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1、第2课时均值不等式的应用类型一类型一“常数代换法常数代换法” ” 求最值求最值【典例典例】若点若点A(1A(1，1)1)在直线在直线mx+ny-1=0(mn0)mx+ny-1=0(mn0)上，则上，则 的最小值为的最小值为_._. 世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维思维引引】由已知条件得到由已知条件得到m m，n n的关系，构造均值的关系，构造均值不等式求最值不等式求最值. .【解析解析】因为因为A(1A(1，1)1)在直线在直线mx+ny-1=0(mn0)mx+ny-1=0(mn0)上，上，所以所以m+n=1m+n=1，而，而 2+2=42+2=4，当且仅当当且仅当m=n= m=n= 时取时
2、取“=”=”，所以，所以 的最小值为的最小值为4.4.答案：答案：4 4【内化内化悟悟】“常数代换法常数代换法”适合什么样的问题求解？适合什么样的问题求解？提示：提示：有条件的求最值问题有条件的求最值问题. .【类题类题通通】常数代换法求最值的方法步骤常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题常数代换法适用于求解条件最值问题. .应用此种方法求应用此种方法求解最值的基本步骤为：解最值的基本步骤为：(1)(1)根据已知条件或其变形确定定值根据已知条件或其变形确定定值( (常数常数).).(2)(2)把确定的定值把确定的定值( (常数常数) )变形为变形为1.1.(3)(3)把把“
3、1”1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式进而构造和或积的形式. .(4)(4)利用均值不等式求最值利用均值不等式求最值. .【习练习练破破】已知已知x x ，y y均为正数，且均为正数，且 =1=1，求，求x +yx +y的最小值的最小值. .【解析解析】x+y=(x+y) x+y=(x+y) =10+ 10+2 =16=10+ 10+2 =16，当且仅当当且仅当 = = 且且 =1=1，即即x=4x=4， y=12y=12时取等号，所以时取等号，所以x+yx+y的最小值为的最小值为16.16.【加练加练固固】 若正数若正数x x
4、，y y满足满足x+3y=5xyx+3y=5xy，则，则3x+4y3x+4y的最小值是的最小值是 ( () )A. A. B. B. C.5C.5D.6D.6【解析解析】选选C.C.由由x+3y=5xyx+3y=5xy，可得可得 =1=1，所以所以3x+4y=(3x+4y) 3x+4y=(3x+4y) = = =5 =5，当且仅当，当且仅当x=1x=1，y= y= 时取等时取等号，故号，故3x+4y3x+4y的最小值是的最小值是5.5.类型二利用均值不等式证明不等式类型二利用均值不等式证明不等式【典例典例】已知已知a a，b b，c c均大于均大于0 0，且，且a+b+c=1a+b+c=1，世
5、纪金榜导学号世纪金榜导学号求证：求证： 9.9.【思维思维引引】将将“1”1”换为换为a+b+ca+b+c，转化成积为常数的，转化成积为常数的特点，利用均值不等式证明特点，利用均值不等式证明. .【证明证明】因为因为a a，b b，c c均大于均大于0 0且且a+b+c=1a+b+c=1，所以，所以 3+23+2+2+2=9.+2+2=9.当且仅当当且仅当a=b=c= a=b=c= 时，等号成立时，等号成立. .【内化内化悟悟】结合均值不等式判断：结合均值不等式判断： 和和 的大小关系的大小关系. .提示：提示： . .【类题类题通通】利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项利用均值不等式证明
6、不等式的策略与注意事项(1)(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以后转化为所求问题，其特征是以“已知已知”看看“可知可知”，逐步推向，逐步推向“未知未知”. .(2)(2)注意事项：注意事项：多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；式时注意使用；对不能直接使用均值不等式的证明可
7、重新组合，形对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用成均值不等式模型，再使用. .【习练习练破破】已知已知a a，b b，c c都是正数，求证：都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)(a+b)(b+c)(c+a)8abc.8abc.【证明证明】因为因为a a，b b，c c都是正数，都是正数，所以所以a+b2 0a+b2 0，b+c2 0b+c2 0，c+a2 0c+a2 0，所，所以以(a+b)(b+c)(c+a)2 (a+b)(b+c)(c+a)2 2 2 2 =8abc2 =8abc，即，即(a+b)(b+c)(c+a)8abc(a+b)(b+c)(c
