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1、第五章第五章试验设计试验设计一、试验设计及其应用范围一、试验设计及其应用范围二、二、方差分析方差分析三、正交设计三、正交设计9/18/20241试验设计5一、试验设计及其应用范围一、试验设计及其应用范围试试验验设设计计发发源源于于英英国国，最最早早应应用用于于农农业业生生产产，在在考考察察各各种种肥肥料料及及施施肥肥量量对对农农作作物物产产量量的的影影响响时时，建建立立了了试试验验设设计计的的最最初初的的数数学学模模型型。随随着着生生产产的的发发展展，试试验验设设计计的的理理论论和和方方法法也也就就随随之之不不断断发发展展，各各种种有有效效的的试试验验方方法法越越来来越越广广泛泛地地被被各各个
2、个部部门门所所采采用用。在在质质量量管管理理中中使使用用试试验验设设计计主主要要有有下下面面二二个目的：个目的：1、通通过过试试验验，确确定定影影响响质质量量或或生生产产过过程程的的主主要要原因；原因；2、选择满足设计质量或产品质量的操作条件、选择满足设计质量或产品质量的操作条件。9/18/20242试验设计5试验设计的有关概念试验设计的有关概念1、指指标标。用用以以衡衡量量试试验验效效果果的的特特性性值值被被称称为为试试验验指指标标。试试验验指指标标通通常常分分为为两两大大类类型型：一一类类是是定定量量指指标标，直直接接用用数数量量来来表表示示的的指指标标，如如收收率率、产产量量、硬硬度度等
3、等；另另一一类类 是是定定性性指指标标，不不能能直直接接用用数数量量来来表表示示，只只能能凭凭感感觉觉或或感感官官(触触、观观、尝尝、嗅嗅等等)来来评评定定的的指指标标，如如棉棉花花的的手手感感与与 颜颜 色色 、 食食 品品 的的 酥酥 、 脆脆 、 香香 等等 。9/18/20243试验设计52、因因素素。影影响响试试验验指指标标（结结果果）的的原原因因称称为为因因素素，如如反反应应温温度度、时时间间、催催化化剂剂种种类类等等。有有些些因因素素可可以以在在试试验验的的过过程程中中人人为为的的加加以以调调节节与与控控制制，称称之之为为可可控控因因素素。如如反反应应温温度度、反反应应时时间间、
4、催催化化剂剂的的种种类类等等。另另一一类类因因素素是是由由于于自自然然、技技术术与与设设备备等等条条件件的的限限制制，暂暂时时还还不不能能人人为为调调控控，这这类类因因素素被被称称为为不不可可控控因因素素(随随机机因因素素)，例例如如地地面面的的轻轻微微震震动动等等。下下面面我我们们主主要要研研究究可可控控因因素素。9/18/20244试验设计53、水水平平因因素素在在试试验验中中所所处处的的各各种种状状态态称称为为因因素素的的水水平平，如如不不同同的的试试验验温温度度550C、6 00C、8 00C等等。根根据据试试验验的的需需要要，因因素素的的水水 平平 可可 以以 设设 为为 二二 水水
5、 平平 、 三三 水水 平平 等等 等等 。9/18/20245试验设计5二、二、方差分析方差分析1 1、单因素试验、单因素试验2 2、双因素试验、双因素试验9/18/20246试验设计51 1、单因素试验、单因素试验（1）单因素试验数据表）单因素试验数据表水平水平组号组号A1A2Am1x11x21xm12x12x22xm2nx1nx2nxmnX1。X2。Xm。x.X1。X2。Xm。x.9/18/20247试验设计5表中各符号定义如下：表中各符号定义如下：9/18/20248试验设计5(2)总变差总变差ST我们定义我们定义N=mn个数据个数据xij的的总变差总变差ST为：为：总变差总变差ST反
6、应了试验数据相对于数据均值离散反应了试验数据相对于数据均值离散程度（即波动）的大小。程度（即波动）的大小。9/18/20249试验设计5(3)因素因素A引起的引起的条件变差条件变差SA在在因因素素A的的各各水水平平下下，数数据据均均值值互互不不相相同同，它它们们之之间间的的差差异异主主要要是是由由于于因因素素A的的水水平平变变化化所所致致。这这些些均均值值之之间间的的离离差差平平方方和和称称之之为为条条件件变变差差， 记记为为SA，计计算算公公式式如如下下：9/18/202410试验设计5（4）试验误差试验误差Sev考察因素考察因素A的第的第i水平下的水平下的n个个数据：数据：xi1,xi2,
7、xin它它们也互不相同，这些差异是由于除了因素们也互不相同，这些差异是由于除了因素A以外的其以外的其它试验误差所引起的。我们称因素它试验误差所引起的。我们称因素A在同一水平下，在同一水平下，n个数据之间的个数据之间的离差平方和离差平方和为为试验误差试验误差，记为，记为Se，其计算公式如下：其计算公式如下：9/18/202411试验设计5(5)分解公式分解公式前前面面已已经经介介绍绍了了数数据据的的总总变变差差ST，因因素素A引引起起的的条条件件变变差差SA，以以及及试试验验误误差差Se。从从直直观观上上看看,引引起起数数据据总总变变差差ST的的原原因因，不不外外乎乎因因素素A及及除除因因素素A
8、以以外外的的 其其 它它 试试 验验 误误 差差 。 所所 以以 应应 当当 有有 ：STSASe。事实上，下面的推导验证了这种想事实上，下面的推导验证了这种想法是正确的。法是正确的。9/18/202412试验设计5称之为波动平方和分解公式称之为波动平方和分解公式9/18/202413试验设计5（6）小结）小结1）试试验验误误差差：Se由由于于试试验验过过程程中中各各种种偶偶然然因因素素及及测测量量误误差差引引起起在在同同一一试试验验温温度度下试验结果有差异。下试验结果有差异。2）条条件件变变差差：SA由由试试验验条条件件不不同同导导致致试试验验结结果果不不同同，在在本本例例中中各各种种温温度
9、度下下的的试试验结果的差异即属这类变量。验结果的差异即属这类变量。3）总总变变差差：ST试试验验误误差差和和条条件件变变差差之之和和称为总变差，且：称为总变差，且：ST=Se+SA9/18/202414试验设计5（7）用方差分析解决这类问题的思路是：）用方差分析解决这类问题的思路是： a、利利用用试试验验数数据据的的总总变变差差分分解解出出条条件件变变差和试验误差；差和试验误差；b、将条件变差与试验误差在一定意义下将条件变差与试验误差在一定意义下进行比较进行比较,如两者之比值不显著如两者之比值不显著,则说明则说明条件对试验结果影响不大条件对试验结果影响不大,反之反之,则说明则说明条件对试验结果
10、有影响；条件对试验结果有影响；c、若若条条件件的的影影响响是是显显著著的的，可可据据此此选选择择好的工艺条件或确定进一步试验的方向。好的工艺条件或确定进一步试验的方向。 9/18/202415试验设计5（8 8）变差的数量表示）变差的数量表示设设有有数数据据：x1,x2, ,xn，它它们们的的变变差差平平方和以下式表示。方和以下式表示。其中其中:9/18/202416试验设计5（9 9）自由度的一般定义）自由度的一般定义设有设有: : x1, x2, ,x xn n的自由度取决于的自由度取决于 x xi i之间的之间的m m个线性约束关系个线性约束关系 。如如果果有有m个个(0mn)线线性性约
11、约束束方方程程,即即:9/18/202417试验设计5并且这并且这m个方程是相互独立的，则个方程是相互独立的，则：的的自自由由度度f=n- -m。求求自自由由度度的的目目的的主主要要是是为为了了消消除除数数据据量量的的差差异异对对变变差差平平方方和和的影响。的影响。定义下式为定义下式为均方均方： 9/18/202418试验设计5单因素试验的方差分析计算表单因素试验的方差分析计算表 A1A2AiAm1x11x21xi1xm12x12x22xi2xm2jx1jx2jxijxmjnx1nx2nxinxmn9/18/202419试验设计5Xx1jx2jxijxmj(X)2(x1j)2(x2j)2 (x
