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1、随机信号分析随机信号分析第第7 7章章 马尔可夫链与泊松过程马尔可夫链与泊松过程1随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/2024第第7章章 马尔可夫链与泊松过程马尔可夫链与泊松过程 马尔可夫过程马尔可夫过程是研究信号多级传输、分子的布朗运动、是研究信号多级传输、分子的布朗运动、顾客服务、计算机网络流量等等诸多问题时使用的经典模型。顾客服务、计算机网络流量等等诸多问题时使用的经典模型。 本章讨论：本章讨论： 1）马尔可夫过程的基本概念）马尔可夫过程的基本概念 2）转移概率与）转移概率与C-K方程方程 3）状态分类及极限特性）状态分类及极限特性 4）独立增量过程
2、定义及性质）独立增量过程定义及性质 5）泊松过程定义及相关问题）泊松过程定义及相关问题随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/2024第第7章章 马尔可夫链与泊松过程马尔可夫链与泊松过程7.1 马尔可夫链马尔可夫链7.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类7.3 独立增量过程独立增量过程7.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链第第7章章 马尔可夫链与泊松过程马尔可夫链与泊松过程7.1.1 7.1.1 基本定义基本定义 定义定义 随机序列随机序列 的状态空间的状态
3、空间 E 为可数集，为可数集，如果对任意如果对任意 ，有：，有：则称该序列是则称该序列是马尔可夫链（马尔可夫链（Markov Chain）。 上式刻画了马尔可夫链的特性，称为上式刻画了马尔可夫链的特性，称为马尔可夫性马尔可夫性（简称（简称马马氏性氏性），也称），也称无后效性无后效性。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链第第7章章 马尔可夫链与泊松过程马尔可夫链与泊松过程7.1.1 7.1.1 基本定义基本定义 定义定义 任取任取 ，则条件概率，则条件概率称为（称为（n时刻的）时刻的）一步转移概率一步转移概率（One St
4、ep Transition Probability）。）。 如果在任意时刻如果在任意时刻n， 都相同，则记为：都相同，则记为：称这时的马尔可夫链为称这时的马尔可夫链为齐次马尔可夫链齐次马尔可夫链。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链 性质性质 转移概率满足：转移概率满足： 为了直观地理解马尔可夫性，设想一质点在某直线的整数格为了直观地理解马尔可夫性，设想一质点在某直线的整数格点上随机运动的情形：点上随机运动的情形： 表示在表示在 n 时刻质点位于时刻质点位于 i 位置这位置这一随机事件，如果把时刻一随机事件，如果把时刻
5、n 看做看做现在现在，时刻，时刻 0,1,2,n-1 表示表示过过去去，时刻，时刻 n+1 表示表示将来将来，那么马尔可夫性表明：此时位于，那么马尔可夫性表明：此时位于 i 的质的质点将来会出现在哪里与它过去曾经在哪些位置停留过没有关系。点将来会出现在哪里与它过去曾经在哪些位置停留过没有关系。简言之，简言之，将来完全由现在决定，与过去无关将来完全由现在决定，与过去无关。转移概率。转移概率 表示质点在时刻表示质点在时刻 n 从位置从位置 i 向向 j 转移的可能性，而齐次性表明在转移的可能性，而齐次性表明在所有时刻质点的转移特性是相同的。所有时刻质点的转移特性是相同的。随机信号分析随机信号分析华
6、侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链证明：证明： 例例 设设 是独立随机序列，随机序是独立随机序列，随机序 列列 中，相邻两个随机变量满足递归方程：中，相邻两个随机变量满足递归方程：式中，式中， 。试证明随机序列。试证明随机序列 是马尔可夫链。是马尔可夫链。彼此独立，彼此独立，与与 独立，独立，与与 独立，独立，与与 独立。因此，上式的条件部分可如下简化：独立。因此，上式的条件部分可如下简化：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链所以，所以， 是马尔可夫链。是马尔可夫链。随机
7、信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链证明：证明：级联的二进制传输信道中，前一节的输出即为后一节的级联的二进制传输信道中，前一节的输出即为后一节的输入。每节基本信道是彼此独立的，因此，在给定任意第输入。每节基本信道是彼此独立的，因此，在给定任意第n节输节输出出X(n)的条件下，第的条件下，第n+1节的输出节的输出X(n+1)不再依赖于第不再依赖于第n节以前节以前所有所有(0,1,2,n-1)节的输出结果，即：节的输出结
