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1、 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理兆麟中学高二数学组兆麟中学高二数学组 问题问题 1. 如图如图,从甲地到乙地从甲地到乙地,可以乘火车可以乘火车,也可以乘汽车也可以乘汽车,一天中一天中,火车有火车有3 班班, 汽车有汽车有2班，那么一天中乘坐这些交班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?甲 乙火车1火车2火车3汽车1汽车2思考思考: 1.要完成从甲地到乙地这件事要完成从甲地到乙地这件事,从交通工具上只需选择从交通工具上只需选择 类类,就可以就可以 到达目的地到达目的地.2.要完成从甲地到乙地这件事要完成从甲地到乙
2、地这件事,若选择乘火车有若选择乘火车有 种不同的走法种不同的走法, 若选择乘汽车有若选择乘汽车有 种不同的走法种不同的走法.3.完成从甲地到乙地这件事完成从甲地到乙地这件事,共有共有 种不同的走法种不同的走法.4.完成从甲地到乙地这件事的不同的走法数与上述乘火车和乘汽完成从甲地到乙地这件事的不同的走法数与上述乘火车和乘汽车车 的走法数的关系是的走法数的关系是 1325:乘汽车和火车的走法数的和等于完成这件事乘汽车和火车的走法数的和等于完成这件事的不同走法数的不同走法数分类计数原理分类计数原理 做一件事情做一件事情, 完成它可以有完成它可以有n类类办法办法, 在第一类办法中有在第一类办法中有m1
3、种不同的方法种不同的方法,在第在第二类办法中有二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法种不同的方法. 那么完成这件事那么完成这件事共有共有 N=m1+m2+m n种不同的方法。种不同的方法。注意注意: 每一类办法中的任何一种方法都能完成这件事每一类办法中的任何一种方法都能完成这件事,即各类之间的即各类之间的 方法都是相互独立的方法都是相互独立的. 2. 如图如图,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3条，由条，由B村去村去C村的道路有村的道路有2条。从条。从A村经村经B村去村去C村，共有多少村，共有多少种不同的走法种不同的走法?A村B村C村北
4、南中北南 思思考考:1.从从A村经村经 B村去村去C村有村有 步步, 第一步第一步, 由由A村去村去B村有村有 种方法种方法 第二步第二步, 由由B村去村去C村有村有 种方法种方法. 2232完成完成从从A村到村到C村这件事共有村这件事共有 种不同的走法种不同的走法.63完成从完成从A村到村到C村的不同走法数与上述两步中各自走法数的关系村的不同走法数与上述两步中各自走法数的关系是是:从从A到到B的走法数和从的走法数和从B到到C的走法数的积等于从的走法数的积等于从A到到C的走法数的走法数 分步计数原理分步计数原理 做一件事情做一件事情,完成它需要分成完成它需要分成n个步骤，个步骤，做第一步有做第
5、一步有m1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不同的方种不同的方法，法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法种不同的方法,那么完成这件事那么完成这件事共有共有 N=m1m2mn 种不同的方法种不同的方法。注意注意: 只有各步骤都完成了只有各步骤都完成了,才算完成这件事才算完成这件事,即各个步骤相互依存即各个步骤相互依存 例例1. 某班级三好学生中男生有某班级三好学生中男生有5人人,女生有女生有4人。人。 (1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？ 分析分析: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事完成从三好学生中任选一人去领奖
6、这件事,共有共有2类办法类办法, 第一类办法第一类办法, 从男三好学生中任选一人从男三好学生中任选一人, 共有共有 m1 = 5 种不种不同的方法同的方法; 第二类办法第二类办法, 从女三好学生中任选一人从女三好学生中任选一人, 共有共有m2 = 4 种不种不同的方法同的方法; 所以所以,根据分类计数原理根据分类计数原理,得到不同选法种数共有得到不同选法种数共有N = 5 + 4 = 9。 (2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？例题讲授例题讲授: 分析分析: (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加
7、完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事座谈会这件事, 需分需分2步完成步完成, 第一步第一步,选一名男三好学生选一名男三好学生,有有 m1 = 5 种方法种方法; 第二步第二步, 选一名女三好学生选一名女三好学生,有有 m2 = 4 种方法种方法; 所以所以, 根据分步计数原理根据分步计数原理, 得到不同选法种数共得到不同选法种数共有有 :N = 5 4 = 20 种。种。 练习练习1:书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的语文书本不同的语文书, 第第2层放有层放有3本不同的数学书本不同的数学书, 第第3层放有层放有2本不同的外语书本不同的外语书.(1)从书架上任取一本书从书架上
