电子科大随机信号分析教学课件PPT平稳性与功率谱密度PPT

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1、随机信号分析第第3章章 平稳性与功率谱密度平稳性与功率谱密度 9/20/20241/117第第3章章 平稳性与功率谱密度平稳性与功率谱密度 有一类极为重要的随机信号，有一类极为重要的随机信号，它的主要（或全它的主要（或全部）统计特性关于参量保持部）统计特性关于参量保持“稳定不变稳定不变”，这种随，这种随机信号被称为平稳随机信号。机信号被称为平稳随机信号。 本章讨论：本章讨论： 1）严格与广义平稳性；）严格与广义平稳性；循环平稳性；循环平稳性； 2）平稳信号相关函数的特性；有关物理意义；）平稳信号相关函数的特性；有关物理意义； 3）平稳信号的功率谱密度与互功率谱密度；）平稳信号的功率谱密度与互功

2、率谱密度； 4）白噪声及其实例）白噪声及其实例热噪声热噪声9/20/202423.1 平稳性与联合平稳性平稳性与联合平稳性 3.2* 循环平稳性循环平稳性3.3 平稳信号的相关函数平稳信号的相关函数 3.4 功率谱密度与互功率谱密度功率谱密度与互功率谱密度3.5 白噪声与热噪声白噪声与热噪声3.6 应用举例应用举例9/20/202433.1 平稳性与联合平稳性平稳性与联合平稳性 平稳性（平稳性（Stationarity）: :平稳性平稳性是指随机信号的统计特性不随观察时刻是指随机信号的统计特性不随观察时刻t（或观察时刻组（或观察时刻组t1 1, ,t2 2, , ,tn n）平移而变化的性质，

3、）平移而变化的性质，相应的随机信号被称为相应的随机信号被称为平稳随机信号平稳随机信号。例：例：9/20/202449/20/202453.1.1 严格平稳与广义平稳随机信号严格平稳与广义平稳随机信号 定义定义3.1 若对于若对于任意的任意的 ，随机过程，随机过程X(t),tT 的的任意任意 n 维概率分布函数满足维概率分布函数满足则称则称X(t)是是严格平稳随机信号严格平稳随机信号, , 记作记作SSS R.SSSS R.S1. 严平稳随机过程严平稳随机过程 SSS R.S.SSS R.S.强平稳随机信号强平稳随机信号狭义平稳随机信号狭义平稳随机信号9/20/20246严平稳随机信号也可以由概

4、率密度来定义：严平稳随机信号也可以由概率密度来定义：9/20/20247b. . 时刻组平移时，时刻组间的相对位置不变，即时刻组平移时，时刻组间的相对位置不变，即任意任意n维概率分布函数与时刻组的起始位置无关，而维概率分布函数与时刻组的起始位置无关，而只与其相对位置有关。只与其相对位置有关。注意：注意：a. .9/20/20248pSSSR.S.X(t)的特性的特性(1) SSSR.S. X(t)的一维概率分布、密度函数与的一维概率分布、密度函数与时间时间t无关；如果其均值与方差存在，它们也与时间无关；如果其均值与方差存在，它们也与时间t无关，即：无关，即： 一阶平稳一阶平稳9/20/2024

5、9一阶密度函数平稳性示例：一阶密度函数平稳性示例：SSS.R.S由同分布随机变量组成由同分布随机变量组成9/20/202410均值均为均值均为0，均值平稳，但各时刻的，均值平稳，但各时刻的R.V.的分布不同。可的分布不同。可见一阶平稳一定均值平稳，但均值平稳不一定一阶平稳。见一阶平稳一定均值平稳，但均值平稳不一定一阶平稳。常数常数常数常数9/20/202411(2) SSSR.S. X(t)的的二二维维概概率率分分布布、密密度度函函数数与与两两时时刻刻 组组 的的 绝绝 对对 位位 置置 ( (t1 1, ,t2 2) )无无 关关 ， 只只 与与 相相 对对 位位 置置 有关。有关。( )(