8、果，即： 所以，所以，X(n)是马尔可夫链是马尔可夫链。又由于每节信道的转移概率都。又由于每节信道的转移概率都相同，所以，它是相同，所以，它是齐次齐次的。的。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链（2）因为每节的转移概率是相同的，于是，一步转移概率为：）因为每节的转移概率是相同的，于是，一步转移概率为：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链随机
9、信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链 例例 在直线上有一质点作在直线上有一质点作随机游动，随机游动，质点在不同时刻质点在不同时刻 k 的随机的随机运动运动 Z(k), k=1,2, 是统计独立的，取值为是统计独立的，取值为 +1, 0, -1 ， 相应的相应的取值概率为取值概率为 p, r, q ，p+r+q=1 。质点初始时刻位于原点，。质点初始时刻位于原点，n 时时刻的绝对位置为刻的绝对位置为 ，试证明，试证明 是马尔可夫是马尔可夫链。链。证明：证明： 该式是该式是例例中当函数中当函数 时的一个特例。因此，时的一个特例。
10、因此， 是是马尔可夫链。马尔可夫链。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链它的一步转移概率矩阵为：它的一步转移概率矩阵为：状态转移图为：状态转移图为：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链7.1.2 7.1.2 转移概率与切普曼转移概率与切普曼- -科尔莫戈罗夫方科尔莫戈罗夫方程程 对对 n 时刻的一步转移概率与一步转移概率矩阵做简单的时刻的一步转移概率与一步转移概率矩阵做简单的扩展，可定义扩展，可定义 m 时刻到时刻到 n 时刻的转移概率为：时刻的转
11、移概率为：转移概率矩阵为：转移概率矩阵为：显然，该矩阵所有元素非负，并且任取第显然，该矩阵所有元素非负，并且任取第 i 行满足：行满足：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链7.1.2 7.1.2 转移概率与切普曼转移概率与切普曼- -科尔莫戈罗夫方程科尔莫戈罗夫方程 定义定义 若若 是马尔可夫链，称行向量是马尔可夫链，称行向量为为 n 时刻的概率分布向量。时刻的概率分布向量。对于对于 ，n时刻的概率分布可由全概率公式求出时刻的概率分布可由全概率公式求出写成向量形式为：写成向量形式为：其中，其中， 是是 n 时刻时刻 取取
12、 i 的概率。当的概率。当n=0 时，称时，称 p(0) 为初始分布。为初始分布。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链 定理定理 （切普曼（切普曼-科尔莫戈罗夫方程）设科尔莫戈罗夫方程）设 ， 马尔可马尔可夫链的转移概率满足：夫链的转移概率满足：简称简称C-K（Chapman-Kolmogorov）方程方程。 矩阵形式为：矩阵形式为：注：注：可由马尔可夫性和全概率公式证明可由马尔可夫性和全概率公式证明7.1.2 7.1.2 转移概率与切普曼转移概率与切普曼- -科尔莫戈罗夫方科尔莫戈罗夫方程程随机信号分析随机信号分析华侨
13、大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链证明：证明：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链C-K方程的特点：方程的特点：如果马尔可夫链是齐次的，且一步转移概率矩阵为如果马尔可夫链是齐次的，且一步转移概率矩阵为P，则，则 可见：可见： 与绝对时刻无关，而只与两时刻之差有关，这时与绝对时刻无关，而只与两时刻之差有关，这时称转移概率是平稳的，并将它们简记为：称转移概率是平稳的，并
14、将它们简记为：分别称为分别称为k步转移概率步转移概率和和k步转移概率矩阵步转移概率矩阵。这时，。这时，C-K方程表示为：方程表示为：定理定理 齐次马尔可夫链满足：齐次马尔可夫链满足：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链解：解：所以，所以， 是马尔可夫链。是马尔可夫链。该转移概率与该转移概率与n无关，无关，随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链
15、随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链解：解：因为随机游动粒子的位置因为随机游动粒子的位置 是马尔可夫过程，其状态是马尔可夫过程，其状态空间空间 E=0,1,2 ，由一步状态转移矩阵可得到如下的状态转移，由一步状态转移矩阵可得到如下的状态转移图：图：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工
