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1、 4-1. 结构位移计算目的结构位移计算目的 4-2. 结构的外力虚功和虚变形功结构的外力虚功和虚变形功4-3. 虚功原理虚功原理 4-5. 图乘法及其应用图乘法及其应用4-6. 其他外因引起的位移计算其他外因引起的位移计算4-7. 互等定理互等定理AFP线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移广义位移广义位移广义位移线位移线位移角位移角位移相对线位移相对线位移相对线位移相对线位移CDFP相对角位移相对角位移相对角位移相对角位移制造误差制造误差 等等铁路工程技术规范规
2、定铁路工程技术规范规定:引起结构位移的原因引起结构位移的原因1、 刚度要求刚度要求如：如：荷载、荷载、温度温度改变改变 T、 支座移动支座移动 c、在工程上，在工程上，吊车梁允许的挠度吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1/700 和和1/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。 3、理想联结、理想联结 (Ideal Constraint)。 (2) 超静定、动力和稳定计算超静定、动力和稳定计算(3）施工要求）施工要
3、求叠加原理适用叠加原理适用（principle of superposition)1、 线弹性线弹性 (Linear Elastic),2、 小变形小变形 (Small Deformation),两种状态两种状态力状态力状态位移状态位移状态FPFP /2FP /2（虚）力状态力状态（虚力状态）（虚位移状态）无关无关（虚）位移状态位移状态q注意：注意：（3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关；（2）均为可能状态。即位移应满足）均为可能状态。即位移应满足变变形协调条件形协调条件；力状态应满足；力状态应满足平衡平衡条件条件。 （1）属）属同一同一体系；体系；一些基本概念：一些基本概念
4、：实功：实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功广义力在自身所产生的位移上所作的功功：功：力力力方向位移之总和力方向位移之总和广义力：广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项功的表达式中，与广义位移对应的项虚功：虚功：广义力与广义位移无关时所作的功广义力与广义位移无关时所作的功W=FP/2W=FP111 /2orW=FP222 /2W=FP112orW=FP221变力功变力功微段拉伸微段拉伸微段剪切微段剪切微段弯曲微段弯曲平面杆系结构平面杆系结构k状态微段外力、状态微段外力、m状态的变形为状态的变形为整个平面杆系结构，结构的虚变形功为整个平面杆系结构，结构的虚变形功为微段受力微段受力 Ude
5、=FNkm+FQkm+Mkmds原理的表述：原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和功之和U Udede。也即恒有如下虚功方程成立。也即恒有如下虚功方程成立一、变形体的虚功原理一、变形体的虚功原理Wex = =U Udede 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在
6、虚位移上所作的总虚功位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功Wex,恒恒等于变形体各等于变形体各微段外力微段外力在微段在微段变形位移变形位移上作的虚功之和上作的虚功之和U Udede。变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明:1.1.利用变形连续性条件计算利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 Wex微段外力分微段外力分为两部分为两部分体系外力体系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分体系外力功体系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外
7、力功之和: : Wex =d dWe+ +d dWn =d dWe =We2.2.利用平衡条件计算利用平衡条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 Ude微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分在刚体位移上的功在刚体位移上的功d dWg在变形位移上的功在变形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : Ude =d dWi =Wi微段位移分微段位移分为两部分为两部分刚体位移刚体位移变形位移变形位移故有故有Wex = = Ude成立。成立。几个问题几个问题:1. 虚功原理里存在两个状态：虚功原理里存在两个
8、状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。条件。2. 原理的证明表明原理的证明表明:原理适用于原理适用于任何任何 (线性和非线性线性和非线性)的的变形体变形体，适用于，适用于任何结构任何结构。3. 原理可有两种应用：原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将将平衡问题化为几何问题来求解平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将将位移分析化为平衡问题来求解位移分析化为平衡问题来求解。 Wex=
9、Ude=FNkm+FQkm+Mkmds二、虚功原理的两个运用二、虚功原理的两个运用 1、虚功原理用于、虚功原理用于虚设的虚设的协调位移状态协调位移状态与与实际的实际的平衡力状态平衡力状态之间。之间。例例. 求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。解：去掉解：去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态，构造相应的虚位移状态.ABaC(a)bPX(b)P(c)直线直线待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态虚设协调的位移状态由外力虚功总和为零，即：由外力虚功总和为零，即：将将代入得代入得:通常取通常取单位位移法单位位移法(U
10、nit-Displacement Method)(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关虚位移与实际力状态无关,故可设故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题用几何法来解静力平衡问题例例. 求求 A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c 时引起时引起C点的竖向位移点的竖向位移 . 2、虚功原理用于、虚功原理用于虚设的虚设的平衡力状态平衡力状态与与实际的实际的协协调位移状
11、态调位移状态之间。之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载单位荷载。ABaCbc1ABC由由 求得：求得：解得：解得： 这是这是单位荷载法单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出，故也称为提出，故也称为Maxwell-Mohr Method(1)所建立的所建立的虚功方程虚功方程,实质上是实质上是几何方程几何方程。(2)虚设的力状态与实虚设的力状态与实际位移状态无关，故际位移
