、功的定义即是F与所产生位移与所产生位移S的数量值的数量值例题例题例例1：同一平面内，互成：同一平面内，互成12 的三个大小相等的共点力的三个大小相等的共点力的合力为零。的合力为零。BO120abcD CA证：证：如图，用如图，用a，b，c表示这表示这3个共点力，个共点力，且且a，b，c互成互成120，模相
76、等，按照向量，模相等，按照向量的加法运算法则，有：的加法运算法则，有： a +b +c = a +（b +c）=a +OD 又由三角形的知识知：三角形又由三角形的知识知：三角形OBD为等边三角形，故为等边三角形，故 a与与OD共线且模相等共线且模相等 所以：所以：OD = -a ，即有：，即有： a+ b+ c =0 例例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？小越省力！你能从数学的角
77、度解释这个现象吗？分析：分析：上述的问题跟上述的问题跟如图所示如图所示的是同个问题，抽象为数学模的是同个问题，抽象为数学模型如下：型如下： F2F1FG用向量用向量F1，F2，表示两个提力，表示两个提力，它们的合向量为它们的合向量为F，物体的重力，物体的重力用向量用向量G来表示，来表示， F1，F2的夹角的夹角为为，如右图所示，只要分清，如右图所示，只要分清F，G和和三者的关系，就得到了三者的关系，就得到了问题得数学解释！问题得数学解释！F1FG F2cos2探究：探究：（1）为何值时，为何值时， 最小，最小值是多少最小，最小值是多少？ F1（2） 能等于能等于 吗？为什么？吗？为什么？ F1
78、 G F1解：不妨设解：不妨设 = ，由向量的由向量的 平行四平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道：可以知道： = （*） 通过上面的式子，有：当通过上面的式子，有：当由由0到到180逐渐变逐渐变大时，大时， 由由0到到90逐渐变大，逐渐变大， 的值由大逐的值由大逐渐变小，因此渐变小，因此 ： 由小逐渐变大，即由小逐渐变大，即F1 ，F2之间之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！的夹角越大越费力，夹角越小越省力！ F2 F1 Gcos22cos22 F1答：在（答：在（*）式中，当）式中，当 =0时，时， 最大，最大， 最小且等于最小
79、且等于cos2 F1 G2答：在（答：在（*）中，当）中，当 = 即即=120时，时， = cos212 F1 GF2小结：小结： （1）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！受力平衡，画出相关图形！（2）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！用向量的有关法则解决问题！（3）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。）、用数学的结果解决物理问
80、题，回答相关的物理现象。例例4：如图如图，一条河流的两岸平行，河的宽度，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一艘，一艘船从船从A处出发到河对岸。已知船的速度处出发到河对岸。已知船的速度 =10km/h，水流的，水流的速度速度 = 2km/h。 问：问：（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？行驶航程最短时，所用的时间是多少？ （2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ v1 v2分析：分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的以只有
81、当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的方向时，小船的航程最小。方向时，小船的航程最小。 （2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小垂直于河岸方
82、向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。船过河所用时间才最短。500mA把物理问题转化为数学模型为：把物理问题转化为数学模型为：解（解（1） = = 所以所以 t = = 60 答：行驶的航程最短时，所用的时间答：行驶的航程最短时，所用的时间是是3.1min。 v- v12 v2296d v0.5963.1（min） （2） t = = 60 = 3 （min）答：行驶的时间最短时，所用的时间是答：行驶的时间最短时，所用的时间是3mind v10.510（1）ABv1v2v（2）v2v1v练习；练习； （1）如图所示，用两条成）如图所示，用两条成120的等长的绳子悬挂
83、一的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是，则每根绳子的拉力是。12010N如图，今有一艘小船位于如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边宽的河边P处，从这里起，在下游处，从这里起，在下游 =80m处河流有一处河流有一处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为（与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小为了使小船能安全过河，船的划速不能小于多少？当船能安全过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？划速最小时，划速方向如何？PQ瀑瀑布布Q，60mPQ瀑瀑布布V船船V水水
84、V合合的方向的方向PQ从图上看，哪个速度（向量的模）最小？从图上看，哪个速度（向量的模）最小？分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速和它们的合速度为和它们的合速度为 、 和和 ，由题意，由题意，船的实际速度为向量船的实际速度为向量其方向为临界方向其方向为临界方向 ，船只要朝着这个方向行，船只要朝着这个方向行驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：PQ V船船V水水V合合=+V船船V水水V合合解：由题意知：解：由题意知： 其方向为临界方向其方向为临界方向 ，设，设 和和 夹角为夹角为，则最小划速为：，则最小划速为：
