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1、第九章第九章 空空间轴对间轴对称称问题问题 本本章章讨讨论论空空间间轴轴对对称称问问题题的的基基本本方方程程和和一一些些轴轴对对称称问问题题的的基基本本解解。对对于于一一般般空空间间问问题题的的解解法法我我们们在在第第五五章章已已有有讨讨论论，但但一一般般空空间间问问题题一一般般解解（具具体体求求解解）通通解解讨讨论论在在杜杜庆庆华华等等编编著著的的“弹弹性性理理论论”中中有有较较多多的的论论述述。我我们们不不刻刻意意从从数数学学上上论论述述一一般般空空间间问问题题一一般般解解的的表表达达式式，而而对对于于空空间间轴轴对对称称问问题题作作一一些些讨论讨论和和举举例。例。9/18/20249/1
2、8/20241 1编辑编辑pptppt 1.11.1空空间轴对间轴对称称问题问题特点：特点： 1. 1. 域内所有物理量（体力、面力、位移、域内所有物理量（体力、面力、位移、应应力、力、应变应变）均）均为为r、z的函数。的函数。 与平面与平面轴对轴对称称问题类问题类似，空似，空间轴对间轴对称称问问题题的求解域、荷的求解域、荷载载和和约约束束绕绕某一某一轴轴（z轴轴）对对称，称，导导致如下致如下简简化，化， 2 2荷荷载载：体力：体力f =0，面力，面力 ，位移，位移u u =0=0，应应力力 r = z =0，应变应变 r = z =0。第一第一节节 空空间轴对间轴对称称问题问题的基本方程的基
3、本方程9/18/20249/18/20242 2编辑编辑pptppt第一第一节节 空空间轴对间轴对称称问题问题的基本方程的基本方程3待求的物理量（待求的物理量（10个）个）：ur、w、 r、 、 z、 rz= zr、 r、 、 z、 rz= zr1.1.平衡微分方程（两个）：平衡微分方程（两个）：9/18/20249/18/20243 3编辑编辑pptppt2.几何方程（四个）：几何方程（四个）：第一第一节节 空空间轴对间轴对称称问题问题的基本方程的基本方程3.3.变变形形协调协调方程（四个）方程（四个）9/18/20249/18/20244 4编辑编辑pptppt4.物理方程（四个）：物理方
4、程（四个）：第一第一节节 空空间轴对间轴对称称问题问题的基本方程的基本方程9/18/20249/18/20245 5编辑编辑pptppt r= e 2G r、 = e 2G 、 z= e 2G z、 rz=G rz 第一第一节节 空空间轴对间轴对称称问题问题的基本方程的基本方程其中其中 体体积应变积应变或或 9/18/20249/18/20246 6编辑编辑pptppt第一第一节节 空空间轴对间轴对称称问题问题的基本方程的基本方程位位移移边边界界：在在Su上上6.按按应应力解法力解法 力的力的边边界：在界：在r=r0在在z=z0四个四个应应力分量力分量 r、 、 z、 rz 为为基本未知量。基
5、本未知量。9/18/20249/18/20247 7编辑编辑pptppt基本方程（六个）：基本方程（六个）：两个平衡微分方程与两个平衡微分方程与四个用四个用应应力表示的力表示的变变形形协协调调方程；方程；再加上力的再加上力的边边界条件。界条件。第一第一节节 空空间轴对间轴对称称问题问题的基本方程的基本方程如如果果体体力力为为零零时时，基基本本方方程程为为齐齐次次方方程程，则则可可采采用用应应力力函函数数解解法法，引引入入应应力力函函数数 (r,z) ，使得使得应应力用力用 (r,z) 表示表示:9/18/20249/18/20248 8编辑编辑pptppt第一第一节节 空空间轴对间轴对称称问题
6、问题的基本方程的基本方程 (r,z)满满足足第第一一个个平平衡衡微微分分方方程程，而而第第二二个个平平衡衡方程及四个相容方程，共同要求方程及四个相容方程，共同要求 2 2 = 4 =0 (r,z)应满应满足的基本微分方程。足的基本微分方程。9/18/20249/18/20249 9编辑编辑pptppt7按位移法解按位移法解第一第一节节 空空间轴对间轴对称称问题问题的基本方程的基本方程其中其中a基本未知函数：基本未知函数：ur和和w基本方程两个：基本方程两个：并考并考虑虑适当的适当的边边界条件。界条件。9/18/20249/18/20241010编辑编辑pptpptb.引引入入Love（拉拉甫甫
7、、勒勒夫夫）位位移移函函数数（当当无无体体力作用力作用时时）第一第一节节 空空间轴对间轴对称称问题问题的基本方程的基本方程对对于于位位移移法法的的基基本本方方程程的的解解可可由由考考虑虑体体力的一个特解加上力的一个特解加上齐齐次方程的通解。次方程的通解。轴轴对对称称问问题题齐齐次次拉拉梅梅方方程程的的通通解解可可以以引引入入一一个个Love位移函数位移函数 (r,z),使得位移由使得位移由 (r,z)表示：表示：9/18/20249/18/20241111编辑编辑pptppt代代入入齐齐次次拉拉梅梅方方程程，第第一一式式自自然然满满足足，而而第第二式二式为为基本方程：基本方程： 4 =0 (r
