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1、第九章第九章 双因素和多因素方差分析双因素和多因素方差分析1学习目标掌握：两因素交叉分组（有重复观察值、无重复观察值）资料的方差分析方法。熟悉：多因素试验线性模型和不同变异来源期望均方构成。了解：缺失数据的估计原理及方差分析方法。2讲授内容第一节双因素方差分析概述第二节不同实验类型的双因素方差分析第三节多因素试验的方差分析第四节缺失数据的估计第五节数据变换3第一节 双因素方差分析概述v一、双因素试验汇中的几个基本概念1、主效应（maineffect）：各实验因素相对独立的效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变，如包装方式对果汁销售量的影响。2、互作效应（interaction）：两个或多个
2、实验因素的相互作用而产生的效应。43、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析(Two-factorwithoutreplication)：两个因素对试验结果。两个因素对试验数据的影响。4、有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析 (Two-factorwithreplication)：如果两个因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响。5二、双因素交叉分组试验设计的描述（一）双因素试验的数据描述（二）观测值的描述（三）平方和与自由度的分解（四）平方和的简便计算公式（五）各项均方的计算6（一）试验数据的描述7（二）观测值的描述v对于上表中的每一个观测值
3、可用线性统计模型描述8（三）平方和与自由度的分解1、平方和的分解总平方和SST被分解为A因素所引起的平方和SSA、B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起的平方和SSAB、误差平方和SSe9A因素误差平方和B因素误差平方和AB交互作用误差平方和随机误差项平方和10v2、平方和的分解与平方和相应的自由度分别为：总自由度：dfT=abn-1vA因素处理间自由度：dfA=a-1vB因素处理间自由度：dfB=b-1v交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1)v处理内自由度：dfe=ab(n-1)vdfT=dfA+dfB+dfAB+dfe11（四）平方和的简便计算方式12（五）各项均方的计算1
4、3第二节 不同实验类型的双因素方差分析一、固定模型（一）重复试验时的双因素方差分析1、观察值的线性统计模型2、提出假设143、检验统计量的计算 在F检验时，A因素、B因素和互作效应的检验统计量均以MSe做分母：FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为FF4、均方期望15v（二）无重复实验时的双因素方差分析1、观测值的描述2、提出假设163、检验统计量的计算 在F检验时，A因素、B因素的检验统计量均以MSe做分母 FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为FF17（三）交互作用的判断vTukey提供的方法进行
5、因素间是否存在交互作用的判断vP15018n二、随机模型1、观察值的线性统计模型 2、提出假设19v3、检验统计量的计算 在F检验时，A因素、B因素主效应的检验统计量是以MSAB做分母；互作效应的检验统计量以MSe做分母 FA=MSA/MSAB FB=MSB/MAB FAB=MSAB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为FF 注意：检验统计量的分母与统计量的第二自由度与固定效应不同20v4、均方期望21v三、混合模型（以A为固定因素、B为随机因素为例）v在混合模型中，A、B因素的效应为非可加性， 为固定效应，为随机效应v对A做检验时用随机模型，对B及AB交互效应做检验时用固定模型。vP1772
6、2v例1：随机选择4个小麦品种，施以三种肥料，小区产量列于下表，该问题属于哪种模型？从方差分析的结果可得出什么结论？ 肥料种类小麦品种不同条件下小区产量/kg(NH4)2SO4NH4NO3Ca(NO3)2121.118.019.4224.022.021.7314.213.312.3431.531.427.523题解v解：本题影响产量的因素包括肥料种类和小麦品种。该问题属于混合模型中无重复的两因素分组交叉分析。肥料种类小麦品种不同条件下小区产量/kg(NH4)2SO4NH4NO3Ca(NO3)2121.118.019.419.5224.022.021.722.57314.213.312.313.
7、27431.531.427.530.1322.721.1820.2324变差来源平方和自由度均方统计量F小麦品种442.173147.39115.02*肥料种类12.4726.244.87误差7.6961.28总和462.3311小麦品种间差异极显著，肥料间无显著差异。 25v例2：用两种不同的饲料添加剂A和B，以不同比例搭配饲养大白鼠，每一种饲料添加剂取4个水平，每一处理设两个重复。大白鼠增重结果列于下表。请进行统计分析，并回答下列问题。添加剂B添加剂A不同条件下大白鼠增量/g1234132，3628，2218，1623，21226，2429，3327，2317，19333，3930，243
8、3，3723，27439，4331，3528，3236，3426v该实验有可能属于哪几种模型？前提是什么？v如果认为是随机模型，设置重复与不设重复对分析结果有无影响？v若实验本身是固定模型，但分析时误认为随机模型，对结论有何影响？若不设重复，又有何影响？27v题解：（1）该实验可能属于固定模型、随机模型、混合模型。取决于添加剂本身的性质，即添加剂的效果能否严格重复。v（2）分析：固定模型下：ajaiB123413425172224.522531251824.7533627352530.7544133303534.75342926.752528.6928变差来源平方和自由度均方统计量FA592.
