系统模型与模型化

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1、系统模型与模型化系统模型与模型化 虽然没有统一的定义，但如果把虽然没有统一的定义，但如果把某种或某些事物所构成的体系或系统某种或某些事物所构成的体系或系统叫做一个现实原型，那么模型就是对叫做一个现实原型，那么模型就是对这种现实模型的这种现实模型的抽象或模仿抽象或模仿。注意。注意模型既反映原型，又不等于原型，或模型既反映原型，又不等于原型，或者说它是原型的一种近似。如，者说它是原型的一种近似。如， 地地球仪是地球原型的本质和特征的一种球仪是地球原型的本质和特征的一种近似或集中反映。近似或集中反映。什么是模型什么是模型什么是模型什么是模型1 1、系统模型一般不是系统对象本身，而是、系统模型一般不是

2、系统对象本身，而是现实系统的描述、模仿和抽象。现实系统的描述、模仿和抽象。2 2、系统模型是由反映系统本质或特征的主、系统模型是由反映系统本质或特征的主要因素构成的。要因素构成的。3 3、系统模型集中体现了这些主要因素之间、系统模型集中体现了这些主要因素之间的关系。的关系。模型的含义很广泛模型的含义很广泛：自然科学和工程技术中：概念、公式、定律、理论等。自然科学和工程技术中：概念、公式、定律、理论等。社会科学中：学说、原理、政策、小说、美术、语言社会科学中：学说、原理、政策、小说、美术、语言Newton第二定律是物体在力的作用下，其运动规律这个第二定律是物体在力的作用下，其运动规律这个原型的一

3、种模型；原型的一种模型；计算机是人的某些功能或智能这个原型的一种模型；计算机是人的某些功能或智能这个原型的一种模型；一张照片是某种实体（如人）的反映；一张照片是某种实体（如人）的反映；一场戏剧是某类事件的再现；一场戏剧是某类事件的再现；吃饭这句话是人往嘴里面送东西，达到充饥的动作的抽象吃饭这句话是人往嘴里面送东西，达到充饥的动作的抽象人类认识和构造客观世界的两种研究方法人类认识和构造客观世界的两种研究方法实实验法和模型法。验法和模型法。使用系统模型的目的使用系统模型的目的: :系统开发的需要（预测、分析、优化和评价）系统开发的需要（预测、分析、优化和评价）经济上的考虑经济上的考虑安全性、稳定性

4、上的考虑安全性、稳定性上的考虑时间上的考虑时间上的考虑系统模型容易操作，分析结果易于理解系统模型容易操作，分析结果易于理解注意：模型经过了分析人员对客体的抽象，因而注意：模型经过了分析人员对客体的抽象，因而必须再拿到现实中去检验。必须再拿到现实中去检验。为什么要使用系统模型为什么要使用系统模型系统模型的分类系统模型的分类序号序号分类原则分类原则模型种类模型种类123456789按建模材料不同按建模材料不同按与实体的关系按与实体的关系按模型表征信息的程度按模型表征信息的程度按模型的构造方法按模型的构造方法按模型的功能按模型的功能按与时间的依赖关系按与时间的依赖关系按是否描述系统内部特性按是否描述

5、系统内部特性按模型的应用场合按模型的应用场合数学模型的分类数学模型的分类 按变量形式分类按变量形式分类 按变量之间的关系分类按变量之间的关系分类抽象、实物抽象、实物形象、类似、数学形象、类似、数学观念性、数学、物理观念性、数学、物理理论、经验、混合理论、经验、混合结构、性能、评价、最优结构、性能、评价、最优化、网络化、网络静态、动态静态、动态黑箱、白箱黑箱、白箱通用、专用通用、专用确定性、随机性、连续型、确定性、随机性、连续型、离散型离散型代数方程、微分方程、概代数方程、微分方程、概率统计、逻辑率统计、逻辑系统模型的分类系统模型的分类现现现现实实实实模模模模型型型型实实实实体体体体模模模模型型

6、型型比比比比例例例例模模模模型型型型图图图图表表表表模模模模型型型型网网网网络络络络模模模模型型型型相相相相似似似似模模模模型型型型文文文文字字字字模模模模型型型型逻逻逻逻辑辑辑辑模模模模型型型型解解解解析析析析模模模模型型型型物理模型物理模型物理模型物理模型数学模型数学模型数学模型数学模型增加增加增加增加研究速度研究速度研究速度研究速度 现实性现实性现实性现实性修改的方便性修改的方便性修改的方便性修改的方便性 建模时间建模时间建模时间建模时间抽象性抽象性抽象性抽象性 建模费用建模费用建模费用建模费用减少减少减少减少系统模型与模型化系统模型与模型化模型化模型化构建系统模型的过程及方法。构建系统

7、模型的过程及方法。u 要注意兼顾到现实性和易处理性。要注意兼顾到现实性和易处理性。系统建模系统建模系统建模既是一种技术又是一种艺术！是系统建模既是一种技术又是一种艺术！是一种创造性劳动一种创造性劳动.1.系统建模应遵循的原则系统建模应遵循的原则 （1）切题（抓住主要矛盾）切题（抓住主要矛盾） （2）清晰（关系、结构）清晰（关系、结构） （3）精度要求适当）精度要求适当 （4）花费要少）花费要少2.2.建模一般过程建模一般过程 （1）明确建模目的和要求；）明确建模目的和要求； （2）弄清系统或子系统中的主要因素及其相互关系）弄清系统或子系统中的主要因素及其相互关系 ； （3）选择模型方法；）选择