12、ij)2(xmj)2X2x1j2x2j2xij2xmj29/18/202420试验设计5引入下列记号引入下列记号9/18/202421试验设计5为了利用上表进行各项平方和的计算，为了利用上表进行各项平方和的计算，下面对表达式作些演变。下面对表达式作些演变。9/18/202422试验设计59/18/202423试验设计59/18/202424试验设计5单单因素试验方差分析表因素试验方差分析表1方差来源方差来源 平方和平方和自由度自由度均方均方F比比因素因素ASAm-1误差误差SeN-m总和总和STN-19/18/202425试验设计5单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析例：考察温度对某一化工
13、产品的得率的影响。例：考察温度对某一化工产品的得率的影响。温度（温度（oc）6065707580得率（得率（%）909796848492939683868892938882平均得率（平均得率（%） 9094958584将该表数据适当线性处理将该表数据适当线性处理（x-90）得下表：得下表：利用方差分析表来计算下面的例子：利用方差分析表来计算下面的例子：见下表见下表9/18/202426试验设计5对下表用方差分析表求解对下表用方差分析表求解60oC65oC70oC75oC80oC02-2732663-6-7-2-6-4-8()2200812144621522581-1522589-1832411
14、6-69183569/18/202427试验设计59/18/202428试验设计5由由数理统计知识得知：数理统计知识得知：9/18/202429试验设计5均方：均方： 9/18/202430试验设计5方差分析表方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F临界临界F值值温度温度303.6475.915.18*F0.01=6.0误差误差50.0105总和总和353.6149/18/202431试验设计5a、F0.01F，因因素素的的影影响响特特别别显显著著,记记为为“*”；b、F0.05FF0.01，因素的影响显著因素的影响显著,记为记为“*”；c、F0.10FF0.05，因素有影
15、响记为因素有影响记为“(*)”；d、F0.25FF0.10，因因素素有有一一定定影影响响记记为为“*”；e、FF0.25，因素无明显影响因素无明显影响不作记号。不作记号。相应相应F临界值比较，常用的判断标准如下；临界值比较，常用的判断标准如下；影响的显著性，即将影响的显著性，即将 与一定显著性水平与一定显著性水平的的由统计学知由统计学知F分布，分布，判断条件对试验结果判断条件对试验结果9/18/202432试验设计5注：注：a a、如自由度如自由度fe太小会降低太小会降低F检验的灵敏检验的灵敏度，如某因素本来有显著影响，但度，如某因素本来有显著影响，但F检验检验却检验不出来。却检验不出来。fe
16、越大，则越大，则F检验灵敏度检验灵敏度越高，但越高，但fe大也意味着试验次数增加，费大也意味着试验次数增加，费用增加。一般情况希望保证用增加。一般情况希望保证fe在在510。9/18/202433试验设计5b、F值值特特别别小小，例例如如大大大大小小于于1，这这种种情情况况一一般般不不应应发发生生，其其原原因因可可能能是是取取样样或或测测量量中中有有系系统统误误差差或或是是实实验验结结果果的的有有效效位位数数取取得得太小等原因。太小等原因。c、试试验验的的随随机机化化，例例如如将将例例中中的的15个个试试验验按按温温度度条条件件分分三三批批，每每批批5个个试试验验不不是是按按顺顺序序，而而是是
17、先先将将它它们们编编号号，然然后后用用随随机机数数表表等等方方式式决决定定它它们们的的试试验验次次序序。这这样样的的目目的的是是为了尽量减少人为因素等的影响。为了尽量减少人为因素等的影响。9/18/202434试验设计5不等重复数的单因素试验不等重复数的单因素试验在在前前面面讨讨论论的的例例子子中中，不不同同试试验验条条件件下下的的试试验验重重复复数数是是相相同同的的，在在实实践践中中，并并不不总总是是能能满满足足这这种种情情况况，有有时时试试验验条条件件不不允允许许，或或试试验验数数据据失失落落不不全全等等会会造造成成各各试试验验条条件件下下的的试验数据量不等，即试验重复数不等。试验数据量不
18、等，即试验重复数不等。对对重重复复数数不不等等的的单单因因素素试试验验的的方方差差分分析析与与重重复复数数相相等等时时很很相相似似，在在计计算算时时只只需需对对P、Q、R稍作修改。稍作修改。设设因因素素A有有m个个试试验验条条件件，各各个个试试验验条条件件相相应应的的试试验验重重复复数数是是r1,r2,rm，共共N N个个数据，令：数据，令：9/18/202435试验设计5A1A2AmX11X21Xm1X12X22Xm2X1r1X2r2XmrmXx1jx2jxmj(X)2(x1j)2(x2j)2(xmj)2X2x1j2x2j2xmj29/18/202436试验设计5各平方和的计算公式为各平方和
19、的计算公式为:ST=R-P, SA= Q-P, Se=R-Q9/18/202437试验设计5单因素试验方差分析表单因素试验方差分析表2方差来源方差来源 平方和平方和自由度自由度均方均方F比比因素因素ASAm-1误差误差SeN-m总和总和STN-19/18/202438试验设计5例：例：六种不同的农药，分析它们在杀虫六种不同的农药，分析它们在杀虫率方面有无明显的差异，试验结果如下率方面有无明显的差异，试验结果如下: :农药农药杀虫率杀虫率（%）879156559275858962489972808795819592解：设解：设xij= xij-80，简化后的数据，及简化后的数据，及其计算表如下其
20、计算表如下: : 9/18/202439试验设计5711-24-2512-559-18-3219-8071511512ri342243181242-42-5758-121()21441764176432493364144()2/ri484418821624.5841483884.527447690016498749040639/18/202440试验设计59/18/202441试验设计59/18/202442试验设计5方差分析表方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F临界临界F值值农药农药3884.45776.952.2*F0.01=5.1误差误差178.51214.9总和
21、总和4062.917注注：当当试试验验总总次次数数相相等等时时，等等重重复复数数试试验验的的精精度度比比不不等等重重复复数数试试验验要要高高，因因此此，应应尽尽量量避免不等重复数试验。避免不等重复数试验。9/18/202443试验设计52 2、双因素试验、双因素试验(1) (1) 交叉分组的双因素试验交叉分组的双因素试验交叉分组交叉分组系统分组系统分组混合分组混合分组多因素试验的分组法多因素试验的分组法交交叉叉分分组组时时，各各因因素素处处于于平平等等地地位位，因因素的各个水平之间都要相遇。素的各个水平之间都要相遇。9/18/202444试验设计5例例为为了了考考察察蒸蒸馏馏水水的的PH值值和
22、和硫硫酸酸铜铜溶溶液液浓浓度度对对化化验验血血清清中中白白蛋蛋白白与与球球蛋蛋白白的的影影响响，将将蒸蒸馏馏水水的的PH值值和和硫硫酸酸铜铜溶溶液液浓浓度度分分成成如如下几种情况进行试验。下几种情况进行试验。1234PH值（值（A）硫酸铜溶液浓度（硫酸铜溶液浓度（B）5.40.045.60.085.70.105.89/18/202445试验设计5采用交叉分组方法进行试验采用交叉分组方法进行试验, ,试验结果试验结果( (白白蛋白与球蛋白之比蛋白与球蛋白之比) )如下：如下：A1A2A3A4B13.52.62.01.49.52.4B22.32.01.50.86.61.7B32.01.91.20.
