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1、大桥上的钢梁和钢索大桥上的钢梁和钢索窗户窗户棋盘上的横线和竖线棋盘上的横线和竖线 生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁。在大自生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁。在大自生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁。在大自生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁。在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线。行线。行线。行线。 在这一章里，我们将发现相交线和平行线的一些在这一章里，我们将发现相交线和平行线的一些在这一章里，我们将发现相交线和平行线的一
2、些在这一章里，我们将发现相交线和平行线的一些特征，并探索两条直线平行的条件。我们还将利用圆特征，并探索两条直线平行的条件。我们还将利用圆特征，并探索两条直线平行的条件。我们还将利用圆特征，并探索两条直线平行的条件。我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案！规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案！规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案！规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案！让我们一起进入第让我们一起进入第一节课的学习吧！一节课的学习吧！余角与补角余角与补角 反射角反射角反射角反射角= =入射角入射角入射角入射角入入入入射射射射角角角角反反反反射射射射角角角角入射光线
3、入射光线入射光线入射光线反射光线反射光线反射光线反射光线法线法线法线法线学习目标学习目标1、在具体情境中认识余角和补角的概念，并会运用解题； 2、经历观察、操作、探究、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力和有条理的表达能力； 3、体验数学知识的发生、发展过程，敢于面对数学活动中的困难，建立学好数学的信心。 我们将上述光的反射图形抽象为几何图形。我们将上述光的反射图形抽象为几何图形。我们将上述光的反射图形抽象为几何图形。我们将上述光的反射图形抽象为几何图形。 你能说出图中的各个角与你能说出图中的各个角与你能说出图中的各个角与你能说出图中的各个角与3 3 3 3都有怎样的关系吗
4、？都有怎样的关系吗？都有怎样的关系吗？都有怎样的关系吗？ 与同伴交流一下！与同伴交流一下！与同伴交流一下！与同伴交流一下！1 14 42 2C C3 3A AD DB BE EF F入入入入射射射射角角角角反反反反射射射射角角角角因为因为因为因为BDEFBDEFBDEFBDEF所以所以所以所以3 3+ + + + 1=901=900 01 14 42 2C C3 3A AD DB BE EF F又因为又因为又因为又因为1=21=21=21=2所以所以所以所以3 3+ + + + 2=902=900 0如果两个角的和为如果两个角的和为如果两个角的和为如果两个角的和为直角，则称这两个直角，则称这两
5、个直角，则称这两个直角，则称这两个角互为余角。角互为余角。角互为余角。角互为余角。3 3+ + + + 1 1 1 1=90=903+ 3+ 2 =90 2 =900 00 01 14 42 2C C3 3A AD DB BE EF F1 14 42 2C C3 3A AD DB BE EF F因为因为因为因为ABF=90 + ABF=90 + 1 10 03+ 3+ ABF=180ABF=1800 0 而而而而2= 2= 1 1所以所以所以所以ABF=90 + ABF=90 + 2 2 = = CBECBE0 0即即即即3+ 3+ CBE=180CBE=1800 01 14 42 2C C3