16、程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链（2）根据齐次马尔可夫链的性质，可得：）根据齐次马尔可夫链的性质，可得：因此：因此：时刻时刻n处于状态处于状态0，时刻，时刻n+3处于各个状态的概率为：处于各个状态的概率为：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链（3）根据齐次马尔可夫链的性质，可得：）根据齐次马尔可夫链的性质，可得：故有故有：时刻：时刻n处于状态处于状态0，时刻，时刻n+4处于各个状态的概率为：处于各个状态的概率为：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1
17、马尔可夫链马尔可夫链随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链解：解：由状态转移图可知：进入状态由状态转移图可知：进入状态0或或3后，该链永远停留在那后，该链永远停留在那里，形象地称这两个状态为吸收壁或吸收态。里，形象地称这两个状态为吸收壁或吸收态。由状态转移图可得一步转移矩阵为：由状态转移图可得一步转移矩阵为：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链7.1.3 7.1.3 平稳分布与极限分平稳分布与极限分布布 定义定义 对于一步转移概率矩阵为对于一步转移概
18、率矩阵为 的马尔可夫链的马尔可夫链 ，如果，如果存在一种分布存在一种分布 ，使得，使得则称则称 为为 的一个的一个平稳分布平稳分布。 显然，一旦显然，一旦 进入某个平稳分布后，它就一直处于该分进入某个平稳分布后，它就一直处于该分布上，不再改变。布上，不再改变。 在在 时收敛于某个分布，则称该分布为时收敛于某个分布，则称该分布为 的的极极限分布限分布或或最终分布最终分布。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链解解：（
19、1）根据齐次马尔可夫链的性质，可知）根据齐次马尔可夫链的性质，可知n=3时刻的概率分时刻的概率分布向量为：布向量为：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链解解：n级级联的二进制传输系统可描述为一个取值为（级级联的二进制传输系统可描述为一个取值为（0,1）的）的马尔可夫链，易见，该链的一步状态转移概率为：马尔可夫链，易见，该链的一步状态转移概率为：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/1
20、8/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链因此有因此有:随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.1 马尔可夫链马尔可夫链 结论结论：本例说明了一个有趣的结果：本例说明了一个有趣的结果, ,不论原始信息的不论原始信息的分布如何，经过很多次有错分布如何，经过很多次有错(0q1)(0q1)传播后传播后, ,即使错误即使错误概率很小，其分布总趋于均匀分布概率很小，其分布总趋于均匀分布, ,信息趋于未知。信息趋于未知。随机信号分析随机信号分析华侨大学通
21、信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类 7.2.1 7.2.1 可达、互通、首达与首达概率可达、互通、首达与首达概率随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类 随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类解解：由一步状态转移概率矩阵可得如
22、下的状态转移图：由一步状态转移概率矩阵可得如下的状态转移图：1. 可达、互通：可达、互通：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类2. 首达时间的取值空间为首达时间的取值空间为:随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18
23、/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类 （1） 表示从状态表示从状态i出发经过出发经过n步首次返回步首次返回i的概率，的概率，简称为简称为n步首返概率步首返概率。 （2） 表示从状态表示从状态i出发迟早返回出发迟早返回i的概率，简称为的概率，简称为最终返回概率最终返回概率。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类7.2.2 7.2.2 常返、非常返、周期与遍
24、历常返、非常返、周期与遍历随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类7.2.2 7.2.2 常返、非常返、周期与遍历常返、非常返、周期与遍历随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18
