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1、概率论与数理统计Probability Theory and Mathematical Statistics苑苑 飞飞Mobile:612368参考资料 概率论与数理统计概率论与数理统计 盛骤 主编 高教出版社概率论与数理统计的应用v预测与控制(回归分析)v质量控制(区间估计,假设检验,六Sigma管理）v寻求最佳方案（大数定律和中心极限定理）v在其它学科中的应用（运筹学，统计学原理）如何学好这门课？v高等数学是这门课的数学基础v思维方式的转变v理论和实际相结合v独立思考，按质按量完成作业v不要缺课考核方法v平时考勤和作业：占30%v期中考试：占30%v期末考试：占40%第一章第一章 随机事件
2、的概率随机事件的概率v随机事件随机事件v随机事件的概率随机事件的概率v古典概型古典概型v条件概率条件概率v事件的独立性事件的独立性 概率论是研究什么的？随机现象：在一定条件下可能发生也可能不随机现象：在一定条件下可能发生也可能不随机现象：在一定条件下可能发生也可能不随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象发生的现象发生的现象发生的现象. . . .它具有不确定性与统计规律性它具有不确定性与统计规律性它具有不确定性与统计规律性它具有不确定性与统计规律性. . . .概率论是研究和揭示随机现象的统计规律性概率论是研究和揭示随机现象的统计规律性概率论是研究和揭示随机现象的统计规律性概率论是研
3、究和揭示随机现象的统计规律性的科学的科学的科学的科学确定性现象：在一定条件下必然发生的现象确定性现象：在一定条件下必然发生的现象确定性现象：在一定条件下必然发生的现象确定性现象：在一定条件下必然发生的现象. . . .统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性现出的固有规律性现出的固有规律性现出的固有规律性. . . .例子随机现象:掷一枚硬币出现正面统计规律性:掷出正面的次数约占总次数的二分之一1.11.1 随机试验随机试验随机试验的特点：1.可在相同条件下重复进行；
4、（可重复性） 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果；（可观察性）3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现.（不确定性） 随机试验可表为随机试验可表为 E E E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重 。随机试验的例子样本空间、随机事件(一） 样本空间 试验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 = ；试验的
5、每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为 .E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;,:1THE=E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；,:2HTTTTTTHHHHHTTHTHTHTHHHTE=E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;3 , 2 , 1 , 0:3E=E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1:4E=E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；, 2 , 1 , 0:5E=LE6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;), 0:6E+=E7:任选一人，记录他的身高和体重 。)(500, 0 (),)(2
6、50, 0(:7kgWcmHE=观察E2和E3有何发现? 同一个试验可以对应不同的样本空间(研究目的不同)例:掷骰子,观察出现的点数6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1=A=出现1 = B=出现6=C=出现小点 D=出现偶数点 = = 1 6 2,4,6 1,2,3（二）（二）随机事件随机事件：随机事件：具有某一可观察特征的随机试验的结果.简称“事件”.记作A、B、C等.两个特殊事件两个特殊事件:不可能事件、必然事件 .基本事件:仅含一个样本点的事件复合事件:含有两个或两个以上样本点的事件可以看出可以看出:任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集称事件事件
7、A发生发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 1.1.包含关系包含关系 “ A发生必导致发生必导致B发生发生”记为记为A B AB A B且且B A.（三）（三）事件之间的关系2.2.2.2.和事件和事件和事件和事件：“事件事件事件事件A A A A与与与与B B B B至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生”， 记作记作记作记作A A A A B B B B或或或或A+BA+BA+BA+Bn个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作可推广到可数个事件的和可推广到可数个事件的和可推广到可数个事件的和可推广到可数个事件的和( ( ( (见课本见课本见课本见课本) ) ) )