8、,z)为为双双调调和方程。和方程。第一第一节节 空空间轴对间轴对称称问题问题的基本方程的基本方程同同时应时应力分量由力分量由 (r,z)表示表示为为：9/18/20249/18/20241212编辑编辑pptppt轴轴对对称称问问题题按按位位移移求求解解，归归结结为为寻寻找找一一个个恰恰当当的的重重调调和和函函数数 (r,z)，使使按按其其导导出出位位移移和和应应力能力能满满足足给给定的定的边边界条件。界条件。第一第一节节 空空间轴对间轴对称称问题问题的基本方程的基本方程比比较较应应力力函函数数解解法法和和love位位移移法法知知： (r,z)= (r,z)9/18/20249/18/2024
9、1313编辑编辑pptppt第二第二节节半空半空间间体在体在边边界上受法向集中力界上受法向集中力（Boussinesq问题问题）半半空空间间体体，体体力力不不计计，边边界界受受法法向向集集中中力力P作用作用.轴对轴对称称问题问题，P作用在坐作用在坐标标原点上。原点上。zRrPx yz已已知知，当当z=0且且r 0时时, z=0, zr=0；当当R 0时时，应应力奇异。力奇异。当当R 时时，R=(r2+z2)1/2，应应力、位移力、位移 0；9/18/20249/18/20241414编辑编辑pptppt选选 (r,z)为为r和和z的正一次的正一次幂幂式式: (r,z) = A1R+ A2R -
10、 zln(R+z)为为双双调调和函数和函数第二第二节节半空半空间间体在体在边边界上受法向集中力界上受法向集中力（Boussinesq问题问题）Boussinesq采采取取Love函函数数求求解解， (r,z)为为重重调调和和函函数数，由由 (r,z)的三次微分的三次微分导导出出应应力。力。zRrPx yz9/18/20249/18/20241515编辑编辑pptppt (r,z) = A1R+ A2R - zln(R+z)则则 (r,z) 自然自然满满足足 4 =0 。代入位移、代入位移、应应力力计计算式算式.第二第二节节半空半空间间体在体在边边界上受法向集中力界上受法向集中力（Boussin
11、esq问题问题）zRrPx yz位移：位移：9/18/20249/18/20241616编辑编辑pptppt应应力：力： 第二第二节节半空半空间间体在体在边边界上受法向集中力界上受法向集中力（Boussinesq问题问题）9/18/20249/18/20241717编辑编辑pptppt根据根据边边界条件来确定界条件来确定A1和和A2：第二第二节节半空半空间间体在体在边边界上受法向集中力界上受法向集中力（Boussinesq问题问题）zRrPx yz在在z=0且且r 0边边界上界上, z=0自然自然满满足。足。在在z=0且且r 0边边界上界上, zr=0（1-2 ）A1+A2 =0(a)9/18
12、/20249/18/20241818编辑编辑pptppt在在z= z0 0平平面面上上，要要求求 z的合力与的合力与P平衡。平衡。还还需一个条件（包括需一个条件（包括P的）。的）。第二第二节节半空半空间间体在体在边边界上受法向集中力界上受法向集中力（Boussinesq问题问题）将将 z 表达式代入，得表达式代入，得zPrrdrz0 z9/18/20249/18/20241919编辑编辑pptppt P - 4 A1(1- ）- 2 A2 =0(b)第二第二节节半空半空间间体在体在边边界上受法向集中力界上受法向集中力（Boussinesq问题问题）而而9/18/20249/18/2024202
13、0编辑编辑pptppt由式由式(a)、(b)解得解得 A1 =P/(2 ) 、A2 =-（1-2 ）P /（2 ） 第二第二节节半空半空间间体在体在边边界上受法向集中力界上受法向集中力（Boussinesq问题问题） 代代回回位位移移、应应力力表表达达式式，见见徐徐芝芝纶纶（上上册册）P.297（917）、（918）式式，称称为为Boussinesq问题问题解。解。由由P.297（917）、（918）式式见见：位位移移和和应应力随力随R 的增加而减小。的增加而减小。9/18/20249/18/20242121编辑编辑pptpptPrz第二第二节节半空半空间间体在体在边边界上受法向集中力界上受法
