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1、第三讲第三讲: 抛抛 物物 线线 抛物线定义：抛物线定义： 平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直和一条定直线线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛叫做抛物线的焦点，直线物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线。叫做抛物线的准线。 抛物线抛物线抛物线的焦点抛物线的焦点抛物线的准线抛物线的准线即比值即比值为为1l F py y2 2=-2px =-2px (p(p0)0)x x2 2=2py =2py (p(p0)0)x x2 2=-2py =-2py (p(p0)0)y y2 2=2px =2px (p(p0)0)平面内到定点平面内到定点F F的距离与
2、到定直线的距离与到定直线L L的距离相等的点的轨的距离相等的点的轨迹迹. .其中定点其中定点F F是抛物线的焦点是抛物线的焦点; ;定直线定直线L L叫抛物线的准线叫抛物线的准线. .抛物线及其标准方程定定义义标准标准方程方程焦点焦点坐标坐标准线准线方程方程图图形形其中其中p p p p 为正常数为正常数, ,它的几何意义是它的几何意义是: : 焦点到准线的距离焦点到准线的距离y y F FK K0 0x x F FK K0 0x x y y F FK K0 0x x y y F FK K 0 0x x y y 1.1.抛物线抛物线 (p0)(p0)的通径的通径( (过焦点与过焦点与对称轴垂直
3、的弦对称轴垂直的弦) )长为长为2p.2p.2.2.已知已知ABAB抛物线抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点弦的焦点弦,F,F为焦点为焦点,A(x,A(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2): ): |AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+P +P yy1 1y y2 2=-p=-p2 2 x x1 1x x2 2= = 以以ABAB为直径的圆与抛物线准线相切为直径的圆与抛物线准线相切重要结论重要结论例例1:1:已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y y2 2 = 6x= 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；
4、变式：已知抛物线的方程是变式：已知抛物线的方程是y=y=6x6x2 2， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；典型例题典型例题:典型例题典型例题:例例2:2:动点动点P P到直线到直线x+4=0x+4=0的距离减去它的距离减去它到点到点(2,0)(2,0)的距离之差等于的距离之差等于2,2,则则P P点的点的轨迹方程是轨迹方程是:_:_例例3:3:试分别求满足下列条件的抛物线的试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程标准方程, ,并求出对应抛物线的焦点和准并求出对应抛物线的焦点和准线方程线方程. .(1)(1)过点过点(-3,2).(-3,2).(2)(2)焦点在直线焦点在直线x
5、-2y-4=0x-2y-4=0上上. .典型例题典型例题:练习1.设斜率斜率为2的直的直线过抛物抛物线的焦点的焦点F,且和且和 轴交于点交于点A,则抛物抛物线方程方程为？则抛物抛物线C 的方程的方程为？练习2.已知抛物已知抛物线C 的的顶点坐点坐标为原点，焦点在原点，焦点在x轴上，上，直直线y=x与抛物与抛物线C 交于交于A，B两点，若两点，若 为的中点，的中点，若若OAF(O为坐坐标原点原点)的面的面积为4,例例4:4:斜率为斜率为1 1的直线经过的直线经过y y2 2=4x=4x的焦点的焦点, ,与抛物线相交于两点与抛物线相交于两点A A、B,B,(1)(1)求求线段线段ABAB的长的长.
6、 . (2)求AOB的面积。典型例题典型例题:抛物线抛物线y y2 2=2px=2px的焦点弦的焦点弦ABAB长公式长公式: :|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+P+P|AB|= |x|AB|= |x1 1-x-x2 2| |A AF F0 0x x y y 例例5:5:在抛物线在抛物线y y2 2=2x=2x上求一点上求一点P,P,使得使得P P到焦点到焦点F F与到与到 点点A(3,2)A(3,2)的距离之和最小的距离之和最小, ,并求出最小值并求出最小值. .Q Q解解: : 如图如图, ,设设|PQ|PQ|为为P P到准线的距离到准线的距离则则|PF|=|PQ|PF|=|P
7、Q|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|当当A,P,QA,P,Q共线时共线时, |AP|+|PF|, |AP|+|PF|最小最小即即P P点坐标为点坐标为(2,2)(2,2)时时, |AP|+|PF|, |AP|+|PF|最小最小, ,且最小值为且最小值为 . .P PP PQ Q典型例题典型例题:练练: :在抛物线在抛物线y y2 2=2x=2x上求一点上求一点P,P,使得使得P P到准线与到到准线与到 点点A(3,4)A(3,4)的距离之和最小的距离之和最小, ,并求出最小值并求出最小值. .典型练习典型练习:A AF F0 0x x y y P PQ Q
