振动力学(倪振华)ppt课件

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1、第1 章 导 论1采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物振动力学振动力学参考书目：参考书目： 1. 王伟等振动力学与工程应用王伟等振动力学与工程应用,郑州大学出版社郑州大学出版社, 2008 2. 胡少伟等结构振动理论及其应胡少伟等结构振动理论及其应用用, 中国建筑工业出版社中国建筑工业出版社, 2005第1 章 导 论2采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物课程特点与学习方法课程特点与学习方法 课程性质

2、课程性质: 力学专业课力学专业课 课课程程特特点点: 理理论论繁繁杂杂、工工程程应应用用性性强强;与与多多门学科紧密相关门学科紧密相关 数数学学基基础础: 微微积积分分、微微分分方方程程、线线性性代代数数、复复变函数、积分变换、计算方法、级数等变函数、积分变换、计算方法、级数等; 力力学学基基础础: 理理论论力力学学、分分析析力力学学、材材料料力力学学、弹性力学、结构力学、有限元等。弹性力学、结构力学、有限元等。第1 章 导 论3采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物第第1章章 导导 论论振动的概念

3、振动的概念振动研究的问题及其分类振动研究的问题及其分类振动分析的力学模型振动分析的力学模型振动问题的研究方法振动问题的研究方法第1 章 导 论4采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1. 什么是振动什么是振动 振振动动Vibration，就就是是物物体体在在静静平平衡衡位置附近位置附近所作的所作的往复运动往复运动。 我我们们只只研研究究物物体体在在静静平平衡衡位位置置附附近近所作的往复微小弹性运动。所作的往复微小弹性运动。1.1 机械振动概述机械振动概述第1 章 导 论5采用PP管及配件：根据给水设

4、计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2. 机械振动现象机械振动现象 机机械械振振动动是是自自然然界界非非常常普普遍遍的的运运动动现现象象，广泛存在于工程技术和日常生活中。广泛存在于工程技术和日常生活中。 如如: 日日常常生生活活中中，心心脏脏的的跳跳动动、钟钟摆摆的的摆摆动动、琴弦的振动、车箱的晃动、大海波涛桥等等琴弦的振动、车箱的晃动、大海波涛桥等等; 工工程程技技术术领领域域，桥桥梁梁与与建建筑筑物物的的振振动动、飞飞行行器器与与船船舶舶的的振振动动、机机床床与与刀刀具具的的振振动动、各各种种动动力力机机械械的的振振动动

5、、以以及及地地震震、风风振振、噪噪声声等等等等，都都是属于机械振动的范畴。是属于机械振动的范畴。第1 章 导 论6采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3.产生振动的原因产生振动的原因 一一是是由由外外界界干干扰扰引引起起，二二是是结结构构本本身身固固有的原因引起。有的原因引起。4. 研究振动问题的目的研究振动问题的目的J 工工程程和和日日常常生生活活中中，振振动动现现象象和和振振动动问问题既有有用的一面也有不利的一面。题既有有用的一面也有不利的一面。J 利利用用振振动动原原理理设设计计出出很很多多

6、常常用用的的物物品品和和机机械械结结构构，如如摆摆钟钟、振振动动筛筛、振振动动物物料料传传送带、振动打桩机械等等。送带、振动打桩机械等等。第1 章 导 论7采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 而而大大多多数数情情况况下下, 振振动动会会产产生生不不良良、甚甚至至严严重、灾难性的后果。重、灾难性的后果。L 由由于于振振动动, 降降低低了了机机器器的的动动态态精精度度和和其其它它使使用性能用性能;L 由由于于振振动动, 机机器器在在使使用用过过程程中中产产生生巨巨大大的的反反复变动的荷载复变动的荷载

7、, 导致使用寿命的降低导致使用寿命的降低;L 有有时时候候振振动动甚甚至至酿酿成成灾灾难难性性事事故故, 如如大大桥桥因因共共振振而而倒倒塌塌, 烟烟囱囱因因风风振振而而倾倾倒倒, 飞飞机机因因颤颤振振而坠落等等。而坠落等等。第1 章 导 论8采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物5. 研究振动问题的总目标研究振动问题的总目标 研研究究振振动动产产生生的的原原因因和和它它的的运运动规律动规律; 寻求控制和消除振动的方法寻求控制和消除振动的方法; 振振动动检检测测，分分析析事事故故原原因因及及控控制环

8、境噪声制环境噪声; 振动技术的应用振动技术的应用第1 章 导 论9采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1. 振动问题中的名词概念振动问题中的名词概念 振振动动系系统统：在在振振动动问问题题中中所所研研究究的的对象。如机器或结构物等。对象。如机器或结构物等。 激激励励或或输输入入：外外界界对对振振动动系系统统的的作作用或引起机器运动的力。用或引起机器运动的力。 激激励励或或输输入入是是随随时时间间变变化化的的，将将引引起振动的发生。起振动的发生。1.2 振动系统及参量振动系统及参量1.3 振动系统的

9、分类及研究方法振动系统的分类及研究方法第1 章 导 论10采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 确确定定性性激激励励:可可用用时时间间的的确确定定函函数数来来描描述的激励述的激励; 随随机机激激励励:不不能能用用时时间间的的确确定定函函数数表表示示的的激激励励。随随机机激激励励具具有有一一定定的的统统计计规规律律性性，可以用随机函数和随机过程描述。可以用随机函数和随机过程描述。 响响应应或或输输出出：机机器器或或结结构构在在激激励励作作用用下产生的动态行为。下产生的动态行为。 确确定定性性激激励励

10、下下的的响响应应不不一一定定是是确确定定的的，但但随机激励下的响应随机激励下的响应一定一定是随机的。是随机的。第1 章 导 论11采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2. 工程振动分析的类别工程振动分析的类别 振振动动分分析析：研研究究振振动动系系统统、激激励励(输输入入)和和响应响应(输出输出)三者三者之间的关系之间的关系。 理理论论上上讲讲，只只要要知知道道两两者者就就可可以以确确定定第第三三者者。这这样样，工工程程振振动动分分析析所所要要解解决决的的问问题题可以归纳为下面几类。可以归纳为下面

11、几类。第1 章 导 论12采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（1）响应分析）响应分析 已已知知系系统统和和输输入入参参数数，求求系系统统响响应应。包包括括位位移移、速速度度、加加速速度度和和力力的的响响应应。这这为为计计算算和和分分析析结结构构的的强强度度、刚刚度度、允允许许的的振动能量水平等提供了依据。振动能量水平等提供了依据。第1 章 导 论13采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（2）系统设计

12、）系统设计 已已知知振振动动系系统统激激励励(输输入入)和和所所要要满满足足的的动动态态响响应应(输输出出)的的要要求求，设设计计合合理理的的系系统统参参数数。对对机机器器和和结结构构的的设设计计而而言言，这类问题更为重要。这类问题更为重要。 通通常常系系统统设设计计要要依依赖赖于于响响应应分分析析，所所以以在在实实际际工工作作中中，响响应应分分析析和和系系统统设设计这两个问题是交替进行的。计这两个问题是交替进行的。第1 章 导 论14采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（3）系统识别）系统识别

13、已已知知振振动动系系统统的的激激励励(输输入入)和和响响应应(输输出出)求求系统参数系统参数,以便了解系统的特性。以便了解系统的特性。 系系统统识识别别包包括括物物理理参参数数识识别别(确确定定系系统统的的物物理理参参数数:质质量量、刚刚度度、阻阻尼尼等等)和和模模态态参参数数识识别别(确确定或估计系统的固有特性定或估计系统的固有特性:固有频率、振型等固有频率、振型等)。（4）环境预测）环境预测 在在已已知知系系统统响响应应(输输出出)和和系系统统参参数数的的情情况况下下确定系统的输入确定系统的输入,以判别系统的环境特征。以判别系统的环境特征。第1 章 导 论15采用PP管及配件：根据给水设计

14、图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 对对结结构构进进行行振振动动分分析析，首首先先要要把把所所研研究究的的对对象象以以及及外外界界对对它它的的作作用用和和影影响响简简化化为为理理想想的的力力学学模模型型。这这种种力力学学模模型型不不但但要要简简单单，而而且且在在动动态态特特性性方方面面，应应尽尽可可能能地地与与原原始始结结构等效。构等效。 实实际际工工程程结结构构力力学学模模型型的的建建立立, 是是振振动动分分析析中中很很关关键键很很难难的的一一步步。本本课课程程只只学学习习一一些基本的概念。些基本的概念。 振振动动系系统统

15、的的力力学学基基本本模模型型中中包包括括三三个个基基本本“元件元件”：质量、弹性和阻尼。：质量、弹性和阻尼。3. 3.振动分析的力学模型振动分析的力学模型振动分析的力学模型振动分析的力学模型第1 章 导 论16采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 质质量量:和和理理论论力力学学的的概概念念一一样样，是是物物体体惯惯性大小的度量。在振动模型中简化为刚体性大小的度量。在振动模型中简化为刚体; 弹弹簧簧:表表示示振振动动系系统统弹弹性性的的理理想想模模型型。简简化化为为无无质质量量的的线线弹弹性性元元件

16、件，即即弹弹簧簧弹弹性性力力的的大小与弹簧两端点的相对位移成正比大小与弹簧两端点的相对位移成正比; 阻阻尼尼:任任何何振振动动在在没没有有外外界界干干扰扰(激激励励)时时都都会会逐逐渐渐消消失失，因因此此，系系统统存存在在一一种种阻阻碍碍振振动动持持续续进进行行的的阻阻力力，这这种种阻阻力力称称为为阻阻尼尼。简简化化为为无无质质量量的的阻阻力力元元件件。阻阻尼尼力力的的分分析析比比弹弹簧簧力的分析要复杂得多。力的分析要复杂得多。第1 章 导 论17采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 弹弹簧簧表表

17、示示力力与与位位移移的的关关系系;阻阻尼尼表表示示力力与与速速度度的关系的关系;质量表示力与加速度的关系。质量表示力与加速度的关系。4.振动过程的机理分析振动过程的机理分析 任任何何结结构构，之之所所以以能能产产生生振振动动，是是因因为为它它本本身身具有质量和弹性。具有质量和弹性。 从从能能量量关关系系看看, 质质量量可可以以储储存存动动能能, 弹弹性性可可以以储储存存势势能能。当当外外界界对对系系统统作作功功时时, 质质量量就就吸吸收收动动能能而而具具有有运运动动速速度度，进进而而发发生生位位移移，使使弹弹性性元元件件储储存存变变形形能能, 因因而而就就具具有有使使质质量量恢恢复复原原来来状

18、状态态的的能力。能力。 这这样样，能能量量不不断断地地变变换换就就导导致致系系统统质质量量的的反反复运动（振动）。复运动（振动）。第1 章 导 论18采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物5. 振动系统的分类振动系统的分类（1）按产生振动的输入）按产生振动的输入 (激励激励) 特性分类特性分类 分为自由振动、强迫振动和自激振动。分为自由振动、强迫振动和自激振动。 自自由由振振动动:系系统统受受到到初初始始激激励励作作用用后后，仅仅靠靠其其本本身身的的弹弹性性恢恢复复力力“自自由由地地”振振动动，其其

19、振振动动的的特特性性仅仅决决定定于于系统本身的物理特性系统本身的物理特性(质量和刚度质量和刚度);（如摆钟）（如摆钟） 受受迫迫振振动动或或称称强强迫迫振振动动:系系统统受受到到外外界界持持续续的的激激励励作作用用而而“被被迫迫地地”进进行行振振动动，其其振振动动特特性性除除决决定定于于系系统统本身的物理特性外，还决定于激励的特性本身的物理特性外，还决定于激励的特性; 工工程程中中的的大大部部分分振振动动都都属属于于此此类类振振动动(振振动动机机械械、转子偏心引起的振动等转子偏心引起的振动等)。第1 章 导 论19采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，

20、边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 自自激激振振动动：在在系系统统自自身身控控制制的的激激励励作作用用下下发发生生的的振振动动。在在适适当当的的反反馈馈作作用用下下，系系统统会会自自动动地地激激起定幅振动起定幅振动,一旦振动被激起一旦振动被激起,激励也随之消失。激励也随之消失。 例例如如：桥桥梁梁受受风风载载作作用用后后激激发发的的振振动动; 电电线线在在风载作用线的舞动等。风载作用线的舞动等。（2）按振动的输出特性分类）按振动的输出特性分类 分为简谐振动、非简谐振动和随机振动。分为简谐振动、非简谐振动和随机振动。 简简谐谐振振动动与与非非简简谐谐振振动动：是是否否可可以以

21、用用简简单单的的正正弦函数或余弦函数表述其运动规律弦函数或余弦函数表述其运动规律;第1 章 导 论20采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 随随机机振振动动:不不能能用用简简单单函函数数或或简简单单函函数数的的组组合合来来表表述述其其运运动动规规律律，只只能能用用统统计计的的方方法法来来研研究究其其规规律律的非周期性振动。的非周期性振动。（3）按振动系统的自由度数目分类）按振动系统的自由度数目分类 单自由度、多自由度和弹性体的振动。单自由度、多自由度和弹性体的振动。（4）按振动微分方程或系统的结构

22、参数特性分类）按振动微分方程或系统的结构参数特性分类 线线性性振振动动:振振动动系系统统的的惯惯性性力力、阻阻尼尼力力、弹弹性性恢恢复复力力分分别别与与加加速速度度、速速度度、位位移移成成线线牲牲关关系系，能能够够用用常系数线性微分方程表述的振动常系数线性微分方程表述的振动; 非非线线性性振振动动:振振动动系系统统的的阻阻尼尼力力或或弹弹性性恢恢复复力力具具有有非线性性质非线性性质,只能用非线性微分方程来表述。只能用非线性微分方程来表述。第1 章 导 论21采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（5

23、）按振动的周期性分类）按振动的周期性分类 周期振动系统、非周期振动周期振动系统、非周期振动(瞬态振动瞬态振动)系统。系统。 简简谐谐振振动动属属于于周周期期性性振振动动, 非非简简谐谐振振动动也也可可能能是周期性振动。是周期性振动。6.振动问题的研究方法振动问题的研究方法 解解决决振振动动问问题题的的方方法法有有理理论论分分析析、数数值值模模拟拟与与计算、实验研究等。计算、实验研究等。 本本课课程程主主要要学学习习振振动动的的基基本本理理论论与与分分析析方方法法，为为进进一一步步解解决决实实际际振振动动问问题题和和开开展展研研究究工工作作打打下下良好的基础。良好的基础。第2章 单自由度系统自由

24、振动22采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物第第2章章 单自由度系统单自由度系统自由振动自由振动第2章 单自由度系统自由振动23采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物单单自自由由度度系系统统: 可可以以用用一一个个独独立立坐坐标标来来确确定系统的位置及其运动规律的振动系统定系统的位置及其运动规律的振动系统;单单自自由由度度线线性性系系统统的的振振动动是是最最简简单单的的振振动动系统系统;许许多多实实际际