6、 )证明：证明：9/20/202412(3) 如果如果SSSR.S. X(t)的的相关函数、协方差函相关函数、协方差函数、相关系数数、相关系数存在，它们也只与两时刻的相对位存在，它们也只与两时刻的相对位置置 有关，而与两时刻组的绝对位有关，而与两时刻组的绝对位置置( (t1, ,t2) )无关。无关。9/20/2024139/20/202414通常通常 采用采用 的等价形式，的等价形式， 为相对时间，是核心变量，为相对时间，是核心变量，t t 称为绝对位置。称为绝对位置。 如：如：9/20/2024152. 广义平稳随机过程广义平稳随机过程 WSS R.S.定义定义3.2 若若 R.S. 的均

7、值和相关函数的均值和相关函数存在，并且满足：存在，并且满足： 均值为常数；即均值为常数；即 相相关关函函数数与与两两时时刻刻( (t1, ,t2) )的的绝绝对对值值无无关关，只只与相对差与相对差 有关，即有关，即则称则称X(t)是是广义平稳随机信号广义平稳随机信号 , , 记作记作 WSS R.S.弱平稳随机信号弱平稳随机信号宽平稳随机信号宽平稳随机信号9/20/2024163. 严格平稳性与广义平稳性之间关系：严格平稳性与广义平稳性之间关系：定理定理3.1 如果某高斯信号是广义平稳信号，则该如果某高斯信号是广义平稳信号，则该信号也是严格平稳信号。信号也是严格平稳信号。关于随机序列的平稳性问

8、题，只需要将连续时关于随机序列的平稳性问题，只需要将连续时间变量间变量t换为离散时间换为离散时间n9/20/202417n平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动不变性，平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响；即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响；n应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；n严格平稳性因要求太严格平稳性因要求太“苛刻苛刻”，更多地用于理论研究中；，更多地用于理论研究中；n经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理条件经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理条件 不随时间而改变，那

9、么通常可以认为此信号是平稳的。不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平稳的。n非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一个较短的非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号来处理。如语音信时段内，非平稳信号可近似为平稳信号来处理。如语音信号，人们普遍实施号，人们普遍实施1030ms的分帧，再采用平稳信号的的分帧，再采用平稳信号的处理技术解决有关问题。处理技术解决有关问题。说明：说明：9/20/202418例例3.1设设独独立立高高斯斯随随机机信信号号U(t)的的一一阶阶概概率率密度函数为密度函数为其中其中a与与为常数。试分析其平稳性。为常数。试分析其平

10、稳性。 9/20/202419解：解：故故U(t)一阶平稳一阶平稳,依题：依题：与与t无关，故无关，故X(t)是是 SSS.R.S.,.,又因又因为为X(t)是高斯信号，是高斯信号，故它也是故它也是WSS.R.S. .一般，一阶平稳的独立一般，一阶平稳的独立R.S.是严平稳的是严平稳的R.S.9/20/202420例：例：热噪声的取样观察值为热噪声的取样观察值为 ， 是是 一随机序列，它具有以下性质：一随机序列，它具有以下性质：（1 1） 相互独立；相互独立；（2 2） 是是 分布，（即每一时刻取值连分布，（即每一时刻取值连续、高斯）续、高斯）判断判断 的平稳性；的平稳性；9/20/20242

11、1X( (n) )是是Gauss.R.S.Gauss.R.S.常数常数RX(n1,n2)只与其相对位置只与其相对位置n1-n2有关有关解：解：9/20/2024221. (0,1)贝努里随机信号贝努里随机信号常数常数R( (n1, ,n2) )与与 n1, ,n2 的的绝对位置无关，只位置无关，只与其相与其相对位置有关，位置有关，故也广故也广义平平稳与与n无关，是严格无关，是严格平稳信号。平稳信号。9/20/2024232. 随机正弦信号随机正弦信号R( (t1, ,t2) )与与 t1, ,t2 的的绝对位置无关，只与位置无关，只与其相其相对位置有关，位置有关，故广故广义平平稳常数常数 ，

12、是确定量，是确定量， 独独立，立， 服从参数为服从参数为 的瑞利分布，的瑞利分布， 。 9/20/2024243. (-1,1)3. (-1,1)半随机二进制传输信号半随机二进制传输信号R(t1,t2)与与 t1,t2的的绝对位置有关，故非广位置有关，故非广义平平稳常数常数也非严平稳也非严平稳随机二进制传输信号却是严平稳的随机二进制传输信号却是严平稳的R.S.R.S.9/20/202425补补充充例例：随随机机信信号号X(t)=Ay(t)，其其中中A为为高高斯斯随随机机变变量量， y(t)为为确确定定的的时时间间函函数数，判判断断X(t)是是否否为为SSS.R.S.SSS.R.S.解：解：与与

