基于三维分析的实用数值计算手段是存在的，他们能用来预估零Froude数时大体积结构物的线性波浪诱导运动和载荷 面元法是分析大体积结构物在规则波中线性稳态响应的一种常用方法 面元法有多种，其中一种方法是在平均湿表面上分布源（和汇），另一种方法是在物体的平均湿表面上混合分布源、汇和偶极子面元法也称边界元法 一个张力腿平台的面元模型 图 3.18 6柱TLP一个象限的水下部分，每象限分为3152面元，整个结构为12608面元（Korsmeyer等人,1988） Spar模型网格划分 对于浮体的水动力载荷分析，主要使用奇点势函数（单独源或源和正规偶极子）分布船体边界形成诱导流场势 这些奇性函数（格林函数）满足了拉普拉斯方程和所有边界条件（底部，自由面，无限远辐射），但船体上的不可穿透条件除外不可穿透条件化为需数值求解的积分方程 长久以来，此方程的求解遇到了困难：体现在格林函数计算和有效求解线性方程组的数值算法现在，绕- 辐射水动力分析问题可在计算机上进行求解，变为工程工具 大部分工业模型建立在积分方程上：将船体离散为许多小面元，在每个面元上源密度为常量。
最广泛使用的软件是麻省理工学院最初开发的WAMIT法国船级社开发的HYDROSTAR软件等 7.1 无界流场中源汇法 二维极坐标下，拉普拉斯算子可写为： 一个轴对称的解就是： 除了在奇点 处，它在整个区域内都是满足拉普拉斯方程的 Ø 二维点源（点汇） 定义二维点源的源强m，则单位时间内流量： 也就是说源强表示了注入流场中的体积流量如果 ，则为点汇 假如点源（点汇）位于 点，则 Ø 三维点源（点汇） 三维球坐标下，拉普拉斯算子可写为： 一个球对称的解是 类似地 ，除了在奇点处，它在整个区域内都是满足拉普拉斯方程的 定义三维点源的源强为ｍ，则 同样地 ，源强表示了注入流场中的体积流量如果m<0则为汇通过任一闭合面的体积通量为 如果用连续的源系来覆盖一个表面，流体中的速度除了在物体的尖角处以外将会处处为有限 首先以一个简单的问题来解释源的方法考虑无限流体中的一个圆柱体，希望求出它的垂荡附连质量 yzθη3R 式中： 为物体表面上的坐标； 是沿物体表面的积分变量； 为流体域中的坐标积分覆盖整个物体湿表面。
为源密度(严格地讲， 才是源密度）式(3.101)满足 方程应用物面条件可以求出 这可以用数值方法解得，步骤如下： 可以在物体表面分布源来求得速度势于是有: (3.101) (1) 将物体表面近似表达成N段直线如图3.19所示，分成16段 以直线段近似圆截面用于数值计算, 为线段中点 (2) 假设在每段上源密度为常数这意味着将式(3.101)近似为所有分段的和，即 (3) 在每段的中点 上满足物面边界条件首先将源密度标准化标准化的目的是将时间相关的项与未知的垂荡运动分离开来记作 每个单元的未知数 可通过建立下面的线性方程组求解： 积分符号中括号内的项为 当对 微分的时候，应该认为 与 为变量这表明 这里 和 分别为物体表面法向量 的 和 分量在圆柱体的情况下 ， 式(3.104)表明我们必须求解一个方程组，其形式如下： 式中： 和 都从1到16，称为影响系数， 这表明如果 单元源强密度为1，它在单元i中点的诱导速度等于 。
此点的总法向速度为每个单元在此点的诱导速度的和，记为 为了满足边界条件，此点的总法向速度应该等于前面所述的i 单元的速度 (4) 标准化的速度势可以定义为: (5) 确定附连质量的压强部分可由下式计算： (6) 最终的垂向力可由下式计算： 由附连质量和阻尼的定义二维垂荡的附连质量可以写成 式(3.102)和(3.104)的积分可以有解析解通过研究在y轴上0与1之间的分段上源强分布的影响，可以展示怎样做到这一点 相对应的速度可以写成: 本节将展示如何应用源汇法分析大体积结构物上的线性波浪诱导运动和载荷以一条船作为例子，首先展示如何求得垂荡的附连质量和阻尼假设船没有前进速度速度势由下列方程决定： 7.2 考虑波浪效应的三维源汇法 整个流场域内在船体平均位置以外的平均自由面 在船体表面平均位置处 在有限水深 处： (3.116) 在无限水深 的情况 辐射条件 (3.114)(3.115)(3.117)(3.113) 对于稳态一阶水动力分析，速度势和自由面边界条件可进一步简化为： 辐射条件(式(3.117))没有写成数学条件，但在物理上必须保证波浪从船身向外传播。