8、模型方法； （4）确定模型结构；）确定模型结构； （5）估计模型参数；）估计模型参数； （6）模型试运行；）模型试运行； （7）对模型进行实验研究；）对模型进行实验研究； （8）对模型进行必要修正。）对模型进行必要修正。3. 3. 建模的主要方法建模的主要方法 (1)推理分析法（推理分析法（“白箱白箱”问题）问题） (2)实验法（实验法（“黑箱黑箱”或或“灰箱灰箱”问题）问题） (3)混合法混合法 (4)老手法老手法 (5)辩证法辩证法 (6)岛岛岛岛A A A A半岛半岛半岛半岛B B B B陆地陆地陆地陆地C C C C陆地陆地陆地陆地D D D DA AB BC CD D七桥问题七桥问题

9、一笔画问题（用图论一笔画问题（用图论方法可知无解）方法可知无解）几何模拟几何模拟4.模型的简化模型的简化减少变量，去掉次要变量。减少变量，去掉次要变量。改变变量性质（如连续变量离散化）改变变量性质（如连续变量离散化）合并变量合并变量改变函数关系改变函数关系改变约束条件。改变约束条件。几种典型的系统模型几种典型的系统模型1.ISM（Interpretative Structural Modeling）2.SS （State Space）3.SD （System Dynamics）4.CA （Conflict Analysis）5.新进展新进展软计算或软计算或“拟人拟人”方法（人工神经方法（人工神

10、经 网络、遗传算法等）；网络、遗传算法等）； 新型网络技术（新型网络技术（Petri网等）；网等）； 结构模型化技术结构模型化技术结构模型化基础结构模型化基础结结构构分分析析：是是系系统统分分析析的的重重要要内内容容，是是对对系系统统全全面面认认识识的的基基础础，是是系系统统优优化化分分析析、设设计与管理的基础。计与管理的基础。比比较较有有代代表表性性的的系系统统结结构构分分析析方方法法有有：关关联联树树（如如问问题题树树、目目标标树树、决决策策树树）法法、解解释释结结构构模模型型化化（ISM）方方法法、系系统统动动力力学学（SD）结构模型化方法等。）结构模型化方法等。本本部部分分要要求求大大

11、家家主主要要学学习习和和掌掌握握ISM方方法法（实用化方法实用化方法、规范方法）。、规范方法）。 所谓结构模型，就是应用有向连接图来所谓结构模型，就是应用有向连接图来描述系统各要素间的关系，以表示一个作描述系统各要素间的关系，以表示一个作为要素集合体的系统的模型。为要素集合体的系统的模型。描述形式：有向连接图、矩阵形式描述形式：有向连接图、矩阵形式结构模型示例示例 总人口期望寿命 死亡率 出生率 医疗水平结构模型的特征结构模型的特征结构模型是一种图形模型（几何模型）结构模型是一种图形模型（几何模型）结构模型是一种定性为主的模型结构模型是一种定性为主的模型结构模型可以用矩阵形式描述，从而使得结构

12、模型可以用矩阵形式描述，从而使得定量与定性相结合定量与定性相结合结构模型比较适宜于描述以社会科学为对结构模型比较适宜于描述以社会科学为对象的系统结构的描述象的系统结构的描述解释结构模型法解释结构模型法Interpretative structural modeling，简称简称ISM特点是，将系统构造成一个多级递阶的结构模型特点是，将系统构造成一个多级递阶的结构模型, ,最后用文字加以解释说明。最后用文字加以解释说明。可以把模糊不清的思想、看法转化为直观的具有良可以把模糊不清的思想、看法转化为直观的具有良好结构关系的模型。好结构关系的模型。ISMISM实用化方法实用化方法设定设定问题、问题、形

13、成形成意识意识模型模型找出找出影响影响要素要素要素要素关系关系分析分析（关（关系图）系图）建立可建立可达矩阵达矩阵(M)和缩和缩减减矩阵矩阵（M/）矩阵矩阵层次层次化处化处理理(ML/)绘制绘制多级多级递阶递阶有向有向图图建立建立解释解释结构结构模型模型分析分析报告报告比较比较/F 学习学习初步分析初步分析规范分析规范分析综合分析综合分析ISMISM实用化方法原理图实用化方法原理图ISMISM 图的基本概念图的基本概念 图图: 由点和点与点由点和点与点之间的连线组成。若之间的连线组成。若点与点之间的连线没点与点之间的连线没有方向，称为边，由有方向，称为边，由此构成的图为无向图。此构成的图为无向

14、图。 G=（V，E）次：一个点关联的边数称为该点的次。次：一个点关联的边数称为该点的次。 链：是一个点链：是一个点、边交错序列边交错序列, 如（如（ v1,e2,v2,e3,v4). 中间中间点点圈：链中，若起始点和终了点是同一个点，则称为圈。圈：链中，若起始点和终了点是同一个点，则称为圈。例如例如(v1,e2,v2, e3,v4,e4,v3,e1,v1)。例例v1v2v3v4v5v6e2e4e5e6e7e8e1e3e9e10 若点与点之间的连若点与点之间的连线有方向，称为弧，线有方向，称为弧，由此构成的图为有向由此构成的图为有向图。图。 D=（V，A）v1v2v3v4v5v6e2e4e5e6