85、 sin = =所以：最小的船速应为：所以：最小的船速应为：V船船V水水V合合=+PQV水水V合合 v船船= v水水sin v船船= 5 sin =5 =3（m/s）提问提问:表示划船速度的向量怎样画表示划船速度的向量怎样画?如何解决物理中与向量有关的问题：如何解决物理中与向量有关的问题：（1）、弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系（数学模型）；）、弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系（数学模型）；（2）、灵活运用数学模型研究有关物理问题；）、灵活运用数学模型研究有关物理问题；（3）、综合运用有关向量的知识，三角等和物理知识解决实际）、综合运用有关向量的知识，三角等和物理知识解决实际问题；问题；（
86、4）、用所得的结果解释物理现象。）、用所得的结果解释物理现象。总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛，它也是解释某些总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛，它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过这节课的学习，我们应掌握什么物理现象的重要基础知识。通过这节课的学习，我们应掌握什么内容？内容？平面向量应用举例用向量的方法研究平面几何用向量的方法研究平面几何 向量概念和运算，都有明确的物理背景和向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为量的运算就可以完全转化为“代数代数”的计算，的计算，这就为我
87、们解决物理问题和几何研究带来极大这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。可以解决平面几何中的一些问题。 引入引入问题：问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的何模
88、型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCD猜想：猜想：1.1.长方形对角线的长度长方形对角线的长度长方形对角线的长度长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有何关系？何关系？何关系？何关系？2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？例例1、证明平行四边形四边平、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD。求证求证：分析：因为平行四边形对边平行且相等，分析：因为平行四边形对边平
89、行且相等，故设故设 ,其它线段对应向量用它们其它线段对应向量用它们表示。表示。 例题例题ABDC解解:设设 ，则，则 例题例题变式变式1、证明平行四边形两对、证明平行四边形两对角线互相平分角线互相平分ABDC 例题例题M用向量法解平面几何问题的基本思路用向量法解平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把
90、运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形 想一想想一想ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC例例2 如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD 、 DC边的中点，边的中点，BE 、 BF分别与分别与AC交于交于R 、 T两点，你能发现两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间之间的关系吗？的关系吗？解：设解：设 则则由于由于 与与 共线，故设共线，故设又因为又因为 共线，共线，所以设所以设因为因为 所以所以ABC
91、DEFRT线，线，故故 AT=RT=TCABCDEFRT证明直径所对的圆周角是直角证明直径所对的圆周角是直角ABCO 如图所示，已知如图所示，已知 O，AB为直径，为直径，C为为 O上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90分析：要证分析：要证ACB=90，只须证，只须证向量向量 即即 解：设解：设 则则 ，由此可得由此可得：即即 ，ACB=90 练习练习你能从数学的角度解释你能从数学的角度解释这种现象吗？这种现象吗？ 在日常生活中，你是否有这样的经验：两在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂
92、的夹角越小越单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。省力。例例1 1（1） 为何值时，为何值时， |F1|最小，最小值是最小，最小值是多少？多少？（2） |F1|能等于能等于|G|吗？为什么？吗？为什么？例例2 2思考题思考题:已知船在静水中的速度是已知船在静水中的速度是3km/h,它它要横渡要横渡30m的河流的河流,已知水流的速度是已知水流的速度是4km/h,思考思考:1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达正这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达正对岸吗对岸吗? 思考题思考题解：解：|v|=（km/h），所以），所以 t= 60=3.1（min）.答：行答：行驶航程最短航程最短时，所用，所用
93、时间是是3.1min. 分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸，如图必须垂直于对岸，如图 （1）行驶航程最短行驶航程最短, ,是否就是航程时间是否就是航程时间最短呢最短呢? ?（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素
94、，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”： 小结小结物理问题物理问题(实际问题）实际问题）向量问题向量问题(数学模型数学模型)数学问题数学问题的解决的解决解释和验证相解释和验证相关物理现象关物理现象 小结小结利用向量法解决平面几何问题的基本思路利用向量法解决平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及