深水中三维辐射波系的一个例子是 式中 是运离物体的水平距离如果将 代替 就会有一个圆形的入射波系注意在远处 以及波幅如 一样衰减 可以证明边值问题的解能用满布船体平均湿表面的源来描述然而，源速度势与无限流体原速度势即式(3.97)不同速度势应该修正，使式 (3.114)、(3.116) 和(3.117)都能满足修正显然也要满足Laplace方程源密度的强度由满足船体边界条件 (3.115) 求得Havelock(1942，1955)曾证明水深无限时源的速度势可记为下式的实部： 式中： 为复数单位， 当r较大时，可以证明括号内第三项与最后两项相比可忽略不计这就意味着已经证明源速度势在离点源远处描述的是辐射波，也可证明自由液面条件（见式(3.114)）能够满足图3.21显示由源生成的波系图像 零平均速度的简谐摇荡源引起的波场现象 强迫垂荡速度势的解可以用满布船体平均湿表面的源来表示: 其中无限水深问题中的源函数 由式(3.119)给出也称格林函数。
源密度 是实部和虚部组成的复数，由物面边界条件确定 首先引入标准化源密度，使得: 由物面边界条件可以导出一个关于 的积分方程 这个积分方程一般不能求得解析解所能做的是将船体表面划分单元使问题离散化，并令每个单元上源密度为常量图3.24展示了如何将一个船体表面用平面四边形单元来近似在这个例子中单元总数N为810船体水下部分用四边形近似代替，网格810 对边界积分方程的离散化引出了与无限流场中圆柱的强迫垂荡问题相似的一组未知源密度的线性方程要指出的不同点是： （1）在波浪问题中源的密度是复数源密度与垂荡速度一般不同相也不是180°异相这意味着如果用N 个单元来近似船体表面将产生N个未知的实部和N个未知的虚部，或者说N个复数未知量 （2) 在波浪问题的数值计算中，源的表达式要比无限流场问题复杂得多 (3) 在二维问题和三维问题中，在同一个单元上分布的源所引起的法向速度不同 式子中 是 的形心 (4) 如果速度势由满布船体表面的兴波源来表达的话，解并不在所有的摇荡频率下都存在。
对于浸入水表面的船体来说，存在无穷多的不连续频率（不规则频率），导致了三维源汇法的失效(John，1950) 必须强调的是，不规则频率并不是由任何物理现象造成的所以如果采用其他的解法，可能求得在不规则频率下用源汇法的解其他解法的一个例子是采用纯解析解在极特殊的情况下这是有的，比如计算一个垂直固定于海床并高出自由表面的柱体的波浪载荷(McCamv和Fuchs，1954) Lee和Sclavounos在1989年提出了一种避免不规则频率的实际方法 （5）在三维问题中，船体表面的网格通常选用平面四边形单元 用单元近似船体表面没有唯一的方法但应该时刻记住在每个单元上要假定源密度和流体压力保持定值因此在流动情况变化较大的区域应采用较小的单元，比如尖角周围的单元划分 物面边界条件通常在几何中心处满足选择单元时，不能让一个单元的中心与另外一个单元的边界距离太近这是因为一个单元的诱导速度在其边界处是奇异的 所建立的求解步骤可以推广到任意模式的运动中去，例如，纵荡、横荡、横摇、纵摇和首摇运动(例如见Faltinsen．Michelsen，1974)，可以求得附连质量和阻尼矩阵。
也可以用物面边界条件 解决绕射问题其中 为人射势这样就可以求得波激载荷，如纵荡、横荡、垂荡的兴波力和横摇、纵摇、首摇的兴波力矩，然后可以建立求解六个自由度运动的方程组(见式(3.47)) 得到运动情况以后，可以用基于三维源汇分布的速度势表达式对流动作详细计算 7.3 基于面元法的工程数值计算与典型平台响应Ø 某半潜式平台线性水动力分析 平台主尺度平台主尺度 钻井平台数据 目标平台1/4几何模型 四分之一模型网格离散形式四分之一模型网格离散形式 网格1 均匀划分 网格2 均匀细化 纵荡附加质量和兴波阻尼系数 A11，B11 横荡附加质量和兴波阻尼系数 A22，B22 垂荡附加质量和兴波阻尼系数 A33，B33 横摇附加质量和兴波阻尼系数 A44，B44 纵摇附加质量和兴波阻尼系数 A55，B55 首摇附加质量和兴波阻尼系数 A66，B66 一阶波浪力Fx 浪向角0° 一阶力Fy浪向角90° 一阶力Fz浪向角0° 一阶力Mx浪向角90° 一阶力My浪向角0° 一阶力Mz浪向角45° 纵荡运动幅值响应函数 浪向角0° 横荡运动幅值响应函数 浪向角90° 垂荡运动幅值响应函数 浪向角0° 横摇运动幅值响应 浪向角90 纵摇运动幅值响应函数 浪向角0° 首摇运动幅值响应 浪向角45° Ø 某钻井船一阶水动力分析深海钻井船主要参数深海钻井船主要参数 深海钻井船模型 纵荡附加质量和兴波阻尼系数 横荡附加质量和阻尼系数 各个浪向下纵向波浪力幅值响应函数 各个浪向下横向波浪力幅值响应函数 各个浪向下垂向波浪力幅值响应函数 。