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1、第四章 恒定磁场Steady Magnetic Field恒定磁场基本方程分界面上的衔接条件序磁感应强度磁通连续性原理安培环路定律磁矢位及边值问题磁位及边值问题CH恒定磁场恒定磁场Introduction4.0 序 导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。CH恒定磁场恒定磁场4.1 磁感应强度磁感应强度4.1.1 4.1.1 安培力定律安培力定律 安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。安培力定律描述了真空中两个电流回路
2、间相互作用力的规律。式中：式中：为真空中磁导率。为真空中磁导率。 C C1 1上电流元上电流元 对对C C2 2上电流元上电流元 磁场力为磁场力为1 1、两个电流元的相互作用力、两个电流元的相互作用力安培定律的微安培定律的微分形式分形式CH恒定磁场恒定磁场讨论：讨论：d dF F12 12 d dF F2121，这这与与库库存存仑仑定定律律不不同同。这这是是因因为为孤孤立立的的稳稳恒电流元根本不存在，仅仅是数学上的表示方法而已恒电流元根本不存在，仅仅是数学上的表示方法而已2 2、两个电流环的相互作用力、两个电流环的相互作用力 在回路在回路C C1 1上式积分，得到回路上式积分，得到回路C C1
3、 1作用在电流元作用在电流元I I2 2d dl l2 2上的力上的力 再在再在C C2 2上对上式积分，即得到回路上对上式积分，即得到回路C C1 1对回路对回路C C2 2的作用力的作用力安培定律的安培定律的积分形式积分形式CH恒定磁场恒定磁场4.2.2 4.2.2 磁感应强度矢量磁感应强度矢量毕奥萨毕奥萨伐尔定律伐尔定律定义为电流元产生定义为电流元产生的磁感应强度的磁感应强度说明：说明： 、 、 三者三者满足右手螺旋关系。满足右手螺旋关系。对毕奥萨伐尔定律的讨论对毕奥萨伐尔定律的讨论 真空中任意电流回路产生的磁感应强度真空中任意电流回路产生的磁感应强度CH恒定磁场恒定磁场 体电流产生的磁
4、场体电流产生的磁场 体体电电流流可可以以分分解解成成许许多多细细电电流流管管，近近似似地地看看成成线电流，此时有线电流，此时有 I I = = JdSJdS，则电流元为则电流元为 ，得得 CH恒定磁场恒定磁场 面电流产生的磁场面电流产生的磁场 运动电荷的磁场运动电荷的磁场 定定向向流流动动的的电电荷荷形形成成电电流流。设设某某区区域域电电荷荷密密度度为为 ，速速度度v v，将将形形成电流密度成电流密度J J= = v v，则电流元为，则电流元为IdIdl l = = J JdVdV = = v v dVdV = = q qv v，得，得CH恒定磁场恒定磁场例例 求有限长直线电流求有限长直线电流
5、I I的磁感应强度。的磁感应强度。解解：在在导导线线上上任任取取电电流流元元 IdzIdz，其其方方向向沿沿着着电电流流流流动动的的方方向向，即即 z z 方方向向。由由比比奥奥萨萨伐伐尔尔定定律律，电电流流元元在在导导线线外外一一点点P P处处产产生生的的磁磁感感应应强度为强度为其中其中CH恒定磁场恒定磁场当导线为无限长时，当导线为无限长时， 10， 2 结结 果果 分分 析析 CH恒定磁场恒定磁场例：求半径为例：求半径为a a的电流环在其轴线上产生的磁场。的电流环在其轴线上产生的磁场。分析：在轴线上，磁场方向沿分析：在轴线上，磁场方向沿z z向。向。电流分布呈轴对称。电流分布呈轴对称。解：
6、建立如图柱面坐标系。解：建立如图柱面坐标系。在电流环上任取电流元在电流环上任取电流元 ，令其坐标位，令其坐标位置矢量为置矢量为 。易知：易知：CH恒定磁场恒定磁场4.2.1 4.2.1 磁通连续性原理与磁场的散度磁通连续性原理与磁场的散度设设B 是由直流回路是由直流回路c 产生的磁感应强度，产生的磁感应强度，S 为一闭合曲面，则磁感应强度为一闭合曲面，则磁感应强度B 穿过穿过S 的通量为的通量为B BdSSc cR RI Idl l因为因为得得 穿过任意闭合曲面的穿过任意闭合曲面的磁通量恒为零磁通量恒为零由由得得4.2 磁通连续性原理磁通连续性原理 安培环路定律安培环路定律CH恒定磁场恒定磁场