23、35.41.47.86.54.72.521.52.62.21.60.89/18/202446试验设计5试验结果的方差分析试验结果的方差分析设因素设因素A有有p 个水平，因素个水平，因素B有有q个水平，个水平，在在AiBj条件下的试验数据是条件下的试验数据是xij ,令：令：9/18/202447试验设计5总平方和总平方和 :因素因素A的平方和的平方和 :因素因素B的平方和的平方和 ：9/18/202448试验设计5试验误差试验误差:（可以证明：可以证明： ）9/18/202449试验设计5为为了了便便于于计计算算，类类似似于于单单因因素素试试验验，将将各平方和公式化简，并采用下列表达式：各平方
24、和公式化简，并采用下列表达式：9/18/202450试验设计5从而，从而，由例中的试验结果来计算各项值由例中的试验结果来计算各项值: :9/18/202451试验设计59/18/202452试验设计5各项平方和为各项平方和为: 9/18/202453试验设计5方差分析表方差分析表方差方差来源来源平方平方和和自由自由度度均方均方F临界临界F值值A5.2931.7640.9*F0.01（3，6）=5.1B2.2221.1125.8*F0.01（2，6）=10.9误差误差0.2660.043总和总和7.77119/18/202454试验设计5（2 2）有交互作用的双因素试验）有交互作用的双因素试验在
25、在一一些些试试验验中中,不不仅仅因因素素对对试试验验结结果果有有影影响响，而而且且因因素素之之间间还还联联合合起起来来对对指指标标产产生生作用作用，这个作用就叫这个作用就叫交互作用交互作用。下下面面用用两两个个实实验验分分别别对对无无交交互互作作用用和和有有交交互作用互作用的情况作比较。的情况作比较。9/18/202455试验设计5实实 验验 (a)中中 ,从从A1A2或或 从从 B1B2实实验验结结果果的的变变化化与与另另外外一一个个因因素素取取何何种种水水平平无无关关，这这说说明明因因素素A与与因因素素B之之间间不不存存在在交交互互作作用用(均增加均增加3个单位个单位)。A1A2B125B
26、2710(a)9/18/202456试验设计5实实验验(b)中中,则则有有所所不不同同,从从A1A2,实实验验结结果果与与因因素素B取取何何种种水水平平有有关关。当当取取B1时时试试验验结结果果增增加加3，当当取取B2时时试试验验结结果果下下降降4,这这说说明明A与与B之之间间有有交交互互作作用用。A1A2B125B273(b)9/18/202457试验设计5还可用下面的方法判断因素之间有无交互还可用下面的方法判断因素之间有无交互作用。作用。实验结果实验结果1050 A1 A2因素因素水平水平从图上可看出，因从图上可看出，因素之间无交互作用素之间无交互作用时，两线平行。时，两线平行。9/18/
27、202458试验设计5有交互作用时两线有交互作用时两线交叉。在实践中由于交叉。在实践中由于试验误差的关系，即试验误差的关系，即使因素间无交互作用，使因素间无交互作用，作用线也可能不完全作用线也可能不完全平行，只要大体趋向平行，只要大体趋向平行就可判断因素间平行就可判断因素间不存在交互作用不存在交互作用. .1050 A1 A2因素因素水平水平实验结果实验结果9/18/202459试验设计5如果从图上难以判断时，可用方差分析，如果从图上难以判断时，可用方差分析，但此时要求将试验重复一次以上，否则就但此时要求将试验重复一次以上，否则就无法进行无法进行F检验。检验。（如试验不重复，（如试验不重复，检
28、验将无法进行）检验将无法进行） 9/18/202460试验设计5例：例：考考察察合合成成纤纤维维中中对对纤纤维维弹弹性性有有影影响响的的两两个个因因素素，收收缩缩率率A和和总总拉拉伸伸倍倍数数B。两两因因素素各各取取四四个个水水平平，整整个个试试验验重重复复一一次次，试试验验结结果如下：果如下：9/18/202461试验设计50(A1)4(A2)8(A3)12(A4)460（B1）71,7314473,7514876,7314975,7314858973.6520（B2）72,7314576,7415079,7715673,7214559674.5580（B3）75,7314878,77155
29、74,7514970,7114159374.1640（B4）77,7515274,7414874,7314769,6913858573.158973.660175.160175.157271.5=23639/18/202462试验设计5、直观分析、直观分析对对B的的每每个个水水平平作作出出它它们们的的作作用用线线，来来考察因素考察因素A与与B之间是否存在交互作用。之间是否存在交互作用。9/18/202463试验设计5从从上上图图可可以以看看出出，当当因因素素A变变动动时时试试验验结结果果起起伏伏较较大大,而而当当因因素素B变变化化时时,则则试试验验结结果果变变化化较较平平稳稳，这这种种现现象象
30、说说明明A因素对纤维的弹性的影响比因素对纤维的弹性的影响比B因素要大。因素要大。初初次次试试验验时时，最最好好多多取取几几个个水水平平，否否则则将将会会误误认认为为因因素素之之间间不不存存在在交交互互作作用用见下图。见下图。9/18/202464试验设计59/18/202465试验设计5v从从图图上上看看到到，因因素素B的的四四条条作作用用线线相相交交叉叉，说明因素说明因素A与与B之间存在交互作用。之间存在交互作用。v如如果果试试验验的的目目的的主主要要是是为为了了选选择择较较好好的的工工艺艺条条件件，则则可可不不必必对对试试验验结结果果进进行行方方差差分分析析，直直接接从从试试验验结结果果中
31、中挑挑选选好好的的，例例如如156（A3B2）、）、155（A2B3）效果最好。效果最好。9/18/202466试验设计5、方差分析方差分析如果要深入研究因素及它们的交互作用对试如果要深入研究因素及它们的交互作用对试验结果的影响程度，可使用方差分析。设因验结果的影响程度，可使用方差分析。设因素素A有有p个水平，个水平，B有有q个水平，整个试验重复个水平，整个试验重复r次次, ,在在AiBj条件下的第条件下的第k次试验结果记作次试验结果记作X Xijk，在在AiBj条件下作的全部试验结果之和为条件下作的全部试验结果之和为 ：Xij即即9/18/202467试验设计5另另设：设：可以证明各平方和之
32、间有关系式可以证明各平方和之间有关系式 :9/18/202468试验设计5相应地相应地, ,总平方和为总平方和为 :9/18/202469试验设计5误差平方和误差平方和:其中其中:9/18/202470试验设计5交互作用的平方交互作用的平方自由度自由度:9/18/202471试验设计5为为了了便便于于计计算算，可可将将各各平平方方和和公公式式化化简简，设设定定易易于于使使用用表表格格中中各各项项数数据据进进行行计计算算的的表表达式：达式：9/18/202472试验设计5设设:各项平方和的表达式改为：各项平方和的表达式改为：S ST T=W-P,S=W-P,SA A=Q=QA A-P,S-P,S
33、B B=Q=QB B-P-PS SABAB=R-Q=R-QA A-Q-QB B+P,S+P,Se e=W-R=W-R 9/18/202473试验设计5原数据表成为：原数据表成为：A1A2A3A4KBjB1Xijk1,33,56,35,329Xij4898B2Xijk2,36,49,73,236Xij510165B3Xijk5,38,74,50,133Xij81591B4Xijk7,54,44,3-1,-125Xij1287-2KAi294141121239/18/202474试验设计5K=123,9/18/202475试验设计59/18/202476试验设计59/18/202477试验设计5方
34、差分析表方差分析表方差来方差来源源平方和平方和自由自由度度均方均方F临界临界F值值A70.594323.53117.5*F0.01（3，16）=5.29B8.59432.8652.1F0.1（3，16）=2.46AB79.53198.8376.6*F0.01（9，16）=3.78误差误差21.5161.344F0.25（3，16）=1.51总和总和180.219319/18/202478试验设计5三、三、正交设计正交设计正交设计是一种安排多因素试验的方法正交设计是一种安排多因素试验的方法, ,这种方法简单、易于应用、省时、经济效这种方法简单、易于应用、省时、经济效果良好。它适用于制定新工艺或改
35、良老工果良好。它适用于制定新工艺或改良老工艺等需要大量试验的情况。艺等需要大量试验的情况。9/18/202479试验设计51、基本概念基本概念（1 1）几个术语）几个术语a、指指标标：根根据据试试验验目目的的选选定定的的用用来来衡衡量量试验效果的特性值。试验效果的特性值。b、因因素素：对对试试验验指指标标可可能能有有影影响响的的原原因。亦称因子，通常以因。亦称因子，通常以A，B，C表示。表示。c、因因素素水水平平：因因素素变变化化的的各各种种状状态态。亦亦称位级称位级,通常以通常以A1，A2；B1，B2等表示。等表示。9/18/202480试验设计5（2 2）正交表）正交表 列数列数 (可安排