8、3. .积事件积事件 :A与B同时发生，记作 ABABn个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An可推广到可数个事件的积可推广到可数个事件的积可推广到可数个事件的积可推广到可数个事件的积( ( ( (见课本见课本见课本见课本) ) ) )4.差事件差事件 ：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生.5.互斥的事件互斥的事件 ：事件：事件A,BA,B不能同时发生称不能同时发生称A,BA,B为互斥事件为互斥事件, ,或或A,BA,B互不相容互不相容. .记为记为 AB 6. 对立对立事件事件 A B , 且且AB .即事即事件件”非非A”称为事件称为事件A的对立事件的对立事件,
9、记为记为称为为A的对立事件的对立事件,且有且有表示事件表示事件A和和B( = )有且仅有一个发生有且仅有一个发生7.完备事件组v如果n个事件 互不相容，并且它们的和是必然事件，则称这n个事件构成一个完备事件组。即v1 彼此互不相容；v2 。v可推广到可数个事件（四）事件的运算律（四）事件的运算律1.交换律交换律：A+B=B+A,AB=BA2.结合律结合律：A+(B+C)=(A+B)+C (AB)CA(BC)3.分配律分配律：(A+B)C(AC)+(BC)， AB+C(A+C)(B+C)4.自反律自反律:5.对偶对偶(De Morgan)律律: 其他其他:A+A=A AA=A A+ = , A+
10、 =A A =A, A =例例1 设设 表示某射手第表示某射手第i次击中目标次击中目标（i=1，2，3），用语言叙述下列各），用语言叙述下列各事件。事件。1. 表示：表示：2. 表示：表示：3.4.6.三人中至少一人未击中目标；7三人中恰两人击中目标；8三人中至少两人击中目标；9三人都未击中目标；10三人中至多一人击中目标；11. 三人中至多两人击中目标 1.2 随机事件的概率从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性记为P(A).抛一枚硬币，出现正面的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？( (一一) ) 频率与概率频率与概率 历史上曾有人做过试验,试图
11、证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005 频率的性质:(1) 0 fn(A) 1(2)fn()1； (3)设设 是两两互斥的事件是两两互斥的事件,则 概率的统计定义：若随机事件A在n次试验中出现了k次，则称比值为事件A在n次试验中出现的频率。 当试验次数n逐渐增大时，频率在一个常数p附近摆动，而且逐渐稳定于这个常数，则称p为事件A在n次试验中发生
12、的概率，记为 P（A）=p简而言之，频率的稳定值就是概率。 概率的统计定义（二）（二） 概率的公理化定义概率的公理化定义 概率的统计定义有它自身的缺陷:有些随机事件的概率是无法通过重复试验来确定的,概率论也不应只研究可在相同条件下重复进行的随机试验.经过许许多多学者的长期探索,1933年柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义,第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上.1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1) 非负性: P(A) 0；(2) 规范性: P( )1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列互不相容的事件，有 P(
13、A1 +A2 + ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。2.概率的性质(2) 有限有限可加性可加性：设A1，A2，An , 是n个互不相容的事件，则有 P( A1 + A2 + + An) P(A1) P(A2)+ +P(An) (4) 减法公式减法公式 P（A-B）=P（A)-P（AB）; 特别地特别地, 若A B则 P(A-B)=P(A)-P(B) ; P(A)P(B) (5) 对任一事件对任一事件A,P(A) 1(7) 可分性可分性：对任意两事件A、B，有(6) 加法公式加法公式：对任意两事件A、B，有 P(A+B)P(A)P(B)P(AB)该公式可推广到任意n个事
14、件,当n=3时：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC)例例1 A，B为随机事件，且为随机事件，且 ，则下列成立的，则下列成立的式子是（式子是（ ）。）。a.P（A+B）=P（A）；）；b. P（B-A）=P（A）；）；c.P(AB)=P(A); d. P(A)=P(B).例例2 设设A，B为随机事件，为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，求求P（AB）。）。例例3 设设A，B互不相容，互不相容，P（A）=0.6，P（A+B）=0.8，求求 。例例4 设设 求求a的取值的取值范围。范围。例例6 在上题中，在上题中，A与与B