13、t有关有关故故X(t)非非 WSS.R.S.与与t有关有关, ,非非 SSS.R.S.9/20/202426X(t)与与t无关无关, ,X(t)的全部概率特性不随观察的全部概率特性不随观察时刻组平移而变，故时刻组平移而变，故X(t)是是 SSS.R.S.9/20/202427 补充例：判断如下四个正弦随机信号是否广义平稳？补充例：判断如下四个正弦随机信号是否广义平稳？式中：式中：9/20/202428常数常数3.2* 可证：随机相位余弦波也是严平稳的可证：随机相位余弦波也是严平稳的R.S. RX( (t1, ,t2) )与与 t1, ,t2 的的绝对位置无位置无关，只与其相关，只与其相对位置位

14、置有关有关故，故，R.S.X(t)WSS9/20/202429 均值是均值是t的函数，故的函数，故R.S.X( (t) )不是不是 WSS的的1tR.S.X(t)也不是也不是 SSS的的A 09/20/202430均值是均值是t t的函数，故的函数，故R.S.X(t)不是不是 WSS的的R.S.X(t)也不是也不是 SSS的的9/20/202431常数常数9/20/202432故，故，R.S.X(t) WSSRX(t1,t2)只与其相对位置只与其相对位置有关有关9/20/202433例例3.33.3 广义平稳随机信号广义平稳随机信号X(t)通过如图所示的通过如图所示的乘法调制器得到随机信号乘法

15、调制器得到随机信号Y(t)，图中图中是确定量，是确定量，是是-,+,+均匀分布的随机相位，均匀分布的随机相位，与与X(t)是统计是统计独立的。试讨论随机信号独立的。试讨论随机信号Y(t)的的平稳性平稳性。9/20/202434解：由上题可知，解：由上题可知，R.S. R.S. 是是WSSWSS的的依题意：依题意：常数常数9/20/202435相关函数可以表示为相关函数可以表示为由于均值是常数且相关函数仅与由于均值是常数且相关函数仅与有关，有关，Y(t)是广义是广义平稳的。平稳的。作业：3.1 3.4 3.5 3.69/20/202436补充例：由三个样本函数补充例：由三个样本函数 组成组成 R

16、.S.R.S.，每个样本发生的概率相等，每个样本发生的概率相等. .（2 2） （3 3）是否广义平稳和严平稳？）是否广义平稳和严平稳？求：（求：（1 1）自学自学9/20/202437解解: (1): (1) 9/20/202438只看只看 ，就可以说明，就可以说明 非非WSS,WSS,更非更非SSS.SSS.（2） 9/20/2024393.1.2 随机信号的联合平稳性随机信号的联合平稳性1.1.联合严格平稳联合严格平稳JSSS R.S. 定义定义3.3 3.3 对于任意的对于任意的 ，若随机过程，若随机过程X(t)、Y(t)的的任意任意 n+m 维概率分布函数满足维概率分布函数满足则称则

17、称X(t)、Y(t)是联合严格平稳随机信号。是联合严格平稳随机信号。Joint9/20/202440上式等同于：上式等同于：即：9/20/202441 性质：性质：9/20/202442定义定义3.4 3.4 ：广义平稳随机过程：广义平稳随机过程 与与 ，如果，如果2. 2. 联合广义平稳性联合广义平稳性 JWSS 则称则称X(t)与与Y(t)是联合广义平稳随机信号，记作是联合广义平稳随机信号，记作 JWSS R.S. 。 9/20/202443解解：由由例例3.3，X(t)与与Y( (t) )分别广义平稳分别广义平稳例例3.4 讨论例讨论例3.3中乘法调制器的输入与输出信号中乘法调制器的输入

