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1、内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作第八节第八节 三次样条插值三次样条插值一、问题的提出一、问题的提出分段低次插值虽然具有计算简单、稳定性好、收分段低次插值虽然具有计算简单、稳定性好、收敛性有保证且容易在计算机上实现等特点，但它敛性有保证且容易在计算机上实现等特点，但它只能保证各小曲线在衔接点上的延续性，却不能只能保证各小曲线在衔接点上的延续性，却不能保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术上的要求。下面将要引见的样条插值方法构技术上的要求。下面将要引见的样条插值方法构造的样条函数可以保管分段低次插值得
2、优点，又造的样条函数可以保管分段低次插值得优点，又提高了插值函数的光滑性。如今在许多领域得到提高了插值函数的光滑性。如今在许多领域得到了广泛的运用，构成了极其重要的分支。了广泛的运用，构成了极其重要的分支。内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作样条函数样条函数所所谓样条函数，从数学角度了解，就是按一定条函数，从数学角度了解，就是按一定光滑性要求光滑性要求“装配起来的分段多装配起来的分段多项式。式。详细有：有：称具有分划称具有分划的分段的分段 次多次多项式式 为 次次样条函数。假条函数。假设它在每个内它在每个内节点点 上具有直到上具有直到 阶延延续导数。
3、点数。点 那么称作那么称作样条条函数函数 的的节点。点。特点：光滑性即外形美特点：光滑性即外形美观，延，延续性那么使它能性那么使它能转机自若，即灵敏。机自若，即灵敏。内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作二、三次二、三次样条插条插值的定的定义内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作本本质：分段插：分段插值。特点：插特点：插值函数具有二函数具有二阶延延续导数。数。三次样条插值的本质与特点三次样条插值的本质与特点内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作三、三、边境条件境条件问题
4、的提出与的提出与类型型如何根据条件确定一个三次如何根据条件确定一个三次样条插条插值函数。函数。边境条件的境条件的类型型(1) 知一知一阶导数数值；(2) 知二知二阶导数数值；(3) 被逼近函数是周期函数。被逼近函数是周期函数。边境条件：在确定三次境条件：在确定三次样条插条插值函数函数时，所短少，所短少的两个条件由插的两个条件由插值区区间a, b的的边境点境点a、b 处给出，出，这个条件通常被称个条件通常被称为边境条件。境条件。处理的方法：引入理的方法：引入边境条件。境条件。内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数
5、学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作边境条件的境条件的类型型(1) 知一知一阶导数数值：(2) 知二知二阶导数数值：(3)被逼近函数是周被逼近函数是周期函数：期函数：内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作四、三次四、三次样条插条插值函数的求法函数的求法 定理定理3三次三次样条函数的存在独一性条函数的存在独一性对于给定的函数表，并满足第一或第二或第三边对于给定的函数表，并满足第一或第二或第三边境条件的三次样条插值函数境条件的三次样条插值函数S(x)是独一存在的。是独一存在的。求三次样条插值函数的根本思想：先利用一阶求三次样条插值函数的根本思想：先利用一
6、阶或二阶导数或二阶导数 在内节点在内节点 上的延续性以及边境条件，列出确定二阶一阶上的延续性以及边境条件，列出确定二阶一阶导数导数(例如：例如： 的线性方的线性方程组，并由此解出程组，并由此解出 ，然后用，然后用 来表达来表达 . 内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作问题问题9 求作具有分划求作具有分划 的三次样条的三次样条 ，使得满足，使得满足方法：方法：样条函数的构造用待定系数法。条函数的构造用待定系数法。问题：关：关键在于参数在于参数导数数值的的选择。内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作其中其中 ，而
7、，而三次样条插值函数为：三次样条插值函数为：内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作不论如何确定参数不论如何确定参数 ，这样构造出的三次样条，这样构造出的三次样条插值函数在每个节点插值函数在每个节点 上均延续且有延续的一阶上均延续且有延续的一阶导数，如今的问题是如何确定参数导数，如今的问题是如何确定参数 使其二阶导使其二阶导数也延续。对数也延续。对 求两次导数，并计算在子区间求两次导数，并计算在子区间 的端点上的导数值有的端点上的导数值有内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作为了保了保证二二阶导数的延数的延续性，
8、要求成立性，要求成立即要求即要求36与与37相容，即把相容，即把37式中的式中的i+1 改写改写为 i , i 改写改写为 i-1 ，因此有，因此有把把37和和36式代入式代入38，有，有内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作令令那么有那么有并留意到并留意到差商差商内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作因此有三对角方程组根本方程组因此有三对角方程组根本方程组其系数行列式是一个三其系数行列式是一个三对角行列式，在后面将用追逐方法求角行列式，在后面将用追逐方法求其解，于是得到分段插其解，于是得到分段插值多多项式，即
9、三次式，即三次样条函数。条函数。内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作根本步骤：根本步骤：构造知条件由三次样条函数的特征；构造知条件由三次样条函数的特征；积分反推；积分反推；确定系数：确定系数： ；确定：确定：求出：求出：利用边境条件，例如：利用边境条件，例如：内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作五、运用：求三次五、运用：求三次样条插条插值函数函数解：第一步：计算节点间隔解：第一步：计算节点间隔 差商差商 ，确定，确定例7 知函数y=f(x)的函数值如下：在区间-1.5,2上求三次样条插值函数S(x)，使得满
10、足边境条件 见易大义P62.内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作即有即有于是，有于是，有由第由第1边境条件境条件内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作第二步：求满足的线性方程组第二步：求满足的线性方程组 ；第三步：求出第三步：求出 ;内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作第四步：写出三次第四步：写出三次样条插条插值函数函数S(x).注释：把二阶导数注释：把二阶导数 作为参数。作为参数。内江内江师范学院数学与信息科学学院范学院数学与信息科学学院 吴开吴开腾 制作制作 插
11、插值法是一个古老而适用的数法是一个古老而适用的数值方法。它不方法。它不仅是数是数值微分、数微分、数值积分、函数逼近以及微分方程数分、函数逼近以及微分方程数值解等数解等数值分分析的根底，而且在析的根底，而且在许多多实践践问题中，也有直接的运用。中，也有直接的运用。这里只里只简要引要引见了有关插了有关插值法的一些根本概念、多法的一些根本概念、多项式插式插值的根底的根底实际和几个常用的插和几个常用的插值方法，例如拉格朗日插方法，例如拉格朗日插值公公式、牛式、牛顿根本插根本插值公式和公式和仅适用于等距适用于等距节点下的牛点下的牛顿向前向前(后后)插插值公式，以及运用最广且有二公式，以及运用最广且有二阶延延续导数的三次数的三次样条插条插值。作。作为一种直接运用，也引一种直接运用，也引见了利用插了利用插值法求法求导数数的根本原理和常用公式。的根本原理和常用公式。小小 结结 实践上，插践上，插值法的内容，包括插法的内容，包括插值函数函数类的的选择，公，公式的构造与运用，式的构造与运用，误差的估差的估计，以及收，以及收敛性、性、稳定性的定性的讨论等，都是非常丰富的。等，都是非常丰富的。作作业：p56 34