36、的因素数量可安排的因素数量)字码数字码数(可安排的因素水平数可安排的因素水平数)行数（实验次数）行数（实验次数）正交表代号正交表代号a、正交表的组成与表示法正交表的组成与表示法 9/18/202481试验设计5列号列号试验号试验号1231111212232124221正交表的性质正交表的性质：（a）每列中各个字码出现的次数相同每列中各个字码出现的次数相同;（b）任意两列中每个任意两列中每个字码对字码对出现的次数相等出现的次数相等.使正交表具有搭配均匀的属性即使正交表具有搭配均匀的属性即正交性正交性。9/18/202482试验设计5还有一类正交表还有一类正交表, ,表的各列中出现的字码不表的各列
37、中出现的字码不相同相同, ,这种正交表称为这种正交表称为“混合型正交表混合型正交表”, ,如：如：列数列数因素水平因素水平试验次数试验次数正交表代号正交表代号9/18/202483试验设计5列号列号试验号试验号123451111112122223211224222115312126321217412218421129/18/202484试验设计52 2、正交表设计的步骤、正交表设计的步骤例：例：轴承圈热处理退火试验轴承圈热处理退火试验(1)试试验验目目的的：轴轴承承圈圈退退火火的的旧旧工工艺艺因因退退火火后后产产品品硬硬度度偏偏高高，每每炉炉要要有有15%左左右右回回炉炉，希希望望通通过过试试
38、验验，找找到到较较好好的的工工艺艺条条件，降低硬度。件，降低硬度。(2)确确定定试试验验因因素素和和水水平平：通通过过分分析析确确定定有有三三个个因因素素：上上升升温温度度( (A),),保保温温时时间间( (B) )，出炉温度出炉温度( (C) )，因素水平如下：因素水平如下：9/18/202485试验设计5(3)(3)选择正交表与表头设计选择正交表与表头设计:由选定的因素由选定的因素及相应的水平来选择正交表，这时，往往及相应的水平来选择正交表，这时，往往同时有几种正交表可被利用，在开始做试同时有几种正交表可被利用，在开始做试验时一般可选实验次数较少的正交表，取验时一般可选实验次数较少的正交
39、表，取得因素的初步资料后，再确定进一步试验得因素的初步资料后，再确定进一步试验的方向。的方向。本例选：本例选：L4( (23)ABC一水平一水平 8000C6小时小时4000C二水平二水平 8200C8小时小时5000C9/18/202486试验设计5表表头头设设计计：即即将将各各因因素素安安排排到到各各 列列 位位 置置 上上 。表表头头设设计计的的原原则则是是可可自自由由选选择择各各个个因因素素的的位位置置( (因因素素之之间间存存在在交交互互作作用用时时除除外外) )列号列号试验号试验号1231111212232124221因素因素ABC列号列号1239/18/202487试验设计5(4
40、) (4) 确定试验方案：将设计好的表头及确定试验方案：将设计好的表头及各因素的水平填写到正交表中去。各因素的水平填写到正交表中去。列号列号试验号试验号ABC11(8000C)1(6小时小时)1(4000C)212(8小时小时)2(5000C)32(8200C)1242219/18/202488试验设计5（5 5）试验的随机化）试验的随机化q其中其中1号试验条件为：号试验条件为：上上升升温温度度为为8000C，保保温温时时间间为为6小小时时，出炉温度为出炉温度为4000Cv为为了了消消除除某某些些可可能能的的系系统统原原因因的的影影响响，一一般般不不按按试试验验顺顺序序做做，而而是是用用随随机
41、机化化方方法来确定试验的次序。法来确定试验的次序。9/18/202489试验设计53 3、单指标正交试验结果的计算和分析、单指标正交试验结果的计算和分析对试验结果的分析方法通常有两种：对试验结果的分析方法通常有两种： 、极差分析、极差分析简单直观简单直观、方差分析、方差分析计算较复杂，但精确度高计算较复杂，但精确度高（1）极差分析法）极差分析法例例：某某五五金金厂厂在在弹弹簧簧生生产产中中发发现现产产品品因因弹弹性性差差而而断断裂裂，为为提提高高产产品品的的弹弹性性指指标标，要做回火工艺试验。要做回火工艺试验。9/18/202490试验设计5a、试试验验目目的的：通通过过回回火火试试验验寻寻求
42、求新新的的工工 艺艺 参参 数数 以以 提提 高高 弹弹 簧簧 的的 弹弹 性性 指指 标标 。b、制定因素水平表：制定因素水平表：经分析，认为对经分析，认为对弹性指标可能有影响的因素有三个：回弹性指标可能有影响的因素有三个：回火温度火温度A，保温时间保温时间B，工件重量工件重量C，各各取三个水平，具体如下表：取三个水平，具体如下表：A(0C)B(分分)C(kg)1440315246041835005219/18/202491试验设计5c c、确定试验方案确定试验方案：根据因素及其水平，根据因素及其水平，可选用可选用L9( (34) )表头设计表头设计 ：v接接着着将将各各因因素素的的各各水水
43、平平按按所所设设计计的的表表头头填填入入选选定定的的正正交交表表中中，试试验验时时，应应严严格按照设计好的方案进行。格按照设计好的方案进行。列号列号1234因素因素ABC9/18/202492试验设计5d d、试验结果分析试验结果分析ABCD弹性弹性1111377212239131333624212350522333062313207313326832130293323189/18/202493试验设计5ABCD弹弹性性111137721223913133362421235052233306231320731332683213029332318K111301053999T=3076K21000
44、10231059K394610001018377351333333341353315333339R6218209/18/202494试验设计5v从从已已做做的的9次次试试验验中中看看，第第二二号号试试验验结结果果最最好好，此此时时的的试试验验条条件件为为A1B2C2，但但这这是是否否是是33=27次次试试验验中中最最好好的的一一次次呢呢？现现在在还还不不能能下下结结论论，还还需需通通过过进进一一步步的的计计算算分分析析来来确确定定。表表的的下下半半部部分分是是试试验验结结果果的的计计算算，其其中中：K1，K2，K3为为每每个个因因素素的的三三个个水平各自的三次试验结果之和。水平各自的三次试验结
45、果之和。例：例： 9/18/202495试验设计5例：例：是是对对应应于于每每个个K1，K2，K3的平均值。的平均值。R为极差为极差，是每一个因素三种水平下试，是每一个因素三种水平下试验结果验结果平均值平均值中最大值与最小值之差。中最大值与最小值之差。 9/18/202496试验设计5（a） 因素因素指标关系图指标关系图(趋势图趋势图) 画出画出因素因素指标指标趋势图，可看出各因素对指标趋势图，可看出各因素对指标的影响趋势，从而确定进一步试验的方向。的影响趋势，从而确定进一步试验的方向。280280300300320320340340360360380380400400A A1 1A A2 2
46、A A3 3B B1 1B B2 2B B3 3C C1 1C C2 2C C3 39/18/202497试验设计5（b b）因素对试验的影响分析因素对试验的影响分析表表中中的的极极差差R反反映映了了试试验验结结果果的的差差异异，R越越大大说说明明该该因因素素取取不不同同水水平平时时对对试试验验结结果果的的影影响响就就越越大大，反反之之，就就对对试试验验结结果果的的影影响响越越小小。因因此此，可可根根据据R的的大大小小来来决决定各因素对试验结果影响的主次顺序。定各因素对试验结果影响的主次顺序。主主次：次：ACB9/18/202498试验设计5（c c）选择最佳工艺条件选择最佳工艺条件q选选择择
47、最最佳佳工工艺艺条条件件的的原原则则是是优优先先考考虑虑主主要要因因素素。本本例例中中A为为主主要要因因素素，根根据据对对试试验验指指标标的的要要求求，可可选选A1，其其次次可可选选C2及及B1。可可能能的的最最佳佳工工艺艺条条件件是是A1B1C2，为为什什么么说说这这是是“可可能能的的”最最佳佳工工艺艺条条件件呢呢？因因为为考考虑虑到到试试验验误差等的影响，还需对这些条件作试验验证。误差等的影响，还需对这些条件作试验验证。9/18/202499试验设计5（d d）对对“最佳工艺条件最佳工艺条件” ” 进行预估的经进行预估的经验公式验公式在在对对可可能能的的最最佳佳工工艺艺条条件件作作试试验验
48、验验证证前前，可可先先用用经经验验公公式式对对试试验验结结果果做做预预估估。经经验公式为：验公式为：某某条条件件下下的的指指标标估估计计值值=该该条条件件下下各各因因素素所所选选水水平平对对应应的的指指标标平平均均值值之之和和( (因因素数素数1)总平均总平均 9/18/2024100试验设计5A1B1C2下的指标预估值下的指标预估值=( (377+351+353)-(3-1)3076/9=3973076/9=397 9/18/2024101试验设计5(2)(2)方差分析法方差分析法仍沿用上面的例子仍沿用上面的例子： 令令 表示每次表示每次试验结果，果，设: :各因素的偏差平方和为各因素的偏差
