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1、一、映射一、映射 如果按照某种对应法则如果按照某种对应法则 f, 对于集合对于集合 A 中的任何一个元素中的任何一个元素, 在在集合集合 B 中都有唯一的元素和它对应中都有唯一的元素和它对应, 那么这种对应叫做那么这种对应叫做集合集合A 到集合到集合 B 的映射的映射, 记作记作 f: AB. 二、一一映射二、一一映射 如果如果 f: AB 是集合是集合 A 到集合到集合 B 的映射的映射, 对于集合对于集合 A 中的不中的不同元素同元素, 在集合在集合 B 中有不同的象中有不同的象, 且且 B 中的每一个元素都有原中的每一个元素都有原象象, 那么这种映射叫做那么这种映射叫做一一映射一一映射.
2、 若若 aA, bB, 且且 a 和和 b 对应对应, 则称则称 b 是是 a 的的象象, a 是是 b 的的原象原象. 三、函数三、函数 设设 A, B 是两个非空数集是两个非空数集, 如果按照某种对应法则如果按照某种对应法则 f, 对于集合对于集合 A 中的任何一个数中的任何一个数 x, 在集合在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应中都有唯一确定的数和它对应, 那么称那么称 f: AB 为为集合集合 A 到到 B 的一个函数的一个函数. 变量变量 x 叫做自变量叫做自变量, x 取值的集合取值的集合 A 叫做函数的叫做函数的定义域定义域; 与与 x 的值对应的的值对应的 y 的值叫做的值叫
3、做函数值函数值, 函数值的集合叫做函数函数值的集合叫做函数的的值域值域. 解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域, 函数的定义域包含三种形式函数的定义域包含三种形式: 表示函数的对应法则有表示函数的对应法则有解析法解析法、列表法列表法与与图象图象法法, 其中解析法是最基本、最重要的方法其中解析法是最基本、最重要的方法, 中学数学学习的函中学数学学习的函数基本上都能用解析法表示数基本上都能用解析法表示.四、函数的三要素四、函数的三要素1.对应法则对应法则 若一个函数的定义域分成了若干个子区间若一个函数的定义域分成了若干个子区间, 而每个子区间的而每个
4、子区间的解析式不同解析式不同, 这种函数叫做这种函数叫做分段函数分段函数. 若一个函数的自变量又是另一个变量的函数若一个函数的自变量又是另一个变量的函数: y=f(u), u=g(x), 即即 y=fg(x), 这种函数叫做这种函数叫做复合函数复合函数. 对应法则、定义域、值域是函数的三要素对应法则、定义域、值域是函数的三要素, 其中起决定作用其中起决定作用的是对应法则和定义域的是对应法则和定义域.2.定义域定义域 自然型自然型: 指使函数的解析式有意义的自变量指使函数的解析式有意义的自变量 x 取值的集合取值的集合( (如如: 分式函数的分母不为零分式函数的分母不为零, 偶次根式函数的被开方
5、数为非负偶次根式函数的被开方数为非负数数, 对数函数的真数为正数对数函数的真数为正数, 等等等等) ); 限制型限制型: 指命题的条件或人为对自变量指命题的条件或人为对自变量 x 的限制的限制, 这是函这是函数学习中的重点数学习中的重点, 往往也是难点往往也是难点, 有时这种限制比较隐蔽有时这种限制比较隐蔽, 容容易出错易出错; 实际型实际型: 解决函数的综合问题与应用问题时解决函数的综合问题与应用问题时, 应认真考察应认真考察自变量自变量 x 的实际意义的实际意义.3.值域值域配方法配方法( (将函数转化为二次函数将函数转化为二次函数) );判别式法判别式法( (将函数转化为二次方程将函数转
6、化为二次方程) ); 不等式法不等式法( (运用不等式的各种性质运用不等式的各种性质) );中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域: 注注: 运用初等方法求函数的值域经常要对函数的解析式进行运用初等方法求函数的值域经常要对函数的解析式进行变换变换, 但必须保证变换的等价性但必须保证变换的等价性. 否则可能引起所求值域的扩否则可能引起所求值域的扩大或缩小大或缩小. 另外另外, 求函数的值域必须认真考察函数的定义域求函数的值域必须认真考察函数的定义域, 如如果定义域是闭区间果定义域是闭区间, 则先求得函数的最大值则先求得函数的最大值, 最小值最小值
7、, 得函数的得函数的值域值域. 函数法函数法( (运用有关函数的性质运用有关函数的性质, 或抓住函数的单调性、函或抓住函数的单调性、函数图象等数图象等) ).1.求下列函数的定义域求下列函数的定义域: 典型例题典型例题 2.已知函数已知函数 f(x) 的定义域为的定义域为 - - , , 求函数求函数 y=f(x2- -x- - ) 的的定义域定义域. 121212 3.已知函数已知函数 f(x) 的定义域是的定义域是 a, b, 且且 a+b0, 求下列函数的定求下列函数的定义域义域: (1) f(x2); (2)g(x)=f(x)- -f(- -x); (3)h(x)=f(x+m)+f(x
8、- -m) (m0). 4.当当 k 为何值时为何值时, 函数函数 y=lg(kx2+4kx+3) 的定义域为的定义域为 R? 又当又当 k 为何值时为何值时, 值域为值域为 R?( , 1)(1, )( , 2321232-5, - - )(- - , )( , 5 2 3 23 22 值域为值域为 R 时时, 定义域又如何定义域又如何? (1) y= +(3- -2x)0 ; 2x- -x2lg(2x- -1)(2) y= 25- -x2 +lgcosx. , 0 1, 1- - 521+ 5 23. (1): 3. (2): a, - -a( (a0 时原式不定义函数时原式不定义函数)
9、) 3. (3): a+m, b - -m( (m时时, 原式不定义函数原式不定义函数) ) b- -a2 4.当当 k 为何值时为何值时, 函数函数 y=lg(kx2+4kx+3) 的定义域为的定义域为 R? 又当又当 k 为何值时为何值时, 值域为值域为 R?0k0, 求下列函数的定求下列函数的定义域义域: (1) f(x2); (2)g(x)=f(x)- -f(- -x); (3)h(x)=f(x+m)+f(x- -m) (m0).- - b , b (a0 时时) ); - - b , - - a a , b (a0 时时) ). 5.求函数求函数 y=loga(ax- -k2x) (
10、a0 且且 a1) 的定义域的定义域.解解: 要使函数有意义要使函数有意义, 必须必须 ax- -k2x0, 得得: ( ) k(a0 且且 a1). a2x(1) 若若 k0, ( ) 0, xR; a2x 当当 a=2 时时, 若若 k1, 则则 xR; 若若 k1, 则则 x 不存在不存在. 综上所述综上所述: 当当 k0 或或 时时, 定义域为定义域为R; 0k0 0a0 a2 a2(2) 若若 k0, 当当 a2 时时, xlog k; a2 当当 0a2 且且 a1时时, x0 且且 , 1), 请把请把 y 表示成表示成 x 的函数并求的函数并求其定义域和值域其定义域和值域.解解: 原方程即为原方程即为: lg2z- -2lgz+3x=0 (x0).由已知可得由已知可得: =4- -12x0, x 且且 x0. 13lg +lg =2, lg lg =3x, y=log +log = + lg lg lg lg (lg +lg )2- -2lg lg lg lg = . 3x 4- -6x 即即 y= - -2, 3x4其定义域为其定义域为(-(-, 0)()(0, ; 13其值域为其值域为(-(-, - -2)2, +) ).
