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1、立体几何立体几何空间的角空间的角思想方法：思想方法：传统法：利用转化的思想，将异面直线所成传统法：利用转化的思想，将异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，转化为的角，直线与平面所成的角，二面角，转化为平面角，然后解三角形。平面角，然后解三角形。向量法：利用两个向量的夹角公式，可以向量法：利用两个向量的夹角公式，可以求解有关角的问题。求解有关角的问题。题型题型求两异面直线所成的角求两异面直线所成的角转化时多用平移（或补形），异面直线所成转化时多用平移（或补形），异面直线所成角的平面角的平面顶点角的平面角的平面顶点O的选取一般选在两异的选取一般选在两异面直线的端点处或中点及分点处。面直线的
2、端点处或中点及分点处。两异面直线所成角的范围两异面直线所成角的范围(0O，90O，两向，两向量的夹角的范围量的夹角的范围0O，180O。注意角度的范围！注意角度的范围！（）证明：面）证明：面PAD面面PCD；（）求）求AC与与PB所成的角；所成的角；（）求面）求面AMC与面与面BMC所成二面角的大小。所成二面角的大小。例例1.（05，全国，全国，18）已知四棱锥）已知四棱锥P-ABCD的底面为的底面为直角梯形，直角梯形，ABDC，底面底面ABCD，且，且PA=AD=DC=AB=1，M是是PB的中点。的中点。EFG（）证明：面）证明：面PAD面面PCD；（）求）求AC与与PB所成的角；所成的角；
3、（）求面）求面AMC与面与面BMC所成二面角的大小。所成二面角的大小。例例1.（05，全国，全国，18）已知四棱锥）已知四棱锥P-ABCD的底面为的底面为直角梯形，直角梯形，ABDC，底面底面ABCD，且，且PA=AD=DC=AB=1，M是是PB的中点。的中点。E例例2、如如图图,在在直直三三棱棱柱柱ABCA1B1C1中中，AC3，BC4，AA14，点，点D是是AB的中点，的中点，（I）求证：）求证：ACBC1；（II）求证：）求证：AC1/平面平面CDB1；（III）求异面直线）求异面直线AC1与与B1C所成角的余弦值所成角的余弦值E例例3、如如图图，在在四四棱棱锥锥PABCD中中，底底面面
4、ABCD为为矩矩形形，侧侧棱棱PA底底面面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为为PD的中点的中点.（）求直线）求直线AC与与PB所成角的余弦值；所成角的余弦值；（）在在侧侧面面PAB内内找找一一点点N，使使NE面面PAC，并并求出求出N点到点到AB和和AP的距离的距离.O题型题型求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角法一法一（定义法）找垂线（定义法）找垂线找射影找射影法二：向量法法二：向量法注意角度之间的联系与区别注意角度之间的联系与区别关键是作出斜线在平面关键是作出斜线在平面关键是作出斜线在平面关键是作出斜线在平面内的射影，即关键是判断内的射影，即关键是判断内的射影，即关键是判断内的
5、射影，即关键是判断射影在平面内的位置。射影在平面内的位置。射影在平面内的位置。射影在平面内的位置。注注注注：用用用用向向向向量量量量方方方方法法法法求求求求夹夹夹夹角角角角时时时时，忽忽忽忽略略略略异异异异面面面面直直直直线线线线所所所所成成成成角角角角和和和和线线线线面面面面角角角角的范围与向量夹角范围的区别常导致错误！的范围与向量夹角范围的区别常导致错误！的范围与向量夹角范围的区别常导致错误！的范围与向量夹角范围的区别常导致错误！例例1（05，浙浙江江）、如如图图，在在三三棱棱锥锥PABC中中，ABBC，ABBCkPA，点点O、D分分别别是是AC、PC的中点，的中点，OP底面底面ABC()
6、当当k时，求直线时，求直线PA与平面与平面PBC所成角的大小所成角的大小()当当k取取何何值值时时，O在在平平面面PBC内内的的射射影影恰恰好好为为PBC的重心？的重心？例例2、三棱锥、三棱锥P-ABC中，侧面中，侧面PAC与底面与底面ABC垂直，垂直，PA=PB=PC=3，（1）求证：）求证：ABBC；（2）设）设AB=BC=，求，求AC与平面与平面PBC所所成成角的大小角的大小.（2004年全国文科试题）年全国文科试题）题型题型二面角二面角 二面角及二面角的平面角二面角及二面角的平面角（1 1） 二面角：从一条直线出发的两个半平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，记为所组成的
7、图形，记为 ，范围是，范围是（2 2） 二面角的平面角二面角的平面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角的方法： 定义法定义法定义法定义法三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理垂面法（作交线的垂面）垂面法（作交线的垂面）垂面法（作交线的垂面）垂面法（作交线的垂面）面积法面积法面积法面积法注：无棱二面角注：无棱二面角注：无棱二面角注：无棱二面角找交线找交线找交线找交线题型题型二面角二面角利用向量求二面角的大小：利用向量求二面角的大小：利用向量求二面角的大小：利用向量求二面角的大小： 方法一：分别在二面角方法一：分别在二面角方法一：分别在二面角