14、向集中力（Boussinesq问题问题）在在z=0平面上平面上9/18/20249/18/20242222编辑编辑pptppt第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力q已知条件：半空已知条件：半空间间体在体在边边界上受界上受均布法向荷均布法向荷载载q作用，在半径作用，在半径为为a的的圆圆面面积积。zaqar寻寻求解答：求解答：1.z =0边边界上的沉陷界上的沉陷w z=0= ?2.r =0（对对称称轴轴）上的）上的应应力和位移。力和位移。求求解解方方法法：采采用用叠叠加加法法和和半半空空间间体体边边界界受受法法向向集中力集中力P的的计计算算结结果求解。果求解。9/1
15、8/20249/18/20242323编辑编辑pptppt3.1边边界上一点界上一点M的的竖竖向位移向位移w：第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力qM点点为圆为圆面面积积之外：之外： M点可以在荷点可以在荷载圆载圆面面积积之之外也可在之内。外也可在之内。zaqar当半空当半空间间体体边边界上受法向集中力界上受法向集中力P时时，边边界上距界上距P点点为为r的点的点竖竖向位移向位移为为：9/18/20249/18/20242424编辑编辑pptppt圆圆面面积积均布荷均布荷载载q对圆对圆外外M 点点竖竖向位移影响可向位移影响可取一个微面元，距取一个微面元，距M点点为
16、为s，角度，角度为为 处处，dA=sd ds，dA上上q对对M点影响：点影响：第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力qrraMs1s2sdsdzaqar9/18/20249/18/20242525编辑编辑pptpptrraMs1s2sdsd第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力q9/18/20249/18/20242626编辑编辑pptppt整体整体圆圆面面积积荷荷载对载对M点影响点影响为为第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力q而而rraMs1s2sdsd9/18/20249/18/20242727编辑
17、编辑pptppt 1为为M点作点作为圆为圆相切相切线线OM线线的的夹夹角角第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力qrraMs1s2sdsd为为了了简简化化积积分分将将积积分分变变量量 转变为转变为 9/18/20249/18/20242828编辑编辑pptppt由由由由图图图图形形形形可可可可见见见见 asinasin =rsin=rsin , ,两两两两边边边边微分微分微分微分 acosacos d d = rcos = rcos d d 第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力qrraMs1s2sdsd9/18/20249/18/2
18、0242929编辑编辑pptppt第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力q 的取的取值值范范围围：由：由0 1rraMs1s2sdsdq的取的取值值范范围围：0 9/18/20249/18/20243030编辑编辑pptppt第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力q9/18/20249/18/20243131编辑编辑pptppt第二第二第二第二类椭圆积类椭圆积类椭圆积类椭圆积分分分分第一第一第一第一类椭圆积类椭圆积类椭圆积类椭圆积分分分分第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力q对对于不同于不同a/r可由可
19、由椭圆积椭圆积分表得到。分表得到。9/18/20249/18/20243232编辑编辑pptppt2M点点载载荷在荷在圆圆之内：之内：Masdsdrmn第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力q圆圆内内距距M点点s处处微微面面积积q对对M点沉陷的影响仍点沉陷的影响仍为为9/18/20249/18/20243333编辑编辑pptppt整个整个圆圆面面积积荷荷载载引起引起M点沉陷点沉陷为为：第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力q第二第二类椭圆积类椭圆积分分利用利用asin =rsin 9/18/20249/18/20243434编辑编辑p