49、平方和为 :9/18/2024102试验设计5其中：其中：r rA A A A因素每个水平的试验重复数；因素每个水平的试验重复数； p为为A因素的水平数。因素的水平数。其中：其中：rBB因素每个水平的试验重复数，因素每个水平的试验重复数， q为为B因素的水平数因素的水平数9/18/2024103试验设计5其中其中: :r rc cCC因素每个水平的试验重复数因素每个水平的试验重复数; ; m m为为C C因素的水平数因素的水平数 总平方和为总平方和为 :可以证明：可以证明： 所以所以 :9/18/2024104试验设计5为了计算方便，可将上述平方和简化，设为了计算方便，可将上述平方和简化，设定
50、有关的表达式定有关的表达式:9/18/2024105试验设计59/18/2024106试验设计5对上例进行计算得：对上例进行计算得：9/18/2024107试验设计59/18/2024108试验设计59/18/2024109试验设计59/18/2024110试验设计5q一般情况下，可直接在表上计算，而不一般情况下，可直接在表上计算，而不必另列算式。必另列算式。 9/18/2024111试验设计5ABCD误差误差弹性弹性1111137721222391313333624212335052231330623123207313232683213302933213189/18/2024112试验设计5
51、K1113010539991025K=3076P=1051308K21000102310591037K3946100010181014Qi1057272105177910519351051396Si5964471627889/18/2024113试验设计5从上表可总结两点：从上表可总结两点：a a、总平方和等于各列平方和。在正交表总平方和等于各列平方和。在正交表的第的第4列没有安排因素列没有安排因素, ,如仿照各因素计算如仿照各因素计算平方和的办法，可发现平方和的办法，可发现S4=Se，fe=f4，这这不算是太特殊的情况。不算是太特殊的情况。可以证明：一般情可以证明：一般情况下，未安排因素的空
52、列的平方和恰好等况下，未安排因素的空列的平方和恰好等于误差平方和于误差平方和( (有交互作用与试验有重复时有交互作用与试验有重复时除外除外) )。9/18/2024114试验设计5b、对试验结果作方差分析的目的主要是、对试验结果作方差分析的目的主要是要深入了解各因素对试验指标的要深入了解各因素对试验指标的影响程度影响程度。至于因素影响指标的主次顺序，可通过平至于因素影响指标的主次顺序，可通过平方和的大小来判别（混合型正交表与拟水方和的大小来判别（混合型正交表与拟水平法除外），平方和大的因素，说明其对平法除外），平方和大的因素，说明其对指标影响大，反之，则小。指标影响大，反之，则小。9/18/2
53、024115试验设计5在本例中在本例中因因素素的的主主次次顺顺序序为为：ACB，它它与与直直观观分分析析的的结结果果是是一一致致的的。至至于于最最佳佳工工艺艺条条件件的的选选择择，其其标标准准与与直直观观分分析析相相同同，先先选选主主要要因因素素，后后选选较较次次要要的的因因素素，本本例例中中为为A1C2B1，与与直直观观分分析析也也一一致致。所所以以，如如果果只只是是想想通通过过试试验验在在现现有有因因素素中中获获得得最最佳佳工工艺艺条条件件，就就不不必必作作方方差差分分析析。这这样样可可省省去去较多的计算工作量。较多的计算工作量。9/18/2024116试验设计5方差分析表方差分析表方差方
54、差来源来源平方和平方和自由自由度度均方均方F临界临界F值值A59642298267.77*F0.01=99B4712235.55.35*F0.05=19C6272313.57.13*F0.10=9误差误差88244F0.25=3总和总和715089/18/2024117试验设计5（3）正交试验的几何说明）正交试验的几何说明v前前面面介介绍绍了了正正交交表表的的正正交交性性均均匀匀搭搭配配性性，正正是是由由于于正正交交表表的的这这个个特特点点，使使得得正正交交试试验验能能省省去去大大量量不不必必要要的的试试验验，迅迅速速找找到到最最好好的的(或或最最接接近近最最好好的的)试试验验条条件件。为为了
55、了能能更更清清楚楚、直直观观地地了了解解正正交交表表的的这这一一特特点点，下下面面我我们们用用几何方法来解释。以刚才的实验为例。几何方法来解释。以刚才的实验为例。v在在立立方方体体上上有有27个个交交点点，代代表表了了一一个个三三因因素三水平的素三水平的27次试验（次试验（33=27）。）。v下下面面我我们们分分析析一一下下正正交交表表上上所所列列9次次试试验验的的分布特点。分布特点。9/18/2024118试验设计5的的几几何何含含义义B3A1A2A3B2B1C1C2C39/18/2024119试验设计5a、6个平面上都有三个试验点。个平面上都有三个试验点。b、每每个个平平面面上上的的每每行
56、行每每列列都都有有一一个个试试验验点点，亦亦即即每每个个因因素素的的每每个个水水平平在在试试验验中中相相遇遇的的机机会会均均等等。这这种种既既不不遗遗漏漏，也也不不重重复复的的安安排排方方式式，决决定定了了正正交交试试验验相相对对于于试试验验次次数数相相同同的的其其他他试试验验来来说说，效效率是最高的。率是最高的。c、另另外外一一个个规规律律是是：全全面面试试验验中中的的最最好好点点M离离9次次试试验验中中的的最最好好点点不不远远，且且主主要要因因素素的的水水平平基基本本一一致致。在在该该试试验验中中较较好好的的是是号号A1B1C1与与号号A1B2C2，全全面面试试验验最最好好点点M：A1B1
57、C2就就在在附附近近，且主要因素且主要因素A的水平是一致的。的水平是一致的。9/18/2024120试验设计54 4、因素间有交互作用时的正交试验、因素间有交互作用时的正交试验当因素间有交互作用时，表头设计有所不同。当因素间有交互作用时，表头设计有所不同。首先，要根据因素及因素间交互作用的数量及水首先，要根据因素及因素间交互作用的数量及水平的情况来选择正交表，然后，利用与该正交表平的情况来选择正交表，然后，利用与该正交表相对应的相对应的“交互作用的正交表交互作用的正交表”来安排因素及它来安排因素及它们之间交互作用的位置。们之间交互作用的位置。（1 1）交互作用正交表）交互作用正交表在现有的正交
58、表中有一部分有对应的在现有的正交表中有一部分有对应的“交互作用交互作用正交表正交表”，没有交互作用正交表的说明不能安排有，没有交互作用正交表的说明不能安排有交互作用的因素的试验。交互作用的因素的试验。下面举例说明下面举例说明“交互作用正交表交互作用正交表”的用法。的用法。9/18/2024121试验设计5正交表正交表 对应的交互作用正交表为对应的交互作用正交表为：列号列号12345671(1)3254762(2)167453(3)76544(4)1235(5)326(6)17(7)9/18/2024122试验设计5框框内内的的数数字字都都是是列列号号。设设有有A、B、C三三个个因因素素，且且都
59、都是是二二水水平平。如如考考虑虑它它们们之之间间的的交交互互作作用用：AB、BC、AC，如如何何进进行行表表头设计呢？头设计呢？a、先先安安排排A，B，C中中的的任任意意两两个个，此此时时这这两两个个因因素素可可安安放放在在任任意意位位置置上上，如如将将A、B放在放在1、2两列位置上。两列位置上。AB12345679/18/2024123试验设计5b、由交互作用正交表找到由交互作用正交表找到A与与B的交的交互作用互作用AB的位置为第的位置为第3 3列，列，ABABC1234567ABAB1234567c、将因素将因素C安排在除第安排在除第1，2，3列之列之外的任意位置上外的任意位置上,如排在第
60、如排在第5列列 9/18/2024124试验设计5d、由交互作用正交表找到由交互作用正交表找到BC，AC的位置分别为第的位置分别为第4 4列和第列和第7 7列列, ,即即ABABACCBC1234567至此，表头设计完成。至此，表头设计完成。 9/18/2024125试验设计5（2 2）因素间有交互作用时，正交试验结果因素间有交互作用时，正交试验结果的计算与分析的计算与分析例：例：在梳棉机上纺粘棉混纺纱，为了提高在梳棉机上纺粘棉混纺纱，为了提高质量，质量，减少减少棉结粒数，选了三个因素，每个棉结粒数，选了三个因素，每个因素有二个水平，三个因素之间可能有交互因素有二个水平，三个因素之间可能有交互
61、作用。水平因素表为作用。水平因素表为：因素因素水平水平12金属针布（金属针布（A）日本的日本的青岛的青岛的产量水平（产量水平（B）6公斤公斤10公斤公斤锡林速度（锡林速度（C）238转转/分分320转转/分分9/18/2024126试验设计5方案设计及试验结果为方案设计及试验结果为: :ABABCACBC棉结粒棉结粒数数xiXi=100(xi-0.30)1234567111111110.300211122220.355312211220.20-10412222110.300521212120.15-15621221210.5020722112210.15-15822121120.4010K1-