8、+a)8abc，当且仅当，当且仅当a=b=ca=b=c时等号成立时等号成立. .【加练加练固固】 已知已知a a，b b，c c为正数，为正数，求证：求证： 3.3.【证明证明】左边左边= = = .= .因为因为a a，b b，c c为正数，为正数，所以所以 2(2(当且仅当当且仅当a=ba=b时取时取“= =”) )； 2(2(当且仅当当且仅当a=ca=c时取时取“= =”) )； 2(2(当且仅当当且仅当b=cb=c时取时取“= =”).).从而从而 6(6(当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取等号时取等号).).所以所以 -33-33，即即 3.3.类型三均值不等式的实际应用类型三
9、均值不等式的实际应用【典例典例】玩具所需成本费用为玩具所需成本费用为P P元，且元，且P P与生产套数与生产套数x x的的关系为关系为P=1 000+5x+ xP=1 000+5x+ x2 2，而每套售出的价格为，而每套售出的价格为Q Q元，元，其中其中Q(x)=a+ (aQ(x)=a+ (a，bR)bR)，世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1) (1) 问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？费用最少？(2)(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150150套时套时利润最大，此时每套价格为利润最大，此时
10、每套价格为3030元，求元，求a a，b b的值的值.(.(利润利润= =销售收入销售收入- -成本成本) )【思维思维引引】列出每套玩具的成本费用列出每套玩具的成本费用 以及利润以及利润xQ(x)-PxQ(x)-P的式子，可进行求解的式子，可进行求解. .【解析解析】(1)(1)每套玩具所需成本费用为每套玩具所需成本费用为 +5=25+5=25，当，当 ，即，即x=100x=100时时等号成立，故该玩具厂生产等号成立，故该玩具厂生产100100套时每套所需成本最少套时每套所需成本最少. .(2)(2)利润为利润为x xQ(x)-PQ(x)-P= = = x= x2 2+(a-5)x-1 00
11、0+(a-5)x-1 000，由题意得由题意得 解得解得a=25a=25，b=30.b=30.【内化内化悟悟】均值不等式的实际问题中的应用的关键是什么？均值不等式的实际问题中的应用的关键是什么？提示：提示：结合实际问题建立对应的函数关系，把实际问结合实际问题建立对应的函数关系，把实际问题中的最值问题抽象成函数的最大、最小值问题题中的最值问题抽象成函数的最大、最小值问题. .【类题类题通通】应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法方法(1)(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数函数
12、. .(2)(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题大值或最小值问题. .(3)(3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值. .(4)(4)正确写出答案正确写出答案. .【习练习练破破】近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4 4万万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4 4年的自年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费( (单位：单位：万
13、元万元) )与管线、主体装置的占地面积与管线、主体装置的占地面积( (单位：平方米单位：平方米) )成成正比，比例系数约为正比，比例系数约为0.2.0.2.为了保证正常用水，安装后为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式. .假假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费水费 C(C(单位：万元单位：万元) )与安装的这种净水设备的占地面与安装的这种净水设备的占地面积积x(x(单位：平方米单位：平方米) )之间的函数关系是之间的函数关系是C(x)= C(x)= (x0(
14、x0，k k为常数为常数).).记记y(y(单位：万元单位：万元) )为该企业安装这种为该企业安装这种净水设备的费用与该企业净水设备的费用与该企业4 4年共将消耗的水费之和年共将消耗的水费之和. .(1) (1) 试解释试解释C(0)C(0)的实际意义，请建立的实际意义，请建立y y关于关于x x的函数关的函数关系式并化简系式并化简. .(2) (2) 当当x x为多少平方米时，为多少平方米时，y y取得最小值？最小值是多取得最小值？最小值是多少万元？少万元？【解析解析】(1) C(0)(1) C(0)表示不安装净水设备时每年缴纳的表示不安装净水设备时每年缴纳的水费为水费为4 4万元万元. .因为因为C(0)= =4C(0)= =4，所以，所以k=1 000.k=1 000.所以所以y=0.2x+ 4=0.2x+ y=0.2x+ 4=0.2x+ ，x0x0(2) y=0.2 -10.2(2) y=0.2 -10.240-1=7.40-1=7.当当x+5= x+5= ，即，即x=15x=15时，时，y yminmin=7=7，所以当所以当x x为为1515平方米时，平方米时，y y取得最小值，最小值为取得最小值，最小值为7 7万元万元. .