8、方法一：分别在二面角内，并且内，并且内，并且内，并且沿沿沿沿延伸的方向作向量延伸的方向作向量延伸的方向作向量延伸的方向作向量，则可用则可用则可用则可用度量这个二面角的大小，度量这个二面角的大小，度量这个二面角的大小，度量这个二面角的大小，即即即即 题型题型二面角二面角利用向量求二面角的大小：利用向量求二面角的大小：利用向量求二面角的大小：利用向量求二面角的大小： 方法二：分别在二面角方法二：分别在二面角方法二：分别在二面角方法二：分别在二面角内，并且内，并且内，并且内，并且作平面作平面作平面作平面的法向量的法向量的法向量的法向量，则可用，则可用，则可用，则可用度量这个二面角的大小，即度量这个二
9、面角的大小，即度量这个二面角的大小，即度量这个二面角的大小，即 注：我们应根据图形特征先判断二面角注：我们应根据图形特征先判断二面角注：我们应根据图形特征先判断二面角注：我们应根据图形特征先判断二面角 的大的大的大的大小为锐角还是钝角，然后再决定取小为锐角还是钝角，然后再决定取小为锐角还是钝角，然后再决定取小为锐角还是钝角，然后再决定取 或其补角作或其补角作或其补角作或其补角作为二面角为二面角为二面角为二面角 的大小。的大小。的大小。的大小。 （）证明：面）证明：面PAD面面PCD；（）求）求AC与与PB所成的角；所成的角；（）求面）求面AMC与面与面BMC所成二面角的大小。所成二面角的大小。
10、例例1.（05，全国，全国，18）已知四棱锥）已知四棱锥P-ABCD的底面为的底面为直角梯形，直角梯形，ABDC，底面底面ABCD，且，且PA=AD=DC=AB=1，M是是PB的中点。的中点。例例2（05，湖湖南南）如如图图1，已已知知ABCD是是上上下下底底边边长长分分别别为为2和和6，高高为为的的等等腰腰梯梯形形，将将它它沿对称轴沿对称轴OO1折成直二面角，如图折成直二面角，如图2.（）证明：）证明：ACBO1；（）求二面角）求二面角OACO1的大小的大小.AOBCDO1AOBCDO1图图1图图2例例3、如如图图，直直二二面面角角D-AB-E中中，四四边边形形ABCD是是边边长长为为2的的
11、正正方方形形，AEEB，F为为CE上上的的点点，且且BF平面平面ACE（）求证：）求证：AE平面平面BCE；（）求二面角）求二面角B-AC-E的大小；的大小；（）求点）求点D到平面到平面ACE的距离。的距离。E ED DC CF FB BA A作业：如图，已知正方形作业：如图，已知正方形ABCD和矩形和矩形ACEF所在所在平面互相垂平面互相垂直，直，AB=，AF=1，M是线段是线段EF的中的中点。点。（1）求证：）求证：AM平面平面BDE；（2）求证：求证：AM平面平面BDF；（3）求二面角求二面角ADFB的大小；的大小；立立 体体 几几 何何空间的距离思想方法：思想方法：空间的距离主要指点面
12、距、线面距和面面距，空间的距离主要指点面距、线面距和面面距，而后两种的求解一般可转化为第一种，即线面距而后两种的求解一般可转化为第一种，即线面距及面面距都是通过转化最终转为求解点面距解决及面面距都是通过转化最终转为求解点面距解决而完成的。（转化的思想）而完成的。（转化的思想）例如：求一个平面的一条平行线上一点到这个例如：求一个平面的一条平行线上一点到这个平面的距离较难时，可转化为平行线上其他的点平面的距离较难时，可转化为平行线上其他的点到这个平面的距离。到这个平面的距离。题型：求点到平面的距离题型：求点到平面的距离方法：方法：(1)等体积法，等体积法，(2)直接法，找出点在平面内的射影直接法，
13、找出点在平面内的射影例例1、（、（05，江西）如图，在长方体，江西）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，中，AD=AA1=1，AB=2，点，点E在棱在棱AD上上移动。移动。（1）证明：）证明：D1EA1D；（2）当）当E为为AB的中点时，求点的中点时，求点E到面到面ACD1的距离；的距离；（3）AE等于何值时，二面角等于何值时，二面角D1ECD的大小为的大小为.例例2、如如图图所所示示的的多多面面体体是是由由底底面面为为ABCD的的长长方方体体被被截截面面AEC1F所所截截面面而而得得到到的的，其其中中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（）求）求BF的长；的长；（）求点）求点C
14、到平面到平面AEC1F的距离的距离.立立 体体 几几 何何探索性问题例例1、（、（05，江西）如图，在长方体，江西）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，中，AD=AA1=1，AB=2，点，点E在棱在棱AD上上移动。移动。（1）证明：）证明：D1EA1D；（2）当）当E为为AB的中点时，求点的中点时，求点E到面到面ACD1的距离；的距离；（3）AE等于何值时，二面角等于何值时，二面角D1ECD的大小为的大小为.例例2、如如图图，在在四四棱棱锥锥PABCD中中，底底面面ABCD为为矩矩形形，侧侧棱棱PA底底面面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为为PD的中点的中点.（）求直线）求直线AC与与PB所成角的余弦值；所成角的余弦值；（）在在侧侧面面PAB内内找找一一点点N，使使NE面面PAC，并并求出求出N点到点到AB和和AP的距离的距离.例例1（05，浙浙江江）、如如图图，在在三三棱棱锥锥PABC中中，ABBC，ABBCkPA，点点O、D分分别别是是AC、PC的中点，的中点，OP底面底面ABC()当当k时，求直线时，求直线PA与平面与平面PBC所成角的大小所成角的大小()当当k取取何何值值时时，O在在平平面面PBC内内的的射射影影恰恰好好为为PBC的重心？的重心？
