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1、推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, , 区别异同区别异同多元函数微分法 及其应用 第一节一、平面点集一、平面点集 n维空间维空间二、二、 n元函数元函数 三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的极限与连续 第八章第八章 一、平面点集一、平面点集 n维空间维空间1. 1. 平面点集平面点集点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域. .坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质P P 的点的集合，的点的集合，说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成点
2、点 P0 的的去心去心 邻域邻域记为记为在平面上在平面上, ,称为平面点集，记作称为平面点集，记作(1) 邻域邻域设有点集设有点集 E 及一点及一点 P : 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E , 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E = , 若点若点 P 的的任一任一邻域邻域 U(P) 中既有属于中既有属于 E的点，也有的点，也有则称则称 P 为为 E 的的内点内点, 例如例如 ；则称则称 P 为为 E 的的外点外点，例如例如 ; 则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点，例如例如 . .不属于不属于E的点的点 ,显然显然, E 的内点必属于的内点必属于 E
3、 , E 的外点必不属于的外点必不属于 E , E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E, 也可能不属于也可能不属于 E . (2) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点12(3) 聚点聚点若对若对任意给定的正数任意给定的正数 , ,点点P 的去心的去心邻域邻域内总有内总有E 中的点中的点 , 则称则称 P 是是 E 的的聚点聚点.聚点可以属于聚点可以属于 E , 也可以不属于也可以不属于 E. 聚点可以为聚点可以为 E 的内点的内点 或或E的边界点的边界点注注1 内点一定是聚点；内点一定是聚点；2 边界点可能是聚点边界点可能是聚点, 也可能不是聚点；也可能不是聚点；但但 的点属于的点属于 E
4、 , 的点不属于的点不属于 E. 则点集则点集中的点都是中的点都是E的内点；的内点；点集点集中的点都是中的点都是E的聚点，的聚点，E例如例如: 设点集设点集xyoD(4)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集 E 的点都是内点，则称的点都是内点，则称 E 为开集；为开集； 若点集若点集 E E, , 则称则称 E 为为闭集闭集； 若点集若点集E中任意两点中任意两点 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域. .E的折线相连的折线相连, , 连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域 , ,简称简称区域区域 ; ; E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界
5、边界, , 记作记作 E ; ;如，如，是闭集、连通集、闭区域是闭集、连通集、闭区域.都可用一完全属于都可用一完全属于则称则称 E 是是连通集连通集 ;是开集、连通集、是区域；是开集、连通集、是区域；例如，例如，在平面上在平面上开区域开区域闭区域闭区域 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是开集， 是最大的开域是最大的开域 , , 也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域 .o 对点集对点集E , 若存在正数若存在正数 K , 使对一切点使对一切点 P E, P与原点与原点 O的距离的距离 OP K ,则称则称 E 为为有界点集有界点集； 否则，称为否则，称为无界点集无界点集 .2.
6、n 维空间维空间n 元有序数组元有序数组的全体所构成的的全体所构成的 中的每一个元素中的每一个元素称为该点或该称为该点或该n维维集合集合,记作记作即即一个一个点点或一个或一个n维向量维向量, 当当所有坐标所有坐标称该点为称该点为 中的中的坐标原点坐标原点,记作记作0 . 或或n维零向量维零向量,向量的第向量的第 k 个个坐标坐标 .称为称为 中的中的以及实数以及实数， 规定规定称引入了上述线性运算的集合称引入了上述线性运算的集合的的距离距离记作记作规定为规定为 与与零元零元 0 的距离为的距离为并称并称为向量为向量x的模的模.显然显然,中点中点 a 的的 邻域邻域为为二、二、 n元函数元函数1
7、. n元函数元函数引例引例: 圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式定义定义8.1 设非空点集设非空点集映射映射称为定义在称为定义在 D 上的上的 n 元函数元函数 , 记作记作点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域 ; 数集数集称为函数的称为函数的值域值域 . .特别地特别地 , 当当 n = 2 时时, 有二元函数有二元函数当当 n = 3 时时, 有三元函数有三元函数二元函数的定义域二元函数的定义域一般地一般地, 二元函数二元函数的图形为的图形为空间曲面空间曲面 .z = f (x, y), (x, y) D是平面
