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1、2.3.2 平面与平面平面与平面 垂直的判定垂直的判定 复复习习回回顾顾 两直两直线线所成角的取所成角的取值值范范围围： oo 0 , 90 直直线线和平面所成角的取和平面所成角的取值值范范围围： 0 o, 90o 平面的平面的斜斜线线和平面和平面 所成的角的取所成的角的取值值范范围围： oo ( 0 , 90 ) O ? ?1 ? ? A B 1.1.在平面几何中在平面几何中 角角 是怎样定义的？是怎样定义的？ 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或或: : 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。 2.在立体
2、几何中在立体几何中, ,异面直线所成的角异面直线所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？ 直线直线a、b是异面直线是异面直线,在空间任选一点在空间任选一点O,分别引分别引直线直线a /a, b/ b,我们把相交直线我们把相交直线a 和和 b所成的所成的锐角锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。（或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中在立体几何中, ,直线和平面所成的角直线和平面所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, , 叫叫做这条直线和这个平面所成的角。做这条直线和这个平面所成的角。 问题问题: :
3、异面直线所成的角、直线和平面所成异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？的角有什么共同的特征？ 结论结论: :它们的共同特征都是将三维空间的角它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角转化为二维空间的角, ,即平面角。即平面角。 二面角二面角 1 1 半平面定义半平面定义 半平面半平面: : 平面的一条直线把平面分平面的一条直线把平面分 为为两两部分，其中的每一部部分，其中的每一部 分都叫做一个分都叫做一个半平面半平面。 l 2二面角的定义二面角的定义 从一条直从一条直线线出出发发的两个半平面所的两个半平面所组组 成的成的图图形叫做形叫做二面角二面角，这这条直条直线线叫做
4、叫做二二 面角的棱面角的棱，每个半平，每个半平 面叫做面叫做二面角的面二面角的面 棱棱为为l，两个面分，两个面分 别为别为? ?、? ?的二面角的二面角记记 l ? ? 为为 ? ?-l-? ? ? ? 你从图中看出了二你从图中看出了二O 面角的几种写法面角的几种写法? 二二面面角角的的认认识识B AOB A 二面角二面角? ?AB ? ? A C 二面角二面角CAB D B D ? ? B ? ? ? ? l 二面角二面角? ? l ? ? ? ? A ? ? ? ? 3画二面角画二面角 平卧式：平卧式： ? ? l ? ? A ? ? 直立式：直立式： A l ? ? B B A l B
5、? ? ? ? 4二面角的大小二面角的大小 怎怎样样度量二面角的大小？能否度量二面角的大小？能否转转化化为为两相交两相交直直线线所成的角？所成的角？ l ? ? ? ? 4二面角的大小二面角的大小 怎怎样样度量二面角的大小？能否度量二面角的大小？能否转转化化为为 两相交两相交直直线线所成的角？所成的角？ 在二面角在二面角? ?-l-? ?的的 B l 棱棱l上上任取任取一点一点O，如，如 O 图图，在半平面，在半平面 ? ? 和和 ? ? A ? ? 内，从点内，从点 O 分分别别作垂作垂 直于棱直于棱 l 的射的射线线OA、 ? ? OB，射，射线线OA、OB组组成成AOB则则 AOB 叫叫
6、做做二面角二面角 ? ?-l-? ? 的平面角的平面角 4二面角的大小二面角的大小 怎怎样样度量二面角的大小？能否度量二面角的大小？能否转转化化为为 两相交两相交直直线线所成的角？所成的角？ B l 在二面角在二面角? ?-l-? ?的的 O B1 棱棱l上上任取任取一点一点O，如，如 A ? ? 图图，在半平面，在半平面 ? ? 和和 ? ? O1 A1 内，从点内，从点 O 分分别别作垂作垂 直于棱直于棱 l 的射的射线线OA、 ? ? OB，射，射线线OA、OB组组成成AOB则则 AOB 叫叫做做二面角二面角 ? ?-l-? ? 的平面角的平面角 AOB的大小一定的大小一定 4二面角的大
7、小二面角的大小 二面角的大小可以用它的二面角的大小可以用它的平面角平面角来来 度量即二面角的平面角是多少度，就度量即二面角的平面角是多少度，就 A 说这说这个二面角是多少度个二面角是多少度 二面角的两个面重合：二面角的两个面重合： 0 ； o 二面角的两个面合成一个平面：二面角的两个面合成一个平面：180； B o二面角的范二面角的范围围： 0 , 180 oo 平面角是直角的二面角叫平面角是直角的二面角叫直二面角直二面角 O 二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足 ： 二二面面角角的的平平面面角角1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 3）角
8、的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱 ? ? A ? A O ? l O B ? ? B 10 哪个对哪个对?怎么画才对怎么画才对? 归纳：求二面角大小的步骤为：归纳：求二面角大小的步骤为： （1 1）找出或作出二面角的平面角；）找出或作出二面角的平面角； （2 2）证明其符合定义）证明其符合定义(垂直于棱垂直于棱)； （3 3）计算）计算. . 问题：问题： 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？ 5. 平面与平面垂直平面与平面垂直 两个平面相交，如果它两个平面相交，如果它们们所成的二所成的二 面角是直二面角，就面角是直二面角，就说这说这两个平面互