15、至少发生其一的至少发生其一的概率是多少？概率是多少？例例5 设设P（A）=0.6，A，B都发生的概都发生的概率为率为0.1，A与与B都不发生的概率为都不发生的概率为0.15，求求A发生但发生但B不发生，以及不发生，以及B发生而发生而A不发生的概率。不发生的概率。若某试验若某试验E E满足满足1.有限性：样本空间有限性：样本空间 e1, e 2 , , e n ;2.2.等可能性：等可能性：P(eP(e1 1)=P(e)=P(e2 2)=P(e)=P(en n).). 则称E为古典概型也叫等可能概型。1.3 1.3 古典概型古典概型解题的步骤1.设事件:将问题简化2.找事件之间的关系3.运用合适
16、的公式4.计算例例 （摸球问题）设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A：“取到一红一白”例:将3封信任意投到四个信箱中去，求下列事件的概率（1）只有两个信箱有信的概率。（2）一个信箱最多只有1封信的概率 （3）前两个信箱没有信的概率。 解:设A=只有两个信箱有信,B=一个信箱最多只有1封信,C=前两个信箱没有信例例 在在1 1 20002000的的整整数数中中任任取取一一数数，求求取取到到的的数数既既不不能能被被6 6也不能被也不能被8 8整除的概率。整除的概率。 例：箱中装有a只白球，b只黑球，（1）有放回抽取，每次一球，求第k次取到白球的概率（2）无
17、放回抽取，每次一球，求第k次取到白球的概率解：设A=第k次取到白球， k=1,2,a+b，结论：第第k次取到白球的概率和取球次取到白球的概率和取球的方式无关、和取球的次序无关。的方式无关、和取球的次序无关。几何概型：三个例子 特点：（1）样本空间是一个几何区域，这个区域的大小可以度量。（2）向区域内任意投掷一点，落在区域内任一点处都是等可能的。设A=掷点落在区域A内，则其中，m(A)表示区域A的度量例1：每5分钟有一辆69路车到达北师大站，某同学在5分钟内任一时间到达车站是等可能的，求他等车时间超过3分钟的概率.例2：在区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的乘积小于 的概率。 袋中有十只球，
18、其中九只白球，一只红球，甲乙两人依次从袋中各取一球(不放回)，问甲取得红球的概率是多少？乙取得红球的概率是多少？设A：“甲取到红球” B：“乙取到红球”1.4 1.4 条件概率条件概率若已知甲取到的是红球，则乙取到红球的概率又是多少？引例:将一枚硬币连抛两次，考虑正反面出现的情况. A=至少出现一次正面,B=两次出现同一面,求已知A发生的条件下B发生的概率.解:一、条件概率一、条件概率B的条件概率与B的原概率的区别vP(B)称为B的原概率,P(B|A)称为B的条件概率;v公式中的P(A),P(AB)是在样本空间 中讨论的;vP(B|A)是在缩小了的样本空间A中讨论B的概率.v条件概率的性质:v
19、1. v2.v3. 设A1，A2，An互不相容，有 例例 设袋中设袋中有有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现从袋中任个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1 1）求两次均取到红球的概率求两次均取到红球的概率（2）已知第一次取到红球，求第二次也取到已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率红球的概率; ; （3）已知第二次取到红球，求第一次也取到）已知第二次取到红球，求第一次也取到红球的概率红球的概率;例例 某种类型灯泡用满某种类型灯泡用满20002000小时不坏的概率小时不坏的概率为为3/43/4，用满，用满30003000小时不坏的
20、概率为小时不坏的概率为1/21/2，现有一个灯泡用了现有一个灯泡用了20002000小时，求它用小时，求它用30003000小时不坏的概率。小时不坏的概率。解解 设设A A：“用满用满20002000小时不坏小时不坏” B B：“用满用满30003000小时不坏小时不坏”例例 一盒中混有一盒中混有100100只新只新 , ,旧乒乓球，各有红、白两旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设设A-A-从盒中随机取到一只红球从盒中随机取
21、到一只红球. . B- B-从盒中随机取到一只新球从盒中随机取到一只新球. . 二、二、乘法公式乘法公式设设A A、B B ，P P（A A）0,0,则则 P(AB) P(AB)P(A)P(B|A). P(A)P(B|A). 称为事件称为事件A A、B B的概率的概率乘法公式乘法公式。 乘法公式乘法公式还可推广到三个事件的情形：还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). P(AB) 0. 一般地，有下列公式：一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)P(A1An1)0例例 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，假设在