18、与输出信号的互相关函数与联合平稳性。的互相关函数与联合平稳性。 且：且： 注意注意：如果振荡不是随机相位的，则输出信号可能不是平：如果振荡不是随机相位的，则输出信号可能不是平稳的，输入与输出信号不会正交，也不会联合广义平稳。稳的，输入与输出信号不会正交，也不会联合广义平稳。 因此，输入与输出信号是联合广义平稳的，并且正交。因此，输入与输出信号是联合广义平稳的，并且正交。作业：3.89/20/2024443.3 3.3 平稳信号的相关函数平稳信号的相关函数 3.3.1 3.3.1 基本性质基本性质 相关函数是实偶函数相关函数是实偶函数性质性质1：若：若X(t),tT 是实平稳信号，则是实平稳信号

19、，则证明：证明：9/20/202445例：例：关联性（内在联系）在同一时刻最紧密，关联性（内在联系）在同一时刻最紧密，X(t)的的相关函数为周期函数时可能取相关函数为周期函数时可能取“”关于相对时间关于相对时间的周期性的周期性 相关函数在原点处非负，并达到最大，即相关函数在原点处非负，并达到最大，即9/20/202446 若若 ，则，则 是周期为是周期为1 的周期函数，即对任意的周期函数，即对任意有有关于相对时间关于相对时间的周期性的周期性 若若 且且1 与与2不公约，则不公约，则 为常数；为常数； 若若 在原点在原点处连续，则它它处处连续； 此时，此时，X(t)称为称为周期平稳信号周期平稳信

20、号。9/20/202447判断下列图形可否成为实判断下列图形可否成为实WSSR.S.的自相关函数？的自相关函数？都不是自相关函数都不是自相关函数(3)(4)不满不满足足(4)不满足不满足(1) (2)不满足不满足(4)不满足不满足(1)不满足不满足 判断原则：判断原则：(1)对称性对称性(2)非负，非负，最大值点最大值点(3)连续性连续性(4)周期性周期性(2)不不满足足9/20/202448性质性质2 若若 是平稳信号，则是平稳信号，则 （1 1）（2 2）性质性质3 若若 与与 联合平稳，则联合平稳，则 （1 1）（2 2）9/20/2024493.3.2 相关函数的物理意义相关函数的物理

21、意义 若信号若信号 含有平均分量（均值），则含有平均分量（均值），则 含有含有固定分量。式固定分量。式 指明了这点；指明了这点； 若信号若信号 含有周期分量，则含有周期分量，则 将含有同将含有同样周期的周期分量。周期特性可如下说明：样周期的周期分量。周期特性可如下说明：9/20/202450等价于等价于“信号依均方意义（也依概率为信号依均方意义（也依概率为1）呈现周期性）呈现周期性”的充要条件是的充要条件是“ 是周期函数是周期函数”，这种信号称，这种信号称为为周期平稳信号周期平稳信号。 若信号若信号 不含有任何周期分量，则随机变量不含有任何周期分量，则随机变量 与与 的关联程度会随着时间间距的

22、增大而逐渐的关联程度会随着时间间距的增大而逐渐减小，直至无关。减小，直至无关。 关于相对时间关于相对时间的周期性的周期性例：例：9/20/202451性质性质4. 实际应用中的非周期平稳信号，一般都满足实际应用中的非周期平稳信号，一般都满足 ，与，与等价于，等价于，与，与其它主要参数：其它主要参数：相关函数关于相对时间相关函数关于相对时间不具周期性不具周期性9/20/202452 自相关系数与自相关时间自相关系数与自相关时间 (1) 使用使用 表示关联性表示关联性 9/20/202453（2 2）相关）相关时间一般，随一般，随 增大，增大，X(t)和和 X(t +)的相关性减弱。的相关性减弱。

23、工程上，近似认为只要工程上，近似认为只要 X() 小于某值，则这两小于某值，则这两个时刻的个时刻的RV就近似不相关了就近似不相关了。这时，间隔时间。这时，间隔时间 称为相关时间称为相关时间 0 。定定义1 1： 定定义2 2：用矩形等效形式定：用矩形等效形式定义相相关关时间 同相关系数一样，是相关程度的度量。同相关系数一样，是相关程度的度量。9/20/202454【注注】：0与与()下降快慢有关。下降快慢有关。0越小，越小，()随随的的增加降低越快增加降低越快 ,随机过程的起伏越快；随机过程的起伏越快； 0 越越大，随机过程的起伏越慢。大，随机过程的起伏越慢。通常的通常的0 、 c值一般值一般