15、e7e8e1e3例例树：一个无圈的连通图称为树。树图树：一个无圈的连通图称为树。树图G=（V,E）的点数记为的点数记为p，边数记为边数记为q，则，则q=p-1。例如例如树树 一个图非常直观，但是不一个图非常直观，但是不容易计算，特别不容易在计算容易计算，特别不容易在计算机上进行计算，一个有效的解机上进行计算，一个有效的解决办法是将图表示成矩阵形式，决办法是将图表示成矩阵形式，通常采用的矩阵是邻接矩阵。通常采用的矩阵是邻接矩阵。图的矩阵表示图的矩阵表示图的矩阵表示法图的矩阵表示法邻接矩阵表示图的顶点之间的邻接关系，它是一邻接矩阵表示图的顶点之间的邻接关系，它是一邻接矩阵表示图的顶点之间的邻接关系

16、，它是一邻接矩阵表示图的顶点之间的邻接关系，它是一个个个个nxnnxn的矩阵，如果两个顶点之间有边相连时，记的矩阵，如果两个顶点之间有边相连时，记的矩阵，如果两个顶点之间有边相连时，记的矩阵，如果两个顶点之间有边相连时，记为为为为1 1，否则为，否则为，否则为，否则为0 0。图图G=（V，E），），构造矩阵构造矩阵称矩阵称矩阵A为为G的邻接矩阵。的邻接矩阵。v1v1v2v2v3v3v4v42 25 56 64 43 34 4 v1 v2 v3 v4 v1 0 1 1 1v2 1 1 1 0v3 1 1 0 1v4 1 0 1 0无向图的邻接矩阵是对称矩阵。无向图的邻接矩阵是对称矩阵。其邻接矩阵

17、为：其邻接矩阵为： v4v5v2v1v3系统结构的基本表达方式系统结构的基本表达方式集合表达集合表达有向图表达有向图表达矩阵表达矩阵表达系统结构的集合表达系统结构的集合表达某系统由某系统由n个要素（个要素（S1，S2，Sn n）组成。）组成。其集合为其集合为S,则有：则有： S=S1，S2，Sn n系统中诸多要素有机的联系在一起，并且系统中诸多要素有机的联系在一起，并且一般都以两个要素间的二元关系为基础。一般都以两个要素间的二元关系为基础。系统中两要素（系统中两要素（Si，Sj）之间的二元关系）之间的二元关系Rij (简记为简记为R)存在以下几种情况：影响关系、存在以下几种情况：影响关系、因果

18、关系、先后关系、隶属关系因果关系、先后关系、隶属关系一般的，二元关系存在以下几种情形：一般的，二元关系存在以下几种情形：S Si iRSRSj j ，即，即S Si i与与S Sj j有某种关系。有某种关系。S Si iRSRSj j ，即，即S Si i与与S Sj j无该种关系。无该种关系。S Si iRSRSj j ，即，即S Si i与与S Sj j的关系不确定。的关系不确定。二元关系的传递性：二元关系的传递性：通常二元关系具有传递性，即：通常二元关系具有传递性，即：如果如果S Si iRSRSj j ，且，且 S Sj jRSRSk k ，则有，则有 S Si iRSRSk k强连接

19、关系强连接关系如果对某两个要素，既有如果对某两个要素，既有S Si iRSRSj j ，又有，又有S Sj jRSRSi i ，即，即S Si i与与S Sj j和和S Sj j和和S Si i互有关系互有关系, ,则称这种相互关联的二元关系为强则称这种相互关联的二元关系为强连接关系，具有强连接关系的各要素之间存在互替性。连接关系，具有强连接关系的各要素之间存在互替性。为便于表达所有要素之间的二元关系，我们把满为便于表达所有要素之间的二元关系，我们把满足某种二元关系足某种二元关系S Si iRSRSj j的要素对记为（的要素对记为（ Si，Sj），），而把系统中的二元关系的集合记为而把系统中的

20、二元关系的集合记为一般情况下，（一般情况下，（ Si，Sj）和）和 （ Sj，Si）表示不同）表示不同的要素对。的要素对。这样，我们就可以用系统的要素集合和这些要素这样，我们就可以用系统的要素集合和这些要素之间的某种二元关系集合来表示系统的某种基本之间的某种二元关系集合来表示系统的某种基本结构结构 S=S1，S2，Sn n系统结构的有向图表达系统结构的有向图表达用节点表示构成系统的各个要素，用有向用节点表示构成系统的各个要素，用有向弧表示要素间的二元关系（例：如果弧表示要素间的二元关系（例：如果S Si iRSRSj j ，则有向弧从，则有向弧从i节点指向节点指向j节点），即形成了节点），即形

21、成了系统结构的有向图表达。系统结构的有向图表达。例4-1 某系统由七个要素（S1，S2，S7）组成。经过两两判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4影响S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。这样，该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达，其中： S = S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7 Rb = （S2，S1），（S3，S4），（S4，S5）， （S7，S2），（S4，S6），（S6，S4） 5162374系统结构的矩阵表达系统结构的矩阵表达邻接矩阵邻接矩阵可达矩阵可达矩阵邻接矩阵邻接矩阵图的基本的矩阵表示，描述图中各节点两图的基本的矩阵表示，描述图中各节点两两间的关

22、系两间的关系邻接矩阵邻接矩阵A A的元素的元素a aijij 定义：定义：邻接矩阵示例邻接矩阵示例S1 S2 S3 S4 S5 S6 源点汇点5162374邻接矩阵特点邻接矩阵特点汇点：矩阵汇点：矩阵A A中元素全为零的行所对应的节中元素全为零的行所对应的节点点源点：矩阵源点：矩阵A A中元素全为零的列所对应的节中元素全为零的列所对应的节点点对应每节点的行中，元素值为对应每节点的行中，元素值为1 1的数量，就的数量，就是离开该节点的有向边数；列中是离开该节点的有向边数；列中1 1的数量，的数量，就是进入该节点的有向边数就是进入该节点的有向边数可达矩阵可达矩阵用矩阵形式来描述有向连接图各节点之间