7、4.2.2 4.2.2 安培环路定律与磁场的旋度安培环路定律与磁场的旋度安培环路定律的积分形式安培环路定律的积分形式得得安培环路定律的微分形式安培环路定律的微分形式设设B 是由直流回路是由直流回路 c 产生的磁感应强度，为一闭合曲线产生的磁感应强度，为一闭合曲线, ,则磁场强度则磁场强度B沿沿 的环流为的环流为（式中（式中 是是S 的周界）的周界）式中式中是回路是回路 所包围电流的代数和所包围电流的代数和R Rc经分析计算该积分结果为经分析计算该积分结果为CH恒定磁场恒定磁场真空中磁场的基本方程真空中磁场的基本方程CH恒定磁场恒定磁场a a 例例 半径为半径为a 的无限长直导体通有电流的无限长
8、直导体通有电流I，计算导体内，计算导体内外的磁感应强度。外的磁感应强度。解：由题可知，磁场分布是成空间轴对称的，由基本方程解：由题可知，磁场分布是成空间轴对称的，由基本方程r rr r在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，则在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，则 r a ra r a： ra： r a ra CH恒定磁场恒定磁场恒定磁场：由已知电流分布求磁场。主恒定磁场：由已知电流分布求磁场。主要求解方法：要求解方法：1、直接应用磁场的计算公式求解。主要用于、直接应用磁场的计算公式求解。主要用于计算一些比较简单的电流分布在空间某些计算一些比较简单的电流分布在空间某些特殊位置的磁场，比如直导线
9、、圆导线等。特殊位置的磁场，比如直导线、圆导线等。2、应用安培环路定律求解。主要用于磁场分、应用安培环路定律求解。主要用于磁场分布具有某种空间对称性的求解问题，这种布具有某种空间对称性的求解问题，这种求解方法最简单。求解方法最简单。CH恒定磁场恒定磁场4.3.1 4.3.1 物质的磁化现象与磁化强度物质的磁化现象与磁化强度 媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同。媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同。 无外磁场作用时，媒质对外不显磁性，无外磁场作用时，媒质对外不显磁性，分子电流，电流方向与分子电流，电流方向与 方向成右手螺旋关系。方向成右手螺旋关系。 分子
10、磁偶极矩分子磁偶极矩 在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转， 旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。呈现磁性，称为磁化现象。I4.3 4.3 磁介质中磁场的基本方程磁介质中磁场的基本方程CH恒定磁场恒定磁场 用用磁化强度磁化强度M 表示磁化的程度，即表示磁化的程度，即式中：式中：N 为单位体积内被磁化的分子数。为单位体积内被磁化的分子数。A/m 磁化体电流磁化体电流 由于磁偶极子的定向排列，媒质内部出现磁化体电流，媒质表面出现磁化面电流。由于磁偶极子的定向排列，媒质内部出现磁化体电流，媒质表
11、面出现磁化面电流。（ 为媒质表面外法线方向）为媒质表面外法线方向） 磁化面电流磁化面电流 如在如在磁化介质中磁化介质中的体积元的体积元V内，内， 每一个分子磁矩的大小和方向全相同，单位体每一个分子磁矩的大小和方向全相同，单位体积内分子数是积内分子数是N， 则则磁化强度磁化强度为为 CH恒定磁场恒定磁场 引入磁化电流后，媒质的磁化效应由磁化电流表征，即空间的磁场由传导电流和引入磁化电流后，媒质的磁化效应由磁化电流表征，即空间的磁场由传导电流和磁化电流产生。而磁化电流和传导电流的实质相同，则磁化电流产生。而磁化电流和传导电流的实质相同，则将将得得令令（为磁介质中的（为磁介质中的磁场强度矢量）磁场强
12、度矢量）于是磁介质中的基本方程于是磁介质中的基本方程微分形式微分形式式中式中 均为传导电流均为传导电流4.3.2 磁介质中磁场的基本方程磁介质中磁场的基本方程CH恒定磁场恒定磁场 由实验证明，除铁磁性物质外，由实验证明，除铁磁性物质外，M 和和H之间有一定的线性关系，即之间有一定的线性关系，即得得（为磁介质中的（为磁介质中的本构关系本构关系）媒质的磁导率媒质的磁导率（除铁磁性物质外（除铁磁性物质外 ）媒质的相对磁导率媒质的相对磁导率磁化率磁化率最终磁介质中的基本方程是最终磁介质中的基本方程是CH恒定磁场恒定磁场例例 同同轴轴线线的的内内导导体体半半径径为为a，外外导导体体的的内内半半径径为为b