9、3753197.45824.68*B365.3753121.79215.22*AB425.125947.2365.904*误差128168总和1510.87531查F分布表：所以FA、FB、FC均达极显著，所以大白鼠增重与添加剂A、B及其交互作用都有显著关系。29v随机模型下：v查F分布表： vFA显著但未达极显著，FB不显著，FAB极显著。v所以大白鼠增重与A、AB的交互作用有显著关系。v综合上面可知，随机模型和固定模型对主效应的认识不同；若不设重复，对固定模型，统计检验无法进行。30第三节 多因素试验的方差分析v一、观测值的描述 假设在一个试验中，A因素有a个水平，B因素有b个水平，C因素
10、有c个水平，每个因素有n次重复，那么观测值的线性统计模型为 31A1 A2A3B1B2B3A1 A2A3B2B3B1(a) 无交互效应无交互效应 (b) 有交互效应有交互效应 图图中中每每条条曲曲线线代代表表B因因素素的的一一个个水水平平。若若各各曲曲线线平平行行或或近近似似平平行行，可可认认为为无无交交互互效效应应，否否则则为为有有交交互互效效应应。以以上上只只是是一一种种直直观观的的判判断断，在在多多因因素素方方差差分分析析的的过过程程中中，我们对交互作用的有无也可进行统计检验。我们对交互作用的有无也可进行统计检验。交互效应交互效应32H01: i =0, i=1, 2, aH02:j=0
11、, j=1, 2, bH03:()ijij=0, i=1, 2, =0, i=1, 2, a, j=1, 2, a, j=1, 2, b b备择假设为备择假设为:H HA A: : 上述各参数中至少有一个不为上述各参数中至少有一个不为0 0。( (这实际上是三个这实际上是三个备择假设。备择假设。) ) 零假设零假设33方差分析的基本思想仍是总变差分解：方差分析的基本思想仍是总变差分解：即：即： SST = SSA + SSB + SSAB + SSe自由度：自由度：abn-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1) ab(n-1)总变差分解总变差分解34均方数学期望 35 检检验验两两个个主主
12、效效应应及及一一个个交交互互效效应应的的下下述述三三个个统统计计量量中中，分母全部采用分母全部采用MSe即可。即可。检验检验H01，H02，H03的统计量分别为：的统计量分别为： 检验检验H01，H02，H03的统计量的统计量 从从前前述述的的各各均均方方期期望望可可知知，只只有有当当各各H0成成立立时时，上上述述三三个个分分子子才才是是 2的的无无偏偏估估计计量量，此此时时各各统统计计量量均均服服从从F分分布布；若若某某个个H0不不成成立立，则则相相应应的的分分子子将将有有偏偏大大的的趋趋势势，从从而而使使对对应应的的统统计量也有偏大的趋势，因此可用计量也有偏大的趋势，因此可用F分布上单尾分
13、位数进行检验。分布上单尾分位数进行检验。 36各效应的估计值各效应的估计值 其中其中i=1, 2 a, j=1, 2, b。37计算公式38计算排列如下表：计算排列如下表：表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均的平均 计算步骤39变差来源平方和自由度均方统计量F主效应A主效应B交互效应AB误差总和方差分析表方差分析表40 把把计计算算所所得得结结果果填填入入上上表表后后，再再根根据据各各F统统计计量量的的自自由由度度查查出出其其F0.95及及F0.99分分位位数数，并并将将F计计算算值值与与相相应应分分位位数数相相比比，大大于于F0.95则则在在
14、统统计计量量F右右上上角角标标一一个个“*”号号；大大于于F0.99则则再再加加一一个个“*”号号。最最后后用用一一句句话话对对上上述述方方差差分分析析的的结结果果加加以以总总结结，即即哪哪些些主主效效应应或或交交互互效效应应达达到到显显著著或或极极显显著著水水平平，哪哪些些不不显显著著 F测验41 如如果果MSAB小小于于或或约约等等于于MSe，即即FAB小小于于或或约约等等于于1，说说明明此此时时交交互互作作用用不不存存在在，在在这这种种情情况况下下也也可可把把MSAB和和MSe合合并并在在一一起起(即即把把平平方方和和和和自自由由度度都都合合并并)作作为为2 2的的估估计量，这样可以提高
15、检验的精确度。具体计算公式如下计量，这样可以提高检验的精确度。具体计算公式如下 交互作用不存在交互作用不存在 然然后后可可用用作作统统计计量量FA和和FB的的分分母母，对对两两个个主主效效应应进进行行统统计计检验。注意查表时分母自由度要相应改变。检验。注意查表时分母自由度要相应改变。 42原料种类(A)温度（B）3035401414923251113252462226182475950404338333682214183355350433847445533262930例3 选择最适发酵条件 43 本本题题中中显显然然温温度度是是一一个个因因素素，原原料料种种类类是是另另一一个个因因素素。这这两
