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1、山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩5.3 绕定定轴转动刚体的体的动能能 动能定理能定理一、一、 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能z O的的动能能为P山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩绕定定轴转动刚体的体的动能等于能等于刚体体对转轴的的转动惯量与其角速度平方乘量与其角速度平方乘积的一半。的一半。刚体的总动能刚体的总动能山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩二、力矩的功二、力矩的功 O 根据功的定根据功的定义
2、力矩做功的微分方式力矩做功的微分方式对一有限一有限过程程假假设 M = C力的累力的累积过程程 力矩的空力矩的空间累累积效效应。.P山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩(2) 力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。(3) 内力矩作功之和内力矩作功之和为零。零。(1) 合力矩的功合力矩的功讨论讨论 (4) 力矩的功率力矩的功率力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘积。山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩三、绕定轴刚体的动能定理三、绕定轴刚体的
3、动能定理 合力矩功的效果合力矩功的效果元功元功 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩对于一有限于一有限过程程 绕定定轴转动刚体在任一体在任一过程中程中动能的增量能的增量, 等于在等于在该过程中作用在程中作用在刚体上一切外力矩所体上一切外力矩所作功的作功的总和。和。绕定定轴转动刚体的体的动能定理。能定理。即即山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩讨论讨论 (3) 刚体体动能的增量，等于外力的功。能的增量，等于外力的功。(2) 刚体的内力做功之和体的内力做功之和为零；零； (1
4、) 质点系点系动能能变化取决于一切外力做功化取决于一切外力做功及内力做功；及内力做功；山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩刚体重力势能刚体重力势能定定轴转动刚体的机械能体的机械能质心的势能质心的势能 对于包括于包括刚体的系体的系统，功能原理和机械，功能原理和机械能守恒定律仍成立。能守恒定律仍成立。四、四、 刚体的机械能刚体的机械能山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例1 长为长为 l ,质量为质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动在竖
5、直平面内转动, 初始时它在程度位置。初始时它在程度位置。解解: 由由动能定理能定理求求: 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 。Olm Cx山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩此此题也可用机械能守恒定律方便求解。也可用机械能守恒定律方便求解。而而 Olm Cx山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩h例例2 一个质量为一个质量为M , 半径为半径为 R 的定的定滑轮滑轮 (当作均匀圆盘当作均匀圆盘 ) 上面绕有细上面绕有细绳绳, 绳的一端固定在滑轮边上，另绳的一端固定在滑轮边
6、上，另一端挂一质量为一端挂一质量为m的物体而下垂。的物体而下垂。忽略轴处摩擦。忽略轴处摩擦。O RmM求求: 物体物体 m 由静止下落高度由静止下落高度 h 时的速度。时的速度。 圆盘对中心轴的转动惯量圆盘对中心轴的转动惯量 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩绳与与圆盘间无相无相对滑滑动 v = R 利用利用刚体的体的动能定理能定理, 得得 圆盘受力矩受力矩 FTR 作作用用解：解：hO RmM由由质点的点的动能定理：能定理：山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩解法解法
7、2. 根据机械能守恒定律根据机械能守恒定律hO RmM山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例3 如下图如下图, 一质量为一质量为 m 的子弹以程度速的子弹以程度速度射入一静止悬于顶端长棒的度射入一静止悬于顶端长棒的 a 处处, 使棒使棒偏转偏转 30o, 知棒长为知棒长为 l , 质量为质量为 M 。 解解: 将子将子弹和棒看作一个系和棒看作一个系统, 在极短在极短时间内系内系统角角动量守恒。量守恒。求求: 子子弹的初速度的初速度 v 0 。 v0mMla山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体
