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1、简单多面体的外接球问题简单多面体的外接球问题 2016 2016年年12 12 月月 1一一一一. . . .球的性质球的性质球的性质球的性质 1. 用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去 截球面，截球面， 截线是圆。截线是圆。大圆大圆-截面过球心截面过球心,半径等于球半径半径等于球半径; 小圆小圆-截面不过球心截面不过球心A2. 球心和截面圆心的连线垂直于截面球心和截面圆心的连线垂直于截面2三三. . 多面体的外接球多面体的外接球定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称
2、这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个的内接多面体，这个球是这个 多面体一多面体的外接球。多面体一多面体的外接球。 二二. .球体的体积与表面积球体的体积与表面积3ABCDD1C1B1A1O对角面对角面正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。正方体的外接球正方体的外接球4长方体的外接球长方体的外接球对角面对角面设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为a a、b b、c c长方体外接球的直径等于长方体的体对角线。长方体外接球的直径等于长方体的体对角线。5两招搞定简单多面体外接球问题6ACBPO O一、构造法一、构造法例例1、若三棱锥的三条
3、侧棱两两垂直，且侧棱长均为、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积，则其外接球的表面积是是 构造正方体或长方体构造正方体或长方体7ABCDOABCDO求正四面体外接球的半径求正四面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径例例3. 求棱长为求棱长为 a 的正四面体的正四面体 D ABC 的外接球的表面积。的外接球的表面积。8思考总结：什么样的三棱锥可构造成正方体或长方体？思考总结：什么样的三棱锥可构造成正方体或长方体？9ACBPO O一、构造法一、构造法构造正方体或长方体构造正方体或长方体例例1 1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为、若三棱锥的三条侧
4、棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是，则其外接球的表面积是 三条侧棱两两垂直的三棱锥一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥锥10ABCDOABCDO例例3 3、 求棱长为求棱长为 a a 的正四面体的正四面体 D ABC D ABC 的外接球的表面积。的外接球的表面积。正四面体正四面体求正四面体外接球的半径求正四面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径11对棱相等的三棱锥对棱相等的三棱锥12二、确定球心位置法二、确定球心位置法1.利用球的定义即球心到球面上各个点的距离都相等。利用球的定义即球心到球面上各个点的距离都相等
5、。13.例例5. 在矩形在矩形ABCD中，中，AB=4，BC=3，沿，沿AC将矩形将矩形ABCD折成一个直二面角折成一个直二面角B-AC-D，则四面体，则四面体ABCD的外接球的体积为的外接球的体积为 翻折前后的垂直关系和长度是否改变？翻折前后的垂直关系和长度是否改变？141516上下底面中心的连线的中点上下底面中心的连线的中点在其高上在其高上例例7、求棱长为、求棱长为1的正四面体外接球的体积的正四面体外接球的体积17谈谈收获谈谈收获1. 1. 正方体，长方体，正棱柱，正棱锥的外接球球心位置正方体，长方体，正棱柱，正棱锥的外接球球心位置3. 3. 求三棱锥的外接球两招：构造法；确定球心位置法求三棱锥的外接球两招：构造法；确定球心位置法2. 2. 棱长为棱长为a a的正四面体外接球半径的正四面体外接球半径18感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，这感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，这是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉。是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉。庞加莱庞加莱欢欢迎迎各各位位提提出出宝宝贵贵意意见见！ 布置作业布置作业 给学生印发一张球的切接专题试卷！给学生印发一张球的切接专题试卷！19