20、ptppt当当r= 0为圆为圆心心处处沉陷：沉陷：当当r= a时圆时圆周上沉陷：周上沉陷：3.2在在z轴轴r=0上的上的应应力和位移力和位移在在z轴轴上上的的应应力力和和位位移移比比同同一一水水平平面面上上其其它它点点的的应应力和位移要大。力和位移要大。第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力q9/18/20249/18/20243535编辑编辑pptppt1.应应力：由于力：由于z轴对轴对称称轴轴，所以在，所以在z 轴轴上的上的应应力力无剪无剪应应力，均力，均为为主主应应力：力： r= 、 z第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力q9
21、/18/20249/18/20243636编辑编辑pptppt2位移：位移：z轴轴上的上的ur= 0，仅仅存在存在w第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力q9/18/20249/18/20243737编辑编辑pptppt第三第三节节半空半空间间体在体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力q9/18/20249/18/20243838编辑编辑pptppt第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力 接接触触压压力力问问题题是是在在机机械械工工程程、土土木木工工程程中中经经常常碰碰到到的的问问题题，接接触触问问题题在在18811881年年由由德德国国赫赫兹兹
22、（Heinrich Herty）首首先先用用数数学学弹弹性性力力学学导导出了出了计计算公式。算公式。4.1 4.1 接触接触问题问题的特点：的特点： 1两两个个弹弹性性体体互互相相接接触触，当当无无压压力力作作用用时时，为为点点接接触触或或线线接接触触。当当有有压压力力作作用用时时，弹弹性性体体发发生生变变形，点接触（或形，点接触（或线线接触）接触）变为变为面接触。面接触。9/18/20249/18/20243939编辑编辑pptppt2弹弹性性体体变变形形后后的的接接触触面面为为非非常常小小的的局局部部区区域域（相相对对于于弹弹性性体体几几何何尺尺寸寸）所所以以可可看看成成半半空空间间（半半
23、无无限限平平面面）体体法法向向受受局局部部分分布布力力作作用用问问题题，但但这这里里分分布布力力q不不是是均均匀匀的的，同同时时q也未知，接触面的局部区域也是未知的。也未知，接触面的局部区域也是未知的。第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力3不不计计接触面摩擦力。接触面摩擦力。 9/18/20249/18/20244040编辑编辑pptppt 4.2 4.2 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力：力：已已知知两两球球体体变变形形前前在在o点点接接触触，两两个个坐坐标标系系roz1、roz2第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力rOz1z2O2O1R2R1球球1
24、：E1 、 1、R1球球2：E2 、 2、R2M1M2r距接触点距接触点z轴为轴为r的两球的两球表面上表面上M1和和M2点的点的z坐坐标标分分别为别为（M1和和M2与点与点o很近）很近）9/18/20249/18/20244141编辑编辑pptppt第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力rOz1z2O2O1R2R1M1M2r则则9/18/20249/18/20244242编辑编辑pptppt第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力在已知在已知P压压力作用下，两球在接触点附近力作用下，两球在接触点附近发发生生变变形有一个接触面，根据形有一个接触面，根据对对称性接触面
25、称性接触面为为以以a为为半径的半径的圆圆。rOz1z2O2O1R2R1M1M2rM1rPPoz1z2O1M2ar9/18/20249/18/20244343编辑编辑pptppt第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力 1 1a为为待待求求量量，同同时时接接触触面面上上有有接接触触压压力力q q（待求）。（待求）。2由由于于接接触触问问题题是是局局部部变变形形，在在球球体体远远离离o o点点的的任任意意点点位位移移为为刚刚体体位位移移。两两球球内内距距o点点很很远处远处的相的相对对位移（位移（刚刚体位移）体位移）为为 ？下下面面要要建建立立（找找出出）三三个个条条件件（几几何何、物