62、5100-4020-52.35-5K20-15-535-250R5255754559/18/2024127试验设计5a a 、极差分析极差分析（a）确确定定因因素素及及它它们们之之间间的的交交互互作作用的主次顺序用的主次顺序由由表表中中的的极极差差可可知知各各因因素素及及它它们们的的交交互作用对试验的影响次序为互作用对试验的影响次序为主主次次：C，AC，B，A，AB，BC，AC（b）确定最佳工艺条件确定最佳工艺条件9/18/2024128试验设计5原则原则：1、优先考虑主要因素；优先考虑主要因素；2、若因素的交互作用的影响很显著时，若因素的交互作用的影响很显著时，不管因素本身的影响显著与否，都
63、从交互不管因素本身的影响显著与否，都从交互作用的角度去选择工艺条件。作用的角度去选择工艺条件。按按上上面面两两条条原原则则，我我们们先先来来选选A与与C的的工工艺艺条条件件，A AC C共共有有四四种种搭搭配配，A A1 1C C1 1，A A1 1C C2 2，A A2 2C C1 1，A A2 2C C2 2，而而且且每每种种搭搭配配都都做做了了两两次次试试验验, ,将将各各种种搭搭配配的的试试验验结结果果之之 和和列列于于下下表表： 9/18/2024129试验设计5B因素由表中的因素由表中的K值知，值知，B2较较B1好。好。A1A2C1-10-30C2530从从左左表表中中知知搭搭配配
64、A2C1为最好为最好所所以以，最最佳佳工工艺艺条条件件为为A2C1B2，它它恰恰好好是是表表中中第第号号试试验验，是是8次次试试验验中中最最好好的的结结果果之之一一。另另外外，第第号号试试验验的的结结果果与与第第号号一一样样好好。观观察察试试验验条条件件，其其中中A2C1与与第第号号一一样样，而而B为为B1与与号号试试验验不不同同，这这也也可可推推断断，B因素处于相对次要的位置。因素处于相对次要的位置。9/18/2024130试验设计5b b、方差分析方差分析ABABCACBC误差误差试验结果试验结果11111111021112222531221122-1041222211052121212-
65、15621221212072211221-1582212112109/18/2024131试验设计5K1K2-5010-150-5-403520-25-505-10-5QiSi6.253.12581.2578.1256.253.125706.25703.125256.25253.1256.253.12531.2528.125v平方和平方和Si的计算与以前定义一样，对于二的计算与以前定义一样，对于二水平的情况可用下面的简化公式。水平的情况可用下面的简化公式。 ，其中，其中n试验总次数试验总次数 9/18/2024132试验设计5方差分析方差分析方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F值
66、值临界值临界值B78.125178.1258.3*F0.05(1,4)=7.7C703.1251703.12575*F0.01(1,4)=21.2AC253.1251253.12527*A3.1251AB3.125149.375BC3.1251误差28.1251总和1071.8757=8-1见下见下页页说明说明9/18/2024133试验设计5q这这三三项项的的均均方方与与误误差差相相比比是是很很小小的的，可可认认为为这这三三项项平平方方和和是是由由试试验验误误差差引引起起的的，所所以以，作作方方差差分分析析时时，可可将将这这些些平平方方和和归归并到误差项中去。并到误差项中去。q决决定定因因素
67、素的的主主次次顺顺序序时时，可可根根据据平平方方和和Si（自自由由度度不不同同时时除除外外）的的大大小小来来决决定定，最最佳佳工工艺条件的选择与直观分析时相同。艺条件的选择与直观分析时相同。9/18/2024134试验设计5c c、正交表的选择正交表的选择正交试验的优点是可减少试验次数，但如正交试验的优点是可减少试验次数，但如果因素间的交互作用较多时，正交试验的果因素间的交互作用较多时，正交试验的优越性就会减弱，因为每个交互作用都要优越性就会减弱，因为每个交互作用都要占据一列，当有三个因素时，要考虑的交占据一列，当有三个因素时，要考虑的交互作用就有互作用就有C32=3个，当有个，当有4个因素时
68、，个因素时，交互作用有交互作用有C42=6个，试验次数将要增加。个，试验次数将要增加。解决这个矛盾的办法是：解决这个矛盾的办法是：9/18/2024135试验设计5（a）如如果果试试验验目目的的主主要要是是在在现现有有的的因因素素水水平平中中寻寻找找较较好好的的工工艺艺条条件件，可可以以选选择择较较小小的的正正交交表表，而而不不必必考考虑虑因因素素之之间间是是否否存存在交互作用；在交互作用；（b）当当试试验验的的主主要要目目的的是是寻寻找找事事物物内内部部的的规规律律时时，应应选选择择尽尽量量大大的的正正交交表表。如如果果选选择择较较小小的的正正交交表表，不不可可避避免免地地会会产产生生许许多
69、混杂现象。多混杂现象。9/18/2024136试验设计55 5、因素的水平数不同时的正交试验、因素的水平数不同时的正交试验当当因因素素的的水水平平不不等等时时，常常用用两两种种方方法法来设计正交试验来设计正交试验:（1）利用混合型正交表）利用混合型正交表;（2）拟水平法。）拟水平法。下面分别介绍之。下面分别介绍之。（1）利利用用混混合合型型正正交交表表安安排排水水平平数数不同的因素的正交试验不同的因素的正交试验例例：为为了了探探索索某某胶胶压压板板的的制制造造工工艺艺，选择如下的因素及水平进行试验。选择如下的因素及水平进行试验。9/18/2024137试验设计5q试试验验结结果果按按产产品品质
70、质量量的的好好坏坏分分别别用用6、5、4、3、2、1打打分分，6分分最最好好，1分分最最差差。为为了了减减少少试试验验误误差的干扰，整个试验差的干扰，整个试验重复了重复了四四次次。水平水平因素因素1234压力（压力（A）8公斤公斤10公斤公斤11公斤公斤12公斤公斤温度（温度（B）950C900C时间（时间（C）9分分12分分9/18/2024138试验设计5a、选用正交表与表头设计选用正交表与表头设计根据确定的因素水平情况，选用根据确定的因素水平情况，选用正交表正交表L8( (424),),表头设计为：表头设计为：列号列号12345因素因素ABCb、试验结果的计算与分析试验结果的计算与分析（
71、a）极差分析极差分析9/18/2024139试验设计5ABC45xi1xi2xi3xi4Xi111111666422212222654419321122432211422211443213531212211156321214442147412214321108421126342179/18/2024140试验设计5K1414864Xi=K=111K2246347K319K42720.512161215.75 11.759.513.5R113.754.25R75.325 6.0359/18/2024141试验设计5因素水平不等时，其极差的计算有所因素水平不等时，其极差的计算有所不同，因一般情况下
72、，因素水平数多，不同，因一般情况下，因素水平数多，其极差也大，为了消除因素水平不同其极差也大，为了消除因素水平不同对极差的影响，现将原有极对极差的影响，现将原有极差差R折算成折算成R，其折算公式其折算公式, ,其中：其中：R因素的极差因素的极差, ,K因素每个因素每个水平的试验重复数水平的试验重复数, ,d折算系数。折算系数。9/18/2024142试验设计5折算系数折算系数d水平数水平数2345678910d0.710.520.450.40.370.350.340.320.31 9/18/2024143试验设计5(b) (b) 方差分析方差分析ABC45xi1xi2xi3xi4Xi11111
73、1666422212222654419321122432211422211443213531212211156321214442147412214321108421126342179/18/2024144试验设计5K14148645759Xi=K=111K22463475452K319K427Qi418.375392.062394.0625385.3125385.5625Si33.34377.031259.031250.281251.53125其中其中Qi的计算因本试验有重复而与前面介绍的计算因本试验有重复而与前面介绍的稍有不同：的稍有不同： 9/18/2024145试验设计5其中：其中：qi
74、i i因素的水平试验重复数；因素的水平试验重复数；r每号试验的重复数每号试验的重复数；pii i因素的水平数因素的水平数。如：如：9/18/2024146试验设计5S Se e的计算如下的计算如下 : S Se e= = S Se e+S+Se e”其中：其中：S Se e 各条件下试验误差之各条件下试验误差之和和 S Se e”各水平下试验误差之和各水平下试验误差之和 其中其中:9/18/2024147试验设计5为了计算方便，将为了计算方便，将S Se e化简为化简为S Se e=W-R=W-R，其中其中: : 其中其中: :qS S4 4,S,S5 5的平方和较大的平方和较大时，说明因素间
75、有交互时，说明因素间有交互作用存在，这时应先对作用存在，这时应先对它们作它们作F F检验，如检验检验，如检验显著，就应考虑因素间显著，就应考虑因素间的交互作用。的交互作用。 9/18/2024148试验设计5方差分析表方差分析表方差方差来源来源平方和平方和自由自由度度均方均方F值值临界值临界值A33.34375311.11469.46*F0.01(3,26)=4.64B7.0312517.031255.98*F0.01(1,26)=7.72C9.0312519.031257.68*F0.05(1,26)=4.23Se”1.812521.17551+1=2Se28.752432-8=24总和总和