6、 3A AD DB BE EF F3+ 3+ ABF=180ABF=1803+ 3+ CBE=180CBE=1800 00 0如果两个角的和为如果两个角的和为如果两个角的和为如果两个角的和为平角，则这两个角平角，则这两个角平角，则这两个角平角，则这两个角互为补角。互为补角。互为补角。互为补角。1. 1. 1. 1. 在本图中，还有哪些角在本图中，还有哪些角在本图中，还有哪些角在本图中，还有哪些角 互为余角？互为补角？互为余角？互为补角？互为余角？互为补角？互为余角？互为补角？互余的角有：互余的角有：互余的角有：互余的角有： 1 1 1 1与与与与3 3 3 3，2 2 2 2与与与与3 3 3
7、 3， 1 1 1 1与与与与4 4 4 4，2 2 2 2与与与与4.4.4.4.互补的角有：互补的角有：互补的角有：互补的角有： 3 3 3 3与与与与ABFABFABFABF，4 4 4 4与与与与CBECBECBECBE， 3 3 3 3与与与与CBECBECBECBE，4 4 4 4与与与与ABF.ABF.ABF.ABF.1 14 42 2C C3 3A AD DB BE EF F2. 2. 2. 2. 图中都有哪些相等的角？图中都有哪些相等的角？图中都有哪些相等的角？图中都有哪些相等的角？ 为什么？由此你能得到什么结论？为什么？由此你能得到什么结论？为什么？由此你能得到什么结论？为
8、什么？由此你能得到什么结论？答：答：答：答：1=21=21=21=2等角的余角相等等角的余角相等等角的余角相等等角的余角相等因为因为因为因为1= 1= 2 2 1+ 1+3=90 , 3=90 , 2+ 2+4=904=90 所以所以所以所以 3=3=4 40 00 01 14 42 2C C3 3A AD DB BE EF F 3=43=43=43=4同角的余角相等同角的余角相等同角的余角相等同角的余角相等还有相等的还有相等的角吗？角吗？等角的补角相等等角的补角相等等角的补角相等等角的补角相等 理由如下：理由如下：理由如下：理由如下： 因为因为因为因为3= 43= 43= 43= 4 ABF
9、+3=180 ,CBE+4=180 ABF+3=180 ,CBE+4=180 ABF+3=180 ,CBE+4=180 ABF+3=180 ,CBE+4=180 所以所以所以所以 ABF=CBEABF=CBEABF=CBEABF=CBE0 00 01 14 42 2C C3 3A AD DB BE EF FABF=CBEABF=CBEABF=CBEABF=CBE同角的补角相等同角的补角相等同角的补角相等同角的补角相等（1 1 1 1）30 30 30 30 ，70 70 70 70 与与与与80 80 80 80 的和为平角，所以这三个角互余（的和为平角，所以这三个角互余（的和为平角，所以这三
10、个角互余（的和为平角，所以这三个角互余（ ）（2 2 2 2）一个角的余角必为锐角。）一个角的余角必为锐角。）一个角的余角必为锐角。）一个角的余角必为锐角。 （ ）（3 3 3 3）一个角的补角必为钝角。）一个角的补角必为钝角。）一个角的补角必为钝角。）一个角的补角必为钝角。 （ ）（4 4 4 4）90 90 90 90 的角为余角。的角为余角。的角为余角。的角为余角。 （ ）（5 5 5 5）两角是否互补与其位置有关（）两角是否互补与其位置有关（）两角是否互补与其位置有关（）两角是否互补与其位置有关（ ）0 0 互余与互补是指互余与互补是指互余与互补是指互余与互补是指两个角两个角两个角两个
11、角之间的之间的之间的之间的数量数量数量数量关系关系关系关系，与它们的位，与它们的位，与它们的位，与它们的位置关系无关。置关系无关。置关系无关。置关系无关。判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确0 00 00 0 用剪子剪东西时，哪对角同时变大用剪子剪东西时，哪对角同时变大用剪子剪东西时，哪对角同时变大用剪子剪东西时，哪对角同时变大或变小？你能说明理由吗？或变小？你能说明理由吗？或变小？你能说明理由吗？或变小？你能说明理由吗？在图中，还有相等的角吗？这几组相在图中，还有相等的角吗？这几组相在图中，还有相等的角吗？这几组相在图中，还有相等的角吗？这几组相等