25、问问题题可可以以足足够够精精确确地地简简化化为为单单自自由度振动系统由度振动系统;单单自自由由度度振振动动系系统统的的一一些些概概念念、特特征征和和研研究方法，是研究复杂振动系统的基础。究方法，是研究复杂振动系统的基础。2.1 引引 言言第2章 单自由度系统自由振动24采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 根据振动系统结构形式的不同，建根据振动系统结构形式的不同，建立振动微分方程的方法也不同，主要采立振动微分方程的方法也不同，主要采用牛顿定律、动力学基本定理（动量定用牛顿定律、动力学基本定理（动量

26、定理、动能定理、动量矩定理）以及拉格理、动能定理、动量矩定理）以及拉格朗日方程等。朗日方程等。振动微分方程振动微分方程 (P6-20)2.2 自由振动系统自由振动系统2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动25采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物m-k系统的自由振动系统的自由振动 (P6) m-k系系统统虽虽然然非非常常简简单单，但但却却是是许许多多实实际际结结构构振振动动问问题题的力学模型。的力学模型。 已已知知质质量量为为m，弹弹簧簧的的刚刚

27、度度系系数数为为k。取取质质量量的的静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点, 当当重重物物偏偏离离 x 时时,利利用用牛牛顿顿定定律律可可得得到到运运动微分方程：动微分方程：2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动26采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 扭转振动扭转振动 (P9) 圆圆盘盘在在轴轴的的弹弹性性恢恢复复力力矩矩作作用用下下在在平平衡衡位位置置附附近近作作扭扭转转振振动动。设设q q为为圆圆盘盘相相对对静静平平衡衡位位置置转转过过

28、的的角角度度, J为为圆圆盘盘对对轴轴的的转转动动惯惯量量, kt为为使使轴轴产产生生单单位位转转角角所所需需施施加加的的扭扭矩矩(即轴的扭转刚度即轴的扭转刚度)。则。则2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动27采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物复摆复摆(P12) 设设物物体体对对悬悬挂挂点点O的的转转动动惯惯量量为为JO，利利用用定定轴轴转转动动微微分分方方程程可可得得到到用用转转角角f f 表表示示的的转转动动微微分方程分方程:2.2 2

29、.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动28采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物纯滚动圆盘纯滚动圆盘(P15) 已已知知m、r、R，利利用用功功率率方方程程(动动能能定定理理)或或拉拉格格郎郎日日方方程程可可得得到到用用角角度度f f表表示示的的运运动动微微分方程分方程:2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动29采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，

30、以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物梁的横向振动梁的横向振动 质质量量为为m的的重重物物放放在在简简支支梁梁的的中中部部，不不计计梁梁的的质质量量。设设梁梁长长为为l，材材料料的的弹弹性性模模量量为为E，截截面面惯惯性矩为性矩为I。则利用材料力学的概念可得到：。则利用材料力学的概念可得到：2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统d dst第2章 单自由度系统自由振动30采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物振动微分方程的统一形式振动微分方程的统一形式 比较前面几种不同系

31、统的振动微分方程比较前面几种不同系统的振动微分方程2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动31采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物可以写成统一的数学形式可以写成统一的数学形式 meq和和keq分分别别称称为为等等效效质质量量和和等等效效刚刚度度，x为为广广义义坐坐标标。为为方方便便起起见见，以以后后将将等等效效质质量量和和等等效效刚刚度度直直接接写写为为m和和k。则方程变为：则方程变为： 因此只讨论此方程的解即可。因此只讨论此方程的解即可。2.2

32、 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动32采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1. 方程的解方程的解 设设 振动微分方程的解振动微分方程的解(P6)则方程变为则方程变为 通解为通解为 或或 2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动33采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 设系统的初始条件为：设系统的初始

33、条件为：t0时，时，xx0，则可确定上述解中的常数为：则可确定上述解中的常数为：2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动34采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2. 概念与名词概念与名词(P6-7) 一一阶阶线线性性振振动动微微分分方方程程的的解解是是时时间间 t 的的简谐函数，因此这种振动为简谐振动。简谐函数，因此这种振动为简谐振动。 方方程程的的解解中中w wn只只决决定定于于系系统统本本身身的的参参数数m和和k，而而与与系系统统的的初初始始

34、条条件件无无关关，是是系系统统本本身身所所固固有有的的特特性性，所所以以称称为为固固有有频频率率，或或称称圆频率或角频率。圆频率或角频率。 方方程程解解中中的的A称称为为振振幅幅，是是质质量量偏偏离离静静平平衡位置的最大距离衡位置的最大距离; f f称为初相位。称为初相位。2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动35采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 从从方方程程的的解解中中还还可可以以看看出出，系系统统属属于于周周期振动，振动的周期为期振动，

35、振动的周期为 周周期期是是系系统统振振动动一一次次所所需需要要的的时时间间，单单位位为秒（为秒（s）。）。 周周期期的的倒倒数数称称为为频频率率，是是系系统统每每秒秒钟钟振振动动的次数的次数,单位为单位为1/秒秒(1/s)或赫兹或赫兹(Hz)。记作。记作 f2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动36采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 固固有有频频率率w wn和和频频率率 f 只只相相差差常常数数2p p，因因此此经经常常通通称称为为固固有有频

36、频率率。是是振振动动分分析析中中极极其重要的参数。其重要的参数。 显然显然2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统 因因此此w wn的的物物理理意意义义是是在在2p p时时间间内内振振动动的的次数，单位为弧度次数，单位为弧度/秒秒(rad/s)。 圆圆有有频频率率、振振幅幅和和初初相相位位是是简简谐谐振振动动的的三个重要特征量。三个重要特征量。第2章 单自由度系统自由振动37采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1. 直接计算法直接计算法 即直接利用固有频率的公式进行计算。即

37、直接利用固有频率的公式进行计算。 求求出出振振动动系系统统微微分分方方程程后后，利利用用等等效效刚刚度和等效质量，即可求出固有频率：度和等效质量，即可求出固有频率：固有频率的计算固有频率的计算2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动38采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2. 静位移方法静位移方法(P7) m-k系系统统是是所所有有一一阶阶线线性性微微振振动动系系统统的的模模型型，利利用用此此模模型得出的结论具有一般性。型得出的结论具有一般性。

38、质质量量在在静静平平衡衡位位置置时时弹弹簧簧的位移为的位移为则固有频率为则固有频率为2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统d dst第2章 单自由度系统自由振动39采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物复摆系统的固有频率复摆系统的固有频率 用用转转角角f f 表表示示的的转转动动微微分分方程方程:mg则固有频率则固有频率:2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动40采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件

39、在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物纯滚动圆盘系统纯滚动圆盘系统 用用角角度度f f表表示示的的运运动动微分方程微分方程:则固有频率则固有频率:2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动41采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物扭转振动系统扭转振动系统 转动方程为转动方程为则固有频率则固有频率:2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动42采用PP管及配件：根据

40、给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物梁的横向振动系统梁的横向振动系统 利用振动方程利用振动方程固有频率固有频率:或利用材料力学公式计算出静位移或利用材料力学公式计算出静位移:固有频率固有频率:2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统d dst第2章 单自由度系统自由振动43采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 对对无无阻阻尼尼自自由由振振动动系系统统，能能量量（机机械械能能）是是守守恒恒的的。设设系

41、系统统的的动动能能和和势势能能分分别用别用 T 和和 V 表示，则能量方程为表示，则能量方程为 T+V常数常数或或2.3 能量法能量法2.3 2.3 能量法能量法能量法能量法第2章 单自由度系统自由振动44采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 系系统统在在静静平平衡衡位位置置的的速速度度最最大大，动动能能也也最最大大，势势能能取取为为0位位置置; 在在质质量量偏偏离离静静平平衡衡位位置置最最大大时时，速速度度为为0，动动能能也也为为0，而而势势能达到最大，利用能量守恒关系得到能达到最大，利用能量守

42、恒关系得到 TmaxVmax 同时还有下面的关系同时还有下面的关系 利用上面两式可以直接求固有频率。利用上面两式可以直接求固有频率。2.3 2.3 能量法能量法能量法能量法第2章 单自由度系统自由振动45采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 例例 利利用用能能量量法法求求纯纯滚滚动动圆圆盘盘系系统统作作微微幅振动的固有频率。幅振动的固有频率。2.3 2.3 能量法能量法能量法能量法第2章 单自由度系统自由振动46采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边

43、旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 一一般般不不考考虑虑弹弹性性元元件件的的质质量量对对振振动动系系统统的的影影响响，当当这这些些质质量量不不可可忽忽略略的的时时候候，“瑞瑞利利法法”的的思思想想是是：将将这这些些弹弹性性元元件件所所具具有有的的多多个个集集中中质质量量或或分分布布质质量量简简化化到到系系统统的的集集中中质质量量上上去去，从而变成典型的单自由度振动系统。从而变成典型的单自由度振动系统。 遵遵循循的的原原则则是是：简简化化后后系系统统的的动动能能与与原原系系统统的的动动能能相相等等，但但并并不不考考虑虑重重力力势势能能的的影影响响。这种简化只是一种近似方法，但误差不

44、大。这种简化只是一种近似方法，但误差不大。2.4 2.4 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法2.4 瑞利法瑞利法第2章 单自由度系统自由振动47采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 P17例例2-4-1 质质量量-弹弹簧簧系系统统，集集中中质质量量为为m，弹弹簧簧长长度度为为l，刚刚度度为为k，质质量量为为m1，求求考考虑虑弹弹簧簧质质量量影影响响时时的的固固有有频频率。率。2.4 2.4 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法d dstlsds第2章 单自由度系统自由振动48采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管

45、及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物题题2.13(a) 求图示系统的固有频率。求图示系统的固有频率。 （与（与P15例例2-3-1对比）对比）举举举举 例例例例单单单单 自自自自 由由由由 度度度度 自自自自 由由由由 振振振振 动动动动 举举举举 例例例例 用用定定轴轴转转动动微微分方程，能量法分方程，能量法第2章 单自由度系统自由振动49采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 题题2.15 求求图图示示系系统统微微幅幅振振动动的的微微分分方程

46、（方程（m2视为均质圆盘）。视为均质圆盘）。作业：作业：T2.1，4，13举举举举 例例例例单单单单 自自自自 由由由由 度度度度 自自自自 由由由由 振振振振 动动动动 举举举举 例例例例用能量法用能量法第2章 单自由度系统自由振动50采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 无无阻阻尼尼系系统统振振动动过过程程中中能能量量守守恒恒，振振幅幅保保持持不不变变。而而实实际际情情况况并并非非如如此此，必必须须考考虑虑阻阻力力对振动过程的影响。对振动过程的影响。 实实际际阻阻力力的的形形式式很很多多，有有

47、滑滑动动摩摩擦擦表表面面的的阻阻力力、空空气气或或流流体体阻阻力力、弹弹性性材材料料的的内内摩摩擦擦阻阻力等，因此阻力的大小变化规律也各不相同。力等，因此阻力的大小变化规律也各不相同。 阻阻力力大大小小与与速速度度成成正正比比的的阻阻尼尼称称为为粘粘性性阻阻尼或线性阻尼。这是最简单的情况。尼或线性阻尼。这是最简单的情况。2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动51采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转

48、，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1. 振动微分方程及其解（振动微分方程及其解（P21） 以以静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点建建立立坐坐标标系系，可可得得系统的运动微分方程系统的运动微分方程 其其中中c为为粘粘性性阻阻尼尼的的比比例例常常数，称为粘性阻尼系数。数，称为粘性阻尼系数。mgFkFc2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动52采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物令阻尼比为令阻尼

49、比为则方程可写为则方程可写为令其解为令其解为代入方程得到代入方程得到此特征方程的两个根是此特征方程的两个根是2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动53采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 不不同同的的阻阻尼尼比比x x，对对应应的的解解的的形形式式不不同同，运动性质也不同。运动性质也不同。2. 解及运动形式的讨论（解及运动形式的讨论（P22-26）（1）x x1（大阻尼情况）（大阻尼情况） 此时特征方程有

50、两个不同的实根，通解为此时特征方程有两个不同的实根，通解为2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动54采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物给出初始条件：给出初始条件：t0时时则可确定系数则可确定系数B和和D2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动55采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直

51、角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 这这种种情情况况对对应应的的运运动动是是一一种种衰衰减减运运动动，但但不不是是我我们们所所关关心心的的振振动动形形式式。设设x00，v00，则则运动图形大致如下。运动图形大致如下。2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动56采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（2）x x1（临界阻尼情况）（临界阻尼情况） 此时特征方程有重根，通解为此时特征

52、方程有重根，通解为利用初始条件确定常数为利用初始条件确定常数为 此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为cc2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动57采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 临临界界阻阻尼尼情情况况也也是是一一种种非非振振动动形形式式的的衰衰减减运运动，按不同的初始条件其运动图形如下。动，按不同的初始条件其运动图形如下。2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具

53、有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动58采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（3）0 x x 1（小阻尼情况）（小阻尼情况） 此时特征方程有一对共轭复根，通解为此时特征方程有一对共轭复根，通解为或写为或写为利用初始条件确定出常数利用初始条件确定出常数2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动59采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在

54、管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 解解中中有有两两个个因因子子，一一个个是是衰衰减减的的指指数数函函数数 ,它它将将使使振振幅幅越越来来越越小小，直直至至振振动最终消失动最终消失;2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统 另另一一个个是是正正弦弦函函数数 ， 它表示系统以相同的周期通过平衡位置。它表示系统以相同的周期通过平衡位置。 因因此此系系统统呈呈现现为为一一种种衰衰减减形形式式的的等等周周期期振动形式。振动形式。第2章 单自由度系统自由振动60采用PP管及配件：根据给水设计图配置好P

55、P管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动61采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 单单自自由由度度粘粘性性阻阻尼尼系系统统在在小小阻阻尼尼情情况况下下的的衰衰减减振振动动是是我我们们最最为为关关心心的的振振动动形形式式。这种衰减振动具有下列特性：这种衰减振动具有下列特性：（1）振幅衰减振幅衰减 由由前前面面的的解解

56、可可以以看看出出，振振幅幅不不再再是是常常量量，而是以几何级数而是以几何级数 快速衰减快速衰减;（2）等时性）等时性 系统仍以相同的周期通过平衡位置系统仍以相同的周期通过平衡位置;2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动62采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（3）振动频率变小，周期变长振动频率变小，周期变长 此时系统振动的频率和周期为：此时系统振动的频率和周期为： 因因此此：衰衰减减振振动动的的固固有有频

57、频率率比比无无阻阻尼尼系系统统的的固固有有频频率率小小，振振动动周周期期变变大大，但但影影响响不不大大，特特别别是是当当阻阻尼尼很很小小（x x1）时时，可可以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动63采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 振振幅幅衰衰减减的的快快慢慢程程度度可可用用相相邻邻振振幅幅的的比比值值来来表表示示，称称为为衰衰减减

58、率率或或减减幅幅率率或或减减缩缩率率；也也可可以以用用衰衰减减率率的的自自然然对对数数来来表示，称为对数衰减率。表示，称为对数衰减率。2.6 2.6 对数衰减率对数衰减率对数衰减率对数衰减率2.6 对数衰减率对数衰减率第2章 单自由度系统自由振动64采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物利用前面给出的解利用前面给出的解可得到衰减率为可得到衰减率为对数衰减率为对数衰减率为2.6 2.6 对数衰减率对数衰减率对数衰减率对数衰减率第2章 单自由度系统自由振动65采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管

