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1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其平面向量数量积的物理背景及其含义含义复习引入复习引入1. 两个非零向量夹角的概念：两个非零向量夹角的概念：BOA复习引入复习引入 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。 已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的它们的夹角为夹角为，我们把数量我们把数量|a| |b|cos
2、叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a| |b| cos规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。 1.向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？ ab=|a| |b| cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当 =90时时ab为零。为零。 2. 两个向量的数量积与实数乘向量的有什两个向量的数量积与实数乘向量的有什 么区别？么区别？投影的概念投影的概念:B1AB
3、O当当 为锐角时为锐角时投影为正值投影为正值; ABOB1当当 为钝角时为钝角时投影为负值投影为负值;当当 为直角时为直角时投影为投影为0;ABO(B1) |a| cos（|b| cos）叫做向量）叫做向量a在在b方向上（向量方向上（向量b在在a方向上）方向上）的的投影投影。注意：注意：投影也投影也是一个数量，是一个数量，不是向量不是向量.设设是非零向量，是非零向量，方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，的的夹角，则夹角，则特别地特别地OAB abB1解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b
4、|=4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求a ab b。OAB|b|cos abB1等于等于的的长度长度与与的的乘积。乘积。练习：练习：1 1若若a = =0，则对任一向量则对任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，则对任一非零向量则对任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =04 4若若a b= =0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b= = b c，则，则a=c6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= =0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有平面向
5、量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：已知已知是是任意三个向量，任意三个向量，注：注： 则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律证明运算律(3)例例 2：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2. （2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.例例3、的夹角为的夹角为例例4练习练习：1下列叙述不正确的是（下列叙述不正确的是（ ）A. 向量的数量积满足交换律向量的数量积满足交换律 B.B. 向量的数量积满足分配律向量的数量积满足分配律C. 向量的数量积满足结合律向量的数量积满足结合律 D. 是一个实数是一个实数A练习练习：B1. 平面向量的数量积及其几何平面向量的数量积及其几何2. 意义意义;3.2. 平面向量数量积的重要性质平面向量数量积的重要性质4. 及运算律及运算律;5.3. 向量垂直的条件向量垂直的条件.课堂小结课堂小结作业：作业：3.教材P.106练习第第1 1、2 2、3 3题.
