第一章复数与复变函数

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1、张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换大学数学教程大学数学教程山东大学数学院主讲：主讲： 郑修才郑修才张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.1 1.1 复数及其运算复数及其运算1.2 1.2 复平面上的曲线和区域复平面上的曲线和区域1.3 1.3 复变函数复变函数1.4 1.4 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 1.1 1.1 复数

2、及其运算复数及其运算一、复数的概念一、复数的概念1、产生背景的数称为复数，其中称为虚单位，2、定义：形如为任意实数,且记分别称为的实部与虚部。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform二、复数的表示法二、复数的表示法1 1、( (复平面上的复平面上的) )点表示点表示 -用坐标平面上的点用坐标平面上的点r(1)此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform2 2、( (复平面上的复平面上的)

3、 )向量表示向量表示-（1）模 的长度 ，记为 ，则（2）辐角( ) 与 轴正向的夹角 (周期性)张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform辐角主值辐角主值: :注注注注其中主值的确定方法见教材P3（1.1.6）式或借助复数向量表示式或借助复数向量表示.张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform3 3、三角（或极坐三角（或极坐标）表示）表示-由由得得欧拉公式5、代数表示- 张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analy

4、sis and Integral Transform 复数的各种表示可相互转换在不同的运算中可选择不同表示式进行运算。NSPyzZx6*、复球面表示- 将扩充复平面中的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的点建立一一对应关系。 张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform三、复数的运算三、复数的运算1、相等两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。2、和、差、积、商（分母不为0）代数式、三角式、指数式3、共轭复数及运算性质zzyxo张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis

5、 and Integral Transform四、复数的四、复数的n n次方根次方根的n个值恰为以原点为中心，的内接正边形的顶点，当时，为半径的圆周称为主值。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform答疑解惑答疑解惑 答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。复数是无序的，所以不能比较大小。 假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取一致，（

6、因为实数是复数的特例），不妨取0 0和和i i加以讨论：加以讨论：1 1、复数能否比较大小，为什么？复数能否比较大小，为什么？注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小可比较大小。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform2 2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的 运运算是否相同？算是否相同？ 答：有相同之处，但也有不同之处。 加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；

7、复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform典型例典型例题例例1 1、判断下列命、判断下列命题是否正确？是否正确？（1 1）（2 2）（3 3）（ ）（ ）（ ）张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例2 2、求下列复数的模与、求下列复数的模与辐角角（1）（2）（3）（4）张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral

8、Transform解（解（1 1）（2 2）张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform（3）(4)张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例3 3、求满足下列条件的复数、求满足下列条件的复数z z：（1）（3）（2） 且且张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integra

9、l Transform张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例4 4 求方程求方程的根。并将的根。并将分解因式。分解因式。解 ，则的其余三个根即为所求得由张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform1.2 1.2 复平面上的曲线和区域复平面上的曲线和区域一、复平面上的曲线方程一、复平面上的曲线方程平面曲线有直角坐标方程

10、平面曲线有直角坐标方程和参数方程和参数方程两种形式。两种形式。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform由代入知曲线C的方程可改写成复数形式若令，而，则曲线C的参数方程等价于复数形式 。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform二、简单曲线与光滑曲线二、简单曲线与光滑曲线张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform三、区域三、区域 1、去心邻域3、区域及分类2、内点

11、与开集区域连通的开集。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。注：注：闭区域闭区域，它不是区域。，它不是区域。任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C C把复平面分为三个不相把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为交的点集：有界区域称为 C C的内部；无界区域，的内部；无界区域，称为称为 C C的外部；的外部； C C，称为内部与外部的边界。称为内部与外部的边界。 （典型例题见教材（典型例题见教材例例1.2.1，例，例1.2.2）张长华复变函数与积

12、分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform1.3 1.3 复变函数复变函数一、复变函数的概念一、复变函数的概念1、定、定义对于集合于集合G中中给定的定的 ，总有一个（或几个）确定的复数，总有一个（或几个）确定的复数 与之对应，并称与之对应，并称G为定义集合，而为定义集合，而称为函数值集合称为函数值集合(值域值域).分类分类张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform2、复变函数、复变函数 与实函数的关系与实函数的关系 讨论一个复变函数 研究两个实二元函数 3

13、3、复变函数的单值性讨论、复变函数的单值性讨论张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform教材教材P12 （例（例1.3.2)1.3.2)是否是否为单值函数函数 令令 则 均为单值的实二元函数 是单值函数。 故 张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform教材 (例1.3.3）是单值函数吗？，均为多值的实二元函数方法二、 见教材张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transfor

14、m二、映射二、映射复变函数的几何图形表示复变函数的几何图形表示张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 函数函数在几何上可以看着是把在几何上可以看着是把 z 平面上的一个点平面上的一个点集集 G （定义域）定义域）变到到 w 平面上的一个点集平面上的一个点集 G *（值域）的一个映射（或映照）。域）的一个映射（或映照）。与 G 中的点为一一对应映射为双射映射为双射张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform典典 型型 例例 题题例例1、求、

15、求z 平面上的下列平面上的下列图形在映射形在映射下的象。下的象。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform解解 (1) (1) 乘法的模与辐角定理乘法的模与辐角定理Howcomplextheexpressionare!张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transformuv4i图a虚虚轴上从点上从点0到到4i的一段（的一段（见图a）。）。(1)记，则即即w平面内平面内4图b（3）见教材教材例例1.3.4（3）张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换

16、Complex Analysis and Integral Transform映为（4 4） 将直将直线建立建立所所满足的象曲足的象曲线方程方程，消，消，是以原点为焦是以原点为焦点，开口向左的抛物点，开口向左的抛物线（见图c1)c1)vu图c12其是以原点其是以原点为焦点，焦点，开口向右的抛物线（见开口向右的抛物线（见图图c c2 2）。）。 将将线映映为，消，消x 得得张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例2 2、 求下列曲求下列曲线在映射在映射下的象下的象解法一解法一（1 1） 消 x, y 建立 u,

17、v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform（2）代入原象曲线方程，得w平面内的一条直线。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform解法二解法二代入原象方程得代入原象方程得 化化为实方程形式方程形式 （2 2）留作）留作练习。张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Inte

18、gral Transform张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 1.4 1.4 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform张长华复变函数与积分变换复变函

19、数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform本章难点与重点本章难点与重点张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform注注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数； 几何中，习惯把变量之间的对应关系称为映射； 代数中，习惯把变量之间的对应关系称为变换。 在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一看作是看作是z z平面上集合平面上集合G G与与w w平面上集合平面上集合G*G*之间的一种对应。之间的一种对应。