59、及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 若若用用X0表表示示系系统统最最初初的的振振幅幅，经经过过n次次循循环环后的振幅为后的振幅为Xn，则对数衰减率又可以表示为，则对数衰减率又可以表示为证明：证明：相乘得相乘得则则即即2.6 2.6 对数衰减率对数衰减率对数衰减率对数衰减率第2章 单自由度系统自由振动66采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1.4 1.4 衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率 题题2-

60、16 求求图图示示系系统统振振动动的的微微分分方方程程和和固固有频率（不计杆的质量，有频率（不计杆的质量，c为黏性阻尼）。为黏性阻尼）。第2章 单自由度系统自由振动67采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1.4 1.4 衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率 题题2-18 图图示示系系统统，在在空空气气中中振振动动周周期期为为T1，在在液液体体中中振振动动周周期期为为T2。试试证证明明液液体的粘性阻尼系数为体的粘性阻尼系数为作业：作业：T2-8、17第2章

61、 单自由度系统自由振动68采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物小小小小 结结结结3. 无阻尼自由振动方程的解无阻尼自由振动方程的解方程方程或或通解为通解为 或或 第2章 单自由度系统自由振动69采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物小小小小 结结结结1. 名词与概念名词与概念 固固有有频频率率,振振幅幅,周周期期,相相位位角角；线线性性阻阻尼尼系系数数,临临界界阻阻尼尼系系数数，阻阻尼尼比比；衰衰减减率

62、与对数衰减率；等效质量率与对数衰减率；等效质量,等效刚度。等效刚度。2. 建立振动微分方程的方法建立振动微分方程的方法 牛牛顿顿定定律律、动动能能定定理理（功功率率方方程程、机机械能守恒）、定轴转动微分方程等。械能守恒）、定轴转动微分方程等。本 章 小 结第2章 单自由度系统自由振动70采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物小小小小 结结结结（2）静位移法）静位移法 4. 固有频率的确定固有频率的确定（1）按定义直接计算）按定义直接计算（3）能量法）能量法 （无阻尼自由振动系统）（无阻尼自由振动系统

63、）以及以及第2章 单自由度系统自由振动71采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物小小小小 结结结结5. 考虑弹性元件质量时的等效质量考虑弹性元件质量时的等效质量 将将这这些些弹弹性性元元件件所所具具有有的的多多个个集集中中质质量量或或分分布布质质量量简简化化到到系系统统的的集集中中质质量量上上去去，简简化化后后系系统统的的动动能能与与原原系系统统的的动动能相等。能相等。第2章 单自由度系统自由振动72采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切

64、口面的圆度，保持熔接部位干净无污物小小小小 结结结结或或第2章 单自由度系统自由振动73采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物小小小小 结结结结6. 黏滞阻尼自由振动系统的解黏滞阻尼自由振动系统的解（1）方程）方程或或阻尼比阻尼比（2）小阻尼解）小阻尼解第2章 单自由度系统自由振动74采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物小小小小 结结结结（3）临界阻尼系数（）临界阻尼系数（z z1时）时）（4）衰减振动

65、频率与周期）衰减振动频率与周期（5）对数衰减率）对数衰减率第2章 单自由度系统自由振动75采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物小小小小 结结结结教材例题与习题：教材例题与习题：例例 2.2.12.2.3，2.3.12.3.2 2.4.12.4.2，2.5.2，2.5.3，2.6.1 2.6.2，2.6.4习题习题 2-1，3，4，8，9，1113， 1518第2章 单自由度系统自由振动76采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度

66、，保持熔接部位干净无污物第第3章章 单自由度系单自由度系统强迫振动统强迫振动第2章 单自由度系统自由振动77采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 系系统统在在外外部部激激励励作作用用下下的的振振动动称称为为受迫振动或强迫振动。受迫振动或强迫振动。 自自由由振振动动只只是是系系统统对对初初始始扰扰动动(初初始始条条件件)的的响响应应。由由于于阻阻尼尼的的存存在在,振振动动现象很快就会消失。现象很快就会消失。 要要使使振振动动持持续续进进行行，必必须须有有外外界界激激励输入给系统以补充阻尼消耗的能量。

67、励输入给系统以补充阻尼消耗的能量。 第2章 单自由度系统自由振动78采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。3.1 单自由度系统在谐和单自由度系统在谐和激振下的强迫振动激振下的强迫振动3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 设设激激励励为为F(t)=F0sinw wt，这这里里w w为为激激振振频频率率，利利用用牛牛顿顿定律并

68、引入阻尼比定律并引入阻尼比x x可得到可得到第2章 单自由度系统自由振动79采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物齐次方程的通解上章已经给出。设其特解为齐次方程的通解上章已经给出。设其特解为:代入方程确定系数代入方程确定系数X0和和f f为：为：其中：其中：为频率比。为频率比。3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动3.1.1 3.1.1 非齐次方程的特解（非齐次方程的特解（非齐次方程的特

69、解（非齐次方程的特解（P33-34P33-34）第2章 单自由度系统自由振动80采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物稳态响应分析稳态响应分析稳态响应分析稳态响应分析(P34-39)(P34-39)1. 稳态响应稳态响应xp=X0sin(w wtf f)的性质的性质(P34)（1）在在谐谐和和激激振振条条件件下下,响响应应也也是是谐谐和和的的,其频率与激振频率相同其频率与激振频率相同;（2）谐谐和和激激励励强强迫迫振振动动的的振振幅幅X0和和相相位位角角决决定定于于系系统统本本身身的的物物理理性性质

70、质和和激激振振力力的的大大小小和频率，与初始条件无关和频率，与初始条件无关;3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第2章 单自由度系统自由振动81采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2. 幅频特性曲线（幅频特性曲线（P35） 对对于于稳稳态态响响应应，定定义义动动力力放放大大系系数数R为为响响应应的的振振幅幅X0与与最最大大干干扰扰力力F0所所引引起起的的静静位移的比值：位移的比值：

71、以以x x为为参参数数，画画出出R-r 曲曲线线即即幅幅频频特特性性曲曲线线，表表明明了了阻阻尼尼和和激激振振频频率率对对响响应应幅幅值值的影响。的影响。3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第2章 单自由度系统自由振动82采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（3）强强迫迫振振动动振振幅幅X0的的大大小小，在在工工程程实实际际中中具具有有重重要要的的意意义义。如如果果振振幅幅超超过过允

72、允许许的的限限度度，构构件件就就会会产产生生过过大大的的交交变变应应力力而而导导致致疲疲劳劳破破坏坏，或或影影响响机机械械加加工工或或仪仪表表的的测测量量精精度度。因因此此在在振振动动工工程程中中必需控制振幅的大小。必需控制振幅的大小。3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第2章 单自由度系统自由振动83采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫

73、振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动Rr第2章 单自由度系统自由振动84采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物讨论：讨论： r1时时3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动Rr振振幅幅的的大大小小主主要要决决定定于于系系统统的的惯惯性性。这这就就是是高高速速旋转的机器正常工作时运转非常平稳的原因旋转的机器正常工作时运转非

74、常平稳的原因。第2章 单自由度系统自由振动85采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物l r1（激激振振频频率率接接近近固固有有频频率率）时时，R迅迅速速增增大大，振振幅幅很很大，这种现象称为共振大，这种现象称为共振;3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动Rrl 阻阻尼尼比比x x的的影影响响: 阻阻尼尼越越小小，共共振振越越厉厉害害。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。因此加大阻尼可以有效

75、降低共振振幅。l 共振位置：共振位置：将将R对对r求导数求导数第2章 单自由度系统自由振动86采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物令其等于令其等于0 0得得3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动而而r1 1时时 由由此此看看出出：当当x x很很小小时时的的R和和Rmax相相差差很很小小，所所以以在在工工程程中中仍仍认认为为当当w ww wn 时时发发生共振。生共振。第2章 单自由度系统

76、自由振动87采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 以以x x为为参参数数,画画出出f f-r曲曲线线即即相相频频特特性性曲曲线线,表表明明了了阻阻尼尼和和激激振振频频率率对对相位差的影响。相位差的影响。3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动f f3. 相频特性曲线（相频特性曲线（P37）第2章 单自由度系统自由振动88采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直

77、角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物4. 品质因子（品质因子（P36) 工工程程上上通通常常把把共共振振时时的的动动力力放放大大系系数数称称为为品质因子品质因子，记为，记为Q： 在频率响应曲线上用在频率响应曲线上用 的的一一条条水水平平直直线线在在共共振振区区附附近近截截出出两两点点q1、q2，对对应应于于这这两两点点的的激激振振频频率率为为w w1、w w2， q1、q2 称称为为半半功率点功率点，w w1、w w2 之差称为系统的之差称为系统的半功率带宽半功率带宽。3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统

78、在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第2章 单自由度系统自由振动89采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物讨论：讨论： 从从图图中中可可以以看看出出,无无阻阻尼尼情情况况下下的的曲曲线线是是由由f f0和和f fp p 的的半半直直线线段组成段组成,在在r1处发生间断处发生间断;3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动f f 有有阻阻尼尼时时f f为为在在0p p之之间

79、间变变化化的的光光滑滑曲曲线线,并并且且不不论论f f 取取值值多多少少,当当r1时时都都有有f fp p/2,即即曲曲线线都都交交于于(1,p p/2)这这一一点点。这这一一现现象象可可以以用用来来测测定定系系统统的的固固有有频率频率; r 时时, f fp p, 激振力与位移反相激振力与位移反相, 系统平稳运行系统平稳运行; r 0时时, f f0 0, 激振力与位移同相激振力与位移同相, 近似静位移近似静位移.第2章 单自由度系统自由振动90采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3.1 3.1

80、 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动w w1 1/ / w wn 1 w w2 2/ / w wnrRq2q1第2章 单自由度系统自由振动91采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 求求出出动动力力放放大大系系数数对对应应于于两两点点q1、q2的两个用的两个用x x表示的根。由表示的根。由得得当当x x5或或x x1.414时时，传传递递率率减减小小，传传递递的的力力小小于于激激振振力力，且且阻阻尼

81、尼越越小小，效效果果越越好好，但但若若阻阻尼尼过过小小，经经过过共共振振区区时时将将产生过大的振动。产生过大的振动。振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递第4章 单自由度系统振动理论的应用178采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【例例】汽汽车车在在5 m/周周的的简简谐谐波波形形道道路路上上行行驶驶，已已知知汽汽车车空空载载质质量量为为250 kg，满满载载质质量量为为1000 kg，k=350 kN/m，满满载载时时阻阻尼尼比比x x10.5，车车速速v=100 k

82、m/h，求满载和空载时汽车的振幅比。，求满载和空载时汽车的振幅比。 解：基础的激振频率解：基础的激振频率振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递第4章 单自由度系统振动理论的应用179采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物阻尼系数阻尼系数振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递则空载时的阻尼比为则空载时的阻尼比为频率比频率比1.87（满载）（满载）0.93（空载）（空载）第4章 单自由度系统振动理论的应用180采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP

83、管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递振幅振幅（满载）（满载）（空载）（空载）所以满载和空载时车辆的振幅比为所以满载和空载时车辆的振幅比为第4章 单自由度系统振动理论的应用181采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 P55例例3-3-2 弹弹簧簧质质量量系系统统放放在在箱箱子子中中,箱箱子子从从高高h处处自自由由落落下下。求求（1）箱箱子子下下落落过过程程中中,质质量量块块相相对箱

84、子的运动对箱子的运动x;（2）箱箱子子落落地地后后传传到到地地面面的的最最大压力。大压力。振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递第4章 单自由度系统振动理论的应用182采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 解解：（1）设设m的的绝绝对对运运动动为为x1，箱箱子子的的运运动动为为y，则则x1x+y，运动方程为，运动方程为即即利用杜哈美积分得响应：利用杜哈美积分得响应：振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递第4章 单自由度系统振动理论的应用183采用

85、PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 （2）落落地地后后x和和x1相相同同，以以刚刚接接触触地地面面时时m的的运运动动为为初初始始条条件件做做自自由由振振动动。落落地地时时间间和和箱箱子子的的速速度度为为此时此时m的运动情况：的运动情况：振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递第4章 单自由度系统振动理论的应用184采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 因此落地后自由振动的振幅为因

86、此落地后自由振动的振幅为最大压力：最大压力：振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递第4章 单自由度系统振动理论的应用185采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 题题3-36 重重量量为为3000 N的的机机器器，以以刚刚度度系系数数600 N/cm及及阻阻尼尼比比xx0.2的的阻阻尼尼器器支支撑撑，若若在在机机器器上上加加以以按按正正弦弦规规律律变变换换的的干干扰扰力力，其其频频率率与与机机器器转转速速相相同同。求：求：（1）如如果果传传递递到到基基础础上上的的力力大大于

87、于干干扰扰力力力力幅幅，机机器器转转速应如何？速应如何？（2）若若传传递递力力的的最最大大值值小小于于干干扰扰力力力力幅幅的的20，机机器器的转速应如何。的转速应如何。振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递第4章 单自由度系统振动理论的应用186采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物提示提示 固有频率为固有频率为:（1）力传递系数应大于）力传递系数应大于1，则：，则：解得：解得：（2）力传递系数应小于）力传递系数应小于20即：即：作业：作业：3-23振动向基础的传递振动向基

88、础的传递振动向基础的传递振动向基础的传递第5章 两个自由度系统的振动187采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物第第5章章 两个自由度两个自由度系统的振动系统的振动第5章 两个自由度系统的振动188采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 单单自自由由度度系系统统振振动动问问题题，在在我我们们所所讨讨论论的的范范围围内内是是线线性性定定常常方方程程。而而多多自自由由度度系系统统则则是是二二阶阶多多元元联联立

89、立微微分分方方程程组组，各各广广义义坐坐标标间间存存在在相互相互“耦合耦合”现象。现象。 所所谓谓耦耦合合，就就是是变变量量之之间间互互相相联联系系。由由于于这这种种耦耦合合，使使微微分分方方程程的的求求解解变变得得非非常常困困难难。因因此此，分分析析多多自自由由度度系系统统振振动动问问题题的的重重要要内内容容之之一一就就是是如如何何将将方方程程“解解耦耦”，然然后后按按单单自自由由度的分析方法求解。度的分析方法求解。 两自由度是多自由度系统最简单的情况。两自由度是多自由度系统最简单的情况。第5章 两个自由度系统的振动189采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角

90、切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 建建立立运运动动微微分分方方程程的的方方法法和和单单自自由由度系统基本一样度系统基本一样, 但难度更大。但难度更大。5.2.1 运动微分方程（运动微分方程（P104-106）5.2 两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵5.2 5.2 振动方程振动方程振动方程振动方程 标标准准的的m-k-c系系统统，对对每每一一质质量量利利用牛顿定律得：用牛顿定律得：第5章 两个自由度系统的振动190采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面

91、的圆度，保持熔接部位干净无污物坐标原点仍取在静平衡位置坐标原点仍取在静平衡位置写成矩阵形式写成矩阵形式5.2 5.2 振动方程振动方程振动方程振动方程第5章 两个自由度系统的振动191采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物式中：式中：5.2 5.2 振动方程振动方程振动方程振动方程第5章 两个自由度系统的振动192采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 M称称为为系系统统的的质质量量矩矩阵阵，K称称为为刚

