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1、第2讲 数理力学基础1第2讲 数理力学基础2.1 矩阵算法2.2 弹性力学基础2.3 泛函和变分法22.1 矩阵算法l线性方程组的表示l行向量和列向量l矩阵加、减、乘法运算l矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵l矩阵行列式l矩阵求逆l矩阵的微分和积分l正定矩阵（正定二次型）3线性方程组的表示求解方法：高斯消元法、迭代法4行向量和列向量5矩阵加、减、乘法运算6对称方阵矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵7或矩阵行列式奇异矩阵(方阵)8如果方阵A的行列式则其逆存在，记为A的伴随矩阵矩阵的逆对于：线性方程组的求解，变为求解系数矩阵的逆矩阵9矩阵的微分和积分10二次型：含有n个变量的二次齐次多项式若取正定二次型则1
2、1利用矩阵及其运算，二次型可表示为A: 对称矩阵正定二次型：设为实二次型，如果对于任意的非零实向量X，都有，都有A: 正定矩阵12关于正定矩阵l正定矩阵是特殊的对称实矩阵l正定矩阵的对角元aii0l正定矩阵的行列式|A|0lA为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序主子式皆大于013二次型的微商对向量x各元素的偏导数142.2 弹性力学基础l关于弹性力学l五个基本假定l外力和内力l应力、应变、位移l指标记法和求和约定l张量及Voigt标记l平面问题基本方程及边界条件l三维问题基本方程及边界条件15关于弹性力学l弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下内力和变形分布规律的一门学科。力学学科研究对象特征
3、中学力学质点无变形理论力学质点系及刚体无变形材料力学简单变形体(构件)小变形结构力学数量众多的简单变形体小变形弹性力学任意变形体小变形弹塑性力学任意变形体任意变形力学学科各分支的关系16五个基本假定l连续性：无空隙，能用连续函数描述l均匀性：各个位置物质特性相同l各向同性：同一位置的物质各个方向上具有相同特性l线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状l小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建立基本方程时可以忽略高阶小量。17外力和内力l体力分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。l面力分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。分布力：连续分布在表面某一范围内集中力：分布力的
4、作用面积很小时的简化l内力外力作用下，物体内部相连各部分之间产生的相互作用力。18位移、应力、应变对变形体受力和变形进行描述的基本变量l位移物体变形后的形状l应力物体的受力状态l应变物体的变形程度19位移l位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示。20应 力物体内某一点的内力F1F2F3 应力S在其作用截面上的法向分量为正应力，切向分量称为剪应力，用表示。21显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。 22一点
5、的应力状态无穷小正六面体,六面体的各棱边边平行于坐标轴23l第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。l正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用一个下标。 l应力分量的方向定义 ：如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。24l剪应力互等 l物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量来表示 或25应变l物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。l各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用表示。l两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用表示。
6、dL+dudL26l与应力的定义类似，物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表示：或27指标记法和求和约定l自由指标：表达式每一项中只出现一次的下标，如ij ,其中i,j为自由指标，可以自由变化。三维问题中， i,j的变化范围为1,2,3，分别和直角坐标系三个坐标轴x,y,z对应。l重复指标（哑指标）：表达式的每一项中重复出现的下标，如aijxj=bi ，j为哑指标。l求和约定：哑指标意味着求和。 爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、连爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、连续介质力学等学科中续介质力学等学科中, ,对于表达式和推导的简化对于表达式和推导的简化, ,有着十分重要的作用。有着