9、相两个平面互相 垂直垂直. 平面平面? ?与与? ?垂直，垂直，记记作作? ? ?. ? ? ? ? ? ? ? ? 猜想：猜想： 如果一个平面经过了另一如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直个平面互相垂直. 面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直条垂线，那么这两个平面互相垂直 l ?l符号表示：符号表示： ? ? ? ? B l ? ? ? A 线线线线垂直垂直 线面线面垂直垂直 C D 面面面面垂直垂直 例例1 如如图图，AB是是O的直径，的直径，
10、PA垂直于垂直于 O所在的平面，所在的平面，C是是圆圆周上不同于周上不同于A, B 的任意一点，求的任意一点，求证证：平面：平面PAC平面平面PBC. P C A O B 例例1 如如图图，AB是是O的直径，的直径， PA垂直于垂直于 O所在的平面，所在的平面，C是是圆圆周上不同于周上不同于A, B 的任意一点，求的任意一点，求证证：平面：平面PAC平面平面PBC. 线线垂直线线垂直 P 线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直 A C O B 练习练习1：教材教材P69探究探究 (1) 四个面的形状怎四个面的形状怎样样？ (2) 有哪些直有哪些直线线与平面垂直？与平面垂直？ (3) 任意两个平面所
11、成的二面角的平面角任意两个平面所成的二面角的平面角 如何确定？如何确定？ A B C D 课课堂堂练习练习： 一、判断：一、判断： 1.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面 内的一条直线，则内的一条直线，则.（ ） 2.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面 内的两条直线，则内的两条直线，则.（ ） 3. 如果平面如果平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面 内内 的两条相交直线的两条相交直线, 则则.（ ） 4.若若m，m ，则，则.( ) 二、填空题：二、填空题： 无数无数个平面个平面 1.过平面过平面的一条垂线可作的一条垂线可作_ 与
12、平面与平面垂直垂直. 2.过一点可作过一点可作无数无数_ 个平面与已知平面垂直个平面与已知平面垂直一一个平个平 3.过平面过平面的一条斜线，可作的一条斜线，可作_ 面与平面面与平面垂直垂直. 一一个平个平 4.过平面过平面的一条平行线可作的一条平行线可作_ 面与面与垂直垂直. 寻找二面角的平面角寻找二面角的平面角 在正方体在正方体ABCD-AABCD-AB BC CD D中，找出下列二面角中，找出下列二面角的平面角：的平面角： （1 1）二面角）二面角D D-AB-D-AB-D和和A A-AB-D-AB-D； （2 2）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C和和C C-BD-A. -BD-A
13、. D C A B D A B C 寻找二面角的平面角寻找二面角的平面角 在正方体在正方体ABCD-AABCD-AB BC CD D中，找出下列二面角中，找出下列二面角的平面角：的平面角： （1 1）二面角）二面角D D-AB-D-AB-D和和A A-AB-D-AB-D； （2 2）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C和和C C-BD-A. -BD-A. D C A B D A B C 在正方体在正方体ABCD-AABCD-AB BC CD D中，找出下列二面角中，找出下列二面角的平面角：的平面角： （1 1）二面角）二面角D D-AB-D-AB-D和和A A-AB-D-AB-D； （2
14、2）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C和和C C-BD-A. -BD-A. D C A B D A O B 寻找二面角的平面角寻找二面角的平面角 寻找二面角的寻找二面角的 平面角平面角 C 寻找二面角的平面角寻找二面角的平面角 在正方体在正方体ABCD-AABCD-AB BC CD D中，找出下列二面角中，找出下列二面角的平面角：的平面角： （1 1）二面角）二面角D D-AB-D-AB-D和和A A-AB-D-AB-D； （2 2）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C和和C C-BD-A. -BD-A. D C A B D A O B C 例例2 已知空已知空间间四四边边形形ABC
15、D的四条的四条边边和和对对 角角线线都相等，求平面都相等，求平面ACD和平面和平面BCD所所 成二面角的大小成二面角的大小. 练习练习2：如如图图，已知三棱，已知三棱锥锥D-ABC的三的三 个个侧侧面与底面全等，且面与底面全等，且ABAC 3， BC2，求以，求以BC为为棱，以面棱，以面BCD与面与面 BCA为为面的二面角的大小？面的二面角的大小？ D A B E C 练习练习2：如如图图，已知三棱，已知三棱锥锥D-ABC的三的三 个个侧侧面与底面全等，且面与底面全等，且ABAC 3， BC2，求以，求以BC为为棱，以面棱，以面BCD与面与面 BCA为为面的二面角的大小？面的二面角的大小？ D
16、 A B E C 练习练习3： ABCD是正方形，是正方形，O是正方形的是正方形的 中心，中心，PO平面平面ABCD ， E是是PC的中点，的中点， ABCD是正方形， 求求证证：(1) PC平面平面BDE； (2) 平面平面PACBDE. P E D A O B C 归纳归纳小小结结： (1)判定面面垂直的两种方法：判定面面垂直的两种方法： 定定义义法法 根据面面垂直的判定定理根据面面垂直的判定定理 (2)面面垂直的判定定理不仅是面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面判定两个平面 互相垂直互相垂直的依据，而且是的依据，而且是找出垂直于一个平找出垂直于一个平 面的另一个平面面的另一个平面的依据；的依据； (3)从面面垂直的判定定理我们还可以看从面面垂直的判定定理我们还可以看出出面面 面垂直面垂直的问题可以转化为的问题可以转化为线线面垂直面垂直的问题来的问题来 解决解决. 三、如右图：三、如右图： A是是BCD所在平面外一点，所在平面外一点，AB=AD， ABC=ADC=90，E是是BD的中点，的中点， 求证：平面求证：平面AEC平面平面ABD A B E C D
