ch1线性代数1ppt课件

《ch1线性代数1ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《ch1线性代数1ppt课件（73页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、线性代数线性代数主讲教师：李永群主讲教师：李永群 电电 话：话：13077373424办公室地点：数学院办公室地点：数学院210室室考试及要求考试及要求2. 期末闭卷考试，总评比例：期末闭卷考试，总评比例：8:23. 平时成绩采取扣分制。平时成绩采取扣分制。1. 本门课共本门课共2.5个学分个学分关于平时分的规定：n一、旷课一、旷课1次扣次扣1分；早退、第二节才来上分；早退、第二节才来上课的算旷课；课的算旷课；n二、旷课超过本学期总课时的二、旷课超过本学期总课时的1/3者，取消者，取消考试资格；考试资格；n三、迟到、说话、睡觉、接打手机每次扣三、迟到、说话、睡觉、接打手机每次扣1分；分；n四、

2、扰乱秩序，扣四、扰乱秩序，扣5分；分；n五、每少交一次作业，扣五、每少交一次作业，扣1分，抄袭作业一分，抄袭作业一次扣次扣2分。分。5. 答疑：每周二下午答疑：每周二下午2:30-5:00在二教一楼休息室。在二教一楼休息室。4. 助教信息：助教信息：班班 级级姓姓 名名电电 话话保学0901-0902，金融0905-0906施会强15874965069国贸0902-0904何井森15974227483李达0903，国硕0901刘端亮13755079897金融0901-0904陈亮13808418046一元一次方程一元一次方程 ax = b 一元二次方程一元二次方程二元二元 、三元线性方程组、三

3、元线性方程组n行列式行列式n矩阵及其运算矩阵及其运算n矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组n向量组的线性相关性向量组的线性相关性n矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量n二次型二次型第一章第一章 行列式行列式1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数3n 阶行列式的定义阶行列式的定义4 4 对换对换5 行列式的性质行列式的性质6 行列式按行列展开行列式按行列展开 7 Cramer 法则法则1 1理解理解n n个元素的全排列及其逆序数的定义。个元素的全排列及其逆序数的定义。2 2理解理解n n阶行列式的定义，熟练掌握行列式的性阶行列式的定义

4、，熟练掌握行列式的性质，会用行列式的有关性质化简、计算行列式。质，会用行列式的有关性质化简、计算行列式。3 3熟练掌握把一般行列式化简为上下三角熟练掌握把一般行列式化简为上下三角形行列式的方法。形行列式的方法。本章学习要求：本章学习要求：对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“理解”、“晓得三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。4 4会求会求n n阶行列式中元素阶行列式中元素 的代数余子式的代数余子式 ，并熟练掌握行列式按某行列展开的方法。，并熟练掌握行列式按某行列展开的方法。5 5能熟练应用克拉默法则判定线

5、性方程组解的能熟练应用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解。存在性、唯一性及求出方程组的解。本章学习要求：本章学习要求：对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“理解”、“晓得三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。一元一次方程一元一次方程 ax = b 当当 a0 时，时，二元二元 （三元线性方程组（三元线性方程组例例 解二元线性方程组解二元线性方程组得得于是于是类似地，可得类似地，可得于是于是1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 线性方程组线性方程组消去消去 x2 ,的两边后的两边后

6、,两式相加得两式相加得消元法消元法记记称它为二阶行列式，称它为二阶行列式，于是，线性方组于是，线性方组1的解可以写为的解可以写为定义为定义为类似地，可得类似地，可得类似的，我们还可以定义三阶行列式为类似的，我们还可以定义三阶行列式为n 阶排列共有阶排列共有 n!个个. 排列的逆序数排列的逆序数 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 把把 1, 2, , n 排成一列，称为一个排成一列，称为一个 n 阶全排列阶全排列. 奇排列奇排列 逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列. 在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有 例例 1 排列排列

7、 1 2 n 称为自然排列，称为自然排列，所以是偶排列所以是偶排列.一个逆序一个逆序.偶排列偶排列 一个排列中所有逆序的总数一个排列中所有逆序的总数.逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列. 它的逆序数为它的逆序数为0 ，三 阶排列共有共有321=3!个个.记为记为 例例 2 排列排列 3 2 5 1 4 的逆序数为的逆序数为 () 例例 3 排列排列 n ( n 1 ) 3 2 1 的逆序数为的逆序数为 ( n (n 1) 3 2 1 ) 排列排列 3 2 5 1 4 为奇排列为奇排列.2200 5 = ( n 1 ) + ( n 2 ) + +2+1 三阶行列式定义为三阶行列式定义为3n 阶