8、力学基础 动量矩动量矩 子子弹射入棒后射入棒后,以子以子弹、棒、地球、棒、地球为一一系系统, 机械能守恒。机械能守恒。初速度初速度山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例4 将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点点,杆的质量杆的质量 m 与单摆的摆锤相等。与单摆的摆锤相等。 开场时开场时直杆自然下垂直杆自然下垂, 将摆锤拉到高度将摆锤拉到高度 h 0 , 令它令它自静止形状下落自静止形状下落, 于铅垂位置和直杆作弹性于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。碰撞。求求:碰撞后直杆碰撞后直杆下端达下端达 到的高到的高
9、度度 h 。 mlholchchh山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩解解: 碰撞前碰撞前单摆摆锤的速度的速度为碰撞后直杆的角速度碰撞后直杆的角速度为 , 摆锤的速度的速度为v 。由角由角动量守恒量守恒 在在弹性碰撞性碰撞过程中机械能守恒程中机械能守恒山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩联立二式立二式,得：得：按机械能守恒按机械能守恒,碰撞后碰撞后摆锤到达的高度到达的高度为杆的杆的质心到达的高度心到达的高度满足足得得山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五
10、章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 5.4 动量矩和量矩和动量矩守恒定律量矩守恒定律 力矩的力矩的时间累累积效效应 力的力的时间累累积效效应冲量、冲量、动量、量、动量定理。量定理。 冲量矩、冲量矩、动量矩、量矩、动量矩定理。量矩定理。山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩动量矩的引入：动量矩的引入：但是但是 在质点的匀速圆周运动中在质点的匀速圆周运动中, ,动量动量 不守不守恒。恒。山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例子例子: 开普勒行星运动定律的面积定律开普勒行
11、星运动定律的面积定律: 实例都阐明实例都阐明 是一个独立的物理量。是一个独立的物理量。 再思索到行星的再思索到行星的质量量m为恒量，恒量，行星在相等的行星在相等的时间内内扫过相等的面相等的面积。 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩开普勒第二定律开普勒第二定律(面积定律面积定律):行星在相等的时间内扫过相等的面积。行星在相等的时间内扫过相等的面积。 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 在描画行星的在描画行星的轨道运道运动, 自自转运运动,卫星的星的轨道运道运动及微及微观
12、粒子的运粒子的运动中都具中都具有独特作用。有独特作用。 因此因此, 必需引入一个新的物理必需引入一个新的物理量量 动量矩量矩 L, 来描画来描画这一景象。一景象。 卫星星地球地球+山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩一、动量矩一、动量矩1. 质点的点的动量矩量矩( 对O点点 ) 质量为质量为 的质点以的质点以速度速度 在空间运动在空间运动, 某时某时辰相对原点辰相对原点O的位矢为的位矢为 , 质点相对于原点的动量矩质点相对于原点的动量矩大小：大小： 方向方向: 符合右手螺旋法那么。符合右手螺旋法那么。山东轻工业学院山东轻工业学院 数
13、理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩讨论讨论 (1) 质点的点的动量矩与量矩与质点的点的动量及位矢量及位矢有关有关 (取决于固定点的取决于固定点的选择) 。(2) 在直角坐在直角坐标系中的分量式系中的分量式 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 (3) 当当质点作点作圆周运周运动时： 质点以角速度点以角速度 作半径作半径为r 的的圆运运动，相，相对圆心的心的动量矩的大小量矩的大小kgm2/s (5) 单位单位: (4) 动量矩的定量矩的定义并没有限定并没有限定质点只能作曲点只能作曲线运运动而不能作直而不
14、能作直线运运动。山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩2. 刚体绕定轴转动的动量矩刚体绕定轴转动的动量矩 O质点点对 z 轴的的动量矩量矩 刚体上任一体上任一质量元量元对 z 轴的的动量矩量矩为 Oz山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 刚体上任一体上任一质量元量元对 z 轴的的动量矩具有一量矩具有一样的方向。的方向。(一切一切质元元对 z 轴的角的角动量之和量之和) O Oz阐明明 动量矩与量矩与质点点动量量 对比比: Jz m， v 。山东轻工业学院山东轻工业学院 数理