24、不相等，它们都示出不相等，它们都示出了相关性有无的大致了相关性有无的大致分界处分界处 9/20/202455补充例题：设平稳过程补充例题：设平稳过程 的自协方差函数的自协方差函数分别为分别为 式中式中b为正的常数。求为正的常数。求 1）由）由 协方差能否求出它们各自的均值？协方差能否求出它们各自的均值？ 2）它们的相关系数和相关时间；并判断哪个过程）它们的相关系数和相关时间；并判断哪个过程的起伏速度快。的起伏速度快。 解：解：1）不能。）不能。 9/20/2024562）9/20/202457补充例：若补充例：若WSS.GaussR.S. 的自相关的自相关函数函数 如如图图所示，求所示，求 (

25、1)(1) ； (2) (2) 当当 t1-t2=1.5T 和和 t1-t2= 0.5T时的二维时的二维联合概率密度函数联合概率密度函数 。-TT51解：解：9/20/202458-TT49/20/2024599/20/202460-TT49/20/2024619/20/202462解：信号解：信号X(t)通常被视为两个平稳信号通常被视为两个平稳信号U(t)与与V(t)的的和，即和，即例例 3.7 工程工程应用中平用中平稳信号信号 X( (t) ) 的自相关函数为的自相关函数为试估估计其均其均值、均方、均方值和方差。和方差。无关或独立无关或独立U(t)与与V(t)的自相关函数分别为的自相关函数

26、分别为 并假设并假设V(t)均值为均值为0于是于是9/20/202463所以，所以， 的均值为的均值为1010、均方值为、均方值为300300、方差为、方差为200200。 U(t)是是X(t)的非周期分量，可得的非周期分量，可得 于是，于是，9/20/202464作业：作业：3.9 3.12 3.14 3.16 9/20/202465 3.4 3.4 功率谱密度与互功率谱密度功率谱密度与互功率谱密度 确定信号确定信号时域：信号随时间变化的特性时域：信号随时间变化的特性频域：信号频率成分及各频率成分大频域：信号频率成分及各频率成分大小小信号谱信号谱随机信号随机信号时域：从统计意义上分析时域：从

27、统计意义上分析频域：一个样本函数的特性不能代表频域：一个样本函数的特性不能代表全体，故也应从统计意义上分析全体，故也应从统计意义上分析功率谱功率谱9/20/202466由帕塞瓦尔定理：由帕塞瓦尔定理：能量谱分布密度函数，能量谱分布密度函数，表征了信表征了信号能量沿号能量沿 轴的分布。或表示轴的分布。或表示信号在单位频带上分布的能量。信号在单位频带上分布的能量。9/20/202468(2) 功率型信号功率型信号功率型信号一般持续时间无限，不满足绝对可积的条件。功率型信号一般持续时间无限，不满足绝对可积的条件。注意：注意：1)能量型信号的能量有限，功率为能量型信号的能量有限，功率为0 0；2)功率

28、型信号的功率有限，能量为无穷。功率型信号的功率有限，能量为无穷。P：归一化功率（单位电阻上耗散的平均功率）：归一化功率（单位电阻上耗散的平均功率）9/20/202469截取截取称为称为的的截断函数。截断函数。即即 存在存在傅立叶变换傅立叶变换9/20/202470由帕塞瓦尔定理：由帕塞瓦尔定理：令令 ， 在在 的平均功率为：的平均功率为：9/20/202471令令功率谱密度功率谱密度函数，简称函数，简称功率谱功率谱表征了信号功率沿表征了信号功率沿轴的分布。轴的分布。物理含义：如果在某个物理含义：如果在某个0处处S (0)比较大，则信号比较大，则信号x(t)中含有较大的中含有较大的0频率分量；如

29、果在某个频率分量；如果在某个0处处S(0)=0，则信号中不含有该，则信号中不含有该0频率分量。频率分量。 9/20/2024722.随机信号的功率及功率谱密度随机信号的功率及功率谱密度(1) 随机信号的样本功率及样本功率谱密度随机信号的样本功率及样本功率谱密度截断函数截断函数 R.S. 的一个样本函数的一个样本函数 即一个确定的即一个确定的时间信号（功率型）时间信号（功率型）9/20/202473功率时域描述功率时域描述功率频域描述功率频域描述l 样本平均功率样本平均功率是是的函数，是的函数，是R.V.9/20/202474l 样本功率谱密度样本功率谱密度是是的函数，是的函数，是的函数，是的函