8、行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式是三阶行列式是 3 != 6 项项 的代数和的代数和.123231312132213321 (123)=0 (231)=2 (312)=2 (132)=1 (213)=1 (321)=3三阶行列式可以写成三阶行列式可以写成数数 定义 由 n2 个数组成的数表，称为称为 n 阶行列式阶行列式 ,项的代数和，项的代数和， 即即 规定为所有形如规定为所有形如记成记成数数例例 1简记为：简记为：称为下三角行列式称为下三角行列式 例例2 下三角行列式下三角行列式例例 3 三阶行列式三阶行列式上三角行列式呢？上三角行列式呢？ 例例5 n 阶行列式阶行列式 例例4 四阶行

9、列式四阶行列式经对换经对换 a 与与 b ,得排列得排列 所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性. 4 4 对换对换 对换 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 证 先证相邻对换的情形. 那么那么设排列设排列经对换经对换 a 与与 b排列，得排列排列，得排列 相邻对换 再证一般对换的情形再证一般对换的情形. 设排列设排列事实上，排列事实上，排列1经过经过 2m + 1 次相邻对换变为排列次相邻对换变为排列2）. 定理 2 n 阶行列式也可以定义为根据相邻对换的情形及根据相邻对换的情形及 2m + 1 是奇数，是奇数，性相反性相反.所以这两个

10、排列的奇偶所以这两个排列的奇偶 53142 解解 (5314 2) = 4+2+0+1+0=7 (53412) = 4+2+2+0+0=8 53412求这两个排列的逆序数求这两个排列的逆序数.经对换经对换1与与4 得排列得排列例例 1 排列排列 1. 选择选择 i 与与 k 使使 （12 5 i 1 k 成偶排列成偶排列; （22 5 i 1 k 成奇排列成奇排列.若是，指出应冠以的符号若是，指出应冠以的符号 3.计算计算n 阶行列式阶行列式练习练习行列式中的项行列式中的项. 1.（1i = 4, k = 3时，即排列时，即排列 2 5 4 1 3 为偶排列；为偶排列； （2i = 3, k

11、= 4时，即排列时，即排列 2 5 3 1 4 为奇排列为奇排列. 性质性质 1 5 行列式的性质行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. 设设行列式行列式 DT 称为行列式称为行列式 D 的转置行列式的转置行列式.记记那么那么= 性质 2 推论 两行列相同的行列式值为零. 互换行列式的两行列），行列式变号互换行列式的两行列），行列式变号. 设行列式 D = det (aij ) 互换第 i , j ( i j ) 两行,得行列式 性质 2 的证明其中，当其中，当 k i , j 时时, bkp = akp ;当当 k = i , j 时，时，bip = ajp,

12、bjp = aip , 其中其中, 1i j n 是自然排列是自然排列,所以所以于是于是= D数数 k , 推论 行列式中某一行列的公因子可以提到行列式符号 性质性质 3 等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式 . 行列式的某一行列中的所有元素都乘以同一个行列式的某一行列中的所有元素都乘以同一个外面外面. 例例 3 性质4 式等于零式等于零. 行列式中如果有两行列元素成比例行列式中如果有两行列元素成比例 ，则此行列，则此行列 例例5= 0 若行列式若行列式 的某一列行的元素都是两个元素和的某一列行的元素都是两个元素和 ， 例如例如则此行列式等于两个行列式之和则此行列式等于两个行列式之和 .

13、性质性质 5 例例6 把行列式的某行列的各元素同一倍数后加到另把行列式的某行列的各元素同一倍数后加到另一行列的对应元素上去，一行列的对应元素上去，行列式的值不变行列式的值不变.性质性质 6 r2 - r1= 例例7 例 8 计算行列式 解 r2 - r1, r3 - 3r1 , r4 - r1 例 8 计算行列式 r22 r3 + r2 , r4 - 2r2 r4( -3 ) , r3r4 r4+3r3 例 9 计算行列式 解 从第 4 行开始，后行减前行得， 例 10 计算行列式 解 各行都加到第一行， 各行都减第一行的 x 倍第一行提取公因子第一行提取公因子( a+3x ) 6 行列式按行

14、列展开 在 n 阶行列式 det ( aij ) 中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列 Aij = ( 1 ) i+j Mij 记成记成 Mij , 称为元素称为元素 aij 的余子式的余子式. 称它为元素称它为元素 aij 的代数余子式的代数余子式. 划去划去, 剩下的剩下的( n 1 )2 个元素按原来的排法构成的个元素按原来的排法构成的 n 1 阶行列式阶行列式, 记记 例1 三阶行列式 中元素中元素 a23 的余子式为的余子式为元素元素 a23 的代数余子式的代数余子式为为 例2 四阶行列式 中元素中元素 x 的代数余子式为的代数余子式为= 5 行列式某一行列的元素与另一行