92、刚度度矩矩阵阵，C称称为为阻阻尼尼矩矩阵阵，x为为系系统统的的位位移移列列阵阵，F(t)为外激励列阵。为外激励列阵。 对对于于其其它它形形式式的的两两自自由由度度振振动动系系统统同同样样可可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。 由由于于矩矩阵阵M、 K、 C的的非非对对角角线线元元素素不不为为0，所所以以振振动动微微分分方方程程是是互互相相耦耦合合的的非非独独立方程。立方程。5.2 5.2 振动方程振动方程振动方程振动方程第5章 两个自由度系统的振动193采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保

93、证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物5.2.2 刚度影响系数与刚度矩阵刚度影响系数与刚度矩阵 刚刚度度矩矩阵阵K中中的的元元素素称称为为刚刚度度影影响响系系数数，其其kij的的力力学学意意义义是是：仅仅在在j坐坐标标处处产产生生单单位位广广义义位位移移，系系统统平平衡衡时时需需在在i坐坐标处施加的广义力。标处施加的广义力。 具具体体求求解解时时，只只假假设设j坐坐标标处处的的位位移移为为1，其它各坐标的位移均为，其它各坐标的位移均为0。5.2 5.2 振动方程振动方程振动方程振动方程第5章 两个自由度系统的振动194采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管

94、材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵惯性影响系数与质量矩阵 质质量量矩矩阵阵M中中的的元元素素称称为为惯惯性性（质质量量）影影响响系系数数，其其mij的的力力学学意意义义是是：仅仅在在j坐坐标标处处产产生生单单位位广广义义加加速速度度，需需在在i坐标处施加的广义力。坐标处施加的广义力。 具具体体求求解解时时，只只假假设设j坐坐标标处处的的加加速速度为度为1，其它各坐标的加速度均为，其它各坐标的加速度均为0。5.2 5.2 振动方程振动方程振动方程振动方程第5章 两个自由度系统的振动195采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，

95、用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 例例：用用刚刚度度影影响响系系数数和和惯惯性性影影响响系系数数求求标标准准m-k-c系系统统的刚度矩阵和质量矩阵。的刚度矩阵和质量矩阵。5.2 5.2 振动方程振动方程振动方程振动方程第5章 两个自由度系统的振动196采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 柔柔度度影影响响系系数数Rij的的力力学学意意义义是是：在在j坐坐标标处处作作用用单单位位广广义义力力，引引起起i坐坐标标处处的的广广义义位位移移。由由柔柔度度影

96、响系数就可以形成系统的柔度矩阵影响系数就可以形成系统的柔度矩阵 R。 由由材材料料力力学学的的位位移移互互等等定定理理可可知知RijRji，即即柔度矩阵是对称的。柔度矩阵是对称的。 5.3 5.3 位移方程位移方程位移方程位移方程5.3 两自由度系统的位移方程两自由度系统的位移方程柔度矩阵柔度矩阵5.3.2 柔度影响系数与柔度矩阵柔度影响系数与柔度矩阵(P114-117)第5章 两个自由度系统的振动197采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 例例：用用柔柔度度影影响响系系数数求求标标准准m-k-c

97、系统的柔度矩阵。系统的柔度矩阵。5.2 5.2 振动方程振动方程振动方程振动方程第5章 两个自由度系统的振动198采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 以柔度矩阵表示的方程为位移方程。以柔度矩阵表示的方程为位移方程。 对对标标准准m-k-c振振动动系系统统，质质量量m1和和m2上上的的静静位位移移可可以以表表示示为为xst=RF，而而系系统统的的动动位位移移为为这就是系统这就是系统振动振动方程的位移形式。方程的位移形式。5.3 5.3 位移方程位移方程位移方程位移方程5.3.1 位移方程位移方程(

98、P113-114)第5章 两个自由度系统的振动199采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 因为因为R为正定矩阵，于是为正定矩阵，于是位移位移方程又可写为方程又可写为与力形式的方程比较知与力形式的方程比较知 K=R1，R=K1 即对于正定系统即对于正定系统R和和K互为逆矩阵。互为逆矩阵。5.3 5.3 位移方程位移方程位移方程位移方程第5章 两个自由度系统的振动200采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物

99、 【例例5-3-1】求求系系统统的的振振动动微微分分方方程程。已已知知梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为EI。 解解：用用影影响响系系数数法法。由材料力学挠度公式由材料力学挠度公式 5.3 5.3 位移方程位移方程位移方程位移方程第5章 两个自由度系统的振动201采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物则则 而而 则方程为则方程为 5.3 5.3 位移方程位移方程位移方程位移方程第5章 两个自由度系统的振动202采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保

100、证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物若写为力方程形式若写为力方程形式 则方程为则方程为 下面用影响系数法直接求下面用影响系数法直接求K:5.3 5.3 位移方程位移方程位移方程位移方程第5章 两个自由度系统的振动203采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 设设x1=1,x2=0，则则由由材料力学公式有：材料力学公式有：同理有同理有 求求出出各各个个刚刚度度系系数数即组成刚度矩阵即组成刚度矩阵K。 作业：作业：5-2，65.3 5.3 位移方程位移方程位移方程位移方程第5章 两个自由度系统的振动2

101、04采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 对对于于非非标标准准的的m-k-c多多自自由由度度振振动动系系统统，用用传传统统的的动动力力学学方方法法建建立立运运动动微微分分方方程程比比较较困困难难，更更适适合合使使用用拉拉格格郎郎日日方方程程和和能能量量的方法。拉格郎日方程为：的方法。拉格郎日方程为：用拉格朗日方程用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程建立振动系统的运动微分方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动205采用PP管及配件：根据给水设计图配置好P

102、P管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 其其中中：T为为系系统统的的动动能能，V为为势势能能，Qi为为非非有有势势力力的的广广义义力力，d drk为为与与非非有有势势广广义义力力Fk对对应的广义虚位移。应的广义虚位移。 实实际际计计算算广广义义力力Qi时时，通通常常假假设设与与xi对对应应的的广义虚位移不等于零，其它虚位移都等于零。广义虚位移不等于零，其它虚位移都等于零。（i1，2）拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动206采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管

103、材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【例例】用用拉拉格格郎郎日日方方程程推推导导两两自自由由度度m-k-c系系统微振动微分方程统微振动微分方程。 解解：取取静静平平衡衡位位置置为为坐坐标原点和零势能位置。标原点和零势能位置。 拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动207采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物静平衡位置：静平衡位置：则：则：拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动208采用PP管及配件：根

104、据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动209采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物计算广算广义力，力，设m1产生虚位移生虚位移d dx1，而，而d dx20，则 同同样设m2产生虚位移生虚位移d dx2，而，而d dx10，则 拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动210采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP

105、管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程 得得整理写成矩整理写成矩阵形式即可。形式即可。 拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动211采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【T5-30】用用拉拉格格郎郎日日方方程程建立建立系统微振动微分方程系统微振动微分方程。 解解：取取静静平平衡衡位位置置为为坐坐标原点和零势能位置标原点和零势能位置 x1x2D D1D D2而而 则则 拉格朗

106、日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动212采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物所以所以 拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动213采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物计算广算广义力，力，设只有只有x1处处产生虚位移生虚位移d dx1，则 同同样设x2处处产生虚位移生虚位移d dx2，则 代入拉格朗日方程即可。代入拉格朗日方程即可

107、。 作业：作业：T5-29拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动214采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 只给出公式，不作严格推导。只给出公式，不作严格推导。1. 质量矩阵的形成质量矩阵的形成 系统的动能可以表示为系统的动能可以表示为能量法能量法能量法能量法用能量法确定振动系统的用能量法确定振动系统的M、K、C第5章 两个自由度系统的振动215采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持

108、熔接部位干净无污物记记则则 M即为所求的质量矩阵，显然为对称阵。即为所求的质量矩阵，显然为对称阵。2. 刚度矩阵的形成刚度矩阵的形成 势能可写为势能可写为 K即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。能量法能量法能量法能量法第5章 两个自由度系统的振动216采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3. 阻尼矩阵的形成阻尼矩阵的形成 线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为C即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。能量法能量法

109、能量法能量法第5章 两个自由度系统的振动217采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物【例【例5-2-3】求】求M和和K。 解解：取取静静平平衡衡位位置置为为坐坐标原点和零势能位置标原点和零势能位置 ll则则 能量法能量法能量法能量法第5章 两个自由度系统的振动218采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物将余弦函数用级数展开，表示为将余弦函数用级数展开，表示为则则 所以所以 作业：作业：5-4 能量法能量法

110、能量法能量法第5章 两个自由度系统的振动219采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物无阻尼自由振动系统的运动方程为无阻尼自由振动系统的运动方程为5.4.15.4.3 固固有有频频率率与与固固有振型有振型(P117-120)5.4 两个自由度系统的两个自由度系统的自由振动自由振动5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动假设方程解的形式为假设方程解的形式为第5章 两个自由度系统的振动220采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管

111、及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 这这里里：X1、X2为为振振动动幅幅值值，w w为为固固有有频频率率，aa为初相位。为初相位。代入振动方程可得：代入振动方程可得： 这这是是广广义义的的特特征征值值问问题题，K-w w2M称称为为特特征征矩矩阵阵。要要使使上上式式有有解解，必必须须使使其其系系数数行行列列式式为为零。零。若若M为对角阵，为对角阵，K为对称阵，则有为对称阵，则有5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动221采用PP管及配件：

112、根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 上上式式称称为为频频率率方方程程或或特特征征方方程程。由由此此可可求求出出w w2的两个正实根。且规定的两个正实根。且规定w w1 = w w2 。 将将这这两两个个根根代代入入广广义义特特征征值值问问题题(Kw w2M) X=0可得到相应的振幅比值可得到相应的振幅比值 式式中中X(i)表表示示对对应应于于第第i个个固固有有频频率率的的振振幅幅(i=1, 2)。由由数数学学概概念念知知道道，只只能能求求出出振振幅幅的的比值，而不能确定各振幅大小。比值，而不能确定各振幅大小。5.

113、4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动222采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 和和单单自自由由度度一一样样，由由于于固固有有频频率率和和振振幅幅比比ui只只决决定定于于系系统统本本身身的的物物理理特特性性，而而与与外外部部激激励励和和初初始始条条件件无无关关，这这表表明明它它们们都都是是系系统统的的固固有有属属性性。因因此此把把w wi称称为为系系统统的的固固有有频频率率或或主主频频率率，ui称为

114、系统的固有振型或主振型。称为系统的固有振型或主振型。 将振幅写成矩阵形式将振幅写成矩阵形式5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动 称称为为振振型型向向量量或或模模态态向向量量，组组成成的的矩矩阵阵称为振型矩阵。称为振型矩阵。第5章 两个自由度系统的振动223采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 式式中中的的X1可可以以取取任任意意值值。显显然然两两个个主主振振动的叠加也是方程的解，即动的叠加也是方程的解，即5.4.4 系统对

115、初始激励的响应系统对初始激励的响应(P121-128)由前面的分析可得到系统的两组特解由前面的分析可得到系统的两组特解为为5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动224采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 由由解解的的形形式式可可看看出出，系系统统两两质质量量按按相相同同的的频频率率和和相相位位角角作作简简谐谐运运动动，这这种种运运动动称称为为固固有振动或主振动。有振动或主振动。 每每一一个个主主振

116、振动动称称为为一一个个模模态态，w wi和和对对应应的的ui组成第组成第i 阶模态参数。阶模态参数。 系系统统在在主主振振动动中中，各各质质点点同同时时达达到到平平衡衡位位置置或或最最大大位位移移，而而在在整整个个振振动动过过程程中中，各各质质点点位位移移的的比比值值将将始始终终保保持持不不变变，也也就就是是说说，在在主主振振动动中中，系系统统振振动动的的形形式式保保持持不不变变，这这就是振型的物理意义。就是振型的物理意义。 5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动225采用PP管及配件：根据给

117、水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 式式中中的的各各个个X、a a和和C均均为为任任意意常常数数，由由初初始条件确定。始条件确定。或写或写为为下面的形式下面的形式5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动226采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物将初始条件代入将初始条件代入可可得得设初始条件为设初始条件为t0时时5.4 5.4

118、 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动227采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 综综上上所所述述，系系统统对对初初始始激激励励的的响响应应求求解解步骤为：步骤为：（1）建建立立运运动动微微分分方方程程，求求出出质质量量矩矩阵阵M和刚度矩阵和刚度矩阵K;（2）确定固有频率）确定固有频率w wi 和振幅比和振幅比ui ;（3）利用初始条件求响应。）利用初始条件求响应。5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自

119、由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动228采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物【T5-21】求】求系统的频率方程。系统的频率方程。 解解：取取静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点和零势能位置和零势能位置 则则 5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动229采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪

120、边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物将余弦函数表示为将余弦函数表示为则则 所以所以 5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动230采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物【T5-26】求】求系统的系统的固有固有频率。频率。 解：用牛顿定律解：用牛顿定律 而而 x1x2dd1dd2dd3解得解得 则方程为则方程为 5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统

121、的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动231采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物频率方程为频率方程为即即 展开得展开得 5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动232采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物频率方程为频率方程为解得解得5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度

122、系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动233采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【T5-35】质质量量为为m2的的物物块块从从高高h处处自自由由落落下下，然然后后与与弹弹簧簧质质量量系系统统一一起起做做自自由由振振动动，已已知知m1m2m，k1k2k，h100 mg/k，求求系系统统的的振振动动响响应。应。 解解:（1）用牛顿定律建立方程用牛顿定律建立方程5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两

123、个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动234采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（2）频率方程为）频率方程为解得解得（3）求振型。利用）求振型。利用则则同理同理5.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动235采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（4）求响应）求响应初始条件初始条件代入得代入得5

124、.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动236采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 在在二二阶阶振振动动微微分分方方程程中中，如如果果质质量量矩矩阵阵M和和刚刚度度矩矩阵阵K的的各各个个元元素素都都不不为为零零，则则在在两两个个方方程程中中都都同同时时包包含含坐坐标标x1和和x2和和它它们们的导数项，这种情形称为的导数项，这种情形称为坐标耦合坐标耦合。 把把M为为对对角角阵阵，K不不是是对对角角阵阵的

125、的情情形形称称为为静静力力耦耦合合或或弹弹性性耦耦合合（刚刚性性耦耦合合），把把K为为对对角角阵阵，M不不是是对对角角阵阵的的情情形形称称为为动动力力耦耦合合或或惯惯性耦合性耦合。5.5 广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合5.5 5.5 广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合第5章 两个自由度系统的振动237采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解得解得响应为响应为作业：作业：T5-13，26，285.4 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动两

126、个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动238采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 方方程程是是否否耦耦合合与与广广义义坐坐标标的的选选取取有有关关。前前面分析的标准面分析的标准m-k-c系统就是静力耦合。系统就是静力耦合。 对对于于下下面面的的振振动动系系统统，设设杆杆的的质质量量为为m，绕质心的转动惯量为绕质心的转动惯量为JC。5.5 5.5 广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合第5章 两个自由度系统的振动239采用PP管及

127、配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 若若取取质质心心位位移移x和和转转角角q q为为广广义义坐坐标标，则则自自由由振振动动方方程程是是静力耦合的静力耦合的5.5 5.5 广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合第5章 两个自由度系统的振动240采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 若若坐坐标标x不不取取在在质质心心,而而是是选选在在满满足足k1a1k2b2的的O点点位位置置，利利

