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1、常见曲线的参数方程1 旋轮线 2 旋轮线也叫摆线3 旋轮线是最速降线 4 心形线 5 星形线 6 圆的渐伸线 7 笛卡儿叶形线 8 双纽线9 阿基米德螺线 10 双曲螺线 主主 目目 录录（1 1 10 10 ）xa曲线曲线, ,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。1. 1. 旋轮线旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的x来看动点的慢动作来看动点的慢动作.2a2 a0yx ax = a (t sint)y = a (1 cost)t t 的几何意义如图示的几何意义如图示ta当当 t 从从 0 2 ，
2、x从从 0 2 a即曲线走了一拱即曲线走了一拱a.参数方程参数方程oaCAxy这就是旋轮线的参数方程。这就是旋轮线的参数方程。将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板2.2. 旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线（单摆）（单摆）（单摆）（单摆）.两个旋轮线形状的挡板两个旋轮线形状的挡板, , 使摆动周期与摆幅完全无关。使摆动周期与摆幅完全无关。在在17 17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线摆线。BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题: : 质点在重力作用
3、下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？3. 3. 旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？BABABA滑板的轨道就是这条曲线滑板的轨道就是这条曲线.xyoaa一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑无滑动地滚动，动圆圆周上动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。任一点所画出的曲线。4.4. 心形线心形线( (圆外旋轮线圆外旋轮线) )xyoa来看动点的慢动作来看动点的慢动作.axyoaa2a来看动点的慢动作来看动点的慢动作.xyo2aP r.r = a (1
4、+cos)参数方程参数方程xyoa a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆滚动，动圆圆周上任一点周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。5.5.星形线星形线( (圆内旋轮线圆内旋轮线) )xyoa a来看动点的慢动作来看动点的慢动作. .xyoa a来看动点的慢动作来看动点的慢动作.xyoa a0 2 极坐标方程为.P .直角坐标方程为：直角坐标方程为：.0xy一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动） 直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹6.6. 圆的渐伸线圆的渐伸线a 参数方程为参数方程为0xy.a再看一遍再看一遍0xy.a0xy.aa0xMttaat(
5、x,y)0xy试由这些关系推出曲线的方程试由这些关系推出曲线的方程.参数方程为参数方程为1. 曲线关于曲线关于 y= x 对称对称2. 曲线有渐进线曲线有渐进线 x+y+a = 0分析分析3. 令令 y = t x, 得参数式得参数式故在原点，曲线自身相交故在原点，曲线自身相交.7.7.狄狄狄狄卡儿卡儿叶叶叶叶形线形线4.0xyx+y+a = 0曲线关于曲线关于 y= x 对称对称曲线有渐近线曲线有渐近线 x+y+a=0.0xyPr. .曲线在极点自己相交，与此对应的角度为曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =. . . . .距离之积为距离之积为a2的点的轨迹的点的轨迹直角系方程直角系方程
6、8.8.双双纽纽纽纽线线0xy.所围面积所围面积. .由对称性由对称性.例例例例1 1 1 1 求求求求双纽线双纽线双纽线双纽线0rr =a 曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线9.9. 阿基米德螺线阿基米德螺线0r.0r再看一遍再看一遍请问：动点的轨迹什么样？请问：动点的轨迹什么样？.0r.0r.0rr =a .阿基米德螺线阿基米德螺线r这里这里 从从 0 +8r =a 02 a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.阿
7、基米德螺线阿基米德螺线0r8当当 从从 0 r =a .阿基米德螺线阿基米德螺线r0.这里这里 从从 0 +8a.10 10 双曲螺线双曲螺线r0.当当 从从 0 8a.双曲螺线双曲螺线xyo例例2 22.S = =1+cos 3r =3cos 由由 3cos =1+cos 得交点的坐标得交点的坐标S S2. .例例3.3.10xy令令 cos2 = 0,由由 sin 0,联立后得交点坐标联立后得交点坐标. . .S = 2.xyo例例4 41s1s2.sS = =1+cos 求由求由双纽线双纽线0xy. .由对称性由对称性.例例5.5.a内部的面积。内部的面积。双纽线化成极坐标双纽线化成极坐标令令 r = 0,S = 4+.