22、空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率为则击落乙机的概率为0 0 2 2；若乙机未被击落，；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是就进行还击，击落甲机的概率是0 0 3 3；若甲；若甲机亦未被击落，则再次进攻乙机，击落乙机机亦未被击落，则再次进攻乙机，击落乙机的概率为的概率为0 0 4 4，在这几个回合中，分别计算，在这几个回合中，分别计算甲，乙被击落的概率。甲，乙被击落的概率。 定义 事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间 的一个划分，若满足：A1A2AnB 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式例例1.1.市市场场上上有有甲甲、乙乙、丙丙三三家家工工厂厂生生产产
23、的的同同一一品品牌牌产产品品，已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且且三三家家工工厂厂的的次次品品率率分分别别为为 2 2、1 1、3 3，试试求求市市场场上上该该品品牌产品的次品率牌产品的次品率解：设解：设 表示买到第表示买到第i i厂的产品，厂的产品，i=1,2,3,i=1,2,3, B B表示买到次品。表示买到次品。 构成完备构成完备事件组，事件组， ，则，则定理 设A1，, An是 的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B 有有 称为全概率公式。例例3 3 有有甲甲乙乙两两个个袋袋子子，甲甲袋袋中中有有两
24、两个个白白球球，1 1个个红红球球，乙乙袋袋中中有有两两个个红红球球，一一个个白白球球这这六六个个球球手手感感上上不不可可区区别别今今从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙袋袋，搅搅匀匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？甲乙定理定理 设设A A1 1，, A, An n是是 的一个划分的一个划分，且且P(AP(Ai i) 0) 0，(i(i1 1，n)n)，则对任何事件则对任何事件B B ，有有 解：设解：设B B：“产品合格产品合格”，A A：“机器调整良好机器调整良好”，则，则显然，显然， 构成完备事件组。所以构成完备事件组。所以已知
25、已知5%的男人和的男人和0.25%的女人是色盲，假设男女各的女人是色盲，假设男女各占一半，现随机挑选一人，（占一半，现随机挑选一人，（1）求此人恰好是色）求此人恰好是色盲的概率。（盲的概率。（2）若随机地挑选一人，此人不是色）若随机地挑选一人，此人不是色盲者，问他是男人的概率是多大？盲者，问他是男人的概率是多大？ 设 A =男人 B =色盲1.5 1.5 事件的独立性事件的独立性一、两事件独立一、两事件独立定义定义 设设A A、B B是两事件，是两事件，P(A) 0,P(A) 0,若若 P(B) P(B)P(B|A) P(B|A) 则称事件则称事件A A与与B B相互相互独立独立。等价于：。等
26、价于： P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)注意：注意： A A与与B B相互独立和相互独立和A A，B B互斥是两个不同的概互斥是两个不同的概念念. .当当P(A) 0， P(B) 0时，时，独立一定不互斥独立一定不互斥, ,互互斥一定不独立斥一定不独立定理定理 设设A,B为两个事件为两个事件,则四对事件则四对事件 中只要有一对事件独中只要有一对事件独立立,则其余三对也独立则其余三对也独立.证证:(仅证当仅证当A,B独立时独立时,推出推出 独独立立.只须证明只须证明 )例例:从一副不含大小王的扑克牌中任取一张从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记记A=抽到抽到K,B=抽到的牌
27、是黑色的抽到的牌是黑色的,问问A和和B是否独立是否独立?解: 判断独立可以用定义判断独立可以用定义,更多的实际问题考虑用更多的实际问题考虑用实际意义实际意义二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义 若三个事件若三个事件A A、B B、C C满足：满足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), (1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件则称事件A A、B B、C C两两相互独立两两相互独立；一般地，设一般地，设A A1 1，A A2 2，A An n是是n n个事件
28、，如果对任意的个事件，如果对任意的k (1k (1 k k n), n), 任意的任意的1 1 i i1 1 i i2 2 i ik k n n，具有等式具有等式 P(A P(A i1 i1 A A i2 i2 A A ik ik) )P(A P(A i1i1)P(A)P(A i2 i2)P(A)P(A ik ik) ) 则则称称n n个事件个事件A A1 1，A A2 2，A An n相互独立。相互独立。相互独立事件的性质相互独立事件的性质性性质2 2 如果如果 个事件个事件相互独立，相互独立，则其中其中 任意任意 个事件也相互独立个事件也相互独立. 性性质1 1 如果如果个事件个事件相互独