30、数，是R.S.9/20/202475(2) 随机信号的平均功率及平均功率谱密度随机信号的平均功率及平均功率谱密度对样本功率取统计平均对样本功率取统计平均 随机信号的平均功率随机信号的平均功率对样本功率谱取统计平均对样本功率谱取统计平均 随机信号的平均功率谱随机信号的平均功率谱9/20/202476l 随机信号的平均功率与相关函数的关系随机信号的平均功率与相关函数的关系X(t)广义平稳时广义平稳时证明：证明：9/20/202477l 随机信号的平均功率与平均功率谱的关系随机信号的平均功率与平均功率谱的关系证证：总之（平稳信号）：总之（平稳信号）：9/20/202478定理定理3.4（维纳维纳-辛

31、钦定理辛钦定理）平稳信号平稳信号X(t),tT 的功的功率谱是其自相关函数的傅里叶变换，即率谱是其自相关函数的傅里叶变换，即功率谱功率谱密度密度 PSD - - PowerSpectralDensity 3.4.2 定义与性质定义与性质1. 功率功率谱密度密度反变换反变换正变换正变换9/20/202479性质性质1. 随机信号随机信号X(t)的功率谱的功率谱 满足满足 (1)，非，非负实函数函数SX()含有含有X(t)的幅度信息，不含相位信息的幅度信息，不含相位信息(2)若若X( (t) )为实为实WSS.R.S., , 则则9/20/202480p 双边功率谱密度与单边功率谱密度双边功率谱密

32、度与单边功率谱密度双边功率谱密度双边功率谱密度单边功率谱密度单边功率谱密度物理功率谱密度物理功率谱密度9/20/202481例例3.8 求正弦信号求正弦信号 的功率谱的功率谱 解：解：X(t)均值为均值为0 0相关函数为相关函数为瑞利分布随机幅度，随机相位瑞利分布随机幅度，随机相位X(t)为广义平稳信号为广义平稳信号 可见它是正的实偶函数，信号的功率全可见它是正的实偶函数，信号的功率全部集中在频率部集中在频率 处处9/20/202482说明：说明：与确定信号不同的是，随机信号的频域分析与确定信号不同的是，随机信号的频域分析主要是考察它的功率谱，而非信号谱。主要是考察它的功率谱，而非信号谱。考考

33、虑9/20/202483相位的不确定性，使相位的不确定性，使 的傅里叶变换是随机的，的傅里叶变换是随机的， 虽然损失了相位特性，但有效地给出信号成份的分布。虽然损失了相位特性，但有效地给出信号成份的分布。 易见，它的统计平均为零。而易见，它的统计平均为零。而 的功率谱为，的功率谱为， 9/20/202484例例3.9 已知已知WSS随机信号的功率谱为随机信号的功率谱为，求自相关函数和均方值。，求自相关函数和均方值。解：首先进行分解，解：首先进行分解，均方均方值为平均功率平均功率9/20/202485例：判断下列式子能否作例：判断下列式子能否作为实R.S.X(t)的功率谱的功率谱 1）2）解：解

34、：1） 当当时，故不能。，故不能。2）是）是 判断准则：非负的、实的、偶的判断准则：非负的、实的、偶的 9/20/202486定定义3.8：联合平稳信号联合平稳信号X(t)与与Y(t)的互功率谱定义为其互的互功率谱定义为其互相关函数的傅里叶变换，即相关函数的傅里叶变换，即物理意物理意义：如果：如果 很大，表明两个很大，表明两个R.S.的相应的相应频率分量关联度很高；如果频率分量关联度很高；如果 表明其相应表明其相应频率分量是正交的。频率分量是正交的。 2. 互功率谱密度互功率谱密度它们简称为互功率谱（它们简称为互功率谱（Crosspowerspectraldensity）9/20/202487