12、状态无关，故可设单位广义力可设单位广义力 P=1(3)求解时关键一步是求解时关键一步是找出虚力状态的静力找出虚力状态的静力平衡关系。平衡关系。(4)是用静力平衡法来是用静力平衡法来解几何问题。解几何问题。虚功方程为：虚功方程为：单位位移法单位位移法的虚功方程的虚功方程 平衡方程平衡方程单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程 第一种应用一些文献称为第一种应用一些文献称为“虚位移原理虚位移原理”，而将第二种应用称为而将第二种应用称为“虚力原理虚力原理”。 虚位移原理虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是一个力系平衡的充分必要条件是:对对 任意协调位移任意协调位移,虚功方程成立
13、。虚功方程成立。 虚力原理虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是一个位移是协调的充分必要条件是:对对 任意平衡力系任意平衡力系,虚功方程成立虚功方程成立”。一一.单位荷载法单位荷载法求求k点竖向位移点竖向位移.由变形体虚功方程由变形体虚功方程:变形协调的位移状态(m)平衡的力状态(k)Wex=Ude适用于各种杆件体系适用于各种杆件体系(线性线性,非线性非线性).求求k点竖向位移点竖向位移.适用于线弹性适用于线弹性直杆体系直杆体系,对于由对于由线弹性线弹性直杆直杆组成的结构，有：组成的结构，有：荷载作用下，荷载作用下，m m 换成换成 p p 注：无支座移动注：无支座移动例例 1：已知图示粱的
14、：已知图示粱的E 、G,求求A点的竖向位移。点的竖向位移。解：构造虚设单位力状态解：构造虚设单位力状态.l 对于细长杆对于细长杆,剪切变形剪切变形对位移的贡献与弯曲变对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计形相比可略去不计.位移方向是如位移方向是如位移方向是如位移方向是如何确定的何确定的何确定的何确定的? ?例例 2：求曲梁：求曲梁B点的竖向位移点的竖向位移(EI、EA、GA已知已知)ROBAP解：构造虚设的力状态如图示解：构造虚设的力状态如图示P=1RPR 小曲率杆可利用直杆公式近小曲率杆可利用直杆公式近似计算似计算;轴向变形轴向变形,剪切变形对位剪切变形对位移的影响可略去不计移的影响可略去不计
15、 在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下,不方便不方便. 下面介绍下面介绍计算位移的图乘法计算位移的图乘法.刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：(对于等对于等截面杆截面杆)(对于直杆对于直杆)图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为:图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么什么?图乘法是图乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他当时年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院的的学生学生。例例. 试求图示梁试求图示梁B端转角端转角.解解:MPMk为什么弯矩图在为什么弯矩图在杆件同侧图乘结杆件同侧图乘结果为正果为正?例例. 试求图示结构试求图示结构B点竖向位移
16、点竖向位移.解解:MPMk二次抛物线二次抛物线h图图（ ）图图BAq例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角解解:求求MPMi求求MPMi 当两个图形均当两个图形均为直线图形时为直线图形时,取那取那个图形的面积均可个图形的面积均可.MP求求Mi取取 yc的图形必须是的图形必须是直线直线,不能是曲线不能是曲线或折线或折线.能用能用 Mi图面积乘图面积乘MP图竖标吗图竖标吗?求求MPMi求求MPMi求求C截面竖向位移截面竖向位移MPMi1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线
17、；图中应有一个是直线；（3） 应取自直线图中。应取自直线图中。2. 若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。3. 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. 例例 1. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求A、B两点相对水平位移两点相对水平位移 。lqhqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 例例 2. 已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqllqMP 例例 3. 已知已知 EI 为常数，求
18、为常数，求A点竖向位移点竖向位移 。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图qlllqMP 例例 4. 图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。l/2ql/2MP 例例 4. 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。l/2ql/2MP 例例 4. 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。l/2ql/2MP注：注：C C处剪力不为零。处剪力不为零。lPlPl 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转
19、角 。MP1111对称弯矩图对称弯矩图反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果为零为零.11PP11绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：反弯点的利用。如：求求B点水平位移。点水平位移。解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MPll注意注意:各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 ,并画出变形图。并画出变形图。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
20、解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqlq 已知已知 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图Mi解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求B点水平位移点水平位移,EI=常数。常数。lPllMP1MP解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。lllMP 已知：已知： E、I、A为常数，求为常数，求 。ABCPaD解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图ABCPaDABC1aD若把二力杆换成弹簧若把二力杆换成弹簧,该如何计算该如何计算?B支座处为刚度支座处为刚度k的弹簧，该如何计算的弹簧，该如何计算C点竖向位移？点竖向位移？ABCk=1PABCk有弹簧支座的结构位移计算公式为有弹簧支座的结构位移计算公式为:解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求A点竖向位移点竖向位移,EI=常数常数 。MPlllAkk