15、学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩二、二、 质点的动量矩定理和动量矩守恒定律质点的动量矩定理和动量矩守恒定律知知 1.质点的动量矩定理质点的动量矩定理山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 质点点动量矩定理的微分方式。量矩定理的微分方式。作用在作用在质点上的力矩等于点上的力矩等于质点点动量矩量矩对时间的的变化率。此即化率。此即质点点对固定点的固定点的动量矩定理。量矩定理。质点点动量矩定理的量矩定理的积分方式。分方式。积分，得分，得 冲量矩冲量矩山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚
16、体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩质点所受合力矩的冲量矩等于点所受合力矩的冲量矩等于质点的角点的角动量的增量。量的增量。 (2) 质点角点角动量的量的变化是力矩化是力矩对时间的的积累累结果。果。阐明明 (1) 冲量矩是力矩的冲量矩是力矩的时间积累累,是是质点角点角动量量变化的化的缘由。由。山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩2. 质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律质点点动量矩定理量矩定理 质点点动量矩守恒定律。量矩守恒定律。(1) 守恒条件守恒条件讨论山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力
17、学基础 动量矩动量矩(3) 自然界普遍适用的一条根本自然界普遍适用的一条根本规律。律。(2) 向心力的角向心力的角动量守恒。量守恒。 (4) 质点点对轴的角的角动量守恒定律量守恒定律: 假假设 Mz=0, 那么那么Lz =常数。即假常数。即假设力矩在某力矩在某轴上上的分量的分量为零零(或力或力对某某轴的力矩的力矩为零零)，那么，那么质点点对该轴的角的角动量守恒。量守恒。山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩求求: 此时质点对三个参考点的动量矩的大小。此时质点对三个参考点的动量矩的大小。 md1d2 d3ABC解解:例例1一质点一质点m
18、,速度为速度为 ,如下图如下图,A、B、C 分分别为三个参考点别为三个参考点,此时此时m 相对三个点的间隔相对三个点的间隔分别为分别为d1 、d2 、 d3 。山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例2半径为半径为R 的光滑圆环上的光滑圆环上A点有一质量为点有一质量为m 的的小球小球, 从静止开场下滑从静止开场下滑, 假设不计摩擦力。假设不计摩擦力。解解: 小球受重力矩作用小球受重力矩作用, 由由动量矩定理：量矩定理：求求: 小球到达小球到达B点点时对O的的动量矩和角速度。量矩和角速度。 ABRO山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学
19、院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩即即积分分ABRO山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 求求: 发射角射角及着及着陆滑行滑行时的速度的速度v 多大？多大？例例3 发射一宇宙飞船去调查一发射一宇宙飞船去调查一 质量为质量为 M , 半半径为径为 R 的行星的行星.当飞船静止于空间距行星中心当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度时，以速度v 0发射一质量为发射一质量为 m 的仪器。的仪器。 要使该仪器恰好擦过行星外表。要使该仪器恰好擦过行星外表。山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第
20、五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩解解: 引力引力场有心力有心力质点的点的动量矩守恒量矩守恒系系统的机械能守恒的机械能守恒山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩三、三、 刚体绕定轴转动下的动量矩定理和刚体绕定轴转动下的动量矩定理和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律质点的点的动量矩定理量矩定理刚体内任一体内任一质量元所受力矩量元所受力矩刚体内一切体内一切质量元所受力矩量元所受力矩1. 动量矩定理动量矩定理山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩对定定轴转动的的刚体体, Jz
21、 为常量常量, 刚体定体定轴转动的的动量矩定理微分方式。量矩定理微分方式。 而而 或或 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩刚体定体定轴转动中中, 动量矩定理与量矩定理与转动定律的关系定律的关系 刚体定体定轴转动的的转动定律本定律本质是是动量矩量矩定理沿固定定理沿固定轴方向分量式的一种特殊方式。方向分量式的一种特殊方式。山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩定定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量。量矩的增量。刚体定轴转动动量矩定理积