15、列的对应元 或 行列式等于它的任意一行列的各元素与其对应 或的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即素的代数余子式乘积之和等于零素的代数余子式乘积之和等于零. 即即 定理定理 3推论推论 引理 在行列式 D 中，如果它的第 i 行中除 aij 外其余元素都为都为0, 即即 D = aij Aij那么那么 证明证明 先证先证 aij 位于第位于第 1 行，第行，第 1 列的情形，即列的情形，即由行列式的定义，得由行列式的定义，得 再证一般情形，设再证一般情形，设 用互换相邻两行和相邻两列，把用互换相邻两行和相邻两列，把 aij 调到左上角，得行列式调到左上角，得行列式利用前面的结果，得利

16、用前面的结果，得于是于是所以引理成立所以引理成立. 定理 3 行列式等于它的任意一行列的各元素与其对应 证 因为 或的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即椐引理，就得到椐引理，就得到类似地可得类似地可得 例 3 计算四阶行列式 解解 按第按第 1 列展开，有列展开，有例例 4 计算四阶行列式计算四阶行列式解解 按第按第 1 行展开，有行展开，有对等式右端的两个对等式右端的两个 3 阶行列式都按第阶行列式都按第 3 行展开，得行展开，得 解解 c3 - c1 c4 - 2c1 例例 5 计算四阶行列式计算四阶行列式第第1 行提取行提取 2，第，第 2 行提取行提取 1按第按第 2 行展

17、开得行展开得按第按第 1 行展开行展开 r2 + r1= 24c2 - c1 ，c3 - c1 例 6 证明范德蒙Vandermonde ） 行列式证证 用数学归纳法用数学归纳法. 所以当所以当 n=2 时（时（*）式成立）式成立. 假设对于 n 1 阶范德蒙 ri x1ri -1 , i = n , n 1 , 2 ,有有因为因为 对对 n 阶范德蒙行列式做运算阶范德蒙行列式做运算 行列式等式成立行列式等式成立.按第按第 1 列展开后，各列提取公因子列展开后，各列提取公因子( xi - x1 ) 得得椐归纳法假设，可得椐归纳法假设，可得归纳法完成归纳法完成.例例7 计算计算 行列式行列式解解

18、例例7 计算计算 行列式行列式 推论 行列式某一行列的元素与另一行列的对应元 或元素的代数余子式乘积之和等于零元素的代数余子式乘积之和等于零. 即即 先以先以 3 阶行列式为例，例如为了证得阶行列式为例，例如为了证得因为因为所以所以又又 设行列式设行列式 D = det (aij ) ，因为行列式因为行列式 D1中第中第 i 行与第行与第 j 行元素对应相同，行元素对应相同，把行列式把行列式 D1 按第按第 j 行展开，有行展开，有类似地，也可以证明另一个式子类似地，也可以证明另一个式子.所以所以推论的证明推论的证明取行列式取行列式 7 Cramer 法则法则 设线性方程组 定理4 （Cram

19、er 法则 ）若线性方程组1的系数行列式不即即等于零，等于零，其中其中 则方程组有唯一解 证 先证2是1的解，即要证明 为此看 n+1 阶行列式第第1行展开，注意到，其第一行中行展开，注意到，其第一行中 aij 的代数余子式为的代数余子式为首先，因为第首先，因为第 1 行与第行与第 i+1 行相同行相同,所以它的值为零所以它的值为零. 再把它按再把它按故有故有 因而因而 即即是线性方程组是线性方程组1解解. 3 个恒等式A12 , A22 , A32 分别乘以上的分别乘以上的 3 个等式得个等式得相加相加,得得 设 x1= c1 , x2= c2 , x3= c3 是线性方程组1的解,于是有 只证三个未知量的情形。只证三个未知量的情形。类似的可得类似的可得于是于是也就是也就是由于由于 例1 用 Cramer 法则解线性方程组 解 因为所以所以 定理 5 如果齐次线性方程组的系数行列式的系数行列式 D0 ，那么它只有零解，那么它只有零解.下述齐次方程组有非零解？下述齐次方程组有非零解？ 解 根据定理 5 ，若此齐次线性方程组有非零解，则其系所述方程组确有非零解所述方程组确有非零解.行列式必为行列式必为 0 .而而