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1、第三节平面及其方程第三节平面及其方程 第六章第六章 （The Planes and Its Equations)四、小结与思考练习四、小结与思考练习一、平面的点法方程一、平面的点法方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的关系三、两平面的关系一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.法向量法向量.量则有 故(The Point-Normal Form Equations of a Plane)解解例例1 1解解: 设该平面 的法向量为的平面方程. 例例2 2 求过三点则有 利用点法式得平面 的方程二、平面
2、的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程与此点法式方程等价, 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.(General Equation of a Plane)特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B
3、 y + D =0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.答案：答案：解解: 因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程例例3 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程. 例例4 4 设一平面与设一平面与x、y、z轴的交点依次为轴的交点依次为P(a 0 0)、Q(0 b 0)、R(0 0 c) 求此平面的方程求此平面的方程(a 0 b 0 c 0). . 将其代入所设方程将其代入所设方程 得得 解 因为点因为点P、Q、R都在这平面上都在这平面上 所以所以它们的坐标
4、都满足所设方程它们的坐标都满足所设方程 即有即有 aA D 0 bB D 0 cC D 0 设所求平面的方程为设所求平面的方程为Ax By Cz D 0. . 上上述述方方程程叫叫做做平平面面的的截截距距式式方方程程 而而a、b、c依依次次叫叫做做平平面在面在x、y、z轴上的轴上的截距截距. . 三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.（The Angle between Two Planes）特别有下列结论：例例5 5 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面
5、相交两平面相交.所以两平面平行但不重合解解解解因此有垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为即的法向量约去C , 得即和则所求平面故方程为 且例例6 一平面通过两点外一点,求解解: :设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d . （课本（课本 例例7）,则P0 到平面的距离为(点到平面的距离公式点到平面的距离公式)例例7 设求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成四面体的球面方程.（补充题）（补充题）例例8解解: 设球心为则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为从而作业作业习题习题63 1，2，4（1）-（5）；）；思考与练习思考与练习答案：答案：返回返回上页上页下页下页目录目录18 九月 202418答案：答案：返回返回上页上页下页下页目录目录18 九月 202419解解: 已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得3. 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.