16、两个个因因素素各各有有三三个个水水平平。由由于于它它们们的的影影响响都都是是可可控控制制、可可重重复复的的，因因此此都都是是固固定定因因素素。在在同同样样温温度度、原原料料下下所所做做的的几几次次实实验验应应视视为为重重复复，它它们们之之间间的的差异是由随机误差所造成的差异是由随机误差所造成的 。固定因素固定因素44ji123134.518.251823.5824937.515.534345.25462739.4242.9233.9220.12各处理平均数 45发酵实验方差分析表 变差来源平方和自由度均方F原料A温度BAB误差1554.183150.50808.821656.502242777
17、7.091575.25202.2161.3512.67*25.68*3.30*总和7170.003546查查 F分分 布布 表表 ， 得得 ： F0.95(2,27)F0.95(2,30)=3.316, F0.99(2,27)F0.99(2,30)=5.390,F0.95(4,27)F0.95(4,30)=2.690, F0.99(4,27)F0.99(4,30)=4.018,FFA A,F,FB B均均达达极极显显著著，标标上上“* * * *”，F FABAB只只达达显显著著，标标上上“* *”。因因此此酒酒精精产产量量不不仅仅与与原原料料和和温温度度的的关关系系极极显显著著，与与它它们们
18、的的交交互互作作用用也也有有显显著著关关系系。即即对对不不同同原原料料应应选选用用不不同同的的发发酵酵温温度。度。 F测验47 在在固固定定效效应应模模型型中中，若若各各F F统统计计量量有有达达到到显显著著或或极极显显著著水水平平时时，常常常常还还需需要要在在各各处处理理间间进进行行多多重重比较，以选出所需要的条件组合。比较，以选出所需要的条件组合。各处理间进行多重比较各处理间进行多重比较 如如果果有有交交互互作作用用存存在在，则则一一般般需需要要把把所所有有abab个个水水平平组组合合放放在在一一起起比比。比比较较的的方方法法仍仍与与单单因因素素方方差分析相同，最常用差分析相同，最常用Du
19、ncan法。法。 48 当当交交互互作作用用存存在在时时，对对固固定定模模型型若若不不设设置置重重复复，则则无无法法把把SSAB与与SSe分分开开，这这样样将将无无法法进进行行任任何何统统计计检检验验。因因此此在在固固定模型中有交互作用时，不设置重复的试验是无意义时。定模型中有交互作用时，不设置重复的试验是无意义时。 对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水平，对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水平，不能任意推广到其他水平上去。不能任意推广到其他水平上去。 几点注意事项：几点注意事项：49二、平方和与自由度的分解（P179）三、检验统计量的计算 在各种模型中，要特别注意统计量F
20、的计算一定要根据因素的性质来决定。 对于固定因素主效应做检验时用随机模型，对随机因素主效应做检验时用固定模型。四、各均方的数学期望50v由由于于FAB F0.99(2, 22), FB = 14.21 F0.99(2, 22), 因因此此两两因因素素（饮饮料料与与窝窝别别）的的主主效效应应均均达达极显著水平。交互效应显然不显著。极显著水平。交互效应显然不显著。 52v四、方差分析的规律总结一、假设(1) 对于固定效应A的假设：(2) 对于随机效应B的假设：二、平方和与自由度的分解平方和的分解根据线性统计模型计算自由度的分解规律如下：每一组因素主效应的自由度为该因素的水平减1，每一交互作用的自由
21、度是产生交互作用各因素的自由度的乘积，误差自由度是各因素水平与重复数减1的乘积53v三、均方期望的推演方法（一）对均方期望做规律性规定 方差分析中均方数学期望的推导是选择合适检验统计量的前提。以多因素实验为例，均方期望的规律性做如下规定：54v1、下标： 中的下标写为 ，括号中的ijk为不同处理水平组合的下标，称为 “活下标”；括号外的l和其他方差分量中的下标均称为“活下标”。v2、固定模型中各因素的效应分别改模型分量的平方和除以自由度表示，如A因素的效用 表示，55v3、随机模型中各因素的效应分别以希腊字母为下标的方差表示，如A因素的效应记为 ；B因素的效应记为 ，AB交互作用的效应记为 ，以上各量分别称为各因素的方差分量。v4、混合模型中，交互作用的两个因素只要有一个是随机的，则交互作用即被认为是随机的，两因素的交互效应记为v5、不论哪一种模型，误差的方差均记为56v四、检验统计量的计算v检验统计量F要根据各均方期望的构成来决定，它的规律是为了得到检验的某个效应的统计量。v在计算F时，分子均方的组成比分母均方的组成多出了欲检验的效应（固定因素）或方差（随机因素）分量，除此之外，其他成分完全相同。v对固定因素主效应做检验时用随机模型，对随机因素主效应做检验时用固定模型57