7、十分重要的作用。28按一般写法：用指标记法，则为 （指标变化范围为1,2,3） 采用指标记法后，方程(组)的表达形式得到简练。29张量及Voigt标记l大部分连续介质力学和有限元相关的文献采用张量符号和指标记法l张量的定义：不同坐标系下满足一定变换关系的物理量,如 u, , l张量通常采用指标记法表示0阶张量(标量)：无自由指标的量1阶张量(矢量)：有1个自由指标的量，如ui2阶张量：有2个自由指标的量，如ij , ijn阶张量：有n个自由指标的量30l一点的应力状态和应变状态都符合张量的定义，指标记法为ij 和ij，是二阶张量31对张量的理解l张量不随坐标系的改变而改变例如位移矢量ui ：无
8、论从哪一个坐标系观察，它反映的总是A点移动到B点的客观事实，不随观察者所在的坐标系而改变。再如应力张量ij和应变张量ij ，尽管在不同的坐标系中具有不同的分量，但是它们所描述的却是某点的同一个应力和应变状态。32Voigt标记l含义：在有限元编程中，常常将对称的二阶张量写成列向量，将非常棘手的对称四阶张量（如弹性系数矩阵Dijkl）转换成二阶张量。这种转换过程称为voigt标记。l转换规则：应力张量（动力学量）的转换应变张量（运动学量）的转换33应力张量的Voigt标记34应变张量的Voigt标记剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。35弹性系数矩阵的Voigt标记36平面问题及其基本
9、方程l弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。37平面应力问题很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 由于板很薄：38平面应变问题很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。 39三大类基本方程 在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡方程：内力和外力的关系几何方程：应变和位
10、移的关系物理方程（本构方程）：应力和应变的关系40平衡方程ab=dxad=dy41习惯上张量指标形式：单位体积力42几何方程43张量指标形式：44物理方程 平面应力问题：平面应变问题：张量指标形式：45边界条件oxyds外法线n的方向余弦 l=dy/ds m=dx/ds46位移BC力 BC张量指标形式：47三维问题基本方程及边界条件 可以将平面问题的基本方程推广到三维问题。基本变量如下：位移：应变：应力：48平衡方程柱坐标系下：49几何方程50物理方程51边界条件52三维问题基本方程的张量指标形式平衡方程：几何方程：物理方程：边界条件：53轴对称问题l轴对称物体 ：某一平面图形绕平面上某一轴旋
11、转形成的回转体。此平面称子午面。 l 轴对称物体轴对称约束轴对称载荷轴对称系统 l对轴对称系统的应力分析轴对称问题 54受均布内压作用的长圆筒55l研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系(r,z)，以z轴为对称轴l由于对称性: 4个应力分量，4个应变分量，2个位移分量56轴对称问题的平衡方程建立柱坐标系57轴对称问题的几何方程 58轴对称问题的物理方程59602.3 泛函和变分法l泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。变变 量量函函 数数函函 数数泛泛 函函61为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线”？曲线曲线y=y(x) 是是
12、x 函数函数曲线的长度曲线的长度L=L(y(x) 是是 y(x) 的的泛函泛函在xy平面内有两定点A、B，连接A、B有很多条曲线y=y(x)，x是自变量，y是独立函数。曲线的长度L是随不同的曲线而定的，L是一个泛函。62泛函的定义l设y(x)是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一函数y(x) 恒有某个确定的数与之对应，记为(y(x)，则(y(x)是定义于集合y(x)上的一个泛函。泛函定义域内的函数为可取函数或容许函数， y(x) 称为泛函的变量函数变量函数。泛函(y(x)与可取函数y(x)有明确的对应关系。泛函的值是由一条可取曲线的整体性质决定的。63变分法l变分法是在一组容许函数中选定一个
13、函数，使给定的泛函取驻值（研究求泛函极大(小)值的方法）。l对变分法有重大影响的三个历史命题最速降线问题（1696,John Bornouli）短程线问题（1697,John Bornouli）等周问题（1774,欧拉）64最速降线问题l试确定出连结不在同一铅直线上的试确定出连结不在同一铅直线上的A、B两点的两点的一条曲线，使得当质点沿着这条曲线在重力作一条曲线，使得当质点沿着这条曲线在重力作用下，由用下，由A运动到运动到B所用的时间最少所用的时间最少65666768短程线问题6970二类变分问题71变分算符l变量函数的变分对于泛函(y(x)定义域中的任一元素y(x)，当y(x)由y0(x)变
14、为y1(x)，则称y1(x)- y0(x)为y(x)在y0(x)上的变分，记作y= y1(x)- y0(x)，仍然是一个函数l常记作l变分y和微分dy的差别变分y整个函数的改变微分dy因x取不同值而产生 的差异72l泛函的变分泛函的变分是泛函的变分是函数微分函数微分概念的推广。概念的推广。泛函的变分是泛函随变量函数泛函的变分是泛函随变量函数y(x)的微小增量y而产生的增量的线性部分。函函 数数:泛泛 函函:73泛函的极值函数函数极值极值:泛函泛函极值极值:多元函数多元函数极值极值:或74对第一类变分问题求泛函极值75变分运算规则 变分算符和微分算符可以互换。变分算符和微分算符可以互换。 变分与微分的运算基本相似。变分与微分的运算基本相似。76变分法基本预备定理77最短线问题求解78