13、，外外半半径径为为c，如如图图所所示示。设设内内、外外导导体体分分别别流流过过反反向向的的电电流流I，两两导导体体之之间间介介质质的的磁磁导导率率为为，求求各区域的各区域的H、B、M。 同轴线示意图 CH恒定磁场恒定磁场 例例 铁质的无限长圆管中通过电流铁质的无限长圆管中通过电流I，管的内外半径分别为，管的内外半径分别为a和和b。已知铁。已知铁的磁导率为的磁导率为 ，求管壁中和管内外空气中的，求管壁中和管内外空气中的B，并计算铁中的，并计算铁中的 M 和和 等。等。 解：如图建立坐标系，设解：如图建立坐标系，设电流沿电流沿z方向，则场分布是轴方向，则场分布是轴对称的，只有对称的，只有 分量。分
14、量。利用基本方程的积分形式，有利用基本方程的积分形式，有（a a) )(b)(b)(c)(c) CH恒定磁场恒定磁场 在在区的管壁空间内，磁化强度为区的管壁空间内，磁化强度为管壁内的磁化体电流为管壁内的磁化体电流为在在r =a 和和r =b 处的磁化面电流为处的磁化面电流为CH恒定磁场恒定磁场 小小圆圆柱柱侧侧面面积积， h为为无无穷穷小小量量，该该面面积积趋趋于于零零4.3.3 4.3.3 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件一、磁感应强度一、磁感应强度B B的边界条件的边界条件 设两种不同的磁介质设两种不同的磁介质 ，其分界面的法线方向为，其分界面的法线方向为n。在分界面上作一小圆柱形表。
15、在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 ，h为无穷小量。为无穷小量。n nh 将磁场基本方程将磁场基本方程 用于所用于所作的圆柱形表面。作的圆柱形表面。方程左边方程左边磁感应强度磁感应强度B 的边界条件的边界条件用矢量表示用矢量表示分界面上分界面上B 的法向分量连续的法向分量连续CH恒定磁场恒定磁场二、磁场强度二、磁场强度H H的边界条件的边界条件 在分界面上作一小的矩形回路，其两边在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，而高分居于分界面两侧，而高 ，取，取H 沿此回路的环积分为沿此回路的环积分为 设分界面上的自由电流面密
16、度为设分界面上的自由电流面密度为 则回路所围面积上通过的电流为则回路所围面积上通过的电流为（其中（其中 的方向为的方向为回路所围面积的法回路所围面积的法线方向）线方向） 矢量矢量 可写为可写为 方程方程 变为变为 因为回路是任意的，其所围因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有面的法向也是任意的，因而有磁场强度磁场强度H 的边界条件：的边界条件：若分界面上没有自由的表面电流若分界面上没有自由的表面电流矢量恒等式：矢量恒等式：CH恒定磁场恒定磁场例：在恒定磁场中，若两种不同煤质分界面为例：在恒定磁场中，若两种不同煤质分界面为xoz平面，平面，其面上有电流面密度其面上有电流面密度 ， ，
17、 已知已知 ， 为射入分界面，求为射入分界面，求 。根据：求出：CH恒定磁场恒定磁场例例4-7-2 如下图所示，已知无穷长电流和两种煤质的如下图所示，已知无穷长电流和两种煤质的磁导率，求两种媒质中的磁感应强度。磁导率，求两种媒质中的磁感应强度。CH恒定磁场恒定磁场代入矢量磁位矢量磁位 为了简化磁场的求解，通常采用间接方法。为了简化磁场的求解，通常采用间接方法。 由磁场的散度为零，引入矢量磁位。由磁场的散度为零，引入矢量磁位。 利用磁场的旋度方程导出矢量磁位满足的微分方程。利用磁场的旋度方程导出矢量磁位满足的微分方程。由由其单位为其单位为Tm（特（特米）或米）或Wb/m（韦（韦/ /米）米）得得即即得得矢量位的泊松方程矢量位的泊松方程规定其散度规定其散度（库仑规范）（库仑规范）4.4 矢量磁位矢量磁位CH恒定磁场恒定磁场在恒定磁场无电流区域在恒定磁场无电流区域标量磁位，单位：标量磁位，单位：A（安培）。（安培）。 标量磁位标量磁位 仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。标量磁位标量磁位 的特点：的特点： 标量磁位标量磁位 满足的微分方程满足的微分方程 标量磁位满足的边界条件标量磁位满足的边界条件 4.5 标量磁位标量磁位CH恒定磁场恒定磁场CH恒定磁场恒定磁场