35、性质性质2 互功率谱具有对称性：互功率谱具有对称性：1)两种互功率谱的实部相同，而虚部反号；两种互功率谱的实部相同，而虚部反号；2)实信号的互相关函数为实函数，因此，互功率谱的实部都实信号的互相关函数为实函数，因此，互功率谱的实部都是偶函数，虚部都是奇函数。是偶函数，虚部都是奇函数。 9/20/202488例例3.10 讨论（加性）单频干扰讨论（加性）单频干扰 。若实平稳随机信。若实平稳随机信号号 X(t) 受到加性的独立随机正弦分量受到加性的独立随机正弦分量 Z(t) 的干扰，已知的干扰，已知 A，0 为常数，为常数，是在是在 0,20,2) ) 上上均匀分布的随机变量。试求：均匀分布的随机

36、变量。试求：(1) (1) 受扰后的信号受扰后的信号 Y(t) 的相关函数的相关函数 RY(t +,t) ; ;(2) (2) 信号信号 X(t)，Y(t) 是否联合平稳？是否联合平稳？ 如果是，求如果是，求 SY()，SXY()9/20/202489由于由于X(t)与与Z(t)独立，独立，Z(t)是是0 0均值，因此它们也正交均值，因此它们也正交对于于 ，Y(t) 也是平稳的也是平稳的解：首先，解：首先， ,正交性使得交叉项为零。正交性使得交叉项为零。 9/20/202490通过傅里叶变换可得，通过傅里叶变换可得， 信号信号 X(t)，Y(t) 是联合平稳的是联合平稳的作业：作业：3.19

37、3.21 3.23 3.25 3.269/20/202491噪声：对信号和系统功能起干扰作用的随机信号。噪声：对信号和系统功能起干扰作用的随机信号。噪声按其功率谱密度可划分为噪声按其功率谱密度可划分为：白噪声白噪声色噪声色噪声3.5 3.5 白噪声与热噪声白噪声与热噪声 3.5.1 3.5.1 白噪声白噪声9/20/202492其中：其中：1.白噪声白噪声定义定义3.9若若WSS.R.S.，其功率谱密度，其功率谱密度在整个频率范围内为一个非零常数，则称在整个频率范围内为一个非零常数，则称为为（平稳）白噪声信号。简称白噪声或白信号。（平稳）白噪声信号。简称白噪声或白信号。正实常数，单边功率谱正实

38、常数，单边功率谱双边功率谱双边功率谱9/20/202493n白噪声通常总是白噪声通常总是零均值零均值的，因此，的，因此， 白噪声有时也通俗地称为白噪声有时也通俗地称为“纯随机的纯随机的”：1)无限带宽的理想随机信号，无限带宽的理想随机信号，2)功率（即方差）为无穷大，功率（即方差）为无穷大，3)而不同时刻上彼此而不同时刻上彼此不相关，正交不相关，正交 9/20/202494说明：说明：（1）实际实际R.S.在非常邻近的两个时刻的状态总有一定在非常邻近的两个时刻的状态总有一定关联性关联性，故其相关函数不可能为严格的，故其相关函数不可能为严格的函数。函数。（2）工程上，当信号带宽工程上，当信号带宽

39、系统带宽，且信号功率谱在系系统带宽，且信号功率谱在系统通频带内及通频带附近基本恒定，就认为该信号是白噪声。统通频带内及通频带附近基本恒定，就认为该信号是白噪声。且且实际信号功率总是有限的，带宽实际信号功率总是有限的，带宽也是有限的也是有限的。白噪声只是一种理想。白噪声只是一种理想的数学模型。的数学模型。热噪声热噪声9/20/202495n若白噪声的每个随机变量都服从高斯分布，则称若白噪声的每个随机变量都服从高斯分布，则称它为它为高斯白噪声高斯白噪声（WGN,WhiteGaussiannoise）。）。它也它也是独立信号是独立信号，代表着信号，代表着信号“随机性随机性”的一种的一种极限。极限。如

40、果序列，恒有，如果序列，恒有，则称它是则称它是白噪声序列白噪声序列。高斯白噪声序列高斯白噪声序列是是独立序列独立序列，利用独立性，很容易写出它的任意阶密度函数。利用独立性，很容易写出它的任意阶密度函数。 或或高斯白噪声在不同时刻上的随机变量彼此不相关，正交，独立高斯白噪声在不同时刻上的随机变量彼此不相关，正交，独立9/20/202496定义：若定义：若R.S.功率谱密度功率谱密度在频带内不为在频带内不为常数，则称常数，则称为色噪声。为色噪声。即：即：是是的函数。的函数。2.色噪声色噪声如如9/20/202497例例3.11 3.11 方差方差为 的高斯白序列的高斯白序列 。试求：求：（1 1）