128、用用平平面面运运动微分方程动微分方程可可得得到到 其其中中e为为O点点距距质质心心的的距距离离，这这时时运运动动方方程是动力耦合的程是动力耦合的。O O5.5 5.5 广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合Cea1b1第5章 两个自由度系统的振动241采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 同同样样，若若将将坐坐标标x取取在在最最左左端端A，利利用用平平面面运运动动微微分分方方程程得得到到运动方程为运动方程为 这这里里的的a和和b如如原原图图所所标标的的位位置置。方

129、方程程既既是静力耦合又是动力耦合。是静力耦合又是动力耦合。5.5 5.5 广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合第5章 两个自由度系统的振动242采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 从从前前面面的的分分析析可可知知，只只要要广广义义坐坐标标形形式式选选择择合合适适，就就可可以以得得到到没没有有坐坐标标耦耦合合的的运运动动微微分分方方程程，这这时时的的广广义义坐坐标标称称为主坐标。为主坐标。 主主坐坐标标下下的的质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵除除主主对对角角

130、线线元元素素外外，其其余余元元素素均均为为零零，各各个运动方程的坐标之间不存在耦合。个运动方程的坐标之间不存在耦合。5.6 5.6 主坐标主坐标主坐标主坐标5.6 主坐标主坐标第5章 两个自由度系统的振动243采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物其中其中u是前面得到的振型矩阵是前面得到的振型矩阵令令 将将x代代入入原原振振动动方方程程，化化简简后后就就可可得得到到解耦的运动方程（下章证明）解耦的运动方程（下章证明）5.6 5.6 主坐标主坐标主坐标主坐标第5章 两个自由度系统的振动244采用PP管

131、及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 显显然然上上述述解解耦耦的的方方程程的的解解可可以以用用单单自由度振动的方法独立求得自由度振动的方法独立求得 将将其其代代入入x=uP即即可可得得到到用用原原始坐标始坐标x表示的一般解。表示的一般解。 主主坐坐标标的的概概念念在在强强迫迫振振动动中中具具有有重重要意义。要意义。5.6 5.6 主坐标主坐标主坐标主坐标第5章 两个自由度系统的振动245采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部

132、位干净无污物 利利用用主主坐坐标标解解耦耦的的方方法法求求解解系系统统响响应应的基本步骤为：的基本步骤为：（1）求求出出原原振振动动方方程程的的固固有有频频率率和和振振幅幅比，得到振型矩阵比，得到振型矩阵u；（2）求出主坐标下的响应；）求出主坐标下的响应；（3）利利用用式式x=uP得得出出原原广广义义坐坐标标下的响应；下的响应；（4）利用初始条件确定常系数。）利用初始条件确定常系数。5.6 5.6 主坐标主坐标主坐标主坐标第5章 两个自由度系统的振动246采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【例

133、例】标标准准m-k-c系系统统中中，设设m1m, m22m, k1k2k, k32k, c=0, 求求系系统统的的固固有有频频率率和和固固有有振振型型。利利用用坐坐标标变变换换方方法法求求系系统统对对初初始始激激励励的的响响应应。设初始条件为设初始条件为5.6 5.6 主坐标主坐标主坐标主坐标第5章 两个自由度系统的振动247采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 解解:（1）求固有频率和振幅比）求固有频率和振幅比,得到振型矩阵得到振型矩阵u5.6 5.6 主坐标主坐标主坐标主坐标第5章 两个自由度

134、系统的振动248采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（3）利用式）利用式x=uP得出得出（2）主坐标下的响应）主坐标下的响应（4）确定常系数。将初始条件代入得）确定常系数。将初始条件代入得5.6 5.6 主坐标主坐标主坐标主坐标第5章 两个自由度系统的振动249采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物联立解得联立解得所以所以作业：作业：T5-9，155.6 5.6 主坐标主坐标主坐标主坐标第5章 两个自由

135、度系统的振动250采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物两自由度两自由度振动微分方程振动微分方程为为复数解法复数解法5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动设设干扰力干扰力为谐和函数，并表示为为谐和函数，并表示为复数复数形式形式令方程的解为令方程的解为第5章 两个自由度系统的振动251采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口

136、面的圆度，保持熔接部位干净无污物其中其中X1和和X2为复振幅。将为复振幅。将上上式代入式代入方程方程得得其中其中(i, j=1, 2)5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动若为无阻尼系统，则若为无阻尼系统，则第5章 两个自由度系统的振动252采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物振幅振幅为为 若若干干扰扰力力为为正正弦弦函函数数或或余余弦弦函函数数，则则前前面面分析中相关的分析中相关的eiwwt 变为变为sinwwt 或或coswwt

137、 即可。即可。5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动即即第5章 两个自由度系统的振动253采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 由此由此可看出可看出:（1）当当激激励励频频率率与与系系统统的的固固有有频频率率接接近近时时，系系统统出出现现共共振振现现象象，即即无无阻阻尼尼振振幅幅将将达达到到无无穷穷大大，所所不不同同的的是是，两两自自由由度度系系统统有有两两个共振峰；个共振峰；（2）阻阻尼尼的的存存在在使使共共振振振振幅幅减减小小，

138、在在相相同同的的阻阻尼尼下下，频频率率高高的的共共振振峰峰降降低低的的程程度度比比频频率率低低的的大大。因因此此实实际际结结构构的的动动力力响响应应只只需要考虑最低几阶需要考虑最低几阶模态模态的的影响影响。5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动254采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 和和单单自自由由度度的的概概念念类类似似，可可以以绘绘出出频频率率比比与与振振幅幅之之间间随随阻阻尼尼比比的的变变化化曲

139、曲线线幅幅频频响应曲线响应曲线频率响应曲线频率响应曲线 共振现象共振现象5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动255采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【例例】在在两两自自由由度度标标准准m-k系系统统中中，设设m1m2m，k1k2k3k，在在第第一一个个质质量量上上作作用用有有干干扰力扰力F1(t)=F0cosw wt，求系统的响应。，求系统的响应。 解：解：设解为设解为代入振动方程得代入振动方程得5

140、.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动256采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物即即解得解得因此系统的响应为因此系统的响应为5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动257采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【T5-45

141、】图图示示系系统统，xsa sinw wt，当当w w为为基基频频的的0.707倍倍时时，车车体体W2的的振振幅幅为为a的的多多少少倍倍。已已知知W144100 N，W2441000 N，k11.683107 N/m，k23.136108 N/m。解解: 振动方程为振动方程为即即5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动258采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 代入数据，求得固有频率为代入数据，求得固有频率

142、为 w w118.04，w w2282.97 机车振动频率为机车振动频率为ww0.707 w w1 0.707 18.04 12.76利用利用前面的方法求前面的方法求得振幅为得振幅为作业：作业：T5-395.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动259采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 当当机机器器转转速速在在共共振振区区域域附附近近时时会会引引起起剧剧烈烈的的振振动动，由由单单自自由由度度系系统统振振动动

143、理理论论知知道道，可可以以通通过过调调整整质质量量或或弹弹簧簧刚刚度度或或增增加加阻阻尼尼来使振动情况得到缓解。来使振动情况得到缓解。 动动力力吸吸振振器器的的原原理理是是在在原原系系统统上上附附加加一一个个新新的的m-k或或m-c系系统统，使使其其变变成成两两自自由由度度的的振振动动系系统统，利利用用前前面面研研究究的的理理论论，使使原原振动系统的振幅振动系统的振幅趋于趋于零。零。动力吸振器动力吸振器5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动260采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管

144、件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 m1-k1为为原原来来的的基基本本振振动动系系统统，m2-k2为为附附加加的的吸吸振振系系统统，这这两两个个系系统统组组成成了了两两自自由由度度振振动动系系统统。运动微分方程为运动微分方程为无阻尼动力吸振器无阻尼动力吸振器 5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动261采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物利用利用前面的方法求前面

145、的方法求得振幅为得振幅为引入记号引入记号基本系统的固有频率基本系统的固有频率;5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动262采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物吸振吸振系统的固有频率系统的固有频率;基本系统的静位移基本系统的静位移;吸振质量与基本质量之比吸振质量与基本质量之比. 一一般般动动力力吸吸振振器器设设计计成成w wnw wa，引引入入频频率比率比r，则振幅则振幅可写为可写为5.7 5.7 两自由度

146、系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动263采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 由此可看出：由此可看出：（1）r1即即激激振振频频率率w w等等于于吸吸振振系系统统固固有有频频率率w wa时，时，X10，即达到最佳吸振效果；，即达到最佳吸振效果；（2）吸吸振振器器设设计计时时一一般般只只要要求求w waw wn，因因此此吸振系统的参数有广泛的选择余地。吸振系统的参数有广泛的选择余地。 通通常常，实实际际的的设设计计选选择择是是

147、要要求求适适当当限限制制吸吸振振系系统统运运动动的的振振幅幅X2。由由X2/xst的的式式子子可可知知，质质量量比比m m越越大大，在在r1时时X2越越小小，因因此此我我们们取取m m 值不能太小。值不能太小。5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动264采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【T5-44】机机器器质质量量m190 kg，减减振振器器质质量量m22.25 kg，机机器器上上偏偏心心块块质质量

148、量为为m0.5 kg，偏偏心心距距e1 cm，机机器器转转速速n1800 r/min。求求5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动（1）减减振振器器刚刚度度k2多多大大才才能能使使机机器器振振幅幅为为0；（2）此此时时减减振振器器的的振振幅幅为为多多大大；（3）若若使使减减振振器器的的振振幅幅不不超超过过2 mm，应应如如何何改改变变减减振器的参数。振器的参数。第5章 两个自由度系统的振动265采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解解

149、: 振动方程为振动方程为其中其中5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动（1）利用利用前面求前面求得得的的振幅振幅公式公式第5章 两个自由度系统的振动266采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 代入数据代入数据,令令X10求得求得: k279943.8 N/m代入公式求代入公式求得得减震器减震器振幅为振幅为5.7 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动（3）设减震器）设减震器振

150、幅振幅X2=0.002，同时设，同时设w w1w w2 求得求得k2（2）设设 求求得得: k13215517.1 N/m第6章 多自由度系统的振动267采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物第第6章章 多自由度系多自由度系统的振动统的振动第6章 多自由度系统的振动268采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 多多自自由由度度系系统统指指的的是是可可以以用用有有限限个个自自由由度度描描述述的的振振动动系系

151、统统。一一般般来来说说，一一个个n自自由由度度的的振振动动系系统统，其其广广义义位位移移可可以以用用n个个独独立立坐坐标标来来描描述述，其其运运动动规规律律通通常常可可用用n个二阶常微分方程来确定。个二阶常微分方程来确定。 多多自自由由度度振振动动系系统统的的很很多多概概念念和和研研究究方法在两自由度系统中已经讨论。方法在两自由度系统中已经讨论。第6章 多自由度系统的振动269采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 建建立立振振动动系系统统运运动动微微分分方方程程的的方方法法和和上上章章一一样样，包

152、包括括一一般般的的动动力力学学方方法法、影影响响系系数数法法（刚刚度度影影响响系系数数和和柔柔度度影影响响系系数数）、拉格朗日方程和能量方法等。拉格朗日方程和能量方法等。6.1 多自由度系统的运多自由度系统的运动微分方程式动微分方程式6.1 6.1 多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式第6章 多自由度系统的振动270采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物【T6-10】求系统的微振动微分方程。】求系统的微振动微分方程。6.1

153、6.1 多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式第6章 多自由度系统的振动271采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.1 6.1 多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式第6章 多自由度系统的振动272采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 例例：用用直直观观

154、目目测测方方法法直直接接形形成成标标准准M-K-C自自由由振振动动系系统统的的M、K。作业：作业：T6-9，6-116.1 6.1 多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式m1m2m3m4m5k1k2k3k4k5k8k9k10k6k7第6章 多自由度系统的振动273采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物无阻尼自由振动的运动方程为无阻尼自由振动的运动方程为6.2.1 主振型方程式主振型方程式6.2.2 特征值和特征向量特征值和特征

155、向量6.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题 利利用用两两自自由由度度系系统统的的分分析析结结果果，假假设设方方程解的形式为程解的形式为第6章 多自由度系统的振动274采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 这这里里：X为为振振幅幅向向量量，w w为为固固有有频频率率，aa为初相位。为初相位。代入振动方程可得：代入振动方程可得： K-w w2M称称为为特特征征矩矩阵阵

156、。要要使使上上式式有有解解，必须使其系数行列式为零必须使其系数行列式为零：6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题 上上式式称称为为频频率率方方程程或或特特征征方方程程。由由此此可可求求出出n个特征根个特征根w w2。第6章 多自由度系统的振动275采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 将将每每个个特特征征根根w wi（固固有有频频率率）代代入入广广义义特特征征值值问问题题(Kw w2M)X=0, 可可得得到到相相应应的的

157、非非零零向向量量X(i), 称称为为特特征征矢矢量量,或或称称特特征征向向量量、固有振型、固有向量、模态向量等。显然固有振型、固有向量、模态向量等。显然: 和和两两自自由由度度一一样样，由由上上式式只只能能求求出出振振幅幅的的比值，而不能确定各振幅大小。比值，而不能确定各振幅大小。 固固有有频频率率和和特特征征向向量量只只决决定定于于系系统统本本身身的的物物理理特特性性，而而与与外外部部激激励励和和初初始始条条件件无无关关，它们都是系统的固有属性。它们都是系统的固有属性。6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题第6章

158、多自由度系统的振动276采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 例例T6-10中中：设设m1m31，m22，r1， k1k2k31。求固有频率和振型。求固有频率和振型。6.1 6.1 多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程式第6章 多自由度系统的振动277采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解：代入数值得解：代入数值得代入代入|K-

159、w w2M|=0得：得：6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题 理理论论求求解解很很困困难难，一一般般通通过过试试算算或或利利用用工工具具软件，如软件，如Excel、MATLAB、Mathematica等。等。第6章 多自由度系统的振动278采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 利用利用Excel计算固有频率步骤：计算固有频率步骤：(1)定定义义变变量量。如如在在A1格格“插插入入”-“名名称称”-“定定义义”w(2)输

160、入公式。如在输入公式。如在A2格输入格输入 =w3-5*w2+6*w-1(3)“工工具具”-“单单变变量量求求解解”(只只能能求求第第一一固固有有频频率率)(4)高高阶阶特特征征值值的的求求解解要要用用 “工工具具”-“规规划划求求解解” 固有频率为：固有频率为：6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题第6章 多自由度系统的振动279采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1.振型的基准化振型的基准化 由由于于固固有有振振型型

161、X(i) 只只是是振振幅幅的的比比例例关关系系，各各阶阶振振型型均均有有一一个个未未确确定定的的常常数数比比例例因因子子。通通常常假假设设振振型型的的某某个个元元素素为为1，则则其其它它元元素素就就可可以以表表示示为为此此元元素素的的倍倍数数，这这种种方方法法或过程就是或过程就是振型的基准化振型的基准化。 一般假设振型的第一个元素为一般假设振型的第一个元素为1。6.2.3 振型的基准化和标准化振型的基准化和标准化6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题第6章 多自由度系统的振动280采用PP管及配件：根据给水设计图配置

