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1、第2章 系统的时域分析-导读系统分析讨论的主要问题是：在给定的激励（输入）作用下，系统将产生什么样的响应（输出）。为了确定一个连续LTI系统对给定激励的响应，就要建立描述该系统的微分方程，并求出其给定初始状态的解，即完全响应。连续LTI系统的数学模型为线性常系数微分方程；而离散LTI系统的数学模型为线性常系数差分方程。时域分析法直观明了，物理概念清楚。时域分析法是学习系统变换域方法的基础。本章讨论连续时间LTI系统的两种时域分析方法，即微分方程法和卷积积分法。第2章 系统的时域分析-导读n本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型-常系数线性微分方程。n然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和
2、特解，再由初始条件求待定系数。n为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入响应和零状态响应。n仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得到；零状态响应的求解则用卷积方法。n冲激响应和阶跃响应是两种很重要的零状态响应，在求解系统响应和进行系统特性分析都起到了很重要的作用。第2章 系统的时域分析-导读本章主要内容n2.1 2.1 连续连续LTILTI系统的数学模型系统的数学模型n 经典的微分方程的求解方法n2.3 零状态响应和零输入响应n 系统的冲激响应和阶跃响应n2.5 离散LTI系统的模型与求解n第第7 7讲讲 连续连续LTILTI系统的数学模型系统的数学模型LTI系统
3、数学模型的建立依据n本课程主要研究由电阻、电容、电感等器件构成的电系统。n数学模型的建立的基本依据：n基尔霍夫电流定律（KCL）n基尔霍夫电压定律（KVL）n元器件的电压电流关系（VCR）建立电路系统微分方程的依据是电路的两种约束建立电路系统微分方程的依据是电路的两种约束拓扑约束：拓扑约束：电路基尔霍夫定律电路基尔霍夫定律LTI系统数学模型的建立依据KCL: 对任一节点，流入与流出该节点的电流之和为零，即 KVL: 对任一回路，设沿顺（反）时针所有支路电压都为电压升（或都为电压降），则有 VCR：对：对电阻电阻R、电感、电感L、电容、电容C，设其两端电压与通，设其两端电压与通过的电流取关联参考
4、方向过的电流取关联参考方向 2)电容元件电容元件3)电感元件电感元件1) 电阻元件电阻元件LTI系统数学模型的建立依据系统微分方程的建立n对于C、R、L所在的回路，根据KVL有 以为输入，列出系统的微分方程 为输出对方程两边求导 将代入上式系统微分方程的建立n根据KVL列出两个回路方程 已知 为电压源激励信号列出系统的微分方程 为输出消去得到如如图图所所示示系系统统，us(t)为为激激励励信信号号，电电阻阻R1上上的的电电压压u(t)为为响响应应，L1=L2=1H，R1=R2=1 ，C=2F，试试写写出系统的微分方程出系统的微分方程系统微分方程的建立【解解】设设网网孔孔、及及各各电电流流参参考
5、考方方向向如如图图所所示示。应应用用KCL列列节节点点 a 的的电电流流方程为方程为 iC=i1-i2 对网孔对网孔 I、II 应用应用KVL分别分别列方程列方程系统微分方程的建立【解解】代入元件参数值，有代入元件参数值，有 由以上两式由以上两式, ,得得系统微分方程的建立再利用元件的电压、电流关系，并再利用元件的电压、电流关系，并代入元件参数值代入元件参数值所以所以 系统微分方程的建立LTILTI系统的数学模型的一般描述系统的数学模型的一般描述 一般的，一般的，对对于含有于含有n 个个储储能元件的能元件的LTI系系统统，其数学模，其数学模型可用型可用n阶的、常系数的、线性的微分方程来描述，即
6、：阶的、常系数的、线性的微分方程来描述，即：或：或： 式中：式中：ai和和bj均均为为常数，一般常数，一般m n 思考与练习思考与练习以为输入，列出系统的微分方程 为输出答案是：算子法建立微分方程定义定义微分算子：微分算子：注意：注意：这里的这里的p只是代表微分运算的一个算子（只是代表微分运算的一个算子（ 1/p代表代表积分运算），积分运算），p并不是变量。并不是变量。微分算子使用举例微分算子方程：微分算子方程： p2 y(t) + 3py(t) + 2y(t) = 2pf (t) + 5 f (t)或：或：( p2+3p+2) y(t)=(2p+5) f (t)例：例：例例：1) py(t)
7、=pf (t) ，不等于，不等于 y(t)=f (t)2) (p+1)(p+2)y(t)=(p+2)(p+3) f (t)不等于不等于 (p+1) y(t)=(p+3) f (t)如：如：(p+a)(p+b) = p2 + (a+b)p + ab(1)代数运算规则代数运算规则：可以像代数量那样进行乘法运算、因式分解。：可以像代数量那样进行乘法运算、因式分解。但是，一般情况下不能约掉但是，一般情况下不能约掉微分算子特性微分算子特性(2)(2)公因子规则公因子规则：含：含p p的有理分式的分子、分母公共因子或算子方的有理分式的分子、分母公共因子或算子方 程两边的公共因子一般不允许消去。程两边的公共
8、因子一般不允许消去。如：如：但是：但是： 上式中，上式中，除非除非x(- )=0 ，否则分母、分子中的，否则分母、分子中的p不能消去。不能消去。微分算子特性微分算子特性【即即】微分、积分次序不能颠倒，两种运算不一定能抵消。微分、积分次序不能颠倒，两种运算不一定能抵消。对于对于n n阶单输入单输出系统阶单输入单输出系统用微分算子表示为：用微分算子表示为：微分方程的算子表示微分方程的算子表示称称D(p)D(p)为系统的特征多项式；称为系统的特征多项式；称D(p)=0D(p)=0为系统的特征方程。为系统的特征方程。写成：写成：微分方程的算子表示微分方程的算子表示H(p)H(p)为系统的传输算子。为系
9、统的传输算子。电路系统微分算子方程的建立电容元件电容元件电感元件电感元件R、L、C元件的算子模型：元件的算子模型：电阻元件电阻元件有了算子，电路微分方程的建立就像代数方程的建立一样方便简单。由电阻、电感、电容的伏安关系，可以得到其算子表示：电路系统微分算子方程的建立电路系统微分算子方程的建立电路系统微分算子方程的建立计算得：计算得：根据电路微分算子运算模型，列写回路方程，得 电路系统微分算子方程的建立电路系统微分算子方程的建立如图所示电路，写出输出电流i(t)和激励 x(t)之间的微分方程象解代数方程组那样，使用克莱姆法则解此方程，得则微分方程可表示为代入元件参数，可得电路系统微分算子方程的建立电路系统微分算子方程的建立考研热身考研热身设理想运算放大器处于线性运用状态，根据KCL可列出等式 将代入上式，得整理得