25、/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类解解：该马尔可夫链有该马尔可夫链有4个状态，分别设为个状态，分别设为0,1,2,3，其状态转移图为：，其状态转移图为：对对状态状态0：所以所以状态状态0是非常返态。是非常返态。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类对对状态状态1：所以所以状态状态1是非周期的正常返态，是遍历态。是非周期的正常返态，是遍历态。同理，同理，
26、状态状态2和和状态状态3也是遍历态。也是遍历态。因此，该马尔可夫链不是遍历链，但有三个遍历态。因此，该马尔可夫链不是遍历链，但有三个遍历态。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类它指示它指示 是否停留在是否停留在 j 状态，则：状态，则： 可以证明：可以证明：常返状态平均返回次数为无穷多次，非常常返状态平均返回次数为无穷多次，非常返状态平均返回次数为有限多次。返状态平均返回次数为有限多次。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可
27、夫链的状态分类随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类解：解：该链的状态转移图为：该链的状态转移图为：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类状态状态0：所以所以状态状态0是常返态，是常返态， 为遍历态。为遍历态。状态状态1：是遍历态。是遍历态。状态状态2：是非常返态。是非常返态。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.2 马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态分类同理可得
28、，同理可得，状态状态3、4、5也是遍历态。也是遍历态。 因此，所有状态可以分为常返状态集因此，所有状态可以分为常返状态集 和非常和非常返状态集返状态集 。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.3 独立增量过程独立增量过程 如果如果连续参量连续参量随机过程随机过程 具有无后效性，即任取具有无后效性，即任取 n 与与 ，条件概率满足：，条件概率满足：则称则称 是是连续参数马尔可夫过程连续参数马尔可夫过程。 如果如果 的取值状态空间是离散的，有限（或无限）可列的，的取值状态空间是离散的，有限（或无限）可列的，这种随机过程也称为这种随机过程也称为连续参数
29、马尔可夫链连续参数马尔可夫链。 独立增量过程是一种重要的马尔可夫过程，其参数和状态可独立增量过程是一种重要的马尔可夫过程，其参数和状态可以是连续的，也可以是离散的。以是连续的，也可以是离散的。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.3 独立增量过程独立增量过程 所谓所谓独立增量独立增量是指非重叠时段的增量是彼此独立的。针对此是指非重叠时段的增量是彼此独立的。针对此特点，一般总是按顺序地安排时刻点：特点，一般总是按顺序地安排时刻点： ，并令，并令初值为零，即初值为零，即 ，使得，使得随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/
30、18/20247.3 独立增量过程独立增量过程考察如下的条件概率考察如下的条件概率由于由于 彼此独立，彼此独立，所以所以，独立增量过程是马尔可夫过程独立增量过程是马尔可夫过程。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.3 独立增量过程独立增量过程 增量的平稳性使得增量的平稳性使得 与与 有着相同的概率分布，有着相同的概率分布，因此：因此： 性质性质1 平稳独立增量过程平稳独立增量过程 的一维特征函数为：的一维特征函数为：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.3 独立增量过程独立增量过程 性质性质2 平稳
31、独立增量过程平稳独立增量过程 满足：满足：（1）均值与方差是）均值与方差是 t 的线性函数，即：的线性函数，即：（2）协方差函数）协方差函数（3）自相关函数）自相关函数（4）相关系数函数）相关系数函数其中，其中， 与与 为正常数，分别称为为正常数，分别称为均值变化率均值变化率与与方差变化率方差变化率。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.3 独立增量过程独立增量过程证明证明： （1）任取）任取 ，有，有已被表示为两段不重叠时段上的增量，因此相互独立。于是：已被表示为两段不重叠时段上的增量，因此相互独立。于是： 如果函数如果函数 对任意对任意 t
