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1、ABDEFMN如图如图,AB=AD,BC=DC,求证求证: B= D.ACBD连接连接AC构造全等三角形构造全等三角形连连线线 构构造造全全等等连线连线 构造全等构造全等如图如图,AB与与CD交于交于O, 且且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求，求OD的长的长.连接连接BD构造全等三角形构造全等三角形ACBDO如何利用三角形的中如何利用三角形的中线来构造全等三角形？来构造全等三角形？ 可可以以利利用用倍倍长中中线法法，即即把把中中线延延长一倍，来构造全等三角形。一倍，来构造全等三角形。 如如图，若，若AD为ABC的中的中线， 必有必有结论：ABCDE12 延延长AD到到E，使，使DE=A
2、D，连结BE（也可（也可连结CE）。）。ABDECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。已知，如图已知，如图AD是是ABC的中线，的中线，ABCDE延长延长AD到点到点E，使，使DE=AD，连结连结CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5求求AD的取值范围？的取值范围？倍长中线已知在已知在ABC中，中，C=2 B, 1= 2求证求证:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取点上取点E使得使得AE=AC，连接，连接DE截长截长F在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得CF=CD，连接，连接DF补短补短A1BCD234如图所示，已知如图所示，已知AD BC，1= 2，3= 4，直线，直
3、线DC经过点经过点E交交AD于点于点D，交交BC于点于点C。求证：。求证：AD+BC=ABEF在在AB上取点上取点F使得使得AF=AD,连接连接EF截长补短证明证明：例例1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，BD是是ABC的角平分线，的角平分线，AD=CD，求证：，求证：A+ C=180DABCE在在BC上截取上截取BE，使，使BE=AB，连结，连结DE。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在ABD和和EBD中中 AB=EB（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）（公共边）ABDEBD（）（）12
4、43 3+ 4180（平角定义），（平角定义），A3（已证）（已证）A+ C180 （等量代换）（等量代换）321* * A3（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），（已知），AD=DE（已证）（已证）DE=DC（等量代换）（等量代换）4=C（等边对等角）（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）证明证明:例例1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，BD是是ABC的角平分线，的角平分线，AD=CD，求证：，求证：A+ C=180DABCF延长延长BA到到F，使，使BF=BC，连结，连结DF。 BD是是ABC的
5、角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在BFD和和BCD中中 BF=BC（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）（公共边）BFDBCD（）（）1243 FC（已证）（已证）4=C（等量代换）（等量代换）321* * FC（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），（已知），DF=DC（已证）（已证）DF=AD（等量代换）（等量代换）4=F（等边对等角）（等边对等角） 3+ 4180 （平角定义）（平角定义）A+ C180 （等量代换）（等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）
6、练习1如图，已知如图，已知ABC中，中，AD是是BAC的角平分线，的角平分线，AB=AC+CD，求证：，求证：C=2 BABCDE1221证明明:在在AB上截取上截取AE，使，使AE=AC，连结，连结DE。 AD是是BAC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在AED和和ACD中中 AE=AC（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） AD=AD（公共边）（公共边）AEDACD（）（）3B=4（等边对等角）（等边对等角）4* * C3（全等三角形的对应角相等（全等三角形的对应角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）（已知）EB=DC=ED（等量代换
7、）（等量代换） 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）和它不相邻的两个内角和）C=2B（等量代换）（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）练习1如图，已知如图，已知ABC中，中，AD是是BAC的角平分线，的角平分线，AB=AC+CD，求证：，求证：C=2 BABCDF12证明明:延长延长AC到到F，使，使CF=CD，连结，连结DF。 AD是是BAC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义） AB=AC+CD，CF=CD（已知）（已知） AB=AC+CF=AF（等量代换）（等量代换
8、） ACB= 2F（三角形（三角形的一个外角等于和它不相的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）（等量代换）321* *在在ABD和和AFD中中 AB=AF（已证）（已证） 1=2（已证）（已证） AD=AD（公共边）（公共边）ABDAFD（）（） FB（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） CF=CD（已知）（已知）B=3（等边对等角）（等边对等角）如图，已知直线如图，已知直线MN PQ，且，且AE平分平分BAN、BE平平分分QBA，DC是过是过E的任意线段，交的任意线段，交MN于点于点D，交，交PQ于点于点C。求证：。求证：AD+AB=B
9、C。证明明:延长延长AE，交直线，交直线PQ于点于点F。* *30*2221ABCDEMNPQ1234F51.如图如图, ABC中中, C=90o,AC=BC,AD平分平分ACB, DE AB.若若AB=6cm,则则DBE的周长是多少的周长是多少?.“周周长问题”的的转化化借助借助“角平分角平分线性性质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB2.如图如图, ABC中中, D在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上,E在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.若若BC=6cm,求求ADE的周长的周长.“周周长问题”的的转化化借助借助“垂直平分垂直平分线性性质”BAC
10、DEAD+AE+DEBD+CE+DEBC5.如图如图, ABC中，中，BP、CP是是ABC的角平分线，的角平分线，MN/BC.若若BC=6cm, AMN周长为周长为13cm，求，求ABC的周长的周长.“周周长问题”的的转化化借助借助“等腰三角形等腰三角形性性质”BACPAB+AC+BCAM+ BM+AN+NC+6NAM+ MP+AN+NP+613+6MAM+AN+MN+6 ABC中中,ABAC ， A的平分线与的平分线与BC的垂直平分线的垂直平分线DM相交于相交于D，过，过D作作DE AB于于E，作，作DF AC于于F。 求证：求证：BE=CFABCDEFM连接连接DB,DC垂垂直直平平分分线
11、线上上点点向向两两端端连连线线段段如图，已知三角形如图，已知三角形ABC中中,BC边上的垂直平边上的垂直平分线分线DE与角与角BAC的平分线交于点的平分线交于点E，EF垂垂直直AB交交AB的延长线于点的延长线于点F，EG垂直垂直AC交交AC于点于点G。求证：。求证：(1)BF=CG (2)判定判定AB+AC与与AF的关系的关系如图如图, ABC中中, C =90o,BC=10,BD=6, AD平分平分BAC,求点求点D到到AB的距离的距离.过点过点D作作DE AB于点于点EACDBE角平分线上的点向角两边做垂线段角平分线上的点向角两边做垂线段证明证明:例例1已知：如图，在四边形已知：如图，在四
12、边形ABCD中，中，BD是是ABC的角平分线，的角平分线，AD=CD，求证：，求证：A+ C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延长线于的延长线于N。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义） DNBA，DMBC（已知）（已知）N=DMB=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在NBD和和MBD中中 N=DMB （已证）（已证） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）（公共边）NBDMBD（）（）12 4=C（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） N43321* * ND=MD（全等三角形的对应边相等）（全等三
13、角形的对应边相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已证）（已证） AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（）（） 3+ 4180（平角定义），（平角定义）， A3（已证）（已证）A+ C180（等量代换）（等量代换）PD=PE.PD=PE.PD=PEPD=PE如图如图,OC ,OC 平分平分AOB,AOB,角平分线上点向两边作垂线段过点过点P作作PF OA,PG OB垂足为点垂足为点F,点点GFGACDBEPODOE +DPE =180DOE +DPE =180DOE +DPE =180DOE +DPE =180求证求证: :线段与角求相等，先找全等试试看。线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂线。图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线三角形里有中线，延长中线= =中线。中线。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。