23、，经过用矩阵形式来描述有向连接图各节点之间，经过一定长度的通路后可以到达的程度。即描述系统要一定长度的通路后可以到达的程度。即描述系统要素之间经过任意长路经可以到大的程度，也即两要素之间经过任意长路经可以到大的程度，也即两要素之间是否存在一条有向通路。素之间是否存在一条有向通路。可达矩阵可达矩阵M=(M=(m mijij) )n n*n*n可达矩阵的构造可达矩阵的构造对邻接矩阵对邻接矩阵A A通过布尔代数运算得到。通过布尔代数运算得到。可达矩阵可达矩阵R R可用邻接矩阵可用邻接矩阵A A加上单位阵加上单位阵I I，经，经过演算后求得过演算后求得设设A A1 1=(A+I) A=(A+I) A2

24、 2=(A+I)=(A+I)2 2=A=A1 12 2 A Ar-1r-1=(A+I)=(A+I)r-1r-1=A=A1 1r-1r-1 如：如：A A1 1AA2 2AAr-1r-1= =A Ar r (rn-1) (rn-1) 则：则：A Ar-1r-1=M =M 称为可称为可达矩阵，表明各节点间经过长度不大于（达矩阵，表明各节点间经过长度不大于（n-1n-1）的通路可的通路可以到达的程度，对于节点数为以到达的程度，对于节点数为n n的图，最长的通路其长度的图，最长的通路其长度不超过（不超过（n-1n-1）缩减可达矩阵缩减可达矩阵在在可达矩阵中存在两个节点相应的行、列可达矩阵中存在两个节点

25、相应的行、列元素值分别完全相同，则说明这两个节点元素值分别完全相同，则说明这两个节点构成回路集，只要选择其中的一个节点即构成回路集，只要选择其中的一个节点即可代表回路集中的其他节点，这样就可简可代表回路集中的其他节点，这样就可简化可达矩阵，称为缩减可达矩阵。化可达矩阵，称为缩减可达矩阵。邻接矩阵示例邻接矩阵示例S1 S2 S3 S4 S5 S6 源点汇点ISMISM的工作程序的工作程序组织实施ISM的小组。设定问题。选择构成系统的要素。根据要素明细表作构思模型，并建立邻接矩阵和可达矩阵。对可达矩阵进行分解后建立结构模型。 根据结构模型，在各个要素位置填上对应的文字内容建立解释结构模型。建立递阶

26、结构模型的规范方法建立递阶结构模型的规范方法建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构模型，可在可达矩阵M的基础上进行，一般要经过区域划分、级位划分、骨架矩阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段。这是建立递阶结构模型的基本方法。现以例4-1所示问题为例说明：与图4-5对应的可达矩阵（其中将Si简记为i）为：5162374 1 2 3 4 5 6 71234567M =返回1.区域划分 区域划分即将系统的构成要素集合S，分割成关于给定二元关系R的相互独立的区域的过程。 首先以可达矩阵M为基础，划分与要素Si（i = 1，2，n）相关联的系统要素的类型，并找出在整个系统（所有要素集合S）中有明显特征的

27、要素。 有关要素集合的定义如下：可达集R（Si）。系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有向图中由Si可到达的诸要素所构成的集合，记为R（Si）。其定义式为： R（Si）= Sj | SjS，mij = 1，j = 1，2，n i = 1，2，n先行集A（Si）。系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向图中可到达Si的诸要素所构成的集合，记为A（Si）。其定义式为： A（Si）= Sj | SjS，mji = 1，j = 1，2，n i = 1，2，n共同集C （Si）。系统要素Si 的共同集是Si在可达集和先行集的共同部分，即交集，记为C （Si） 。其定义式为：C（Si）= Sj | SjS，m

28、ij = 1， mji = 1， j = 1，2，n i = 1，2，n示例系统要素Si的可达集R（Si） 、先行集A（Si） 、共同集C （Si）之间的关系如图4-7所示：图4-7 可达集、先行集、共同集关系示意图SiA（Si）C （Si）R（Si）起始集B（S）和终止集E（S）。系统要素集合S的起始集是在S中只影响（到达）其他要素而不受其他要素影响（不被其他要素到达）的要素所构成的集合，记为B（S）。 B（S）中的要素在有向图中只有箭线流出，而无箭线流入，是系统的输入要素。其定义式为： B（S）= Si | Si S， C（Si）= A（Si） ， i= 1，2，n 如在图4-5所对应的可

29、达矩阵中， B（S）=S3，S7。 当Si为S的起始集（终止集）要素时，相当于使图4-7中的阴影部分C（Si）覆盖到了整个 A（Si）（ R（Si）区域。 这样，要区分系统要素集合S是否可分割，只要研究系统起始集B（S）中的要素及其可达集（或系统终止集E（Si）中的要素及其先行集要素 ）能否分割（是否相对独立）就行了。 利用起始集B（S）判断区域能否划分的规则如下：在B（S）中任取两个要素bu、bv：如果R（bu） R（bv）（为空集），则bu、bv及R（bu）、 R（bv）中的要素属同一区域。若对所有u和v均有此结果（均不为空集），则区域不可分。如果R（bu） R（bv）=，则bu、bv及R

