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1、高考大题专项突破三高考中的数列-2-从近五年高考试题分析来看,高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的综合问题;证明一个数列为等差或等比数列;求数列的通项及非等差、等比数列的前n项和;证明数列型不等式.命题规律是解答题每两年出现一次,命题特点是试题题型规范、方法可循、难度稳定在中档.-3-题型一题型二题型三题型四题型五题型一等差、等比数列的综合问题突破策略一公式法对于等差、等比数列,求其通项及求前n项的和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.例1(2017北京,文15)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通项
2、公式;(2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.解(1)设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1= .-4-题型一题型二题型三题型四题型五对点训练对点训练1在等比数列an中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列an的通项公式.(2)若a3,a5分别为等差数列bn的第4项和第16项,试求数列bn的通项公式及其前n项和Sn.解(1)设an的公比为q
3、,由已知得16=2q3,解得q=2.an=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b4=8,b16=32.-5-题型一题型二题型三题型四题型五突破策略二转化法无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,都可以通过变形、整理,把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.例2在数列an中,a1=1,数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比数列.(1)求a2,a3;(2)求数列 的前n项和Sn.解(1)数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比数列,an+1-3an=93n-1=3n+1.a2-3a1=9,a3-3a2=27.a2=12,a3=
4、63.-6-题型一题型二题型三题型四题型五对点训练对点训练2设an是公比大于1的等比数列,Sn为数列an的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=ln a3n+1,n=1,2,求数列bn的前n项和Tn.-7-题型一题型二题型三题型四题型五-8-题型一题型二题型三题型四题型五题型二证明数列为等差或等比数列突破策略一定义法-9-题型一题型二题型三题型四题型五例3已知数列an是等差数列,且a1,a2(a1a2)分别为方程x2-6x+5=0的两根.(1)求数列an的前n项和Sn;(1)解解方程x2-6x+5=0得其两根分别为1和5,a1
5、,a2(a1a2)分别为方程x2-6x+5=0的两根,a1=1,a2=5,等差数列an的公差为4,bn+1-bn=2(n+1)-2n=2,b1=2,bn是以2为首项,公差为2的等差数列.-10-题型一题型二题型三题型四题型五对点训练对点训练3(2017全国,文17)设Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.-11-题型一题型二题型三题型四题型五突破策略二递推相减化归法对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路为:由an与Sn的关系递推出n为n+1时的关系式,两关系式相减
6、后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.例4已知数列an的前n项和为Sn,Sn=(m+1)-man对任意的nN*都成立,其中m为常数,且m-1.(1)求证:数列an是等比数列;(2)记数列an的公比为q,设q=f(m),若数列bn满足b1=a1,bn=f(bn-1)(n2,nN*).求证:数列 是等差数列;(3)在(2)的条件下,设cn=bnbn+1,数列cn的前n项和为Tn,求证: Tn1时,3Sn-1=an-1,-得3(Sn-Sn-1)=3an=an+1-an,则an+1=4an,又a2=3a1+1=4=4a1,数列an是首项为1,公比为4的等比数列,则an=4n-1.(2)由(1)得
7、a2=4,S3=21,-23-题型一题型二题型三题型四题型五题型四数列型不等式的证明突破策略放缩法要证明关于一个数列的前n项和的不等式,一般有两种思路:一是先求和再对和式放缩;二是先对数列的通项放缩再求数列的和,必要时对其和再放缩.例7(2017广东佛山一模,文17)已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=an+n2-1(nN*).(1)求an的通项公式;-24-题型一题型二题型三题型四题型五(1)解Sn=an+n2-1(nN*),a1+a2=a2+22-1,解得a1=3.当n2时,an=Sn-Sn-1=an+n2-1-an-1+(n-1)2-1,整理得an-1=2n-1,可得an=2n+1
8、,当n=1时也成立.an=2n+1.(2)证明由(1)可得Sn=2n+1+n2-1=n2+2n.-25-题型一题型二题型三题型四题型五对点训练对点训练7(2017贵州贵阳二模)设Sn是数列an的前n项和,an0,且4Sn=an(an+2).(1)求数列an的通项公式;-26-题型一题型二题型三题型四题型五-27-题型一题型二题型三题型四题型五题型五数列中的存在性问题突破策略存在顺推法求解数列中的存在性问题,先假设所探求对象存在或结论成立,再以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在;若推不出矛盾,则得到存在的结果.例8已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,a
9、n0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明an+2-an=.(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.-28-题型一题型二题型三题型四题型五(1)证明因为anan+1=Sn-1,所以an+1an+2=Sn+1-1.两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1.因为an+10,所以an+2-an=.(2)解由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4.由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,即an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.-29-题型一题型二题型三题型四题型五对点训练对点训练8已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若 ,求.-30-31-