8、任取一本书,有多少种不同有多少种不同的取法的取法? (2)从书架的第从书架的第1,2,3层各取层各取1本书本书,有多少种有多少种不同的取法不同的取法? 例例2:.如图如图,从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙地到丙地有从乙地到丙地有3条条路可通路可通;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4条路可通条路可通, 从丁地到丙地有从丁地到丙地有2条路条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地 解解:从总体上看从总体上看,由甲到丙由甲到丙有两类不同的走法有两类不同的走法, 第一类第一类, 由甲经乙去丙由甲经乙去丙,又需分两步又需分两步,
9、所以所以 m1 = 23 = 6 种不同的走法种不同的走法; 第二类第二类, 由甲经丁去丙由甲经丁去丙,也需分两步也需分两步, 所以所以 m2 = 42 = 8 种不同的走法种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的种不同的走法。走法。例例3要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2名分名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解：解：从从3名工人中选名工人中选1名上日班和名上日班和1名上晚班，可以看成名上晚班，可以看成是经过先是经过先选选1名上日班，再选名上日班，再选1名上晚班两个步骤完成，
10、名上晚班两个步骤完成，先选先选1名上日班，共有名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有上晚班的工人有2种选法根据分步技数原理，不同的选种选法根据分步技数原理，不同的选法数是法数是种种6种选法可以表示如下：种选法可以表示如下：日班日班 晚班日班晚班晚班日班晚班甲甲 乙甲乙甲 丙丙乙乙 甲乙甲乙 丙丙丙丙 甲丙甲丙 乙乙所以，从所以，从3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚班，名分别上日班和晚班，6种不同的种不同的选法选法 例例4. 一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数十个数字组成字组
11、成,(1)可以设置多少种三位数的密码可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允各位上的数字允许重复许重复)？问问: 若设置四位、五位、六位、若设置四位、五位、六位、十位等密码、十位等密码,密码数分密码数分别有多少种？别有多少种？解解:它们的密码种数依次是它们的密码种数依次是 104 , 105, 106, 1010 种。种。 (3)个位数字不为个位数字不为0的密码数是多少？的密码数是多少？ (2)个位数字是个位数字是0的密码数又是多少的密码数又是多少？分析分析: 101010=103 (种种)个十百解解:N=10 10=102(种种)解解:N=10109=900(种种)练习练习5:设有设有5幅
12、不同的国画幅不同的国画,2幅不同的油画幅不同的油画,7幅不同的水彩画幅不同的水彩画,从这从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间些画中选出两幅不同种类的画布置房间,共有多少种不同的选法共有多少种不同的选法? 解解:分三类分三类, 1. 1幅国画幅国画,1幅油画幅油画,有有25=10种选法种选法.2. 1幅国画幅国画, 1幅水彩画幅水彩画,有有57=35种选法种选法.3. 1幅油画幅油画,1幅水彩画幅水彩画,有有27=14种选法种选法.共有共有10+35+14=59种不同的选法种不同的选法.（4）、课堂练习：）、课堂练习： 1 . 书架上层放有书架上层放有6本不同的数学书，下层放有本不同的数学书，
13、下层放有5本不同的语文书本不同的语文书(1) 从中任取一本，有多少种不同的取法？从中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？解：解：(1)从书架上任取一本书，有两种方法：第一类可从从书架上任取一本书，有两种方法：第一类可从6本数本数学书中任取一本，有学书中任取一本，有6种方法；第二类可从种方法；第二类可从5本语文书中任取一本语文书中任取一本，有本，有5种方法；根据加法原理可得共有种方法；根据加法原理可得共有 5+6=11 种不同的取法种不同的取法 (2) 从书架上任取数学、语文书各一本，可以分成两步
14、完从书架上任取数学、语文书各一本，可以分成两步完成：第一步任取一本数学书，有成：第一步任取一本数学书，有6种方法；第二步任取一本语种方法；第二步任取一本语文书，有文书，有5种方法根据乘法原理可得共有种方法根据乘法原理可得共有56=30种不同取法种不同取法2. 某班级有男学生某班级有男学生5人，女学生人，女学生4人人 (1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，有多少种不从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？同的选法？解：解：(1) 完成从学生中任选一人去领奖这件事，共有完成从学生中任选
