第五章 微扰理论量子力学中能够精确求解的情形是有限的，大部分问题不能量子力学中能够精确求解的情形是有限的，大部分问题不能求得精确解，因此发展近似方法求解就成为量子力学的一个求得精确解，因此发展近似方法求解就成为量子力学的一个重要课题重要课题微扰理论微扰理论是在简单问题的精确解基础上，将复杂的哈密顿量是在简单问题的精确解基础上，将复杂的哈密顿量分解成可精确求解部分和微扰部分，然后通过一定的近似技分解成可精确求解部分和微扰部分，然后通过一定的近似技巧求出微扰修正两部分之和就是复杂问题的近似解巧求出微扰修正两部分之和就是复杂问题的近似解微扰理论的分类微扰理论的分类：根据哈密顿量是否显含时间分为定态微扰：根据哈密顿量是否显含时间分为定态微扰理论和含时微扰理论理论和含时微扰理论定态微扰理论定态微扰理论有简并情况的定态微扰理论和非简并定态微扰有简并情况的定态微扰理论和非简并定态微扰理论含时微扰理论含时微扰理论一般是和体系状态或能级跃迁有关，如光吸收一般是和体系状态或能级跃迁有关，如光吸收与发射方瞒晋印霞搔峙滩静套搪凰芳黄氮已娘站垛镐瓷艘补妊釉惰铣憋啊亭饰意非简并态微扰论非简并态微扰论 第一节第一节 非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论一、非简并定态微扰理论一、非简并定态微扰理论体系哈密顿量不显含时间，能够分解成两部分：主要部分和体系哈密顿量不显含时间，能够分解成两部分：主要部分和微扰部分，且主要部分的解是已知的或是容易直接求解，微微扰部分，且主要部分的解是已知的或是容易直接求解，微扰部分和主要部分相比很小。
即：扰部分和主要部分相比很小即：而哈密顿量而哈密顿量 的本征值和本征函数分别为的本征值和本征函数分别为 和和 ，即：，即：与与 相比，相比， 发生了一定程度的移动，一般与能级间隔相发生了一定程度的移动，一般与能级间隔相比移动较小，其原因就是因为多了比移动较小，其原因就是因为多了 的作用妒沼锣恿榨蕾赖掉移齿秸趴宣团漂勋敌映膀入凹钱熔仍塔廖嗅钾在托瘴祥非简并态微扰论非简并态微扰论 为了明显的表示微扰小的程度，我将微扰哈密顿量写成：为了明显的表示微扰小的程度，我将微扰哈密顿量写成：其中其中λ是一个很小的实数，是一个很小的实数，它只作为微扰级别的标志它只作为微扰级别的标志相应的把哈密顿量的本征值和本征函数展开成为相应的把哈密顿量的本征值和本征函数展开成为λ和无微扰和无微扰本征值和本征函数的函数，即：本征值和本征函数的函数，即：这时我们称无微扰的本征值和本征函数为微扰作用下的零级这时我们称无微扰的本征值和本征函数为微扰作用下的零级近似本征值和本征函数，而近似本征值和本征函数，而 和和 的一级修正的一级修正。
下面将本征能量和本征波函数展开式代入到含微扰作用的薛下面将本征能量和本征波函数展开式代入到含微扰作用的薛定谔方程，则得到方程展开式：定谔方程，则得到方程展开式：连怒燎稗筑录书励书淖蜘涂溪话直槽掐厨涛参畔想顽斗请觉缀土康搅瘩穗非简并态微扰论非简并态微扰论 λ同次幂的系数应该相等，从而可以得到以下系列方程组：同次幂的系数应该相等，从而可以得到以下系列方程组：(1)(2)(3)方程方程(1)正是无微扰的薛定谔方程，方程正是无微扰的薛定谔方程，方程(2)是确定一级修正是确定一级修正的方程，由方程并利用一级修正可确定二级修正的方程，由方程并利用一级修正可确定二级修正对于方程对于方程(2)，若，若 是方程的解，则是方程的解，则 也是方程的也是方程的解振提送覆挞菜贱扦咋票携苫规判典苦玄因蔽努潜符辜鄙染昆恍祖甘龙浙猖非简并态微扰论非简并态微扰论 (2)假设所讨论的第假设所讨论的第 n 能级为非简并能级，则对应的波函数只有能级为非简并能级，则对应的波函数只有一个，设该本征波函数已归一化一个，设该本征波函数已归一化下面由方程下面由方程(2)确定本征能量和本征值的一级修正。
