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1、第一节 解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、小结与思索一、复变函数的导数与微分1.导数的定义导数的定义:在定义中应留意在定义中应留意:例例1 解解例例2 解解例例3 解解2.可导与延续可导与延续: 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导那么在处可导那么在 z0 处一定延续处一定延续, 但函数但函数 f(z) 在在 z0 处延续不一定在处延续不一定在 z0 处可导处可导.证证证毕证毕3.求导法那么求导法那么: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在方式上完全一致数中导数的定义在方式上完全一致, 并且复变并且复变函数中的极
2、限运算法那么也和实变函数中一样函数中的极限运算法那么也和实变函数中一样, 因此实变函数中的求导法那么都可以不加更改因此实变函数中的求导法那么都可以不加更改地推行到复变函数中来地推行到复变函数中来, 且证明方法也是一样且证明方法也是一样的的.求导公式与法那么求导公式与法那么:4.微分的概念微分的概念: 复变函数微分的概念在方式上与一元实变复变函数微分的概念在方式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致.定义定义特别地特别地, 二、解析函数的概念1. 解析函数的定义解析函数的定义2. 奇点的定义奇点的定义根据定义可知根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的函数在区域内解
3、析与在区域内可导是等价的.但是但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念价的概念. 即函数在一点处可导即函数在一点处可导, 不一定在该不一定在该点处解析点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多得多.例例4 解解由本节例由本节例1和例和例3知知:例例5解解例例6解解课堂练习课堂练习答案答案处处不可导处处不可导, ,处处不解析处处不解析. .定理定理以上定理的证明以上定理的证明, 可利用求导法那么可利用求导法那么.根据定理可知根据定理可知:(1) 一切多项式在复平面内是处处解析的一切多项式在复平面内是
4、处处解析的.三、小结与思索 了解复变函数导数与微分以及解析函数的了解复变函数导数与微分以及解析函数的概念概念; 掌握延续、可导、解析之间的关系以及掌握延续、可导、解析之间的关系以及求导方法求导方法. 留意留意: 复变函数的导数定义与一元实变函数复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在方式上完全一样的导数定义在方式上完全一样, 它们的一些求它们的一些求导公式与求导法那么也一样导公式与求导法那么也一样, 然而复变函数极限然而复变函数极限存在要求与存在要求与z 趋于零的方式无关趋于零的方式无关, 这阐明它在这阐明它在一点可导的条件比实变函数严厉得多一点可导的条件比实变函数严厉得多.思索题思索题思索题答案思索题答案反之不对反之不对.放映终了，按放映终了，按EscEsc退出退出. .