12、的角在位置上有什么样的关系，你等的角在位置上有什么样的关系，你等的角在位置上有什么样的关系，你等的角在位置上有什么样的关系，你能试着描述一下吗？能试着描述一下吗？能试着描述一下吗？能试着描述一下吗？1+1+AOC=180 AOC=180 2+AOC=1802+AOC=1802+AOC=1802+AOC=180 1= 1=2(2(同角的补角相等）同角的补角相等）同角的补角相等）同角的补角相等）0 00 01 12 2A AD DC CB BOO性质：性质：性质：性质： 对顶角相等对顶角相等对顶角相等对顶角相等 像像像像 1 1 1 1与与与与2 2 2 2， AOCAOCAOCAOC与与与与BO
13、DBODBODBOD一一一一样，两个角有公共的顶点，且一个角的样，两个角有公共的顶点，且一个角的样，两个角有公共的顶点，且一个角的样，两个角有公共的顶点，且一个角的两边是另一角两边的延长线，这两个角两边是另一角两边的延长线，这两个角两边是另一角两边的延长线，这两个角两边是另一角两边的延长线，这两个角互为互为互为互为对顶角对顶角对顶角对顶角。1 12 2A AD DC CB BOO构成要素：构成要素：构成要素：构成要素：1.1.1.1.有公共的顶点，有公共的顶点，有公共的顶点，有公共的顶点，2.2.2.2.一个角的一个角的一个角的一个角的两边是另一角两边的延长线两边是另一角两边的延长线两边是另一
14、角两边的延长线两边是另一角两边的延长线 1.1.你能举出生活中包含对顶角的例子吗？你能举出生活中包含对顶角的例子吗？巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习2.2.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由。BOAOC12C图（1）DBAOC12图（2）A1324BDCO图(3) 如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？400 0
15、方法一：可利用对顶角相等得出。方法一：可利用对顶角相等得出。方法二：可利用补角得出。方法二：可利用补角得出。议一议议一议议一议议一议a ab b）（1 13 34 42 2）（1 1、如图、如图, ,直线直线a a、b b相交，相交，1=401=40, ,求求 2 2、3 3、 4 4的度数。的度数。（对顶角相等）（对顶角相等）3=11=40（ ）已知已知3=40解：解：（等量代换）（等量代换）2=1801=1404=2=140（对顶角相等）（对顶角相等）（补角的定义）（补角的定义）随堂检测随堂检测a ab b1 12 23 34 4变式变式1 1：若：若2 2是是1 1的的3 3倍，求倍，求
16、3 3的度数？的度数？变式变式2 2：若：若2-1=402-1=40, , 求求4 4的度数？的度数？答案：1. 45度2. 1102. 110度度 a ab b1 12 23 34 42.2.两两条条直直线线相相交交得得4 4个个角角，其其中中一一个个角角是是9090，其余各角是多少度？，其余各角是多少度？答案.90度3.3.如图所示，三条直线如图所示，三条直线ABAB、CDCD、EFEF相交于点，相交于点，1 10 0, 2=75, 2=75, ,则则3 3等等于多少度于多少度? ?ABCDE23OF答案：.65度14.如图如图1，直线，直线AB、CD交交EF于点于点G、H，2=3，1=7
17、0度。求度。求4的度数。的度数。解：解：2= （ ） 1=70 （ ） 2= （等量代换）（等量代换） 又又 （已知）（已知） 3= （ ） 4=180 = （ 的定义）的定义）ACDBEFGH1234图11对顶角相等对顶角相等已知已知702=370 等量代换等量代换3110 补角补角1. 1. 1. 1. 你玩过你玩过你玩过你玩过“ “抓老鼠抓老鼠抓老鼠抓老鼠” ”的游戏吗？游戏是：一个小伙伴的游戏吗？游戏是：一个小伙伴的游戏吗？游戏是：一个小伙伴的游戏吗？游戏是：一个小伙伴将照射到室内的光线（图中将照射到室内的光线（图中将照射到室内的光线（图中将照射到室内的光线（图中DODODODO）用平