162、好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物分别代入分别代入(K-w w2M)X=0得：得：6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题作业：作业：T6-13第6章 多自由度系统的振动281采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2. 振型的标准化振型的标准化 另另外外一一种种确确定定振振型型各各元元素素数数值值的的方方法法是是以以某某个个限限制制条条件件来来确确定定振振型型中

163、中的的常常数数因因子。通常规定子。通常规定 XN(i)满足条件满足条件6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题 满满足足这这个个限限制制条条件件的的振振型型XN(i)称称为为标准化（或正规化、归一化）的振型。标准化（或正规化、归一化）的振型。第6章 多自由度系统的振动282采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 对对方方程程(Kw w2M)XN=0两两边边左左乘乘XN(i)T 可得到可得到6.26.2无阻尼自由振动的特征值问

164、题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题 注注意意：这这里里的的XN(i)均均为为正正规规化化后后的的振振型型，而而不不是是求求解解的的原原始始主主振振型型X(i) 。第6章 多自由度系统的振动283采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3. 标准化振型与主振型的关系标准化振型与主振型的关系 将主振型将主振型 X(i)进行如下运算：进行如下运算：6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题

165、 Mi称称为为广广义义质质量量（主主质质量量、模模态态质质量量）。设设X(i)ci XN(i)，代入上式有：，代入上式有：所以所以第6章 多自由度系统的振动284采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题6.2.4 自由振动的运动规律自由振动的运动规律 求求出出特特征征方方程程的的n个个特特征征值值和和对对应应的的特特征征向向量量后后，即即得得到到振振动动方方程程的的n个个线线性性无无关关

166、的的特特解解，系系统统按按任任意意一一个个固固有有频频率率作作自自由由振振动动，称之为主振动，则第称之为主振动，则第i 阶主振动为阶主振动为(i1,2,n) 因而方程的通解应是上述特解的线性组合因而方程的通解应是上述特解的线性组合第6章 多自由度系统的振动285采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物或写为或写为6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题 其其中中常常数数ci、a ai、Ai、Bi (i1,2,n)由由初初始始条

167、条件件确确定定。例例如如给给出出t0时时的的位位移移向向量量x0和和速度向量速度向量v0 ，则得到含有，则得到含有2n个方程的方程组个方程的方程组或或第6章 多自由度系统的振动286采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【T6-26】图图示示系系统统中中, m1m2m3m, k1k2k3k, 设设初初始始位位移移为为1, 初初始始速速度度为为0, 求求初初始激励的自由振动响应。始激励的自由振动响应。 6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自

168、由振动的特征值问题 解：解：第6章 多自由度系统的振动287采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物则响应为：则响应为：6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题将振型代入并展开：将振型代入并展开：第6章 多自由度系统的振动288采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻

169、尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题前面的例题已经求得：前面的例题已经求得：第6章 多自由度系统的振动289采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题第6章 多自由度系统的振动290采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.26.2无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题

170、无阻尼自由振动的特征值问题无阻尼自由振动的特征值问题解出各系数即可解出各系数即可代入初始条件得：代入初始条件得：作业：作业：T6-28第6章 多自由度系统的振动291采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 由广义特征值问题由广义特征值问题(Kw w2M)X=0知知6.3 主振型的正交性主振型的正交性6.3 6.3 主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性两边分别左乘两边分别左乘X(j)T 和和X(i)T得到得到第6章 多自由度系统的振动292采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP

171、管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物与第一式相减得：与第一式相减得：由于由于K和和M都是对称阵，上面第二式可写为都是对称阵，上面第二式可写为6.3 6.3 主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性第6章 多自由度系统的振动293采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物显然也有：显然也有：（ij） 结结论论：当当刚刚度度矩矩阵阵K和和质质量量矩矩阵阵M都都是是对对称称阵阵时时，n个个固固有有频频率率对对应应的的固固有有振振型型之之间

172、关于间关于K和和M都是正交的。都是正交的。所以：所以：（ij）6.3 6.3 主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性第6章 多自由度系统的振动294采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 这这里里的的Mi和和Ki是是两两个个实实常常数数，分分别别称称为为系系统统的的主主质质量量和和主主刚刚度度（或或称称模模态态质质量量和和模态刚度）。模态刚度）。 由此可得到：由此可得到：当当ij 时：时：6.3 6.3 主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性第6章 多自由度系统的

173、振动295采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.4 6.4 主坐标主坐标主坐标主坐标 变变换换矩矩阵阵即即振振型型矩矩阵阵，就就是是各各阶阶振振型组成的方阵型组成的方阵6.4.1 变换矩阵变换矩阵6.4 主坐标主坐标第6章 多自由度系统的振动296采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.4 6.4 主坐标主坐标主坐标主坐标6.4.2 广义质量和广义刚度的对角矩阵广义质量和广义刚度的对角矩阵 广广义义

174、质质量量（主主质质量量、模模态态质质量量）矩矩阵阵Mp和和广广义义刚刚度度（主主刚刚度度、模模态态刚刚度度）矩矩阵阵Kp：主主对对角角线线元元素素为为相相应应的的主主质质量量和和主刚度，其它元素为零。即主刚度，其它元素为零。即第6章 多自由度系统的振动297采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 由由主主质质量量矩矩阵阵Mp和和主主刚刚度度矩矩阵阵Kp可可得得到如下关系：到如下关系：6.4 6.4 主坐标主坐标主坐标主坐标第6章 多自由度系统的振动298采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及

175、配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物对振动方程用振型矩阵进行变换对振动方程用振型矩阵进行变换6.4.3 用主坐标表示的运动方程用主坐标表示的运动方程代入方程后左乘代入方程后左乘QT得得或或（i1，2，n）6.4 6.4 主坐标主坐标主坐标主坐标 这这样样原原方方程程就就变变成成了了n个个独独立立的的(解解耦耦的的)固固有有频频率为率为w wi的简谐振动，这组广义坐标的简谐振动，这组广义坐标Z称为主坐标。称为主坐标。第6章 多自由度系统的振动299采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证

176、切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1. 标准振型矩阵标准振型矩阵 即由标准振型构成的方阵：即由标准振型构成的方阵：标准振型（正则振型）为标准振型（正则振型）为6.4 6.4 主坐标主坐标主坐标主坐标6.4.4 标准坐标标准坐标第6章 多自由度系统的振动300采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物则有如下关系：则有如下关系：同理有同理有6.4 6.4 主坐标主坐标主坐标主坐标由于由于还有如下关系：还有如下关系：第6章 多自由度系统的振动301采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件

177、在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2. 标准坐标（正则坐标）下的方程标准坐标（正则坐标）下的方程 对振动方程用正则振型矩阵进行坐标变换对振动方程用正则振型矩阵进行坐标变换代入方程得到代入方程得到（i1，2，n）这组广义坐标这组广义坐标ZN称为标准坐标称为标准坐标(正则坐标正则坐标)。6.4 6.4 主坐标主坐标主坐标主坐标第6章 多自由度系统的振动302采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 设振动方程的初始条件为设振动方程的初始条件为x0和和 6.5 系统

178、对初始激励的响应系统对初始激励的响应6.5 6.5 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应 对对其其进进行行正正则则坐坐标标变变换换，转转换换为为标标准准坐标（正则坐标）下的初始条件坐标（正则坐标）下的初始条件:第6章 多自由度系统的振动303采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 利利用用单单自自由由度度的的响响应应公公式式可可得得到到初初始始激激励下的正则坐标响应励下的正则坐标响应:（i1，2，n）再变换到广义坐标再变换到广义坐标x下的响应下的响应上述过

179、程也可以在主坐标下进行。上述过程也可以在主坐标下进行。6.5 6.5 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应第6章 多自由度系统的振动304采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 无阻尼系统对初始激励的响应分析步骤无阻尼系统对初始激励的响应分析步骤:（1）建建立立振振动动方方程程，确确定定质质量量矩矩阵阵M和和刚刚度度矩阵矩阵K;（2）求固有频率和振型）求固有频率和振型;（3）确定）确定标准（标准（正则正则）振型矩阵振型矩阵;（4）对初始条件）对初始条件标准

180、（标准（正则正则）化化;（5）计算）计算标准（标准（正则正则）坐标初始激励响应坐标初始激励响应;（6）计算广义坐标初始激励响应。）计算广义坐标初始激励响应。6.5 6.5 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应第6章 多自由度系统的振动305采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【T6-26】m1m2m3m，k1k2k3k,设设初初始始位位移移为为1，初初始始速速度度为为0，用用标标准准坐坐标标变变换换方方法法求求初初始激励下的自由振动响应。始激励下的自由

181、振动响应。 解：解： （1）6.5 6.5 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应第6章 多自由度系统的振动306采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 （2）6.5 6.5 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应第6章 多自由度系统的振动307采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（3）求正则振型矩阵：）求正则振型矩阵：

182、6.5 6.5 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应第6章 多自由度系统的振动308采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.5 6.5 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应第6章 多自由度系统的振动309采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（4）对初始条件正则化：）对初始条件正则化：6.5 6.5 系统对初始激励的

183、响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应第6章 多自由度系统的振动310采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（5）正则坐标下的初始激励响应）正则坐标下的初始激励响应6.5 6.5 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应第6章 多自由度系统的振动311采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（6）广义坐标下的初始激励响应）广义坐标下的初始激励

184、响应作业：用本节方法做作业：用本节方法做T6-296.5 6.5 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应第6章 多自由度系统的振动312采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动 求求解解强强迫迫振振动动响响应应的的方方法法是是振振型型迭迭加加法法或或称称模模态态分分析析方方法法，其其基基本本思思想想是是：利利用用振振型

185、型矩矩阵阵，把把描描述述系系统统运运动动的的广广义义坐坐标标变变换换到到模模态态坐坐标标（主主坐坐标标或或正正则则坐坐标标），把把运运动动方方程程变变换换成成n个个独独立立的的方方程程，求求得得系系统统在在每每个个模模态态坐坐标标下下的的响响应应，然然后后再再得得到到系系统统在在一一般般广广义义坐坐标标下下的的响响应应。这这种种坐坐标标变变换换过过程程，实实际上是将振型进行组合迭加的过程和方法。际上是将振型进行组合迭加的过程和方法。第6章 多自由度系统的振动313采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污

186、物 对对方方程程进进行行标标准准坐坐标标变变换换x=QNZN并并左乘左乘QNT,利用其正交关系可得到：利用其正交关系可得到：（i1，2，n）或写为或写为n自由度无阻尼强迫振动的运动方程为自由度无阻尼强迫振动的运动方程为6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动314采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物再考虑前面给出的初始条件的响应再考虑前面给出的初始条件的响应 上上述述方方程程已已经经解解耦耦，所所以以可可以以利利用用

187、单单自自由由度度的的概概念念和和方方法法计计算算标标准准坐坐标标下下的的响响应应。稳态响应为稳态响应为6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动315采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（i1，2，n）再变换到广义坐标再变换到广义坐标x下下上述过程也可以在主坐标下进行。上述过程也可以在主坐标下进行。则标准坐标下的总响应为则标准坐标下的总响应为6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无

188、阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动316采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 无阻尼系统响应分析步骤无阻尼系统响应分析步骤:（1）建建立立振振动动方方程程，确确定定质质量量矩矩阵阵M和刚度矩阵和刚度矩阵K;（2）求固有频率和振型）求固有频率和振型;（3）确定）确定标准标准振型矩阵振型矩阵;（4）对初始条件）对初始条件标准标准化化;（5）对激励标准化）对激励标准化;（6）计算）计算标准坐标标准坐标响应响应;（7）计算广义坐标响应。）计算广义坐标响应。6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻

189、尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动317采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【T6-38】弹弹簧簧支支撑撑的的两两个个刚刚性性均均质质杆杆，质质量量均均为为m，在在B点点用用铰铰链链连连接接, l3 m，若若C点点下下面面弹弹簧簧支支撑撑点点沿沿y轴轴方方向向按按谐谐波波函函数数yg=dsinw wt运运动动。选选B点点的的铅铅垂垂位位移移y和和两两杆杆绕绕B点点的的转转角角为为广广义义坐坐标，求系统的稳态响应。标，求系统的稳态响应。6.6 6.6

190、 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动318采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物代入代入拉格朗日方程得拉格朗日方程得6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动319采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解：解： （1）用拉格朗日方程）用拉格朗日方程6.6

191、6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动320采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物则则6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动321采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（2）求固有频率和振型）求固有频率和振型求得求得6.6 6.6 无阻尼系统的强迫

192、振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动322采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物w w1代入代入求得求得同理同理6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动323采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（3）求标准振型矩阵）求标准振型矩阵6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻

193、尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动324采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物同理同理6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动325采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（5）标准坐标下的响应）标准坐标下的响应利用单自由度系统正弦激励下的响应得利用单自由度系统正弦激励下的响应得

194、6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动326采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（4）对激励标准化）对激励标准化6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动327采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物同理同理6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动

195、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动328采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（6）广义坐标下的响应）广义坐标下的响应作业：作业：T6-33这里这里展开代入数据即可展开代入数据即可6.6 6.6 无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动329采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.7 有

196、黏滞阻尼系统的强迫振动有黏滞阻尼系统的强迫振动6.7 6.7 有黏滞阻尼系统的强迫振动有黏滞阻尼系统的强迫振动有黏滞阻尼系统的强迫振动有黏滞阻尼系统的强迫振动n自由度系统的振动微分方程为自由度系统的振动微分方程为 其其中中的的质质量量矩矩阵阵M、刚刚度度矩矩阵阵K和和阻阻尼矩阵尼矩阵C通常为实对称矩阵。通常为实对称矩阵。 阻阻尼尼矩矩阵阵通通过过上上节节的的坐坐标标变变换换一一般般不不能能化化为为对对角角阵阵，即即方方程程不不能能解解耦耦。因因此此多多自自由由度有阻尼振动系统的求解非常困难。度有阻尼振动系统的求解非常困难。第6章 多自由度系统的振动330采用PP管及配件：根据给水设计图配置好P

197、P管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 如如果果阻阻尼尼矩矩阵阵C是是质质量量矩矩阵阵M和和刚刚度度矩阵矩阵K的线性组合，则称之为比例阻尼。的线性组合，则称之为比例阻尼。 其其中中a a和和b b为为常常数数。则则对对阻阻尼尼矩矩阵阵进进行行正正则变换后得则变换后得6.7 6.7 有黏滞阻尼系统的强迫振动有黏滞阻尼系统的强迫振动有黏滞阻尼系统的强迫振动有黏滞阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动331采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物

198、这样，对振动方程进行正则变换后得到这样，对振动方程进行正则变换后得到 （i1，2，n） 由由于于方方程程已已经经解解耦耦，则则可可直直接接利利用用单单自自由由度度的理论求解正则坐标下的稳态响应为的理论求解正则坐标下的稳态响应为（i1，2，n）6.7 6.7 有黏滞阻尼系统的强迫振动有黏滞阻尼系统的强迫振动有黏滞阻尼系统的强迫振动有黏滞阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动332采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物其中其中广义坐标下的稳态响应为广义坐标下的稳态响应为6.7 6.7 有黏滞阻尼系