8、点集是平面点集.例如例如, 二元函数二元函数定义域为定义域为圆域圆域图形为中心在原点图形为中心在原点的的上半球面上半球面.又如又如, 三元函数三元函数 的定义域是三维空间的点集的定义域是三维空间的点集.的定义域为的定义域为图形为图形为空间中的超曲面空间中的超曲面.单位闭球单位闭球如如, 三元函数三元函数 设非空点集设非空点集映射映射称为定义称为定义在在 D 上的上的 一个一个n 元向量值函数元向量值函数 , 记记作作当当m=1 时时,就是定义就是定义8.1中的中的n 元函数元函数 , 当当n=1 时时,就就是是第七章讲的第七章讲的一元向量值函数一元向量值函数 . 定义定义8.2向量值函数的几何
9、或物理意义举例向量值函数的几何或物理意义举例 平面曲线的方程或平面平面曲线的方程或平面质点随时间运动的轨迹质点随时间运动的轨迹. . 空间曲线的方程或空间空间曲线的方程或空间质点随时间运动的轨迹质点随时间运动的轨迹. . 平面向量场或平面到平面向量场或平面到平面的坐标变换平面的坐标变换. . 曲面的方程或一族空曲面的方程或一族空间曲线间曲线( (当固定当固定x或或y). ). 三、多元函数的极限三、多元函数的极限1. 定义定义8.3 设设 二二 元函数元函数则称则称 A 为函数为函数P0(x0, y0) 是是 D 的聚的聚点点 ,若存在常数若存在常数 A ,对于一切对于一切记作记作总有总有使得
10、使得 0, 0 ,注注 3 关于二元函数的极限概念，可相应地关于二元函数的极限概念，可相应地推广推广到到n元元 函数函数 u = f (P), P D Rn上去上去; 1 在二元函数极限定义中，在二元函数极限定义中，P P0 是指在是指在 平面上平面上位于位于D内以内以任意方式趋于任意方式趋于P0 ；P0yxO2 二元函数的极限又称为二元函数的极限又称为二重极限二重极限;Oxx0对比：对比：一元函数极限一元函数极限4 二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似2. 求二重极限的常用方法求二重极限的常用方法(1) 利用定义利用定义求证求证: 证证例例1当当 时，时，
11、原结论成立原结论成立?例例2(2)用变量代换用变量代换 化二重极限为一元函数的极限化二重极限为一元函数的极限.解解xyO求极限求极限 解解其中其中例例3(3) 利用夹逼准则，重要极限利用夹逼准则，重要极限(4)利用极坐标变换，将二重极限化成利用极坐标变换，将二重极限化成(5) 时时的的极限极限解解例例4P0趋向于趋向于),(000yxP ，若，若与与 k 有关，则可断言有关，则可断言: 二重极限二重极限3. 确定极限确定极限不存在不存在的方法的方法： 令令),(yxP沿直线沿直线(1)xyO找两条特殊路径找两条特殊路径L1，L2，若若(2)P0yxOL1L2例例5 证明下列极限不存在：证明下列
12、极限不存在：(1)证证 (1)x yOy = xxyoy=x(2)分析分析 xyO证证其值随其值随 k 的不同而变化，的不同而变化，分析分析xyO证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故该极限不存在故该极限不存在例例6分析分析xyOy = - x证证取取问：问：下列推导是否正确？下列推导是否正确？ 答：答：不正确不正确.错误原因：错误原因：事实上，事实上，此值与此值与有关，有关， 原极限不存在原极限不存在.四四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义8.4定义在定义在 D 上上,如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续, 如果如果则称则称的的间断点间断点 .则称
13、函数则称函数连续连续.处处连续连续.记作记作定义定义8.5定义在定义在 D 上上,如果如果为函数为函数函数函数处处不连续，不连续，设二设二 元函数元函数则称此函数则称此函数在在 D 上上设函数设函数例如例如, 函数函数在在 (0 , 0)点极限不存在点极限不存在(例例5(2), 又如又如, 函数函数上间断上间断. 故故 ( 0, 0 )为其间断点为其间断点.在圆周在圆周结论结论: 一切多元初等函数在其一切多元初等函数在其定义区域定义区域内连续内连续.例例7 证明证明在全在全平面连续平面连续.证证为为初等函数初等函数 , 故连续故连续.又又故故函数在全平面连续函数在全平面连续 .由由夹逼准则夹逼
14、准则得得性质性质1 (有界性与最大最小值定理有界性与最大最小值定理)且能取得它在且能取得它在 D 上的最大值上的最大值 M 及最小值及最小值 m ;闭区域闭区域上的多元连续函数有与一元函数类似的性质上的多元连续函数有与一元函数类似的性质:在在有界闭有界闭区域区域 D 上上连续连续的多元函数必定在的多元函数必定在D上有界上有界, 性质性质2 (介值定理介值定理)在在有界闭有界闭区域区域 D 上上连续连续的多元函数必取得介于它在的多元函数必取得介于它在 D 上的最大值上的最大值 和最小值之间的一切值和最小值之间的一切值.内容小结内容小结1. 平面点集平面点集 邻域邻域 : 区域区域连通的开集连通的
15、开集 2. 多元函数概念多元函数概念n 元函数元函数常用常用二元函数二元函数 (图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面)三元函数三元函数有有3. 多元函数的极限多元函数的极限(1) 定义定义.(2) 求二重极限的常用方法求二重极限的常用方法1) 利用定义利用定义 2) 用变量代换用变量代换化二重极限为一元函数的极限化二重极限为一元函数的极限.3) 利用夹逼准则，重要极限利用夹逼准则，重要极限4) 利用极坐标变换，将二重极限化成利用极坐标变换，将二重极限化成 时的极限时的极限(3) 确定极限确定极限不存在不存在的两种常用方法的两种常用方法.4. 多元函数的连续性多元函数的连续性1) 函数函数2) 闭区域上的多元连续函数的性质闭区域上的多元连续函数的性质:有界性定理有界性定理 ;最值定理最值定理 ; 介值定理介值定理3) 一切多元初等函数在其定义区域内连续一切多元初等函数在其定义区域内连续