29、立，相互独立，则个事件改个事件改为相相应的的对立事立事个事件仍然相互独立个事件仍然相互独立. .将其中任何将其中任何件，形成新的件，形成新的事件独立性的应用事件独立性的应用 加法公式的简化：若加法公式的简化：若事件事件A A1 1，A A2 2，A An n相互独立相互独立, , 则则 v例例2 甲，乙，丙三部机床独立工作，在同一甲，乙，丙三部机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照管的概率分别是段时间内它们不需要工人照管的概率分别是 0.7，0.8和和0.9，求在这段时间内，最多只有求在这段时间内，最多只有一台机床需人照管的概率。一台机床需人照管的概率。v例例3 甲，乙射手同时向一目标射
30、击一发弹，甲，乙射手同时向一目标射击一发弹， 甲击中目标的概率为甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率乙击中目标的概率 为为0.9，求目标被击中的概率求目标被击中的概率。例4 某型号的高炮，每门发射一发炮弹，击中敌机的概率均为0.6，现有高炮若干门同时发射一发炮弹，要以99%的把握击中敌机，至少应配置几门高炮？解解 设设n为应设置的高炮门数，又设为应设置的高炮门数，又设 ：“第第i门炮击中敌机门炮击中敌机”，i=1, n, A：“敌机被击中敌机被击中“例例5 5 甲，乙，丙三人同时向一驾飞机射击，他们击甲，乙，丙三人同时向一驾飞机射击，他们击中目标的概率分别是中目标的概率分别是0 0 4
31、4，0 0 5 5，0 0 7 7，假设飞机只有，假设飞机只有一人击中时，坠毁的概率为一人击中时，坠毁的概率为0 0 2 2，若有两人击中，飞，若有两人击中，飞机坠毁的概率为机坠毁的概率为0 0 6 6，而飞机被三人击中时一定坠毁。，而飞机被三人击中时一定坠毁。现在如果发现飞机已被击中坠毁，计算它是由三人现在如果发现飞机已被击中坠毁，计算它是由三人同时击中的概率。同时击中的概率。解：设解：设 ：“三人中有三人中有i i人击中飞机人击中飞机”,i=0”,i=0，1 1，2 2，3 3 构成完备事件组。构成完备事件组。B B：“飞机被击中坠毁飞机被击中坠毁”再设再设 分别表示甲，乙，丙击中飞机。显
32、然，分别表示甲，乙，丙击中飞机。显然，它们是相互独立的。它们是相互独立的。设随机试验只有两种可能的结果：事件设随机试验只有两种可能的结果：事件A A发生或事件发生或事件A A不发生，则称这样的试验为不发生，则称这样的试验为贝努里贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)试验试验。将将贝努里试验在相同条件下独立地重复进行贝努里试验在相同条件下独立地重复进行n n次，称次，称这一串重复的独立试验为这一串重复的独立试验为n n重贝努里试验重贝努里试验，或简称为，或简称为贝努里概型贝努里概型. .贝努里定理贝努里定理 设在一次试验中，事件设在一次试验中，事件A A发生的概率为发生的概率为p p
33、 (0p1)(0p1)，则在，则在n n重贝努里试验中重贝努里试验中, ,事件事件A A恰好发生恰好发生k k 次次的概率为：的概率为： Bernoulli Bernoulli概型概型例例1 1 同时掷四颗均匀的骰子同时掷四颗均匀的骰子, ,试计算试计算: : (1) (1) 恰有一颗是恰有一颗是6 6点的概率点的概率; ; (2) (2) 至少有一颗是至少有一颗是6 6点的概率点的概率. . 解解: :这是一个这是一个4 4重贝努里试验重贝努里试验, ,掷每一颗骰子就是一掷每一颗骰子就是一个基本试验个基本试验. .设设A=A=掷出掷出6 6点，点，B=B=恰有一颗是恰有一颗是6点，点，C=至
34、少有一颗是至少有一颗是6点，显然，点，显然，P(A)= 1/6(1) (1) 恰有一颗是恰有一颗是6 6点的概率为点的概率为(2) (2) 至少有一颗是至少有一颗是6 6点的概率为点的概率为 例例2 2 八门炮同时独立地向一目标各射击一发八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹炮弹, ,若有不少于若有不少于2 2发炮弹命中目标时发炮弹命中目标时, ,目标就被击目标就被击毁毁. .如果每门炮命中目标的概率为如果每门炮命中目标的概率为0.6, 0.6, 求目标被求目标被击毁的概率击毁的概率. . 解解 设一门炮击中目标为事件设一门炮击中目标为事件A, P(A) = 0.6A, P(A) = 0.6设
35、目标被击毁为事件设目标被击毁为事件B B, ,则则例例3: : 某型号火炮的命中率为某型号火炮的命中率为0.80.8，现有一架敌机，现有一架敌机即将入侵，如果欲以即将入侵，如果欲以 99.9 % 99.9 % 的概率击中它，则的概率击中它，则需配备此型号火炮多少门？需配备此型号火炮多少门？解答解答: : 设需配备设需配备 n n 门此型号火炮门此型号火炮设事件设事件 表示第表示第 i i 门火炮击中敌机门火炮击中敌机故需配备故需配备 5 5 门此型号火炮门此型号火炮. .推论：推论： 设在一次试验中，事件设在一次试验中，事件A A发生的概率为发生的概率为p p (0p1)(0p1)，则在伯努利试验序列中，事件，则在伯努利试验序列中，事件A A在在第第k k次试验中才首次发生的概率为：次试验中才首次发生的概率为：例：例：设每次试验成功率为设每次试验成功率为p (0p1)p (0p1)，进行重复试验，进行重复试验，求直到第十次试验时，才取得求直到第十次试验时，才取得4 4次成功的概率次成功的概率解：取得取得4 4次成功的概率为：次成功的概率为：