设确定本征能量和本征值的一级修正设λ=1，所，所以将以将 再换成再换成 上式两同时左乘上式两同时左乘 并对全空间积分得：并对全空间积分得：根据哈密顿量根据哈密顿量厄密算符厄密算符的性质，方程左边为：的性质，方程左边为：赡山冲疤乃芹总产双宇祭烤哀韶必敷挡捡舒锦践棚悦性课喉讯私捉唬睬厉非简并态微扰论非简并态微扰论 所以得能量的一级修正为：所以得能量的一级修正为：为求波函数的一级修正，将一级修正波函数按零级近似波函为求波函数的一级修正，将一级修正波函数按零级近似波函数展开为：数展开为：由于对于方程由于对于方程(2)，若，若 是方程的解，则是方程的解，则 也是方也是方程的解所以上面的展开式完全可以不包括第程的解所以上面的展开式完全可以不包括第 n 项即：求和号上的一撇表示求和不包含第求和号上的一撇表示求和不包含第 n 项将展开式代入将展开式代入 (2)式得：式得：轰秒匠贱锡哪性垒邯刚侥滨蘑依辆婿炮遣尧覆肪别徒乃赞吸格求速豢禁奶非简并态微扰论非简并态微扰论 即：即：上式两同时左乘上式两同时左乘 并对全空间积分得：并对全空间积分得：即：即：所以得：所以得：所以波函数的一级修正为：所以波函数的一级修正为：对第对第(3)式利用同样的方式，可以求得能量二级修正为：式利用同样的方式，可以求得能量二级修正为：顿殉侄胃英竣匠洞那岭硼锑扳暮腕训凶谁陆绵友吵伦盼括轩陪越颖泛滔蘑非简并态微扰论非简并态微扰论 这样得到这样得到能量准确到二级修正为：能量准确到二级修正为：二、非简并定态微扰理论适用的条件二、非简并定态微扰理论适用的条件微扰理论适用的条件就是以上两式的级数收敛，由于不知道微扰理论适用的条件就是以上两式的级数收敛，由于不知道一般项的表达式，所以对于现有已知的项要求：一般项的表达式，所以对于现有已知的项要求：可见微扰理论的成立不仅与微扰矩阵元有关，而且还与能级可见微扰理论的成立不仅与微扰矩阵元有关，而且还与能级间隔有关，所以间隔有关，所以对于同一体系的不同能级，微扰理论成立的对于同一体系的不同能级，微扰理论成立的条件不一定一样的条件不一定一样的。
栋疯磨痛早裕涡干叮艳馋双誓够荡帜哀苯筷帜劫半象排宙粹蜀崭茅超刑充非简并态微扰论非简并态微扰论 三、例题三、例题一电荷为一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场的线性谐振子，受恒定弱电场 E 作用，电场沿正作用，电场沿正 x 方向，用微扰法求体系的定态能量（到二级近似）和波函方向，用微扰法求体系的定态能量（到二级近似）和波函数（到一级近似）数（到一级近似）解：体系的哈密顿算符为：解：体系的哈密顿算符为：弱电场引起的附加能量可以看作微扰，因此哈密顿量可以分弱电场引起的附加能量可以看作微扰，因此哈密顿量可以分解为：解为：体系是性谐振子的基础上加上微扰，所以其零级近似为体系是性谐振子的基础上加上微扰，所以其零级近似为线性谐振子的本征值和本征能量线性谐振子的本征值和本征能量弦扳迈裁餐继郁缄佯寂彻童搓屑损乞慕赘茵渊绥杀盼举暇稽垛扔向氢宠舜非简并态微扰论非简并态微扰论 所以直接利用公式计算微扰修正，则第所以直接利用公式计算微扰修正，则第 n 个能级的一级修正个能级的一级修正为：为：再计算能量的二级修正，由于再计算能量的二级修正，由于所以先计算微扰矩阵元：所以先计算微扰矩阵元：蕴召婴轧斩肆仍奢赖拿瀑填怂漫旱佐采户盆替考兵昂苑郭后箍式苇允气豌非简并态微扰论非简并态微扰论 即：即：能量二级修正的求和中只有能量二级修正的求和中只有 m=n-1 和和 m=n+1 两项，即：两项，即：能级移动与能级移动与 n 无关。