76、79.96875314X8-132-131269/18/2024149试验设计5(2)(2)拟水平法拟水平法v在在正正交交试试验验中中，有有些些水水平平数数不不同同的的试试验验，选选不不到到合合适适的的正正交交表表或或所所选选正正交交表表的的试试验验次次数数太太多多，这这时时可可用用“拟拟水水平平法法”，所所谓谓“拟拟水水平平法法”，即即将将水水平平数数较较少少的的因因素素虚虚拟拟一一些些水水平平，使使整整个个试试验验能能在在现现有有的的合合适适的的正正交交表表上安排上安排.v例：为了提高某化工产品的转化率，选择例：为了提高某化工产品的转化率，选择四个试验因素：反应温度四个试验因素：反应温度(
77、A),反应时间反应时间(B),用碱量用碱量(C),搅拌速度搅拌速度(D),各自选取的水平如各自选取的水平如下：下：9/18/2024150试验设计5如如用用混混合合型型正正交交表表来来安安排排上上述述试试验验，则则可可用用L18(237)，如如想想减减少少试试验验次次数数则则可可将将因因素素D拟拟成成3水水平平，用用L9(34)来来安安排排。“拟拟水水平平”一一般般可可从从现现有有的的水水平平中中挑挑，选选需需要要重重点点考考察的那个水平。察的那个水平。因素因素水平水平温度温度（A）时间时间（B）用碱量用碱量（C）搅拌速度（搅拌速度（D）1800C90分5%快速快速2850C 120分6%慢速
78、慢速3900C 150分7%快速快速(拟水平拟水平)9/18/2024151试验设计5试验结果的计算与分析试验结果的计算与分析a a、极差分析极差分析ABCD转化率转化率(%)11111(快快)3121222(慢慢)5431333(快快)384212353522314962312427313257832136293321649/18/2024152试验设计5K1123141135297水平水平1、3之和之和K2144165171153K318314414441474549.548555751614848R208121.59/18/2024153试验设计5b b、方差分析方差分析的计算与前面的方
79、法相同。的计算与前面的方法相同。 S SD D 的计算方法如下：的计算方法如下： Se可由可由求得。求得。9/18/2024154试验设计5ABCD转化率（转化率（%）11111(块块)3121222(慢慢)5431333(快快)384212353522314962312427313257832136293321649/18/2024155试验设计5K1123141135297K=450P=22500K2144165171153K3183144144Qi23118 22614 2273422504.5Si6181142344.5试验次数试验次数9/18/2024156试验设计5方差分析表方差分
80、析表方差方差来源来源平方平方和和自由自由度度均方均方F值值临界值临界值A618230934.33*F0.01(2,2)=99B1142576.33*F0.05(2,2)=19C234211713.00(*)F0.1(2,2)=9D4.519F0.25(2,2)=3误差误差 13.51总和总和98489-1=81829/18/2024157试验设计56、正交表的改造、正交表的改造在在生生产产实实践践与与科科学学实实验验中中，所所遇遇到到的的问问题题错错综综复复杂杂，在在正正交交试试验验时时，现现有有的的正正交交表表往往往往不不能能满满足足所所有有场场合合的的需需要要，因因此此，对对现现有有正正交
81、交表表进进行行改改造造，产产生生许许多多新新的的正正交交表表以以满满足足各各种种需需要要就就显显得得十十分分必必要要。下下面面介绍几种常用的改造正交表的方法。介绍几种常用的改造正交表的方法。（1）并列法并列法这这是是由由相相同同水水平平正正交交表表构构造造成成水水平平数数不不同同正交表的方法正交表的方法。9/18/2024158试验设计5例例某某试试验验有有四四个个因因素素A（4水水平平），B（2水平），水平），C（2水平）水平），D（2水平），水平），因素自由度之和为因素自由度之和为:fT=fA+fB+fC+fD=3+136 ，总总试试验验次次数数至至少少为为:nfT+1=7，可可选选L8(
82、27)表表进进行行改改造造，因因素素A的的自自由由度度为为3，而而L8(27)上上每每列列的的自自由由度度为为1，所所以以它它应应占占3列列，一一般般情情况况是是任任取取两两列列再再加加上上它它们们的的交交互互作作用用列列，构构成成一一个个新新的的四四水水平平列列，构构成成规规则则如下如下(2水平水平4水平水平)9/18/2024159试验设计5a、(1,1)1,(1,2)2,(2,1)3,(2,2)4b、划去它们的交互作用列划去它们的交互作用列现现对对第第1，2列列改改造造，它它们们的的交交互互作作用用列列是是第第3列，改造后的情形列，改造后的情形如下图中所示：如下图中所示：可可以以看看出出
83、，改改造造后后的的L8(27)成成为为L L8 8(42(424 4),),它仍具备正交表的正交性的两个特点。它仍具备正交表的正交性的两个特点。9/18/2024160试验设计5列号列号试验号试验号112345671111111112111122223122211224122222115231212126231221217242112218242121129/18/2024161试验设计5拟因素法拟因素法它也是一种由水平数相同的正交表构成它也是一种由水平数相同的正交表构成水平数不同正交表的方法水平数不同正交表的方法。如将。如将2水平水平列改造成列改造成3水平列，其改造规则是：水平列，其改造规则
84、是：a、(1,1)1，(2,2)2，(1,2)2，(2,1)3；b、让交互作用列空闲让交互作用列空闲.9/18/2024162试验设计5例：例：参加某一试验的因素有参加某一试验的因素有A（3水平）水平）B（3水平）水平）C（3水平）水平）D（3水平水平）E（2水平），因自由度水平），因自由度:总试验次数至少为总试验次数至少为: : 可选可选L L1616(2(21515) )进行改造。进行改造。 9/18/2024163试验设计512345678910111213141511111111111111111111211111111122222222223111122222111112222241
85、1112222222222111115122211122111221122261222111222221122111712222221111122221118122222211222111122292122122121221212122102122122122312121231112122231211221221231122122231212312112122132231122211222112231142231122212311221122152231231121222121122162231231122311212231空闲9/18/2024164试验设计5q用用拟拟因因素素法法与与拟拟水
86、水平平法法设设计计的的正正交交试试验验，其其正正交交表表已已不不具具有有正正交交表表的的原原来来的的两两个个性性质质，但但它它们们具具有有局局部部均均衡衡搭搭配配性性，仍仍能能起起到到省省时时、经经济济、高效的作用高效的作用。9/18/2024165试验设计5（3 3）裂区法）裂区法用正交表安排试验时，每个因素的各用正交表安排试验时，每个因素的各水平都要重复若干次，正交表越大，水平都要重复若干次，正交表越大，重复的次数就越多，但在实际试验中重复的次数就越多，但在实际试验中各因素重复的难易程度是不一样的各因素重复的难易程度是不一样的，如果将它们一视同仁，往往会导致试如果将它们一视同仁，往往会导致
87、试验时间拖得很长，用裂区法来安排试验时间拖得很长，用裂区法来安排试验，可使重复困难的因素少重复，从验，可使重复困难的因素少重复，从而提高试验的效率。而提高试验的效率。9/18/2024166试验设计5v裂裂区区法法主主要要是是使使用用正正交交表表的的结结构构特特点点，如如在在表表L8(27)中中，虽虽然然各各字字码码在在每每列列中中的的重重复复数数是是一一样样的的，但但它它们们的的分分布布是是不不一一样样的的，第第1列列的的字字码码“1”从从第第-号号试试验验中中重重复复4次次，而而第第列列从从第第号号试试验验，字字码码“1”只只重重复复2次次，包包括括在在第第号号试试验验中中，同同是是第第号
88、号试试验验，第第4、5、6、7列列中中，字字码码“1”只只重重复复1次次，根根据据这这个个规规律律，可可将将L8(27)划划分分成成一一些些区区域域，如如下下图所示。图所示。9/18/2024167试验设计5列号试验号123456712345678111111111111222222112222221122221212121221212112212121121239/18/2024168试验设计5设设计计试试验验时时，把把重重复复难难度度高高的的先先排排，自自左至右由难到易。左至右由难到易。例：钢钢制制零零件件表表面面氰氰化化处处理理试试验验，它它是是将将零零件件表表面面经经清清洗洗处处理理后