18、面镜反射到墙上，另）用平面镜反射到墙上，另）用平面镜反射到墙上，另）用平面镜反射到墙上，另一个小伙伴去抓射到墙上的影子（图中一个小伙伴去抓射到墙上的影子（图中一个小伙伴去抓射到墙上的影子（图中一个小伙伴去抓射到墙上的影子（图中OEOEOEOE），平面镜移动，），平面镜移动，），平面镜移动，），平面镜移动，影子也随之移动，这里的影子也随之移动，这里的影子也随之移动，这里的影子也随之移动，这里的1=21=21=21=2，它们是对顶角吗？，它们是对顶角吗？，它们是对顶角吗？，它们是对顶角吗？1 1 1 1和和和和BOCBOCBOCBOC呢？你能说出图中与呢？你能说出图中与呢？你能说出图中与呢？你能说
19、出图中与1 1 1 1相等的角吗？相等的角吗？相等的角吗？相等的角吗？C C墙墙墙墙镜子镜子镜子镜子太阳光太阳光太阳光太阳光反射光线反射光线反射光线反射光线A AD DOOB BE E1 12 2 2. 2. 2. 2. 你知道吗？打台球的游戏中，你知道吗？打台球的游戏中，你知道吗？打台球的游戏中，你知道吗？打台球的游戏中，台球击到桌沿又反弹回来的路线，台球击到桌沿又反弹回来的路线，台球击到桌沿又反弹回来的路线，台球击到桌沿又反弹回来的路线，就象光的反射定律中入射光线与反就象光的反射定律中入射光线与反就象光的反射定律中入射光线与反就象光的反射定律中入射光线与反射光线的路线是一样的。射光线的路线
20、是一样的。射光线的路线是一样的。射光线的路线是一样的。 下图中是一个经过改造的台球下图中是一个经过改造的台球下图中是一个经过改造的台球下图中是一个经过改造的台球桌面示意图，图中的阴影为桌面示意图，图中的阴影为桌面示意图，图中的阴影为桌面示意图，图中的阴影为6 6 6 6个袋个袋个袋个袋孔，如果一球按图示方向击出去，孔，如果一球按图示方向击出去，孔，如果一球按图示方向击出去，孔，如果一球按图示方向击出去，最后落入哪几个袋孔？最后落入哪几个袋孔？最后落入哪几个袋孔？最后落入哪几个袋孔？1234561.1.1.1.余角、补角、对顶角的概念：余角、补角、对顶角的概念：余角、补角、对顶角的概念：余角、补
21、角、对顶角的概念：（1 1） 和为直角的两个角互为余角；和为直角的两个角互为余角；（2 2） 和为平角的两个角互为补角；和为平角的两个角互为补角；（3 3）两个角有公共的顶点，且一个角的两边是两个角有公共的顶点，且一个角的两边是两个角有公共的顶点，且一个角的两边是两个角有公共的顶点，且一个角的两边是另一角两边的延长线，这两个角互为对顶角另一角两边的延长线，这两个角互为对顶角另一角两边的延长线，这两个角互为对顶角另一角两边的延长线，这两个角互为对顶角2.2.2.2.余角、补角、对顶角的性质：余角、补角、对顶角的性质：余角、补角、对顶角的性质：余角、补角、对顶角的性质：（1 1） 同角或等角的余角
22、相等；同角或等角的余角相等；（2 2） 同角或等角的补角相等；同角或等角的补角相等；互余与互补只与互余与互补只与互余与互补只与互余与互补只与角的角的角的角的数量有关数量有关数量有关数量有关，与位置无关与位置无关与位置无关与位置无关。而。而。而。而对顶角是根据角对顶角是根据角对顶角是根据角对顶角是根据角的的的的位置位置位置位置来判断的来判断的来判断的来判断的（3 3） 对顶角相对顶角相等。等。当堂训练当堂训练1.已知已知1=30，则，则l的余角度数是的余角度数是 ( ) A.160 B.150 C.700 D.602.若若a=60，那么，那么a的补角是的补角是 . 3.一个角的补角比这个角大一个角的补角比这个角大90，则这个角等，则这个角等于于 .4.已知一个角的补角比这个角的余角的已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大倍大10度，求这个角的补角的度数度，求这个角的补角的度数.5.已知两角之比为7 ：3，它们的差为72，求这两个角的度数.它们之间有什么关系?