26、物理理、平衡方程）平衡方程）寻寻求求a、q和和 。9/18/20249/18/20244444编辑编辑pptppt第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力求求解解：首首先先根根据据接接触触面面变变形形（位位移移）来来建建立立一一个关系个关系球球1 1：触面上：触面上o点、点、M1点点沿沿z1轴轴位移位移为为w1(o)、w1而而 w1(o)= w1+ z1 M1rPPoz1z2O1M2ar9/18/20249/18/20244545编辑编辑pptppt第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力球球2 2：触面上：触面上o点、点、M2点点沿沿z2轴轴位移位移为为w2(o)
27、、w2 w2(o)= w2+ z2 而而w1(o)+w2(o)=w1+ z1+w2+ z2w1(o)+w2(o)=w1+w2+ r2或或M1rPPoz1z2O1M2ar9/18/20249/18/20244646编辑编辑pptppt而而w1(o)+w2(o)= 第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力两球体距两球体距o点点较远处较远处两点的两点的趋趋近距离。近距离。 = w1+w2+ r2 变变性性协调协调关系关系w1(o)+w2(o)=w1+w2+ r2由由于于接接触触问问题题可可看看成成半半无无限限体体受受局局部部垂垂直直分分布布力力问问题题，w1和和w2可可以以利利用上一用
28、上一节节的的结结果。果。M1rPPoz1z2O1M2ar9/18/20249/18/20244747编辑编辑pptppt第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力相当物理和几何关系相当物理和几何关系 9/18/20249/18/20244848编辑编辑pptppt代入代入 = w1+w2+ r2在此式中在此式中a、q 和和 未知。未知。第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力9/18/20249/18/20244949编辑编辑pptppt第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力 q与与P P 有关，有关，为寻为寻求解，赫求解，赫兹兹假假设设接触面接触面上
29、的分布力上的分布力q的。的。假假设设： q 分分布布为为以以a为为半半径径的的半半球球面面乘乘q0/a，q0为为接触面中心接触接触面中心接触压压力的集度。力的集度。9/18/20249/18/20245050编辑编辑pptppt第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力Masdsdrmnrrq0z9/18/20249/18/20245151编辑编辑pptppt第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力赫赫兹兹通通过这样过这样假假设设，并利用，并利用9/18/20249/18/20245252编辑编辑pptppt或或第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力得
30、得代回代回赫赫兹兹通通过过接触面上的接触接触面上的接触压压力的分布假力的分布假设设可使可使等式右端的等式右端的积积分分为为一个常数一个常数项项和和r2的二次的二次项项。9/18/20249/18/20245353编辑编辑pptppt第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力的的积积分，在任意分，在任意 rra9/18/20249/18/20245454编辑编辑pptppt第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力9/18/20249/18/20245555编辑编辑pptppt积积分得分得第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力比比较较上式两上式两边边得得9/18/20249/18/20245656编辑编辑pptppt将将代入可确定代入可确定a和和 。 第四第四节节 两球体之两球体之间间的接触的接触压压力力 q0、a和和 表达式表达式见见徐芝徐芝纶弹纶弹性力学（上册）性力学（上册）P.308（926） 、（、（927）式式，q0、a和和 确定确定后，可求球体内后，可求球体内应应力。力。9/18/20249/18/20245757编辑编辑pptppt