89、后，放放入入氰氰化化炉炉内内，通通入入适适量量的的甲甲苯苯、氨氨气气，在在一一定定氰氰化化温温度度下下，保保温温一一段段时时间间，然然后后出出炉炉冷冷却却，由由于于表表面面同同时时渗渗入入碳碳和和氮氮，零零件件表表面面的的硬硬度度、耐耐磨磨性性和和疲疲劳劳强强度度都都提提高高了了。所考虑的因素水平为：所考虑的因素水平为：9/18/2024169试验设计5因素因素水平水平ABCDEF甲苯甲苯量量氨气氨气量量氰化温氰化温度度(0C)保温时保温时间间(h)冷却冷却方式方式预处理预处理方式方式1少少多多低低7油冷油冷酸洗酸洗2多多少少中中5保温保温箱冷箱冷砂砂v若不考虑因素间的交互作用，可选用若不考虑
90、因素间的交互作用，可选用L8(27)表安排试验。表安排试验。 9/18/2024170试验设计5v诸因素中因素诸因素中因素C耗时最长一炉要达耗时最长一炉要达10小小时，另外因素时，另外因素A，B也较费工时，所以在也较费工时，所以在安排试验时可先安排因素安排试验时可先安排因素C，将其排在将其排在第第1列，列，A，B因素排在第因素排在第2，3列，列，D，E，F分别排在第分别排在第4，5，6列。列。列号列号1234567因素因素CABDEF9/18/2024171试验设计5作作试试验验时时，可可将将要要试试验验的的8个个零零件件（如如试试样样无无重重复复）分分成成4组组，每每组组2个个零零件件。一一
91、炉炉可可同同时时放放入入2个个零零件件，这这样样相相当当于于把把8次次试试验验减减为为4次次。这这4炉炉分分别别是是,下下面面以以为为例例来来说说明明试试验验过过程程：号号试试验验的的条条件件为为C1A1B1D1E1F1号号为为C1A1B1D2E2F2，先先将将2零零件件分分别别按按F1与与F2处处理理，放放入入炉炉中中，按按C1A1B1操操作作，保保温温时时间间达达到到5h（D2），取取出出一一零零件件按按E2操操作作，保保温温时时间间达达到到7h（D1），再取出另外一个零件，按再取出另外一个零件，按E1操作。操作。缺点缺点:试验的随机化程度降低试验的随机化程度降低.9/18/2024172
92、试验设计5列号列号CABDEF试验试验号号1234567(1)1111111121112222(2)3122112241222211(3)5212121262122121(4)72211221822121129/18/2024173试验设计5（4 4）直积法）直积法在在冶冶金金、化化工工、建建筑筑等等工工业业部部门门中中，常常将将参参加加试验的因素分为二类：试验的因素分为二类：a、配方因素配方因素如原材料、配料比例等。如原材料、配料比例等。b、工艺因素工艺因素如操作方法、加工条件等。如操作方法、加工条件等。v试试验验的的目目的的往往往往是是既既要要寻寻求求好好的的配配方方，又又要要寻寻求求适适
93、合合这这种种配配方方的的加加工工条条件件，这这就就需需要要深深入入了了解解这这两两类类因因素素间间的的交交互互作作用用，下下面面举举例例说说明明直直积积法法的作法。的作法。9/18/2024174试验设计5例：某化工厂为提高产品的收率某化工厂为提高产品的收率(%)(%)，选择下列因素及相应的水平作试验选择下列因素及相应的水平作试验因素因素水平水平两种原料两种原料的总量的总量( (A) )两种原料的两种原料的光分子比光分子比(B)催化剂催化剂的种类的种类(C)(C)反应时反应时间间(D)反应温反应温度度(E)1A11：1甲甲短短E12A21：1.5乙乙长长E23A31：2丙丙9/18/20241
94、75试验设计5表表中中A，B，C配配方方因因素素，D，E工工艺艺因因素素。若若忽忽略略各各类类因因素素内内部部相相互互间间的的交交互互作作用用，但但要要重重点点考考虑虑两两类类因因素素间间的的交交互作用互作用，AD，AE，BD，BE。a、根根据据上上述述因因素素水水平平情情况况，为为配配方方因因素素选选择择正正交交表表L9(34)(内内表表)，为为工工艺艺因因素素选选择择正正交交表表L4(23)(外外表表)，这这时时试试验验的的总总次次数数:n=9436。b、表头设计及试验结果如下表所示。表头设计及试验结果如下表所示。(数据处理：数据处理：xij=xij-80)9/18/2024176试验设计
95、5L9(34)1234试验号试验号L4(23)列号列号11221D 列列A B C12122试验号试验号1 2 3 412213E 号号11 1 1 1 -41-41 -40-40-39-39-30-3021 2 2 2-4-4-10-10-8-80 031 3 3 3-3-3-4-4-19-19-10-1042 1 2 3 -13-13 -15-15-13-13-7-752 2 3 17 79 9-5-5-3-362 3 1 2-3-3-2-2-5-5-5-573 1 3 2 -36-36 -35-35-15-15-21-2183 2 1 3-6-6-17-17-7-7-10-1093 3
96、2 1-71-15-99/18/2024177试验设计5c、试验结果的分析（方差分析）试验结果的分析（方差分析）(a)内表内表列号列号ABC收率收率试验号试验号123411111-41-40-39-3021222-4-10-8031333-3-4-19-1042123-13-15-13-75223179-5-362312-3-2-5-573132-36-35-15-2183213-6-17-7-1093321-71-15-99/18/2024178试验设计5K1-208-305-205-166K=434P=1/(49）(-434)2=5232.11K2-49-48-100-144K3-177-
97、81-129-124Si1184.063258.72490.0673.569/18/2024179试验设计5(b) (b) 外表外表列号列号DE收率收率试验号试验号1231111-41-4-3-137-3-36-6-72122-40-10-4-159-2-35-1713212-39-8-19-13-5-5-15-7-154221-300-10-73-5-21-10-9K1-219-232-195K=434P=1/(49)(-434)2=5232.11K2-215-202-239Si0.4425.053.89/18/2024180试验设计5（c）两类因素间的交互作用两类因素间的交互作用工艺因素工
98、艺因素D1D2E1E2配方因素配方因素A1-102-106-88-120A2-17-32-18-31A3-100-77-89-88B1-180-125-148-157B2-21-27-10-38B3-18-63-37-449/18/2024181试验设计5上表中的各数值是在各条件下的数据之上表中的各数值是在各条件下的数据之和，例如在和，例如在A1D1下，下，各因素间交互作用的平方和计算公式如下：由前各因素间交互作用的平方和计算公式如下：由前知，两因素（设为知，两因素（设为A A，B B）的交互作用的平方和为的交互作用的平方和为 :其中其中: : 9/18/2024182试验设计59/18/20
99、24183试验设计59/18/2024184试验设计5 （d d）试验误差试验误差其中其中S S4 4(1)(1)内表的第内表的第4 4列的平方和（空列）列的平方和（空列） S S2 2(2)(2)外表的第外表的第2 2列的平方和（空列）列的平方和（空列） S Se e相相同同条条件件下下重重复复试试验验的的试试验验误误差差之之和和9/18/2024185试验设计5其中其中:9/18/2024186试验设计5, 9/18/2024187试验设计5注注：如如S4(1),S2(2)较较大大时时，应应先先作作F检检验验，如如其其显显著著，说说明明因因素素间间的的某某些些交交互互作作用用不不能忽略，能
100、忽略，S4(1),S2(2)也不能算作误差项。也不能算作误差项。(e)(e) 方差分析表方差分析表( (下页）下页）9/18/2024188试验设计5方差来源方差来源平方和平方和自由自由度度平均平方平均平方和和F值值临界临界F值值A1184.062592.0326.45*F0.01(2.26)=5.53B3258.7221269.3656.72*F0.10(1.26)=2.91C490.062245.3610.94*F0.25(1.26)=1.39E53.78153.782.4*BD423.392211.709.46*D0.441AD63.722AE45.722BE22.392Se449.6119T5991.8935681.88269/18/2024189试验设计5(f) (f) 选择最佳生产条件选择最佳生产条件由由方方差差分分析析表表上上知知BD高高度度显显著著，可可从从它它们们的的组组合合中中挑挑选选B3D1，其其余余因因素素的的条条件件各各选选为为：A2，C2，E1，所所以以最最佳佳生生产产条件为条件为A2B3C2D1E1直直积积法法的的优优点点是是可可以以充充分分考考察察两两类类因因素素间的交互作用，缺点是试验次数较多。间的交互作用，缺点是试验次数较多。9/18/2024190试验设计5
