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1、曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义 湛治超课前巩固：上节课我们一起学习了极坐标的意义表示，以及极坐标与直角坐标的互化，我们一起回顾一下：1：极坐标系的四要素： 极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。2：点与其极坐标一一对应的条件点与其极坐标一一对应的条件：3：极坐标与直角坐标的互化公式极坐标与直角坐标的互化公式探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xC(a,0)OMA(,)曲线的极坐标方程的意义：一般地，如果一条曲线任意一点都有一个极坐标适合
2、方程M M（ ，) )=0=0；并；并且，极坐标适合方程且，极坐标适合方程M M（ ，) )=0=0的点的点都在曲线上。那么，这个方程称为都在曲线上。那么，这个方程称为曲曲线的极坐标方程线的极坐标方程，这条曲线称为这个，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线极坐标方程的曲线曲线的极坐标方程一 定义：如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系（）曲线上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f(,)=0 ；（）以方程f(,)=0的所有解为坐标的 点都在曲线上。则曲线的方程是f(,)=0 。 二 求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样建系建系 （适当的极坐标系）（适当的极坐标系）设点设点
3、 （设（设M M（ ，) )为要求方程的曲线上任意一点）为要求方程的曲线上任意一点）列等式（构造列等式（构造，利用三角形边角关系的定理列关于，利用三角形边角关系的定理列关于M M的等式）的等式） 将等式坐标化将等式坐标化化简化简 （此方程此方程f(,)=0即为曲线的方程）即为曲线的方程） 例1 :求经过点A（3,0），且与极坐标垂直的直线l的极坐标方程？解：设P （， ）是直线l上任意一点（O为极点） OPcos=OA cos=3 故所求直线的极坐标方程为 cos=3变式训练1：已知点p的极坐标为（1，）那么过点p且垂直于极轴的直线极坐标方程？解：cos（-）=1/ -cos=1/ cos=-
4、1 故所求直线的极坐标方程为cos=-1例2：求圆心在A（3,0），且过极点的圆A的极坐标方程解：设P （， ）是圆A上任意一点则 OP=OBcos 圆的半径OA=3 =6cos故所求圆A的极坐标方程为 =6cos变式训练2：求圆心在C（r，/2）半径为r的圆的极坐标方程 cos（-/2）=/2r sin=/2r = 2rsin 故所求圆C的极坐标方程为 = 2rsin你可以用极坐标方程直接来求吗？你可以用极坐标方程直接来求吗？例3：（1）：化直角坐标方程x+y-8y=0为极坐标方程（2）：化极坐标方程 =6cos(-/3)为直角坐标方程解（1）： =8sin （2）：x+y-3x-33y=0
5、变式训练3： =5 =25 x+y=25练习练习1 1求下列圆的极坐标方程()中心在极点，半径为2；()中心在(a,0)，半径为a；()中心在(a, /2)，半径为a；()中心在( 0, )，半径为r。 2 2acos 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2 若圆心的坐标为M(,)，圆的半径为r，求圆的极坐标方程解解:设P(,)为圆周上任意一点周上任意一点,如下如下图所示所示,在在 OCP中中,CP=r,OC=1,OP=.根据余弦定理根据余弦定理,得得CP2=OC2+OP2-2OCOPcos(-1),即即r2=21+2-21cos(-1).也就是也就是2-21cos(-1
6、)+(21-r2)=0.这就是就是圆在极坐在极坐标系中的一般方程系中的一般方程.练习21.以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为半径的圆的方程是为半径的圆的方程是( )（ ）A、双曲线、双曲线 B、椭圆、椭圆 C、抛物线、抛物线 D、圆、圆D（ ）C（ ）C思考：思考：在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中过点过点(3,0)且与且与x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为 ;过点过点(2,3)且与且与y轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为 x=3y=3四四 直线的极坐标方程：直线的极坐标方程：例例1：求过极点，倾斜角为求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。的射线的极坐标方
7、程。oMxONMC(4,0)（2）求过极点，倾斜角为）求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。的射线的极坐标方程。（3）求过极点，倾斜角为）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。的直线的极坐标方程。和和 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为以表示
8、为或或小结：（）曲线的极坐标方程概念（）求曲线的极坐标方程的步骤（3）会求圆的极坐标方程（3）会求直线的极坐标方程总结：总结：求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤：1、据题意画出草图；、据题意画出草图；2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方程，程， 并化简；并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。 圆锥曲线的极坐标圆锥曲线的极坐标 的统一形式的统一形式高二数学高二数学 选修选修4-4两种特殊的极坐标方程OxAMOxAMOxAOxMA两种特殊的极坐标方程xOOxOx
9、两种特殊的极坐标方程 如图建立坐标系，设圆锥曲线 上任一点，由定义知 整理得： 此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 xKAFB三种圆锥曲线的统一的极坐标方程三种圆锥曲线的统一的极坐标方程上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线 FLxLFxFxL当当0e1时，方程表时，方程表示椭圆，示椭圆，F是左焦点，是左焦点，L是左准线。是左准线。当当1e时，方程表示时，方程表示双曲线，双曲线，F是右焦点，是右焦点，L是右准线。是右准线。当当e=1时，方程表示时，方程表示抛物线，抛物线，F是焦点，是焦点，L是准线，开口向右。是准线，开口向右。 表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线)xFy1.确定方程 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。xOP xODA 3 B 6 C 9 D 12 B另解：xO练习练习练习练习 5、利用抛物线的极坐标方程，证明抛物线 过焦点的弦中通径最短，其长为2P。xONM证明：
