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1、2.4 等比数列等比数列2021/8/61如果能将一张厚度为如果能将一张厚度为0.050.05mm的报纸对折，的报纸对折，再对折，再对折再对折，再对折依次对折依次对折5050次，你次，你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥？间建一座桥？情境一情境一: :折纸折纸问题情境:2021/8/62对折一次对折二次对折三次对折四次.对对折折 次次对折对折纸的纸的次数次数纸的纸的层数层数 .2021/8/63情境二情境二: :庄子庄子天下篇中写到：天下篇中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”。2021/8/64设设木木棰棰长长度度
2、为为1木棰木棰长度长度第第一一天天取取半半第第二二天天取取半半第第三三天天取取半半第第四四天天取取半半. .第第 天天取取半半2021/8/65观观察察上上述述情情境境中中得得到到的的这这几几个个数数列列，看看有有何共同特点何共同特点? 2, 4, 8, 16, ; 共同特点：共同特点：从从第二项第二项起，每一项与起，每一项与前一项前一项 的的比比都等于都等于同一个常数同一个常数1, 20, 202, 203,； -2, 2, -2, 2, . 2021/8/66讲授新课讲授新课1. 等比数列的定义等比数列的定义: 一般地，若一个数列从一般地，若一个数列从第二项第二项起，每一起，每一项与它的项
3、与它的前一项前一项的的比比等于等于同一个常数同一个常数，这个，这个数列就叫做数列就叫做等比数列等比数列.这个这个常数常数叫等比数列的叫等比数列的公比公比，用字母，用字母q 表示表示. (q0)2021/8/67 2.等比数列定义的符号语言等比数列定义的符号语言:(q为常数，且为常数，且q0 ；n22且且nN*)或或 (q为常数，且为常数，且q0 ；nN*)2021/8/68(1) 1，3，9，27， (3) 5， 5， 5， 5，(4) 1，-1，1，-1，(2) (5) 1，0，1，0， 练练 习习 判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出
4、首项些不是？如果是，写出首项a1 1和公比和公比q, , 如如果不是，说明理由。果不是，说明理由。是是是是是是是是a1=1, q=3a1=5, q=1a1=1, q= -1不不是是2021/8/69(6) 0，0，0，0，(7) 1, a, a2, a3 , (8) x0, x, x2, x3 , (9) 1，2，6，18，不是不是不是不是小结：小结：判断一个数列是不是等比数列，判断一个数列是不是等比数列，主要是由定义进行判断：主要是由定义进行判断：a1=x0, q=x是是不是不是看看 是不是同一个常数？是不是同一个常数？2021/8/610注意：注意：(2)公比公比q一定是由一定是由后项比前
5、项后项比前项所得，而不所得，而不 能用前项比后项来求，且能用前项比后项来求，且q0；(1) 等比数列等比数列an中中, an0；(3)若若q1，则该数列为，则该数列为常数列常数列 (4)(4)常数列常数列 a, a , a , a , 时时, ,既是等差数列，又是等比数列既是等差数列，又是等比数列;时时, ,只是等差数列，而不是等比数列只是等差数列，而不是等比数列. .2021/8/611思考：思考：如果在如果在a与与b的中间插入一个数的中间插入一个数G，使，使a, G, b成等比数列，那么成等比数列，那么G应该满足什么条件？应该满足什么条件？反之，若反之，若即即a,G,b成等比数列成等比数列
6、.a, G, b成等比数列成等比数列则则(ab0) 分析：分析：由由a, G, b成等比数列得：成等比数列得： (ab0) 2021/8/612 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a, G，b成等比数列，那么称这个数成等比数列，那么称这个数G为为a与与b的的等比中项等比中项. 3.等比中项：等比中项：即：即： 注意：注意：若若a，b异号则无等比中项异号则无等比中项,若若a，b同号则有两个等比中项同号则有两个等比中项.2021/8/613湖南省长沙市一中卫星远程学校练习练习：2021/8/614湖南省长沙市一中卫星远程学校一、等比数列的通项公式一、等比数列的通项公式: :
7、递推法递推法2021/8/615湖南省长沙市一中卫星远程学校等比数列的通项公式：叠乘法等比数列的通项公式：叠乘法 等比数列注：等比数列注：（1 1）等比数列的首项不为）等比数列的首项不为0 0； （2 2）等比数列的每一项都不为）等比数列的每一项都不为0 0，即，即 （3 3） q=1 q=1时，时，anan为常数列；为常数列；2021/8/616 以以a1为首项，为首项，q为公比的等比数列为公比的等比数列an的通的通项公式为：项公式为：4.等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：5.5.等比数列通项公式的推广：等比数列通项公式的推广：7.7.等比数列通项公式的应用：知三求一等比数列通项公式的
8、应用：知三求一6.6.等比数列的公比公式：等比数列的公比公式：2021/8/617湖南省长沙市一中卫星远程学校 例、一个等比数列的第例、一个等比数列的第3项与第项与第4项分别是项分别是12与与18,求它的第求它的第1项与第项与第2项项. 解：设这个等比数列的第解：设这个等比数列的第1项是项是 ,公比是公比是q ，那么，那么解得，解得， ， 因此因此 答：这个数列的第答：这个数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是 与与 8.2021/8/618湖南省长沙市一中卫星远程学校课堂互动课堂互动（2 2）一个等比数列的第）一个等比数列的第2 2项是项是10,10,第第3 3项是项是20,20,求它的第
9、求它的第1 1项与第项与第4 4项项. .(1)(1)一个等比数列的第一个等比数列的第5 5项是项是 , ,公比是公比是 ，求它的第，求它的第1 1项；项；解得，解得，答：它的第一项是答：它的第一项是36 .解：设它的第一项是解：设它的第一项是 ，则由题意得，则由题意得解：设它的第一项是解：设它的第一项是 ，公比是，公比是 q ，则由题意得，则由题意得答：它的第一项是答：它的第一项是5，第，第4项是项是40.，解得解得，因此因此2021/8/619练习：练习： 求下列各等比数列的通项公式：求下列各等比数列的通项公式：(1) a15, 且且2an13an .2021/8/620课堂小结课堂小结等
10、比数列等比数列名称名称等差数列等差数列概念概念常数常数通项通项公式公式1通项通项公式公式2中项中项从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的差差等于等于同一个常数同一个常数公差公差(d )d 可正、可负、可零可正、可负、可零从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的比比等于等于同一个常数同一个常数公比公比(q )q可正、可负、可正、可负、不可零不可零2021/8/621精讲精练、创新精讲精练、创新课后作业课后作业已知等差数列已知等差数列an的公差为的公差为2,若若a1,a3,a4成成等比数列等比数列,求求a2=？2021/8/622湖南省长沙市一中卫星远程学校练习练
11、习在等比数列在等比数列an中，中， 且且q=2，求，求a1和和n.2021/8/623湖南省长沙市一中卫星远程学校A练习练习:2021/8/624湖南省长沙市一中卫星远程学校若数列若数列an的首项是的首项是a1=1,公比公比q=2,则用通项公式表示是：则用通项公式表示是：an=2 n1上式还可以写成上式还可以写成可见，表示这个等比数列可见，表示这个等比数列的各点都在函数的各点都在函数 的图象上，如右图所示。的图象上，如右图所示。 0 1 2 3 4 nan87654321通项公式法通项公式法:an= bcn2021/8/625湖南省长沙市一中卫星远程学校判断等比数列的方法判断等比数列的方法:1
12、、(定义法定义法)利用利用an / an-1是否是一个与是否是一个与n无关的常数无关的常数2、(通项公式法通项公式法)判断判断an= bcn (bc 0 为常数为常数)2021/8/626湖南省长沙市一中卫星远程学校例、例、有三个数成等比数列，若它们的积有三个数成等比数列，若它们的积等于等于64，和等于，和等于14，求此三个数？，求此三个数？注意：注意：等比数列中若三个数成等比数列，可以设为等比数列中若三个数成等比数列，可以设为 练习：已知三个数成等比数列，它们的积为练习：已知三个数成等比数列，它们的积为2727， 它们的立方和为它们的立方和为8181，求这三个数。，求这三个数。2021/8/
13、627湖南省长沙市一中卫星远程学校例、例、有四个数，若其中前三个数成等比数列，有四个数，若其中前三个数成等比数列，它们的积等于它们的积等于216，后三个数成等差数列，它们，后三个数成等差数列，它们的和等于的和等于12，求此四个数？，求此四个数？注意：注意：等比数列中若四个数成等比数列，等比数列中若四个数成等比数列，不能不能设为设为 因为这种设法表示公比大于零！因为这种设法表示公比大于零！练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是，第
14、二个数与第三个数的和是12，求这四个数。，求这四个数。可以设这可以设这四个数为四个数为a,b,c,d15,9,3,1或或0,4,8,162021/8/628某种放射性物质不断变化为其他物质，每经某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物这种物质的质的半衰期半衰期为多长为多长(精确到精确到1年年)？放射性物质衰变放射性物质衰变到原来的一半所到原来的一半所需时间称为这种需时间称为这种物质的半衰期物质的半衰期2021/8/6292021/8/630湖南省长沙市一中卫星远程学校1.等差数列等差数列：银行利息按单利计算（利息没有利息）本利
15、和=本金（1+利率存期）例如：存入10000元，利率为0.72%存期年初本金年末本利和（元）结果第一年1000010000（1+0.7251）10072第二年1000010000（1+0.7252）10144第三年1000010000（1+0.7253）10216第四年1000010000（1+0.7254）10288特点：每一项与前一项的差是同一个常数2021/8/631湖南省长沙市一中卫星远程学校2.等比数列：银行利息按复利计算（利滚利）本金和=本金（1+利率）存期存期年初本金年末本利和（元）第一年1000010000（1+1.98%）1第二年100001.019810000（1+1.98
16、%）2第三年100001.0198210000（1+1.98%）3第四年100001.0198310000（1+1.98%）4例如：存入10000元，利率为1.98%特点：后一顶与前一项的比是同一个常数2021/8/632湖南省长沙市一中卫星远程学校2021/8/633湖南省长沙市一中卫星远程学校结论：如果是项数相同的等结论：如果是项数相同的等比数列，那么也是等比数列比数列，那么也是等比数列 证明：设数列证明：设数列 的公比为的公比为p， 的公比为的公比为q，那么数列，那么数列 的第的第n项与第项与第n+1项分项分别为别为 与与 ，即，即 与与 因为因为它是一个与它是一个与n无关的常数，所以是
17、一个以无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列为公比的等比数列 特别地特别地，如果是如果是 等比数列，等比数列，c是不等是不等于的常数，那么数列于的常数，那么数列 也是等比数列也是等比数列2021/8/634湖南省长沙市一中卫星远程学校探究探究对于例中的等比数列与，数列也一定是等比数列吗？是2021/8/635湖南省长沙市一中卫星远程学校a a若若aan nbbn n 是项数相同的等比数列，是项数相同的等比数列，都是等比数列都是等比数列则则aan nb bn n 和和b b若若aan n 是等比数列，是等比数列，c c是不等于是不等于0 0的常数，的常数， 那么那么cacan n 也是等比
18、数列也是等比数列等比数列的性质2021/8/636湖南省长沙市一中卫星远程学校性质 : 在等比数列 中， 为公比， 若 且那么： 等比数列的性质推论: 在等比数列 中， 为公比， 若 且那么： 特殊地特殊地: 2021/8/637湖南省长沙市一中卫星远程学校小组展示任务分配表小组展示任务分配表典型例题：典型例题：除除2021/8/638湖南省长沙市一中卫星远程学校小组展示任务分配表小组展示任务分配表典型例题：典型例题：变式、在变式、在160160与与5 5中间插入中间插入4 4个数，使它们同这两个数成个数，使它们同这两个数成等比数列等比数列2021/8/639湖南省长沙市一中卫星远程学校小组展
19、示任务分配表小组展示任务分配表典型例题：典型例题：变式、在变式、在160160与与5 5中间插入中间插入4 4个数，使它们同这两个数成个数，使它们同这两个数成等比数列等比数列2021/8/640湖南省长沙市一中卫星远程学校小组展示任务分配表小组展示任务分配表典型例题：典型例题：例例2 2、已知数列、已知数列 的通项公式为的通项公式为 , ,试问这个数试问这个数列是列是等比数列吗？为什么？等比数列吗？为什么？2021/8/641湖南省长沙市一中卫星远程学校小组展示任务分配表小组展示任务分配表典型例题：典型例题：例例2 2、已知数列、已知数列 的通项公式为的通项公式为 , ,试问这个数试问这个数列是等比数列吗？为什么？列是等比数列吗？为什么？2021/8/642