30、（bu）、 R（bv）中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可被划分为两个相对独立的区域。 利用终止集E（S）来判断区域能否划分，只要判定“A（eu） A（ev）” （eu、ev为E （S）中的任意两个要素）是否为空集即可。 区域划分的结果可记为： （S）=P1，P2，Pk，Pm （其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合）。经过区域划分后的可达矩阵为块对角矩阵（记作M（P）。 为对给出的与图4-5所对应的可达矩阵进行区域划分，可列出任一要素Si（简记作i，i=1，2，7）的可达集R（Si） 、先行集A（Si） 、共同集C （Si），并据此写出系统要素集合的起始集B（S），如表4-1所示：表4

31、-1 可达集、先行集、共同集和起始集例表SiR（Si）A（Si）C （Si）B（S）123456711，23，4，5，64，5，654，5，61，2，71，2，72，733，4，63，4，5，63，4，671234，654，6737 因为B （S ） = S3，S7 ,且有R（S3） R（S7） = S3， S4， S5， S6 S1， S2， S7 =，所以S3及S4， S5， S6， S7与 S1， S2分属两个相对独立的区域，即有： （S）=P1，P2 = S3， S4， S5， S6 S1， S2， S7 。这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵：OO 3 4 5 6 1 2 7 345

32、6127M（P）=P1P22.级位划分 区域内的级位划分，即确定某区域内各要素所处层次地位的过程。这是建立多级递阶结构模型的关键工作。设P是由区域划分得到的某区域要素集合，若用L1，L2，Lk表示从高到低的各级要素集合（其中k为最大级位数），则级位划分的结果可写出： （P）=L1，L2 ，Lk。某系统要素集合的最高级要素即该系统的终止集要素。级位划分的基本做法是：找出整个系统要素集合的最高级要素（终止集要素）后，可将它们去掉，再求剩余要素集合（形成部分图）的最高级要素，依次类推，直到确定出最低一级要素集合（即Lk）。为此，令LO=（最高级要素集合为L1，没有零级要素），则有：L1=Si|SiP

33、-L0，C0（Si）= R0（Si），i=1，2，nL2=Si|SiP-L0-L1，C1（Si）= R1（Si），inLk=Si|SiP-L0-L1-Lk-1，Ck-1（Si）= Rk-1（Si），in （4-3） 式（4-3）中的Ck-1（Si）和Rk-1（Si）是由集合P-L0-L1-Lk-1中的要素形成的子矩阵（部分图）求得的共同集和可达集。 经过级位划分后的可达矩阵变为区域块三角矩阵，记为M（L）。如对例4-1中P1=S3，S4，S5，S6进行级位划分的过程示于表4-2中。表4-2 级位划分过程表要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）= R（S）（P1）P1-L034563，4，

34、5，64，5，654，5，633，4，63，4，5，63，4，634，654，6L1 =S5P1-L0-L13463，4，64，64，633，4，63，4，634，64，6L2 =S4， S6P1-L0-L1-L23333L3 =S3对该区域进行级位划分的结果为： （P1）=L1，L2 ，L3=S5，S4，S6，S3 同理可得对P2=S1，S2， S7进行级位划分的结果为： （P）=L1，L2 ，L3 = S1 ，S2 ，S7这时的可达矩阵为： 5 4 6 3 1 2 7 5463127M（L）=L1L2L3L1L2L3003.提取骨架矩阵提取骨架矩阵，是通过对可达矩阵提取骨架矩阵，是通过对可

35、达矩阵M（L）的缩约和检出，的缩约和检出，建立起建立起M（L）的最小实现矩阵，即骨架矩阵的最小实现矩阵，即骨架矩阵A。这里的骨这里的骨架矩阵，也即为架矩阵，也即为M的最小实现多级递阶结构矩阵。对经过区的最小实现多级递阶结构矩阵。对经过区域和级位划分后的可达矩阵域和级位划分后的可达矩阵M（L）的缩检共分三步，即：的缩检共分三步，即：I.检查各层次中的强连接要素，建立可达矩阵检查各层次中的强连接要素，建立可达矩阵M（L）的缩减的缩减矩阵矩阵M（L） 如如对原例原例M（L）中的强连接要素集合中的强连接要素集合S4，S6作作缩减减处理（把理（把S4作作为代表要素，去掉代表要素，去掉S6）后的新的矩后的

36、新的矩阵为：5 4 3 1 2 7 543127M（L）=L1L2L3L1L2L300去掉M（L）中已具有邻接二元关系的要素间的超级二元关系，得到经进一步简化后的新矩阵M（L）。 如在原例的M（L）中，已有第二级要素（S4，S2）到第一级要素（S5，S1）和第三级要素（S3，S7）到第二级要素的邻接二元关系，即S4RS5、 S2RS1和S3RS4、 S7RS2，故可去掉第三级要素到第一级要素的超级二元关系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即将 M（L）中35和71的“1”改为“0”，得： 5 4 3 1 2 7 543127M（L）=L1L2L3L1L2L300进一步去掉M（L）中自身到达的

37、二元关系，即减去单位矩阵，将M（L）主对角线上的“1”全变为“0”，得到经简化后具有最小二元关系个数的骨架矩阵A。 如对原例有： 5 4 3 1 2 7 543127A=M（L）- I =L1L2L3L1L2L3004.绘制多级递阶有向图D（A） 根据骨架矩阵A，绘制出多级递阶有向图D（A），即建立系统要素的递阶结构模型。绘图一般分为如下三步：1.分区域从上到下逐级排列系统构成要素。2.同级加入被删除的与某要素（如原例中的S4）有强连接关系的要素（如S6），及表征它们相互关系的有向弧。3.按A所示的邻接二元关系，用级间有向弧连接成有向图D（A）。原例的递阶结构模型：以可达矩阵M为基础，以矩阵变

38、换为主线的递阶结构模型的建立过程： M M（P ） M（L） M（L） M（L） A D（A） S1S2S7S3S4S5S6第1级第2级第3级区域划分级位划分强连接要素缩减剔出超级关系去掉自身关系绘图（块三角）（区域块三角）（区域下三角）结束另一种方法1、可达矩阵、可达矩阵2、缩减可达矩阵（如果可达矩阵中不同元素对应的行和列都相、缩减可达矩阵（如果可达矩阵中不同元素对应的行和列都相同，则其有向图中这些元素构成回路同，则其有向图中这些元素构成回路,只需在这些元素中任意选只需在这些元素中任意选择其中一个，去掉组成回路的其它元素，同时在可达矩阵中把择其中一个，去掉组成回路的其它元素，同时在可达矩阵中

39、把这些被去掉元素所对应的行和列删除，形成不存在回路的可达这些被去掉元素所对应的行和列删除，形成不存在回路的可达矩阵）矩阵）3、层次级别的划分、层次级别的划分4、根据级别划分结果，按级别由高到低划出每一级别中的节点，、根据级别划分结果，按级别由高到低划出每一级别中的节点，相同级别的节点在同一水平线上。相同级别的节点在同一水平线上。5、按照重新排列后的可达矩阵，画出相邻两级之间的连接，找、按照重新排列后的可达矩阵，画出相邻两级之间的连接，找出在两级关系分块矩阵中的出在两级关系分块矩阵中的1元素所对应的节点对，由下级到上元素所对应的节点对，由下级到上级在他们之间画一根带有箭头的连线。级在他们之间画一

40、根带有箭头的连线。6、对于跨级连线的画法同上一步，但每画一条线前均需判断该、对于跨级连线的画法同上一步，但每画一条线前均需判断该边是否能根据已画出的连线由传递性推出，若能则不必画出这边是否能根据已画出的连线由传递性推出，若能则不必画出这条线。条线。7、把有向图中因为构成回路而去掉的那些元素加入到结构模型、把有向图中因为构成回路而去掉的那些元素加入到结构模型中，并同原来保留的元素所对应的节点相连。中，并同原来保留的元素所对应的节点相连。8、最后，根据各要素的实际意义，将多级递阶有向图直接转化、最后，根据各要素的实际意义，将多级递阶有向图直接转化为解释结构模型。为解释结构模型。值得指出的是，对于一

41、般的工程系统来说，它是值得指出的是，对于一般的工程系统来说，它是由许多要素根据一定的工艺机理组合而成，这样由许多要素根据一定的工艺机理组合而成，这样系统的邻接矩阵不难得到。对于社会经济系统，系统的邻接矩阵不难得到。对于社会经济系统，一般来说，可达矩阵容易得到。因为根据人们的一般来说，可达矩阵容易得到。因为根据人们的实践经验和直觉判断，比较容易知道两个要素有实践经验和直觉判断，比较容易知道两个要素有无关系，至于这种关系是直接的还是间接的，则无关系，至于这种关系是直接的还是间接的，则不需十分清楚，也不容易判断，也就是说邻接矩不需十分清楚，也不容易判断，也就是说邻接矩阵不易得到。在这种情况下，可直接

42、构成可达矩阵不易得到。在这种情况下，可直接构成可达矩阵，经过处理直接得到结构模型，然后在结构模阵，经过处理直接得到结构模型，然后在结构模型上填入要素名称，即为解释结构模型。型上填入要素名称，即为解释结构模型。123456789 101112 13 14 15110000000000000020100000000000003111110011000000411011000100000050100100000000006010001000000000711111011100000081111100110000009110110001000000100100110001000001111111011

43、101000012111110111001000131101100010001001401001100010001015010011000100001R根据可达矩根据可达矩阵画出结构阵画出结构模型模型图图3.16 由可达矩阵作出的结构模型图由可达矩阵作出的结构模型图 讨论人口系统中影响总人口增长的各种因素分析，也即考讨论人口系统中影响总人口增长的各种因素分析，也即考虑总人口的变化受哪些因素的影响。经过广泛讨论虑总人口的变化受哪些因素的影响。经过广泛讨论,主要考虑主要考虑以下因素：以下因素： 期望寿命；期望寿命； 医疗保健水平；医疗保健水平； 国民生育能力；国民生育能力； 计计划生育政策；划生育

44、政策； 国民思想风俗；国民思想风俗； 食物营养；食物营养； 环境污染程环境污染程度；度； 国民收入；国民收入； 国民素质；国民素质； 出生率；出生率；死亡率。死亡率。如果把总人口考虑进去，则构成了第如果把总人口考虑进去，则构成了第12个因素。个因素。根据有关人员的经验和对话过程，根据有关人员的经验和对话过程，并经过多次的讨论以确并经过多次的讨论以确定它们之间的关系，如下图所示。定它们之间的关系，如下图所示。试建立该问题的解释结构模型。试建立该问题的解释结构模型。结构模型应用实例：结构模型应用实例：V VSiR(Si)A(Si)C(Si)C(Si)=R(Si)11,11,121,2,6,7,81

45、21,2,3,10,11,122233,10,122,3,6,8344,10,124,8,9461,3,6,10,11,126671,7,11,127781,3,4,8,10,11,128894,9,10,129910 10,123,4,6,8,9,101011 11,121,2,6,7,8,111112 12ALL12SiR(Si)A(Si)C(Si)C(Si)=R(Si)11,111,2,6,7,8121,2,3,10,112233,102,3,6,8344,104,8,9461,3,6,10,116671,7,117781,3,4,8,10,118894,9,109910 103,4,6

46、,8,9,101011 111,2,6,7,8,1111去掉要素去掉要素12后后SiR(Si)A(Si)C(Si)C(Si)=R(Si)111,2,6,7,8121,2,322332,3,6,83444,8,9461,3,66671,77781,3,4,88894,999去掉要素去掉要素10，11后后SiR(Si)A(Si)C(Si)C(Si)=R(Si)22226666777788889999去掉要素去掉要素1，3，4后后12 10 11 3 4 17 9 26 81210 0 0 0 00 0 00 01011 0 0 0 00 0 00 01110 1 0 0 00 0 00 0311

47、0 1 0 00 0 00 0411 0 0 1 00 0 00 0110 1 0 0 10 0 00 0710 1 0 0 11 0 00 0911 0 0 1 00 1 00 0211 1 1 0 10 0 10 0611 1 1 0 10 0 01 0811 1 1 1 10 0 00 1R根据排序根据排序的可达矩的可达矩阵画出结阵画出结构模型构模型L1L2L3L4 结构模型结构模型解释结构模型解释结构模型总人口总人口死亡率死亡率出生率出生率国民生育能力国民生育能力计划生育政策计划生育政策国民思想风俗国民思想风俗期望寿命期望寿命医疗保健水平医疗保健水平食物营养食物营养环境污染程度环境污染

48、程度国民收入国民收入国民素质国民素质总人口系统是一个具有总人口系统是一个具有4级（层）级（层）的多级递阶系统。直接因素是的多级递阶系统。直接因素是出生率和死亡率出生率和死亡率状态空间模型状态空间模型状态空间模型状态空间模型研究动态系统的行为，有两种既有联系又有区别的方法输入输出法和状态变量法。输入输出法适用于对一类十分复杂、内部结构不清楚、物理法则不适用的系统建模，通过输入输出的观测数据来建模，这种情况下的建模又称为系统辨识，多重回归分析就是这种建模方法之一。输入输出法输入输出法通过考察输入输出关系建立模型，例如通过考察输入输出关系建立模型，例如回归分析回归分析设设令令 有有a a和和b b，

49、即可写出回归方程。即可写出回归方程。通常用于黑箱通常用于黑箱输入输出法不便于探讨系统内部有何种行输入输出法不便于探讨系统内部有何种行为，有时不仅要考虑输入输出，还要考虑为，有时不仅要考虑输入输出，还要考虑系统内部状态及其变化，状态空间法就是系统内部状态及其变化，状态空间法就是这类方法。此外，有时系统的输出不仅取这类方法。此外，有时系统的输出不仅取决于输入，还取决于系统的状态，这时也决于输入，还取决于系统的状态，这时也需要有状态变量来描述系统的状态。需要有状态变量来描述系统的状态。考虑一个离散系统，在任一时刻的输出等考虑一个离散系统，在任一时刻的输出等于在这以前系统输入的最大值与最小值之于在这以

50、前系统输入的最大值与最小值之差。显然，此系统是动态的，因为它在时差。显然，此系统是动态的，因为它在时刻刻t的输出，不仅取决于该时刻的输入的输出，不仅取决于该时刻的输入x(t)。现在要问：要计算输出现在要问：要计算输出y(t)，应知道系统在，应知道系统在过去有多少输入过去有多少输入?令令x1(t)和和x2(t)分别表示分别表示x(0)、x(1)、x(t-2)、x(t-1)中最大值和最中最大值和最小值，则在时刻小值，则在时刻t的输出值是：的输出值是：状态空间模型状态空间模型定义系统的状态是影响到将来行为的历史定义系统的状态是影响到将来行为的历史总结。因此，知道系统在任一时刻的状态，总结。因此，知道

51、系统在任一时刻的状态，就能知道该时间后的系统行为就能知道该时间后的系统行为(当输入已知当输入已知时时)。系统的状态可由一些称为状态变量的。系统的状态可由一些称为状态变量的变量来描述。对应地，系统的模型称为状变量来描述。对应地，系统的模型称为状态空间模型。态空间模型。 系统的状态变量系统的状态变量系统的状态变量，是能够完整的确定系统状态所系统的状态变量，是能够完整的确定系统状态所必需的一组必需的一组最少最少的变量。的变量。为完全描述为完全描述tt0时系统行为所需变量的最小集合，时系统行为所需变量的最小集合，构成状态空间，完全描述的条件包括：构成状态空间，完全描述的条件包括： tt0时系时系统的输

52、入；统的输入； t0时刻系统中所有变量的值（初始条时刻系统中所有变量的值（初始条件）件）知道初始条件，如何刻画状态？只需知道状态变知道初始条件，如何刻画状态？只需知道状态变量的变化，如何知道？（状态变量的导数）量的变化，如何知道？（状态变量的导数）状态空间模型举例MF(t)Kx1(t)Bx2(t)例1 连续系统 设位移为x1(t)，速度为x2(t)，则有即即写成矩阵形式写成矩阵形式状态方程状态方程输出方程输出方程微方方程与连续变量的状态空间表达式微方方程与连续变量的状态空间表达式连续动态系统的数学模型是微分方程，刻划系统连续动态系统的数学模型是微分方程，刻划系统的动态变量的动态变量(状态变量的

53、导数或高阶导数状态变量的导数或高阶导数)对状态对状态变量有依存关系以及状态变量之间相互影响。变量有依存关系以及状态变量之间相互影响。 有状态方程有状态方程线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程，可以使用一线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程，可以使用一元高阶方程，也可以使用多元一阶联立方程组来描述。其一般元高阶方程，也可以使用多元一阶联立方程组来描述。其一般形式为：形式为： 若若U=0，即系统未加输入，则该系统为自由系统；否则为强，即系统未加输入，则该系统为自由系统；否则为强制系统。若制系统。若A、B、C、D矩阵中的元素有些或全部是时间的矩阵中的元素有些或全部是时间的函数，则为线性时

54、变系统；否则为线性定常系统。函数，则为线性时变系统；否则为线性定常系统。 离散系统的状态空间描述 在状态空间描述中，系统的模型通常分为两部分：在状态空间描述中，系统的模型通常分为两部分：联系状态变量、输入变量与输出变量的一组方程，称为输联系状态变量、输入变量与输出变量的一组方程，称为输出方程；出方程；联系状态变量与输入变量的一组方程，称为状联系状态变量与输入变量的一组方程，称为状态方程。态方程。 设离散系统的状态变量为设离散系统的状态变量为x1(t)、 x2(t)、xn(t)，在，在任一时刻任一时刻t，系统的输出，系统的输出y(t)可由这些状态变量在可由这些状态变量在t的数值和的数值和输入输入

55、u(t)得出。得出。这就是输出方程。这就是输出方程。系统状态将随时间而变化，因此状态变量的值要修正。计系统状态将随时间而变化，因此状态变量的值要修正。计算时刻算时刻(t+1)的状态变量，由时刻的状态变量，由时刻t的状态变量值和时刻的状态变量值和时刻t的的输入值决定，即：输入值决定，即： 这就是状态方程这就是状态方程任意给定系统的输入任意给定系统的输入u(t)，以及系统在，以及系统在t=t0时刻的状态，则时刻的状态，则可求出可求出t时刻的输出时刻的输出y(t),在在t0时刻的状态称为初始状态。时刻的状态称为初始状态。例例2 2 离散系统离散系统某电话公司第t年增加u(t)百万元的新资金，0.75

56、u(t)用于安装交换设备，0.25u(t)用于装设新的传输电缆。每年对每1元价值的交换设备，公司要损失20分，对每1元的电缆，可收益15分，该收益用于下一年购买更多的交换设备。试计算公司在第t, t+1, 年的总价值。 设x1(t)为第t年交换设备的全部价值， x2(t).电缆， 则第t年的总价值y(t)x1(t)x2(t)状态方程： x1(t1)0.8x1(t)0.15x2(t)0.75u(t) x2(t1)x2(t)0.25u(t)差分方程与离散变量的状态空间表达式差分方程与离散变量的状态空间表达式 h+hBU(t)h连续变量离散化连续变量离散化差分方程是描述离差分方程是描述离散系统的常用

57、方法散系统的常用方法差分方程和状态方程很多离散系统的输入输出关系可用差分方程来描述。很多离散系统的输入输出关系可用差分方程来描述。应指出的是，差分方程的描述可以变为状态方程的应指出的是，差分方程的描述可以变为状态方程的描述。描述。考虑如下差分方程：考虑如下差分方程：则有下列状态方程则有下列状态方程即：即：离散状态方程的求解自由系统自由系统计算量大计算量大计算量大计算量大矩阵的特征值、特征向量、矩阵变换矩阵的特征值、特征向量、矩阵变换由此推出由此推出由由任取任取t1=1,可得可得同理可得同理可得2 2=-3=-3时的一个特征向量时的一个特征向量特征向量构成的特征向量构成的T矩阵矩阵方阵方阵A对角

58、化对角化离散状态方程的求解自由系统自由系统总结：连续系统系统方程 ( t) = f( X(t),u (t), t) 状态方程 Y(t) =g(X(t), u(t),t) 输出方程离散系统系统方程 X(k+1) = F X(k)+ GU(k) 状态方程 Y(k) = CX(k) + DU(k) 输出方程 宏观经经济模型宏观经经济模型 考虑下列四个经济变量间的关系考虑下列四个经济变量间的关系(所有单位都是元所有单位都是元)：C 消费支出；消费支出；P价格水平；价格水平；W工资水平；工资水平；M货币供应。货币供应。令令再加上再加上共共六六个个状状态态变变量量，这这样样便便可可得得到到状状态态变变量量

59、的矩阵形式：的矩阵形式：人口模型自学自学1520分钟，找同学做解释发言分钟，找同学做解释发言 考虑企业人才系统。某企业基年有技术员600人，助工800人，工程师200人，高工20人。各类人员每年平均脱离率（包括退休、调离、自然死亡等）分别为0.05, 0.06, 0.1,和0.09。晋升率分别为技术员每年晋升助工30%，助工晋升工程师20%，工程师晋升高工5%。请建立该系统动态人力资源模型（假定每年新分配来的大学生直接转入技术员）。 预测城市人口流动状况及结果。5个节点分别代表5个城市，节点i到节点j的权重为Pij（代表一年内i镇居民流向j镇的概率）。任何城镇居民 不是继续留在本镇就是流向其他城镇。预测产品销量预测产品销量 该该模模型型可可以以用用于于平平稳稳系系统统的的预预测测，即即总总量量基基本本不不发发生生变变化化，只只是是结结构构发发生生变变化化。从从短短期期看看，毛毛巾巾、牙牙膏膏等等消消费费品品具具有有此此类类性性质。质。自由系统自由系统