32、与与 s 恒有：恒有： ，由数学，由数学知识可证明知识可证明 必是必是 线性函数，并通过原点。令方差变化率线性函数，并通过原点。令方差变化率为为 ，有，有随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.3 独立增量过程独立增量过程 （2）任取）任取 ，有，有 先考虑先考虑 ，同样将，同样将 表示为两段不重叠增量，并利用独表示为两段不重叠增量，并利用独立性，有立性，有综合考虑综合考虑 的情况，得到：的情况，得到：注意：注意：平稳独立增量过程本身是非平稳过程，只是其增量具有平稳独立增量过程本身是非平稳过程，只是其增量具有平稳性，并且彼此独立。平稳性，并且彼此独
33、立。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.3 独立增量过程独立增量过程解：解：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.3 独立增量过程独立增量过程 例例 设设 是是 0-1分布的伯努利序列，其取值为分布的伯努利序列，其取值为0、1的概的概率分别为率分别为q、p。令。令 则则 称称 为二项（计数）过程。证明该过程是平稳为二项（计数）过程。证明该过程是平稳独立增量过程，并讨论其基本特性。独立增量过程，并讨论其基本特性。 解：解：由于由于 是彼此独立的，因此，是彼此独立的，因此， 的任意非重叠增量的任意非重
34、叠增量是独立的。又因是独立的。又因 是同分布的，使得增量的分布与它的起始是同分布的，使得增量的分布与它的起始时刻无关。于是，时刻无关。于是， 是平稳独立增量过程。是平稳独立增量过程。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.3 独立增量过程独立增量过程平稳独立增量过程平稳独立增量过程 的典型样本序列与增量如图所示：的典型样本序列与增量如图所示：（a）二项过程）二项过程（b）增量）增量随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.3 独立增量过程独立增量过程（1）特征函数为：）特征函数为：（2）将其展开为：）将其
35、展开为：（3）由特征函数定义可知，其各种可能的概率取值为：）由特征函数定义可知，其各种可能的概率取值为：。即：。即：注意到注意到 ，均值与方差的变化率为：，均值与方差的变化率为：（4）均值和方差为：）均值和方差为：注意到注意到 ，均值与方差的变化率为：，均值与方差的变化率为：（4）均值和方差为：）均值和方差为：结论：结论：如果说如果说 是独立随机序列，则其累加过程是独立随机序列，则其累加过程是独立增量序列。特别地，若是独立增量序列。特别地，若 是相互独立且同是相互独立且同分布的随机变量，则其累加过程分布的随机变量，则其累加过程 是平稳独立增是平稳独立增量过程。量过程。随机信号分析随机信号分析华
36、侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程 泊松过程泊松过程是一种典型的独立增量过程，它具是一种典型的独立增量过程，它具有连续参数有连续参数t与分离散状态取值，因而也是连续与分离散状态取值，因而也是连续参数马尔可夫链。在通信、交通、日常零售业参数马尔可夫链。在通信、交通、日常零售业务等各个领域的研究中，泊松过程是各类问题务等各个领域的研究中，泊松过程是各类问题建模时最常用的一种输入模型。建模时最常用的一种输入模型。随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程 7.4.1 定义与背景定义与背景 定
37、义定义7.16 如果随机过程如果随机过程 具有以下特性：具有以下特性：（1） 是一个初值为的计数过程，即是一个初值为的计数过程，即（2）具有独立增量，即任取）具有独立增量，即任取 （3）增量平稳性，即）增量平稳性，即（4）当）当 很小时，有很小时，有相互独立；相互独立；随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程解：解：齐次
38、泊松过程是零初值平稳独立增量过程，有齐次泊松过程是零初值平稳独立增量过程，有随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程 到达时间到达时间指泊松事件发生的时刻。指泊松事件发生的时刻。 表示第表示第i个事件到达的时个事件到达的时刻。刻。 时间间隔时间间隔指相邻两个泊松事件发生时刻之间的间隔。指相邻两个泊松事件发生时刻之间的间隔。 表示表示第第n-1次事件到达和第次事件到达和第n次事件到达之间的时间间隔。次事件到达之间的时间间隔。 两者的关系为：两者的关系为：随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20
39、247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程
40、系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信
41、号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程随机信号分析随机信号分析华侨大学通信工程程系华侨大学通信工程程系9/18/20247.4 泊松过程泊松过程