199、统的强迫振动有黏滞阻尼系统的强迫振动有黏滞阻尼系统的强迫振动有黏滞阻尼系统的强迫振动第6章 多自由度系统的振动333采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况 振动系统的广义特征值问题为：振动系统的广义特征值问题为：固有频率相等的情况固有频率相等的情况固有频率相等的情况固有频率相等的情况(P163-165)(P163-165) 这这里里H

200、K-w w2M为为特特征征矩矩阵阵。由由于于结结构构的的对对称称性性或或其其它它原原因因，可可能能具具有有重重特特征值，也就是有相同的固有频率。征值，也就是有相同的固有频率。第6章 多自由度系统的振动334采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况 设设固固有有频频率率有有r个个重重根根，则则特特征征方方程程的的秩秩变变为为nr，原原方方程程只只有有nr个个方方程程独独立立。划划去去r个不独立

201、方程，并把其余个不独立方程，并把其余nr个独立方程写为个独立方程写为 Ha为为划划去去r个个不不独独立立方方程程并并调调整整列列位位置置后后的的剩剩余余nr个个独独立立方方程程组组成成的的 (nr)(nr)阶阶方方阵阵，Hb 为为(nr)r阶阶矩矩阵阵，Xa为为nr阶阶列阵，列阵，Xb为为r阶列阵。由此得到阶列阵。由此得到第6章 多自由度系统的振动335采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情

202、况一般取一般取其中只有第其中只有第i个元素为个元素为1，其余均为零。，其余均为零。记记 将其正规化，即得到第将其正规化，即得到第i 阶重特征值的振型。阶重特征值的振型。 正规化的方法步骤为：正规化的方法步骤为：（1）1阶重特征值振型：阶重特征值振型：第6章 多自由度系统的振动336采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况（2）2阶重特征值振型：阶重特征值振型：（3）i 阶重特征值振型：阶重特

203、征值振型：(j1,2,i1)第6章 多自由度系统的振动337采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况【例】【例】 设系统的运动方程为设系统的运动方程为 求系统自由振动的解。求系统自由振动的解。解：利用前面的方法可求得固有频率为解：利用前面的方法可求得固有频率为第6章 多自由度系统的振动338采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口

204、面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.86.8固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况则有两个重根，第则有两个重根，第1、2固有频率的特征值问题为固有频率的特征值问题为 由由前前两两个个方方程程显显然然可可看看出出一一个个振振型型（设设为为第第一振型）为一振型）为第6章 多自由度系统的振动339采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况为求

205、第为求第2振型，去掉第振型，去掉第2、3个方程后个方程后列位置列位置 1 2 3 4 调整调整H中列的位置使中列的位置使Ha1存在。设存在。设原原列列位位置置 1 4 2 3第6章 多自由度系统的振动340采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况则则则则设设第6章 多自由度系统的振动341采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面

206、的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况则则所以所以行位置行位置 1 4 2 3对第对第3、4固有频率特征值问题为固有频率特征值问题为第6章 多自由度系统的振动342采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.86.8固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况为求第为求第4振型，去掉第振型，去掉第2、4个方程并调整列位置个方程并调整列位置列列位位置

207、置 1 2 3 4 1 3 2 4则则第6章 多自由度系统的振动343采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况则则设设所以所以行位置行位置 1 3 2 4第6章 多自由度系统的振动344采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相

208、等或为零的情况固有频率相等或为零的情况所以所以响应为响应为第6章 多自由度系统的振动345采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况 有有时时振振动动方方程程会会出出现现零零特特征征值值的的情情况况，即即固固有有频频率率为为零零，表表明明系系统统的的运运动动是是一一种种刚刚体体运运动动，不不发发生生弹弹性性变变形形，这这种种运运动动称称为为刚刚体体模模态态或或零零固固有有频频率率模模态态。这这

209、时时系系统统的的响响应应可可以表示成以表示成At+B的形式（直线运动）。的形式（直线运动）。 对对于于刚刚体体模模态态，整整个个系系统统如如同同一一个个刚刚体体一一样样整整体体运运动动，有有x1x2xn，因因而而其其特征向量的所有元素都为特征向量的所有元素都为1。固有频率为零的情况固有频率为零的情况(P179-183)第6章 多自由度系统的振动346采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况

210、【T5-36】水水平平面面上上一一物物块块m1以以速速度度v与与物物块块m2发发生生完完全全弹弹性性碰碰撞撞，已已知知m1m2m3，求碰撞后系统的响应。，求碰撞后系统的响应。 解解：碰碰撞撞后后m2的的速速度度为为v，然然后后m2和和m3组成的系统开始作自由振动。组成的系统开始作自由振动。第6章 多自由度系统的振动347采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况 有有一一个个或或几几个个固固有

211、有频频率率等等于于零零的的系系统统称为半正定系统。称为半正定系统。 可可以以证证明明，当当系系统统的的质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵都都是是正正定定矩矩阵阵时时，不不会会有有零零固固有有频频率率，而而当当刚刚度度矩矩阵阵为为半半正正定定矩矩阵阵时时，系系统为半正定系统。统为半正定系统。 出出现现这这种种情情况况的的物物理理条条件件是是系系统统有有刚刚体位移或自由体位移或自由-自由边界。自由边界。第6章 多自由度系统的振动348采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或

212、为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况显然显然解得解得w w1对应刚体运动，设为对应刚体运动，设为At+B第6章 多自由度系统的振动349采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况则则w w2对应的振型对应的振型w w2引起的响应为引起的响应为总响应为总响应为第6章 多自由度系统的振动350采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在

213、管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6.8 6.8 固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况固有频率相等或为零的情况代入初始条件代入初始条件得得所以系统的响应为所以系统的响应为作业：作业：6-2第7章 弹性体振动 351采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物第第7章章 弹性体振动弹性体振动第7章 弹性体振动 352采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔

214、接部位干净无污物 当当振振动动系系统统不不能能简简化化为为有有限限个个独独立立广广义义坐坐标标表表示示的的运运动动方方程程时时，就就必必须须按按照照连连续续系系统统进进行行分分析析。有有些些物物理理现现象象，只只能能用用连连续续系系统统的的模模型型才才能能清清晰地描述。晰地描述。 离离散散系系统统的的数数学学特特征征是是用用常常微微分分方方程程来来描描述述;而而连连续续系系统统则则必必须须用用偏偏微分方程来描述。微分方程来描述。7.1 引引 言言7.1 7.1 引引引引 言言言言第7章 弹性体振动 353采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转

215、，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 同同一一振振动动系系统统可可以以简简化化为为离离散散系系统统和和连连续续系系统统两两种种数数学学模模型型，连连续续系系统统的的数数学学模模型型可可从从相相应应的的离离散散系系统统当当自自由由度度无无限限增增多多时时的的极极限限过过程得到。程得到。 多多自自由由度度系系统统线线性性振振动动的的一一些些重重要要性性质质和和分分析析方方法法，可可以以推推广广到到连续系统中。连续系统中。7.1 7.1 引引引引 言言言言第7章 弹性体振动 354采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，

216、保持熔接部位干净无污物7.2 7.2 弦的振动弦的振动弦的振动弦的振动 设设弦弦长长度度为为l，单单位位长长度度的的质质量量为为r r，轴轴向向拉拉力力为为T，以以变变形形前前弦弦的的方方向向为为x轴轴，横横向向挠挠度度u(x,t)设设为为小小量量。对对于于长度为长度为dx的微元体有的微元体有7.2 弦的振动弦的振动TTu第7章 弹性体振动 355采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物微振动时微振动时并有并有7.2 7.2 弦的振动弦的振动弦的振动弦的振动第7章 弹性体振动 356采用PP管及配件：

217、根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物则则令令 弦弦的的振振动动方方程程，在在数数学学上上称称为为一一维维波动方程。波动方程。7.2 7.2 弦的振动弦的振动弦的振动弦的振动则方程变为则方程变为第7章 弹性体振动 357采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物7.4 杆的纵向振动杆的纵向振动7.4 7.4 杆的纵向振动杆的纵向振动杆的纵向振动杆的纵向振动 假假设设弹弹性性杆杆在在振振动动过过程程中中杆杆的的横横截截面面保保持

218、持为为平平面面，并并沿沿杆杆的的轴轴线线作作平平移移运运动动，忽忽略略轴轴向向应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。 设设杆杆长长为为l，轴轴向向坐坐标标x，坐坐标标原原点点取取在在杆杆的的左左端端。杆杆的的轴轴向向刚刚度度为为EA，质质量量密密度度为为r r，轴轴向向干干扰扰力力密密度度为为f，轴轴向向位位移移为为u，轴轴向向内内力力为为p，它们均依赖于坐标，它们均依赖于坐标x。第7章 弹性体振动 358采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物pr r 在在x处

219、处取取微微段段dx，画画出出该该微微段段的的分分离离体体图图，则运动方程为则运动方程为即即7.4 7.4 杆的纵向振动杆的纵向振动杆的纵向振动杆的纵向振动第7章 弹性体振动 359采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 应应用用材材料料力力学学中中轴轴向向力力与与轴轴向向变变形形的的关系式关系式得到杆的纵向强迫振动方程得到杆的纵向强迫振动方程（0xl）7.4 7.4 杆的纵向振动杆的纵向振动杆的纵向振动杆的纵向振动第7章 弹性体振动 360采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在

220、管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 若若令令方方程程中中的的f(x,t)等等于于零零，便便得得到到自自由振动方程由振动方程 对对于于等等截截面面、均均质质杆杆(均均匀匀杆杆)，E、A均均不不依赖于依赖于x，自由振动方程简化为，自由振动方程简化为7.4 7.4 杆的纵向振动杆的纵向振动杆的纵向振动杆的纵向振动第7章 弹性体振动 361采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物其中其中 c的量纲与速度的量纲相同。的量纲与速度的量纲相同。 显显然然上上述述方方程程也也是

221、是一一维维波波动动方方程程，c是是纵纵波波的的传传播播速速率率，它它等等于于声声波波以以杆杆的材料为介质的传播速率。的材料为介质的传播速率。7.4 7.4 杆的纵向振动杆的纵向振动杆的纵向振动杆的纵向振动第7章 弹性体振动 362采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物7.5 7.5 轴的扭转振动轴的扭转振动轴的扭转振动轴的扭转振动 假假设设振振动动过过程程中中每每一一横横截截面面绕绕截截面面形形心心轴轴转转动动的的角角度度q q作作为为广广义义坐坐标标，横横截截面面保保持持为为平平面面，横横截截面面

222、上上每每一一点点的的位位移移由由q q唯唯一一确确定定，扭转角扭转角q q是空间坐标和时间的函数。是空间坐标和时间的函数。7.5 轴的扭转振动轴的扭转振动第7章 弹性体振动 363采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 在在坐坐标标x处处截截取取微微段段dx，横横截截面面上上的的扭扭矩矩为为T，单单位位长长度度的的圆圆轴轴对对轴轴线线的的转转动动惯惯量量为为J。微段的自由振动方程微段的自由振动方程即即7.5 7.5 轴的扭转振动轴的扭转振动轴的扭转振动轴的扭转振动第7章 弹性体振动 364采用PP管

223、及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物代入得代入得 设设G为为杆杆的的剪剪切切弹弹性性模模量量，Jp为为横横截截面面对对扭扭转转中中心心的的极极惯惯性性矩矩，r r为为体体积积密密度度。扭扭矩矩T与与扭转角扭转角q q 的关系可从材料力学中得到的关系可从材料力学中得到7.5 7.5 轴的扭转振动轴的扭转振动轴的扭转振动轴的扭转振动注意到注意到第7章 弹性体振动 365采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物当当GJp

224、为常量时，方程可写成为常量时，方程可写成（0xr rAl时，时，h h很小，很小，x x也很小，频率方程变为也很小，频率方程变为固有频率为固有频率为 这这表表明明：若若不不计计杆杆的的质质量量，可可视视为为一一个个无无质质量量的的，刚刚度度为为EA/l的的弹弹簧簧，连连接接质质量量为为M的的单自由度振动系统。单自由度振动系统。固有振型和固有频率固有振型和固有频率固有振型和固有频率固有振型和固有频率第7章 弹性体振动 380采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物讨论：讨论：（1）Mr rAl时，频率方

225、程变为时，频率方程变为根为根为固有频率与相应的固有振型为固有频率与相应的固有振型为 这这就就是是左左瑞瑞固固定定右右端端自自由由的的均均匀匀杆杆在在自自由由端不带集中质量时的固有频率与固有振型。端不带集中质量时的固有频率与固有振型。固有振型和固有频率固有振型和固有频率固有振型和固有频率固有振型和固有频率第7章 弹性体振动 381采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 T7-8 一一杆杆右右端端固固定定，左左端端附附有有一一集集中中质质量量M，在在M上上受受到到弹弹性性系系数数为为k的的弹弹簧簧和和阻

226、阻尼尼系系数数为为c的的粘粘性性阻阻尼尼约约束束，试试写写出出杆杆纵纵向向振振动动的边界条件。的边界条件。 解解:右右端端固固定定，杆杆的的边边界界条条件件为为 u(l,t)=0，即，即F F(l)=0； 而而左左端端的的轴轴向向力力等等于于集集中中质质量量的的惯惯性性力力+弹性力弹性力+阻尼力，则边界条件为阻尼力，则边界条件为固有振型和固有频率固有振型和固有频率固有振型和固有频率固有振型和固有频率第7章 弹性体振动 382采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物得边界条件得边界条件利用利用 作业：作

227、业：T7-3固有振型和固有频率固有振型和固有频率固有振型和固有频率固有振型和固有频率第7章 弹性体振动 383采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性 分别用分别用F Fj，F Fi左乘上式两端，并积分左乘上式两端，并积分第7章 弹性体振动 384采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正

228、交性一维波动方程一维波动方程振型函数的正交性振型函数的正交性 和和离离散散系系统统类类似似，一一维维波波动动方方程程的的振振型型函函数数也也有有正正交交性性。以以杆杆的的振振动动为为例例，第第i，j阶振型函数满足阶振型函数满足第7章 弹性体振动 385采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性考虑杆端为固定或自由的情况，此时考虑杆端为固定或自由的情况，此时两式相减得：两式相减得：即：即：ij时：时：第7章 弹性体振动 386采用PP管及配件

229、：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性利用前面的式子知利用前面的式子知则：则：ij时：时：第7章 弹性体振动 387采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解1. 振型叠加法振型叠加法 和和离离散散系系统统类类似似，一一维维波波动动

230、方方程程的的响应求解也用振型叠加法响应求解也用振型叠加法2. 标准坐标（正则坐标）标准坐标（正则坐标） 对振型函数按下式条件正则化对振型函数按下式条件正则化第7章 弹性体振动 388采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解3. 对初始激励的响应对初始激励的响应 设初始条件为设初始条件为将其按标准振型展开将其按标准振型展开第7章 弹性体振动 389采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角

231、切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解用用r rAF Fj左乘上两式，并积分得左乘上两式，并积分得标准坐标下的初始激励响应标准坐标下的初始激励响应第7章 弹性体振动 390采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解物理坐标下的响应物理坐标下的响应响应求解步骤：响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和