41、相关函数与）相关函数与协方差函数；（方差函数；（2 2）k维密度函数。维密度函数。解：解： 也是同分布的独立信号。于是，也是同分布的独立信号。于是， 9/20/2024983.6 3.6 应用举例应用举例例例3.13 3.13 讨论随机正弦信号的广义平稳条件。讨论随机正弦信号的广义平稳条件。变量量A的均的均值为 , , 方差为方差为 , , 的特征函数的特征函数为为 , , 与与A统计独立。统计独立。 解：计算均值与自相关函数。首先解：计算均值与自相关函数。首先 9/20/202499当且仅当当且仅当 时，时， （常数）。（常数）。9/20/2024100当且仅当当且仅当 时，上式等于时，上式

42、等于0。9/20/2024101 随机相位的正弦信号广义平稳的充要条件是：随机相位的正弦信号广义平稳的充要条件是： 此时，此时， 比如当比如当 时，时，9/20/2024102解：例解：例3.3已说明已说明 是广义平稳的，并且，是广义平稳的，并且， 例例3.14: 讨论乘法调制信号的功率谱讨论乘法调制信号的功率谱 X(t)为实广广义平平稳随机信号，其功率随机信号，其功率谱为 ， 与与X(t)统计独立统计独立 9/20/2024103可见，调制使得信号的谱平移到可见，调制使得信号的谱平移到处处09/20/2024104例例3.15 讨论随机二元（二随机二元（二进制）制）传输信号的信号的平平稳性与

43、功率性与功率谱。半随机二进制传输信号：半随机二进制传输信号： 常用于传输二进制数据信息，接收信号为初始时常用于传输二进制数据信息，接收信号为初始时刻刻“随机滑动随机滑动”的二元传输信号，记为的二元传输信号，记为 ，D与与 统计独立，并服从均匀分布统计独立，并服从均匀分布 。9/20/202410501101100101101100110t9/20/2024106更为一般的形式称为更为一般的形式称为数字传输信号数字传输信号，如下式，如下式， 其中，其中， 为幅度随机序列；为幅度随机序列； 为每个时隙的脉为每个时隙的脉冲信号，冲信号，T 为每个时隙宽度。为每个时隙宽度。a-2 a-1 a0 a1

44、a2 a3 a4 a5 a610t0T2T3T4T5T6T-T-2TT9/20/2024107a-2 a-1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a610t0T2T3T4T5T6T-T-2TTa-2 a-1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a60-2T-TT2T3T4T5T6T10t假定假定为平稳序列，均值为为平稳序列，均值为，自相关函数为，自相关函数为9/20/2024108下面证明：下面证明： 是平稳信号，并且，是平稳信号，并且， (1) 均值均值(3.34)(2) 自相关函数自相关函数(3.35)(3) 功率谱功率谱(3.36)其中，其中，码元波形的自相关函数码元波形的自相关函数9/

45、20/2024109证明：（证明：（1 1）由于）由于 由随机序列由随机序列 与随机变量与随机变量D复合构成，直接计算其均值不容易。先算条件平均复合构成，直接计算其均值不容易。先算条件平均于是于是 9/20/202411010t9/20/2024111（2 2）仿上，借助条件平均方法计算自相关函数。）仿上，借助条件平均方法计算自相关函数。令令k =n-m9/20/2024112令令 , , 括号内的求和项中括号内的求和项中于是于是可见，可见，Y(t)是平稳信号是平稳信号9/20/2024113而而（3 3）下面计算功率谱。容易看出，）下面计算功率谱。容易看出， （3.373.37） 于是于是9/20/2024114考虑考虑 为二进制无关序列，且为二进制无关序列，且 典型的随机二进制传输信号：典型的随机二进制传输信号： ，易知，易知， 1tT/2-T/29/20/2024115于是，随机二进制传输信号的特性如下：于是，随机二进制传输信号的特性如下： 且，且， (3.38)1tT/2-T/29/20/2024116(3.39)（a）自相关函数）自相关函数 （b）功率谱）功率谱 9/20/2024117