22、分方式刚体定轴转动动量矩定理积分方式: J 不不变时变时J 改改动时动时讨论 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩2. 刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律对定定轴转动刚体体假假设 动量矩量矩L不不变的含的含义:刚体体: J 不不变 , 那么那么 不不变。非非刚体体:因因 J 可可变,那么那么 J 乘乘积不不变。变形体形体绕某某轴转动时, 假假设mk那么那么变形体形体对该轴的角的角动量量山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩角动量守恒举例角动量守恒举
23、例花花样滑冰、跳水、芭蕾舞等滑冰、跳水、芭蕾舞等.L守守恒恒2L守守恒恒1山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例1 一均质棒一均质棒,长度为长度为 L,质量为质量为M,现有一子弹现有一子弹在距轴为在距轴为 y 处程度射入细棒处程度射入细棒,子弹的质量为子弹的质量为 m ,速度为速度为 v0 。求求: 子子弹细棒共同的角速度棒共同的角速度 。解解:其中其中m子子弹、细棒系棒系统的的动量矩守恒量矩守恒 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例2 由一长为由一长为L的均匀细杆
24、的均匀细杆, 可绕经过其中心可绕经过其中心点的轴在竖直平面内转动点的轴在竖直平面内转动, 当杆静止在程度当杆静止在程度位置时位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率v0垂直落在距点垂直落在距点O为为L/4处处, 并背叛转轴爬向端点。并背叛转轴爬向端点。 设小虫和小虫和细杆的杆的质量均量均为 m。 问: 要使要使细杆以恒定的角速度杆以恒定的角速度转动, 小虫小虫应以多大的速率爬以多大的速率爬向端点？向端点？v0mpL/4Or山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩解解:小虫落在小虫落在细杆上杆上为完全非完全非弹性碰撞性碰撞, 且且时间极
25、短重力矩作用可以忽略极短重力矩作用可以忽略, 碰撞前后系碰撞前后系统动量矩守恒量矩守恒, 故有：故有：得杆的角速度得杆的角速度为：v0mpL/4Or山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 作用在杆上的外力矩作用在杆上的外力矩为小虫的重力矩，由小虫的重力矩，由角角动量定理知量定理知由于由于细杆和小虫杆和小虫绕轴的的转动惯量量为：v0mpL/4Or山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩联立以上各式得到：立以上各式得到：小虫的速率小虫的速率 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数
26、理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例3 如下图如下图,一质量为一质量为m的子弹以程度速度射的子弹以程度速度射入一静止悬于顶端长棒的下端入一静止悬于顶端长棒的下端, 穿出后速度穿出后速度损失损失3/4, 知棒长为知棒长为 l, 质量为质量为M 。mM解解: 选取子取子弹和棒和棒为系系统, 其其动量矩守恒量矩守恒由于由于求求: 子子弹穿出后棒的角速度穿出后棒的角速度 。l所以所以 山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例4 质量分别为质量分别为 M1、M2 , 半径分别为半径分别为R1 、R2的两均匀圆柱的两均
27、匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动可分别绕它们本身的轴转动,二二轴平行。原来它们沿同一转向分别以轴平行。原来它们沿同一转向分别以10 ,20 的角速度匀速转动的角速度匀速转动, 然后平移二轴使它们的边缘然后平移二轴使它们的边缘相接触相接触,如下图。如下图。 求求: 最后在接触处无相对滑动最后在接触处无相对滑动时时, 每个圆柱的角速度每个圆柱的角速度 1 和和 2 。 R1M1R2M2R1M1R2M2山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩二二圆柱系柱系统角角动量守恒：量守恒： 对上述上述问题有以下的解有以下的解法法: 在接触在接触处无相无
28、相对滑滑动时, 二二圆柱柱边缘的的线速度速度一一样, 故有：故有：由以上二式就可解出由以上二式就可解出 1， 2 。其中其中 这种解法种解法对吗? ? R1M1R2M2山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 原解以原解以为系系统的的总动量矩量矩为二二圆柱各自柱各自对本本人的人的轴的角的角动量之和是量之和是错误的的, 由于系由于系统的的总动量矩只能量矩只能对某一个某一个轴进展展计算。当两柱体算。当两柱体边缘没有相没有相对滑滑动时 1， 2方向相反方向相反, 所以所以应为(1) 应对两两圆柱分柱分别运用运用动量矩定理量矩定理, 由于两柱由于两柱接触接触时摩擦力大小相等、方向相反摩擦力大小相等、方向相反, 力矩和冲力矩和冲量矩的大小正比于半径量矩的大小正比于半径,方向一方向一样:山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩(2)解解(1)(2)式式, 得得:
