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1、一、三重积分的概念一、三重积分的概念二、重积分的计算二、重积分的计算三、三重积分的换元三、三重积分的换元四、简单应用四、简单应用1一、三重积分的概念一、三重积分的概念设三元函数设三元函数 在有界闭体在有界闭体V V有定义，有定义，用分法用分法T T将将V V分成分成n n个小体个小体设它们的体积分别是设它们的体积分别是 , ,在小体在小体上任取一点上任取一点作和作和称为函数称为函数 在体在体V V的积分和。的积分和。 令令2若当若当 时，三元函数时，三元函数 在在V V的积分和存在极限的积分和存在极限J(J(数数J J与分法与分法T T无关，也与无关，也与点点 的取法无关的取法无关) )，即，
2、即则称函数则称函数 在体在体V V可积，可积，J J是函数是函数在体在体V V的的三重积分三重积分，记为，记为或或 3其中其中V V称为称为积分区域积分区域， 称为称为被积函被积函 数数, ,dV dV 或或dxdydzdxdydz称为称为体积微元体积微元。三重积分的几何意义三重积分的几何意义设被积函数设被积函数则区域则区域V V 的体积为的体积为设有界体设有界体 上每一点的密度是上每一点的密度是则则 的质量为的质量为4二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分设积分区域设积分区域V为为5如如 图，图，过点过点闭区域闭区域V
3、 V在在xoyxoy平面的投影为闭区域平面的投影为闭区域D.D.6再计算再计算得得则则注注相交不多两点情形相交不多两点情形. .7表示当表示当 固定时固定时, ,对对 积分积分, , 的变化由的变化由 到到其次其次, ,当当 固定时固定时, ,对对 积分积分. .即即8最后对最后对 积分积分, ,的变化从的变化从 到到 .即即的变化从的变化从 到到 . .9x0z yz=z2(x,y)I =P Dz=z1(x,y)这就化为一个这就化为一个定积分和一个定积分和一个二重积分的运算二重积分的运算10例例1 1 计算平面计算平面 与与所围成的四面体的体积所围成的四面体的体积. .例例2 2 计算三重积
4、分计算三重积分，上半椭球体：上半椭球体：其中是其中是11z =0y = 0x =00y xV：平面平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域所围成的区域x0z y11DxyDxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 围成围成1例例3 3 计算三重积分计算三重积分x + 2y + z =1DxyI =解解12 2. 2.截面法截面法( (红色部分红色部分) )(1)(1)投影投影, ,得投影区间得投影区间(2)(2)(3)(3)计算二重积分计算二重积分(4)(4)最后计算单积分最后计算单积分即即13 Dz.bc=例例4 计算计算x0yzD0az14三
5、三. . 三重积分换元法三重积分换元法定定理理若三元函数若三元函数 在有界闭体在有界闭体 连续连续, ,则三重积分则三重积分 存在存在. .设函数组设函数组在在 空间有界闭体空间有界闭体 有定义有定义. .若满足若满足下列条件下列条件: :151) 1) 函数函数所有的偏导数在所有的偏导数在 连续连续; ;2) 2) 16则有三重积分的换元公式则有三重积分的换元公式3)3)函数组函数组(1)(1)将将 空间中的空间中的 一一对一一对应地变换为应地变换为 空间中的空间中的 . .17例例5 5计算六个平面计算六个平面所围成的平行六面体所围成的平行六面体V V的体积，其中的体积，其中是常数，且是常数，且18例例6 6 计算计算 其中其中 是由曲面是由曲面所围成的区域所围成的区域. .解解 作变换作变换19而而由公式由公式, ,20已知椭球已知椭球V: 内点内点(x,y,z)处质处质量的体密度为量的体密度为: 求椭球的质量求椭球的质量.21