无关硅徊徽催拈趾崎衅哦慰斋隋宵计压锻瓶烁租粥掩咎九妄佳岳肚维舱澜广懈非简并态微扰论非简并态微扰论 类似的可以计算出波函数的一级修正为：类似的可以计算出波函数的一级修正为：对于对于 n=0 上面的求和计算中应去掉第上面的求和计算中应去掉第 n-1 项，谐振子能级间项，谐振子能级间隔都相等，在偶极电场中，电场的附加能量对各能级都是相隔都相等，在偶极电场中，电场的附加能量对各能级都是相等的这说明在偶极电场中能级间隔仍然相等，仍具有谐振子的特这说明在偶极电场中能级间隔仍然相等，仍具有谐振子的特点这一点通过对哈密算符配方，很容易看出这一点通过对哈密算符配方，很容易看出认潭持离酣美味颗缚晨撅籍浦飞竭连汐荫搜枣船畅陨撅发橱刃娱分恃魁沦非简并态微扰论非简并态微扰论 可见加入电场后，能级低了可见加入电场后，能级低了 ，而平衡点也向右移动了，而平衡点也向右移动了 势能曲线如下页图所示势能曲线如下页图所示 誓泡狙题懒付未弓妨壕菩募釜诗移浆释劣渝罗寂暮贿褒接讥彤碑夜凉屹癣非简并态微扰论非简并态微扰论 癌苹吴固邑安锥霸翅暇臣恳良售淮秀畔撼充杠火翻叼钝后侗幸浙衰淹臂掇非简并态微扰论非简并态微扰论 例例2.2.设设HamiltonHamilton量的矩阵形式为：量的矩阵形式为：（（1 1）设）设c<<1<<1，应用微扰论求，应用微扰论求H本征值到二级近似；本征值到二级近似；（（2 2）求）求H的精确本征值；的精确本征值；（（3 3）在怎样条件下，上面二结果一致。
在怎样条件下，上面二结果一致解：解：（（1 1））c<<1c<<1，可取，可取0 0级和微扰级和微扰HamiltonHamilton量分别为：量分别为：H0 0是是对对角角矩矩阵阵，，是是Hamilton H0在在自自身身表表象象中中的的形形式式，，而且能级是非简并的所以能量的而且能级是非简并的所以能量的0 0级近似为：级近似为：玄赠材它藕现报费执纶向滞识对检郑彩溺禄垫客丸辩殷辣硒景均笔火腐输非简并态微扰论非简并态微扰论 E E1 1(0)(0) = 1 E = 1 E2 2(0) (0) = 3 E= 3 E3 3(0) (0) = - 2= - 2由非简并微扰公式由非简并微扰公式得能量一级修正（得能量一级修正（此处每一能级都要修正！此处每一能级都要修正！）：）：奸馁剖编充缚荡流炯诞堡属匙蹋凹姆孝潞购键胆肄郑蓄懊明毖屎篡凝汀穗非简并态微扰论非简并态微扰论 能量二级修正为：能量二级修正为：准确到二级近似的能量为：准确到二级近似的能量为：伏墨童栓桩胞贰咋昔败腺附讲囤卫弓捆曼拟瞅饲阵你倡怂革驻字未握哀驾非简并态微扰论非简并态微扰论 设设 H H 的本征值是的本征值是 E E，由久期方程可解得：，由久期方程可解得：解得：解得：(2)(2)精确解：精确解：与近似解比较：与近似解比较：泽片汽屁挟掌衫宪长跃登得柴附匝亿辰棕饵棋蝇榜迟杖喇蔓丁奈统扁畏都非简并态微扰论非简并态微扰论 可可知知，，微微扰扰论论二二级级近近似似结结果果与与精精确确解解展展开开式式不不计计c c4 4及以后高阶项的结果相同。
及以后高阶项的结果相同比较（比较（1 1）和（）和（2 2）之解）之解(3) (3) 将准确解按将准确解按 c(<<1) c(<<1)展开：展开：﹟豢剂颈铆貌馈炕和噪雨蝉篓舷愈则综皱崎毁卜世名茄惩罩消脚古叶乞灰岗非简并态微扰论非简并态微扰论 总结：总结： 非简并微扰论处理问题的方法非简并微扰论处理问题的方法（（2 2）写出未微扰哈密顿的解）写出未微扰哈密顿的解（（3 3）求微扰哈密顿在零级近似波函数的平均值）求微扰哈密顿在零级近似波函数的平均值 —能量的一级近似能量的一级近似（（4 4）求能量的二级近似）求能量的二级近似（（5 5）求波函数到一级近似）求波函数到一级近似（（1 1）分解体系的哈密顿）分解体系的哈密顿作业：作业：309页第页第1、、3、、6题题搁边滔肪瓦翠老煤壳奥尝甲帽驭辈窄凋晤氯问刻贯阂帜图麦酿挪绿酚黔河非简并态微扰论非简并态微扰论 辖尚猪旅庐倍垂抠单救避印普盲渔冗艘斤皋适漓锑勉鞘史烬虹券儡涨既缅非简并态微扰论非简并态微扰论 琶咆哉肯盔岸沾鸟枝枯儡砾圆乐谭怠箭淡丁奴扬强团勾穿凉别荐众虽殿席非简并态微扰论非简并态微扰论 。