15、一人去领奖这件事，共有2类办法，类办法， 第一类办法，从男学生中任选一人，第一类办法，从男学生中任选一人， 共有共有 = 5种不同的方法；种不同的方法； 第二类办法，从女学生中任选一人，第二类办法，从女学生中任选一人， 共有共有 = 4种不同的方法种不同的方法所以所以, 根据加法原理根据加法原理, 得到不同选法种数共有得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种种 (2) 完成从学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事完成从学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事, 需分需分2步完成步完成, 第一步，第一步， 选一名男学生，有选一名男学生，有 = 5种方法；种方法； 第二步，第二步，
16、选一名女学生，有选一名女学生，有= 4种方法；种方法； 所以，根据乘法原理所以，根据乘法原理, 得到不同选法种数共有得到不同选法种数共有 N = 5 4 = 20 种种 3.从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙地到丙地有从乙地到丙地有3条路条路可通可通;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4条路可通条路可通, 从丁地到丙地有从丁地到丙地有2条路可通从甲地到丙地共有多少种不同的走法？条路可通从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 答案：答案：N=N1+N2=2342=14 4、把、把5封信投到封信投到3个信箱里个信箱里,问有多少种不同的投法问有多少种不同的投法?答答:N=33 3333=24
17、3种种AB234561 请同学们思考下面的问题请同学们思考下面的问题 :1. 本节课学习了那些主要内容？本节课学习了那些主要内容？ 答答: 分类计数原理和分步计数原理分类计数原理和分步计数原理。 2. 分类计数原理和分步计数原理的共同点是什分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么？么？不同点什么？ 答答: 共同点共同点是是 它们都是研究完成一件事情它们都是研究完成一件事情, 共有多少共有多少种不同的方法。种不同的方法。 不同点不同点是它们研究完成一件事情的方式不同是它们研究完成一件事情的方式不同,分类分类计数原理是计数原理是“分类完成分类完成”, 即任何一类办法中的任何一即任何一类
18、办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步计数原理是个方法都能完成这件事。分步计数原理是“分步完成分步完成”, 即这些方法需要分步即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依各个步骤顺次相依,且每一步且每一步都完成了都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。才能完成这件事情。这也是本节课的重点。请同学们思考下面的问题请同学们思考下面的问题 :3. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢何时用分类计数原理、分步计数原理呢?答答:完成一件事情有完成一件事情有n类方法类方法,若每一类方法中的若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则则计算完成这件事情的方
19、法总数用计算完成这件事情的方法总数用分类计数原理分类计数原理。 完成一件事情有完成一件事情有n个步骤个步骤,若每一步的任何一种若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分方法只能完成这件事的一部分,并且必须连续完并且必须连续完成互相独立的这成互相独立的这n步后步后,才能完成这件事才能完成这件事,则计算则计算完成这件事的方法总数用完成这件事的方法总数用分步计数原理分步计数原理。作业1、用用0，1，2，9可以组成多少个无重可以组成多少个无重复数字的复数字的4位整数；位整数；2、用、用0，1，2，9可以组成多少个没有可以组成多少个没有重复数字的重复数字的3位数；位数；3、用、用0，1，2，9可以组成多少个无重可以组成多少个无重复数字的复数字的4位奇数；位奇数；4、在所有的三位数中，有且只有两个数、在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？字相同的三位数共有多少个？5、若直线方程、若直线方程ax+by=0中的中的a,b，可以从，可以从0，1，2，3，5这这5个数中任取两个不同个数中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条多少条. 6、从、从1到到200的自然数中，有多少个个位的自然数中，有多少个个位数上不含有数上不含有5的数。的数。7、用、用0，1，2，9可以组成多少个可以组成多少个无重复数字的无重复数字的4位偶数位偶数；