232、固有振型）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用标准化条件确定振型中的常数因子）利用标准化条件确定振型中的常数因子;（3）将初始条件变换到标准坐标）将初始条件变换到标准坐标;（4）求标准坐标下的响应）求标准坐标下的响应;（5）求物理坐标下的响应。）求物理坐标下的响应。第7章 弹性体振动 391采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【例例7-4-1】左左端端固固定定，右右端端自自由由的的均均匀匀杆杆，在在自自由由端端作作用用一一轴轴向向拉拉力力P。在在时时间间t=0时时，突突然将然将P力卸除

233、，试求系统对此初始条件的响应。力卸除，试求系统对此初始条件的响应。 解：解： （1）固有频率与相应的固有振型为）固有频率与相应的固有振型为一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解第7章 弹性体振动 392采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（2）由正规化条件）由正规化条件 确定系数确定系数Ci求得求得所以所以一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解第7章 弹性体振动 393采用PP管及配件：根据给水设计

234、图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（3）初初始始条条件件。按按题题意意，t0时时的的位位移移为为杆杆在在轴轴向向力力P作用下产生的静位移，初始速度为零，因此作用下产生的静位移，初始速度为零，因此变换到标准坐标下变换到标准坐标下一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解第7章 弹性体振动 394采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（4）主坐标下的响应）主坐标下的响应（5）广义坐标下的响

235、应）广义坐标下的响应一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解作业：作业：7-20第7章 弹性体振动 395采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解4. 对外激励的响应对外激励的响应（1）分布干扰力）分布干扰力 设设干干扰扰力力密密度度为为f(x,t), 前前面面已已经经得得到到杆杆的的纵纵向强迫振动方程向强迫振动方程 将将分分离离变变量量解解 代代入入上式得上式得（0

236、xl）第7章 弹性体振动 396采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解用用F Fj乘上式并积分，利用正交性得乘上式并积分，利用正交性得第7章 弹性体振动 397采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解 若若对对F Fi标标准准化化，则

237、则Mi1，即即得得到到标标准准坐坐标下的解耦方程标下的解耦方程 利用杜哈美积分得利用杜哈美积分得 响应为响应为第7章 弹性体振动 398采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解（2）集中荷载）集中荷载 设设在在xx1处处受受集集中中力力F(t), 这这时时可可以以用用d d函函数数表示为分布形式：表示为分布形式：F(x,t)dxd d(x-x1), 方程变为方程变为响应为响应为第7章 弹性体振动 399采用PP管及

238、配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【例例】左左端端固固定定，右右端端自自由由的的均均匀匀杆杆，突突然然受到强度为受到强度为F0的均布荷载作用，求响应。的均布荷载作用，求响应。 解：解： （1）固有频率与相应的固有振型为）固有频率与相应的固有振型为一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解第7章 弹性体振动 400采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（2）由正规化条

239、件）由正规化条件 确定系数确定系数Ci求得求得所以所以一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解第7章 弹性体振动 401采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（3）计算响应）计算响应一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解第7章 弹性体振动 402采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物则则一维波动方程的响应求解

240、一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解第7章 弹性体振动 403采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【例例】左左端端固固定定，右右端端自自由由的的均均匀匀杆杆，在在自自由端受到大小为由端受到大小为F0的集中荷载作用，求响应。的集中荷载作用，求响应。 解：解： 利用前面的结果，带公式求解利用前面的结果，带公式求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解作业：作业：7-7第7章 弹性体振动 404采用PP管及配件：根据给水设

241、计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 设设梁梁的的长长度度为为l，弯弯曲曲刚刚度度为为EI，质质量量密密度度为为r r，f 表表示示作作用用在在单单位位长长度度梁梁上上的的横横向向干干扰扰力。力。EI、 r r 、f均是坐标均是坐标x的函数。的函数。7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动u第7章 弹性体振动 405采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物7.6 梁的横向振动梁的横向振动7.6 7.6 梁的横

242、向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动 仅仅讨讨论论梁梁在在主主平平面面内内的的平平面面弯弯曲曲振振动动。这这种种振振动动只只有有当当梁梁存存在在主主平平面面的的情情形形才才能能发发生生，并并符符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。运动微分方程运动微分方程(P203) 在在梁梁的的主主平平面面上上取取坐坐标标xoz，原原点点位位于于梁梁的的左左端端截截面面的的形形心心，x轴轴与与梁梁平平衡衡时时的的轴轴线线重重合合。假假设设梁梁在在振振动动过过程程中中，轴轴线线上上任任一一点点的的位位移移u(x,t)均沿均沿z轴方向。轴方向。第7章 弹性体振

243、动 406采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 取取微微段段梁梁dx，截截面面上上的的弯弯矩矩与与剪剪力力为为M和和Q，其其正正负负号号的的规规定定和和材材料料力学一样。力学一样。 则微段梁则微段梁dx沿沿z方向的运动方程为：方向的运动方程为：7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 407采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物即即利用材料力学中的关系利用材料力

244、学中的关系7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动得到梁的弯曲振动方程得到梁的弯曲振动方程第7章 弹性体振动 408采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物边界条件边界条件(P204) 和和一一维维波波动动方方程程一一样样，要要使使弯弯曲曲振振动动微微分分方方程程成成为为定定解解问问题题，必必需需给给出出边界条件和初始条件。边界条件和初始条件。 梁梁的的每每一一端端必必须须给给出出两两个个边边界界条条件件(以左端为例以左端为例)。（1）固定端：挠度和转角为）固定端：挠度和转角为

245、0，即，即7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 409采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（2）简支端：挠度和弯矩为）简支端：挠度和弯矩为0，即，即（3）自由端：弯矩和剪力为）自由端：弯矩和剪力为0，即，即其它边界条件用类似的方法给出。其它边界条件用类似的方法给出。7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 410采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切

246、口面的圆度，保持熔接部位干净无污物梁弯曲自由振动的解梁弯曲自由振动的解(P204)令振动方程中的干扰力为令振动方程中的干扰力为0，得到，得到7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动对于均匀梁，振动方程为对于均匀梁，振动方程为其中其中第7章 弹性体振动 411采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物假定有分离变量形式的解存在，令假定有分离变量形式的解存在，令代入方程得到代入方程得到写为写为7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 412采

247、用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物则有则有7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动其中其中（称为特征方程）（称为特征方程）第7章 弹性体振动 413采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物方程的通解为方程的通解为7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动 由由特特征征方方程程，利利用用边边界界条条件件即即可可求求出出振振型型函函数数F F(x)和和频频率率方方

248、程程，进进一一步步确确定定系系统统的的固固有有频频率率w wi。用用四四个个边边界界条条件件只只能能确确定定四四个个积分常数之间的比值。积分常数之间的比值。 第7章 弹性体振动 414采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【P205 7.6.1】求求简简支支梁梁弯弯曲曲振振动动的的固固有有频频率率与固有振型。与固有振型。 解解：边界条件为边界条件为挠度和弯矩为挠度和弯矩为0代入特征方程的解代入特征方程的解以及以及7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 4

249、15采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物得到得到以及以及则则则则以及频率方程以及频率方程由此解得由此解得7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 416采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物所以固有频率所以固有频率振型为振型为 第第i阶阶振振型型有有i1个节点。节点坐标个节点。节点坐标即即7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹

250、性体振动 417采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【P206 7.6.2】求求两两端端固固定定梁梁弯弯曲曲振振动动的的固固有频率与固有振型。有频率与固有振型。 解解：边界条件为边界条件为挠度和转角为挠度和转角为0代入特征方程的解得到代入特征方程的解得到7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动以及以及第7章 弹性体振动 418采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物化简后得到频率

251、方程化简后得到频率方程求得求得7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动求出求出b b后得到固有频率后得到固有频率第7章 弹性体振动 419采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物振型为振型为7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 420采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【例例】求求左左端端固固定定、右右端端用用刚刚度度为为k的的弹弹簧

252、簧支支承的均匀梁弯曲振动的频率方程。承的均匀梁弯曲振动的频率方程。解解：左端的：左端的边界条件为边界条件为挠度和转角为挠度和转角为07.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 421采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物右端的右端的边界条件边界条件：弯矩为：弯矩为0，剪力等于弹性力，剪力等于弹性力代入特征方程的解代入特征方程的解以及以及7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 422采用PP管及配件：根据给水设计图配置

253、好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物进一步化简后得到频率方程进一步化简后得到频率方程求出求出b b后得到固有频率后得到固有频率振型为振型为7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 423采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物将边界条件代入得到将边界条件代入得到求得求得7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 424采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP

254、管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物讨论：讨论：（1）k0时，频率方程变为时，频率方程变为即为悬臂梁的情况。即为悬臂梁的情况。（2）k趋于无穷大时，频率方程变为趋于无穷大时，频率方程变为或或即为左端固定，右端简支的情况。即为左端固定，右端简支的情况。7.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 425采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【题题7-28】 证证明明图图示示悬悬臂臂梁梁在在xl处处的的边边界

255、界条件为：条件为：作业：作业：7-297.6 7.6 梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动梁的横向振动第7章 弹性体振动 426采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物7.7 7.7 剪切变形、转动惯量及轴向力剪切变形、转动惯量及轴向力剪切变形、转动惯量及轴向力剪切变形、转动惯量及轴向力对梁振动的影响（略）对梁振动的影响（略）对梁振动的影响（略）对梁振动的影响（略）7.8 振型函数的正交性振型函数的正交性7.8 7.8 振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性 和和一一维维波波

256、动动方方程程振振型型函函数数的的正正交交性性类似。第类似。第i阶特征值满足阶特征值满足第7章 弹性体振动 427采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 考考虑虑边边界界条条件件为为简简支支、自自由由、固固定定的的情情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则，则对第对第j阶振型进行上面类似的运算得：阶振型进行上面类似的运算得：7.8 7.8 振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性第7章 弹性体振动 428采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及

257、配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物用用F Fj左乘上式两端，并积分左乘上式两端，并积分7.8 7.8 振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性第7章 弹性体振动 429采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物上两式相减得上两式相减得则则7.8 7.8 振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性振型函数的正交性ij时时第7章 弹性体振动 430采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材

258、，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应 和和一一维维波波动动方方程程一一样样，用用振振型型叠叠加加法法求求响应响应1. 标准坐标（正则坐标）标准坐标（正则坐标） 对振型函数按下式条件正则化对振型函数按下式条件正则化第7章 弹性体振动 431采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2. 对初始激励的响应对初始激励的响应 设初始条件为

259、设初始条件为将其按标准振型展开将其按标准振型展开7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应第7章 弹性体振动 432采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物用用r rAF Fj左乘上两式，并积分得左乘上两式，并积分得标准坐标下的初始激励响应标准坐标下的初始激励响应7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应第7章 弹性体振动 433采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件

260、，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物物理坐标下的响应物理坐标下的响应响应求解步骤：响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用标准化条件确定振型中的常数因子）利用标准化条件确定振型中的常数因子;（3）将初始条件变换到标准坐标）将初始条件变换到标准坐标;（4）求标准坐标下的响应）求标准坐标下的响应;（5）求物理坐标下的响应。）求物理坐标下的响应。7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应第7章 弹性体振动 434采用PP管及配件：

261、根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【例例】长长为为l的的均均匀匀简简支支梁梁初初始始静静止止，设设在在xx1处处的的微微段段d d上上有有初初始始速速度度v，求求系系统统对对此此初初始始条件的响应。条件的响应。 解：解： （1）固有频率与相应的固有振型为）固有频率与相应的固有振型为7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应（2）由正规化条件）由正规化条件 确定系数确定系数Ci第7章 弹性体振动 435采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件

262、，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物求得求得所以所以7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应（3）初始条件。按题意）初始条件。按题意第7章 弹性体振动 436采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物变换到主坐标下变换到主坐标下7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应第7章 弹性体振动 437采用PP管及配件：根据给水设计图配置好

263、PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3. 对外激励的响应对外激励的响应（1）分布干扰力）分布干扰力 设设干干扰扰力力密密度度为为f(x,t), 和和前前面面杆杆的的外外激激励励受受迫迫振振动动响响应应推推动动方方法法一一样样。利利用用标标准准化化振振型型函函数数F Fi，得到标准坐标下的解耦方程，得到标准坐标下的解耦方程7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应利用杜哈美积分得利用杜哈美积分得第7章 弹性体振动 438采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管

264、件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（4）响应）响应7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应第7章 弹性体振动 439采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物总响应为总响应为7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应（2）集中力）集中力 设设在在xx1处处受受集集中中力力F(t), 这这时时可可以以用用d d函函数数表示为分布形式：表示

265、为分布形式：F(x,t)dxd d(x-x1), 方程变为方程变为总响应为总响应为第7章 弹性体振动 440采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（3）集中力偶（不推导，只给出结果）集中力偶（不推导，只给出结果） 设在设在xx1处受集中力处受集中力M(t), 这时有这时有总响应为总响应为7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应第7章 弹性体振动 441采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边

266、旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物强迫振动的响应求解步骤：强迫振动的响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用正规化条件确定振型中的常数因子）利用正规化条件确定振型中的常数因子;（3）求主坐标下的响应）求主坐标下的响应;（4）求广义坐标下的响应。）求广义坐标下的响应。7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应第7章 弹性体振动 442采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净

267、无污物 解：解： （1）固有频率与相应的固有振型为）固有频率与相应的固有振型为7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应（2）由正规化条件）由正规化条件 确定系数确定系数Ci 【例例7-9-2】设设长长为为l的的简简支支梁梁在在xa处处受集中力受集中力Fsinw wt作用作用, 求响应。求响应。求得求得第7章 弹性体振动 443采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（3）响应）响应7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响

268、应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应第7章 弹性体振动 444采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【例例7-9-3】火火车车在在很很长长的的桥桥梁梁上上通通过过，可可以以简简化化为为一一均均匀匀筒筒支支梁梁受受到到以以等等速速率率v向向右右运运动动的的荷荷重重P的的作作用用。假假设设在在初初始始时时刻刻荷荷重位于梁的左端，试求强迫振动的响应。重位于梁的左端，试求强迫振动的响应。7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应第7章

269、 弹性体振动 445采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 解解：（1）均均匀匀简简支支梁梁的的固固有有频频率率与与相相应应的的固有振型为固有振型为（2）和前面一样由正规化条件确定系数）和前面一样由正规化条件确定系数Ci得到得到7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应（3）干扰力密度可表为）干扰力密度可表为第7章 弹性体振动 446采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的

270、圆度，保持熔接部位干净无污物（4）主坐标下的响应）主坐标下的响应7.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应其中其中第7章 弹性体振动 447采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（5）广义坐标下的响应）广义坐标下的响应作业：作业：T7-127.9 7.9 梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应第7章 弹性体振动 448采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物固有频率的结构特性固有频率的结构特性 系系统统参参数数的的变变化化与与增增加加约约束束对对固固有有频频率率的的影响：影响：（1）增大刚度、增加约束，固有频率提高）增大刚度、增加约束，固有频率提高;（2）增大质量，固有频率降低）增大质量，固有频率降低;（3）在在某某阶阶固固有有振振型型取取值值最最大大的的地地方方增增大大质质量，能最有效地降低该阶固有频率量，能最有效地降低该阶固有频率;（4）在在某某阶阶振振型型曲曲线线曲曲率率最最大大的的地地方方增增大大刚刚度，能最有效地提高该阶固有频率。度，能最有效地提高该阶固有频率。