95、的几建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；等问题；（3）把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系。成几何关系。一、复习一、复习例例3、证明直径所对的圆周角是直角证明直径所对的圆周角是直角ABCO已知：已知：如图所示，已知如图所示，已知 O，AB为为直径，直径，C为为 O上任意一点。上任意一点。求证：求证：ACB=90证明：证明：设则，由此可得：即，ACB=90思考：思考：能否用向量能否用向量坐
96、标形式证明？坐标形式证明？二、例题分析二、例题分析xy三、练习三、练习1、在、在ABC中中,点点D在在BC边上上,且且则3rs的的值为 （ ）2、已知直、已知直线l：mx2y60，向量（，向量（1m，1）与）与l平行平行则实数数m的的值为 （ ）A.-1 B.1 C.2 D.-1或或2DC向量在物理中的应用向量在物理中的应用二、关于速度的研究二、关于速度的研究一、关于力的研究一、关于力的研究情景情景1：两人一起提一个重物时：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力怎样提它最省力?平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用夹角越小越省力夹角越小越省力两臂的夹角越小两臂的夹角越小,手臂就越省力手臂就
97、越省力情景情景2:一个人在单杠上做引体向上时一个人在单杠上做引体向上时, 手臂怎样握杠才省力手臂怎样握杠才省力?例例1 1、生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体。绳子的最大拉生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体。绳子的最大拉力为力为T,T,物体重量为物体重量为G,G,分析绳子受到的拉力大小分析绳子受到的拉力大小F F1 1与两绳子间的夹与两绳子间的夹角角的关系？的关系？平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用GFF1F2例例1 1、生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体。绳子的最大拉生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体。绳子的最大拉力为力为T,T,物体重量为物体重量为G,G,分析绳子受到的拉
98、力大小分析绳子受到的拉力大小F F1 1与两绳子间的夹与两绳子间的夹角角的关系？的关系？GFF1F2当当由由0180逐逐渐增大增大时， 由由090逐逐渐增大，而增大，而 的的值逐逐渐缩小，因此小，因此 逐逐渐增大，增大，解：解：设 ,则由向量的平行四由向量的平行四边形法形法则、力的平衡及直角三角形的知、力的平衡及直角三角形的知识可知可知即即 之之间的的夹角越大越角越大越费力，力，夹角越小越省力角越小越省力平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用例例1 1、生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体。绳子的最大拉生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体。绳子的最大拉力为力为T,T,物体重量为物体重量为
99、G,G,分析绳子受到的拉力大小分析绳子受到的拉力大小F F1 1与两绳子间的夹与两绳子间的夹角角的关系？的关系？GFF1F2思考：思考：1、为何值时，为何值时， 最小，最小值是多少？最小，最小值是多少？ 当当=0， 最小，最小最小，最小值是是2、为何何值时，当当 时， 平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用练习：练习：如图，用两条成如图，用两条成120度的等长的绳子悬挂灯具，灯具的重量是度的等长的绳子悬挂灯具，灯具的重量是10N，则每根绳子的拉力大小是，则每根绳子的拉力大小是_ 10N例例2 2. .已知船在静水中的速度是已知船在静水中的速度是v1 1, ,水流的速度是水流的速度是v2
100、2 , ,河的河的宽度是宽度是 500m.500m.若若|v1|=10km/h,|v2|=2km/h,d=500m,则要使船要使船垂直到达垂直到达对岸，岸，v1与与v2的的夹角角为多少？航行了多少多少？航行了多少时间？v2vv1解：解：如如图所示所示答答:略略v2平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用精确到精确到0.1min 练习：一条河宽为练习：一条河宽为400m，一船从，一船从A出发航行垂直到出发航行垂直到达河正对岸的达河正对岸的B处，船速为处，船速为20km/h，水速为，水速为12km/h，则，则船到达船到达B处所需时间为处所需时间为_AB水流方向水流方向1.5min练习1、一船从
101、某河的一岸一船从某河的一岸驶向向对岸，船速岸，船速为 ，水速，水速为已知船可垂直到达已知船可垂直到达对岸，岸，则（ ）2、已知作用在已知作用在A点的三个力点的三个力 ，A(1，1)则合力合力 的的终点坐点坐标是（是（ ）A.(8,0) B.(9,1) C.(-1,9) D.(3,1)BB3、一个物体受到两个相互垂直的力一个物体受到两个相互垂直的力 的作用，两的作用，两边大小都大小都为 ，则两个力的合力的大小两个力的合力的大小为（ ）4、三个力三个力 同同时作用于点作用于点O且且处于平衡状于平衡状态，已知已知 的的夹角角为120，又，又 ，则C20N练习作作业：习题2.5 A组 4练习练习名名师
102、一号一号 113页2、在、在ABC中中,点点D在在BC边上上,且且则3rs的的值为 （ ）8、已知直、已知直线l：mx2y60，向量（，向量（1m，1）与）与l平行平行则实数数m的的值为 （ ）A.-1 B.1 C.2 D.-1或或2DC一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，若船是垂直到达对岸的，则船在河中实际航行速度的大小为( ) A.v12-v22B.|v1|2+|v2|2D人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为( ) A.v1-v2 B.|v1|+|v2| C.|v1|-|v2| D.|v1-v2|C三个力F1、F2、F3同时作用于O点且处于平衡状态,已知F1与F3的夹角为120,又|F1|F2|20N,则|F3| . 20N
