误误差差实际实际与丈量平差根底与丈量平差根底————协协方差方差方差方差传传播定律及播定律及播定律及播定律及权权 第三章 第三章 协方差方差传播律及播律及权§3-1 数学期望的数学期望的传播播 §3-2 协方差方差传播律播律§3-3 协方差方差传播律的运用播律的运用§3-4 权与定与定权的常用方法的常用方法本章内容包括：本章内容包括：§3-5 协因数和因数和协因数因数传播律播律§3-6 由真由真误差差计算中算中误差及其差及其实践运用践运用 v本章学习的目的和要求本章学习的目的和要求v求函数的协方差阵；求函数的协方差阵；v求函数的协因数阵；求函数的协因数阵；v求两两函数的互协方差阵以及互协因数阵求两两函数的互协方差阵以及互协因数阵v重点和难点重点和难点v协方差、协因数传播律的运用；协方差、协因数传播律的运用；v常用定权的方法常用定权的方法v v先看两个例子1、设有观测值向量 的方差阵为：〔1〕试写出各观测值的方差以及两两协方差；〔2〕假设有函数 ，那么该函数F的方差又如何？ 2、等精度独立观测三角形三内角，假设知观测值的方差，那么由三个平差值构成的向量的精度如何？v处理理类似以上似以上问题的方法就是：的方法就是：“协方差方差传播律〞，也称播律〞，也称“广广义传播律〞。
播律〞 3-1 3-1 数学期望的传播数学期望的传播v数学期望是描画随机变量的数字特征之一数学期望是描画随机变量的数字特征之一v其定义是：其定义是：v知随机变量的数学期望求其函数的数学期望知随机变量的数学期望求其函数的数学期望, ,称为数学期望称为数学期望的传播 Ø以下给出数学期望传播的几个运算公式Ø 1、设C为一常数,Ø 那么: E(C)=CØ 2、设C为一常数,X为一随机变量,Ø 那么: E(CX)=CE(X)Ø 3、设有随机变量X和Y,Ø 那么: E(X+Y)=E(X)+E(Y)Ø 4、 假设随机变量X、Y相互独立,Ø 那么： E(XY)=E(X)E(Y) 3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律v从丈量任务的现状可以看出从丈量任务的现状可以看出v 观测值函数与观测值之间的关系可分为以下两观测值函数与观测值之间的关系可分为以下两种情况：种情况：v1 1〕线性函数〔如观测高差与高程的关系〕；〕线性函数〔如观测高差与高程的关系〕；v2 2〕非线性函数〔观测角度、边长与待定点坐标的〕非线性函数〔观测角度、边长与待定点坐标的关系〕。
关系〕v故，分别从线性函数、非线性函数研讨协方差传播故，分别从线性函数、非线性函数研讨协方差传播律 设有观测值设有观测值 ,数学期望为数学期望为 ,协方差阵为协方差阵为 ，又设有，又设有X线性函数为线性函数为: 求求Z的方差的方差DZZ 一、观测值线性函数的方差一、观测值线性函数的方差或：或： v为求为求Z Z的方差，我们需从方差的定义入手的方差，我们需从方差的定义入手v根据方差的定义根据方差的定义,Z,Z的方差为：的方差为：v由数学期望运算可得：由数学期望运算可得：v将将Z Z的函数式以及数学期望的函数式以及数学期望E E〔〔Z Z〕代入得：〕代入得： v由上推由上推导可得出以下可得出以下结论：：v 假假设有函数有函数: :v纯量方式：量方式：v那么函数的方差那么函数的方差为: :v以上就是知以上就是知观丈量的方差丈量的方差, ,求其函数方差的公式也称求其函数方差的公式也称为““协方差方差传播律〞〔公式〔公式1 1〕〕 Ø方差的纯量方式为：方差的纯量方式为：v可可见：假：假设DX为对角角阵时，，协方差方差传播律即播律即为“误差差传播律〞 例：知向量 ，且假设有函数：试求各函数的方差 。
二、多个观测值线性函数的协方差阵二、多个观测值线性函数的协方差阵Ø设有观测值 ，它们的期望 、方差为Ø 假设有X的t个线性函数为:Ø求函数Z的方差以及它们之间的协方差？ Ø令:Ø那么X的t个线性函数式可写为:Ø同样,根据协方差阵的定义可得Z的协方差阵为:〔公式〔公式2〕〕 v可以看出可以看出v线性函数的协方差和多个线性函数的协方差阵性函数的协方差和多个线性函数的协方差阵在方式上完全一样方式上完全一样, ,且推导过程也一样且推导过程也一样; ;v所不同的是所不同的是DZZDZZ表示的是一个方阵；表示的是一个方阵；v 前者是一个函数值的方差〔前者是一个函数值的方差〔1 1行行1 1列〕列〕; ;v 而后者是而后者是t t个函数值的协方差阵〔个函数值的协方差阵〔t t行行t t列〕v 即：前者是后者的特殊情况即：前者是后者的特殊情况. . 例5：知向量 ，且：假设有函数：并记 ，试求 解：解：函数式函数式利用协方差传播律利用协方差传播律v此此题关健是关健是: :将函数式将函数式转换为““同一〞同一〞 变量的方式量的方式! ! v 两组线性函数的互协方差阵的求法两组线性函数的互协方差阵的求法Ø设有两组X的线性函数Ø 假设知X的方差阵DXX;Ø那么Y关于Z的互协方差阵DYZ以及DZY又如何? Ø根据互协方差阵的定义,可得:Ø再利用数学期望传播律，得：Ø同理,可得:〔公式〔公式3〕〕 例:假设有函数 在知X1和X2的协方差阵D12时,试求Y对Z的协方差阵DYZ。
解：故：故： p协方差传播律小节协方差传播律小节p求函数〔也可是向量〕的方差〔方差阵〕；求函数〔也可是向量〕的方差〔方差阵〕；p适用于各观测为相关观测情况；适用于各观测为相关观测情况；p定律的通式为：定律的通式为：假假设设那那么么假假设设那那么么 三、非三、非线性函数的情况性函数的情况Ø设有观测值 的非线性函数为 ： Ø Ø 知X的协方差阵DXXØ求Z的方差阵DZZØ处理这类问题的关键是Ø必需先将非线性函数线性化,得到和前面已推导出的公式“一致〞的方式!Ø故，如何将非线性函数线性化，是我们先要处理的Ø v 非线性函数的线性化ü假设函数 在 的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，那么在该邻域内 的泰勒公式为ü丈量平差中，非线性函数线性化的方法是按泰勒级数展开，并取其零次项和一次项，二次以上各项舍去，即 ü再来看多个变量的函数 的情况ü或者为ü之所以可以舍去二次以上项，是由于当 非常接近 时，上式中二次以上 各项都很微小，故可略去！ ü故，可表达为故，可表达为v以上即为非线性函数线性化后方式。
以上即为非线性函数线性化后方式 Ø令：令：Ø那么：那么：Ø故可以按前推出公式得：故可以按前推出公式得：Ø以上就是求非以上就是求非线性函数性函数协方差的方法方差的方法〔公式〔公式4〕〕 n也可以：也可以： •假设令：•那么将展开后的函数式写为：•不难看出，上式是非线性函数式的全微分•同理，可以得到函数Z的方差为 v运用协方差传播律的计算步骤：运用协方差传播律的计算步骤：v1 1〕按要求写出函数式；〕按要求写出函数式；v2 2〕假设是非线性函数式，那么先对函数式求全〕假设是非线性函数式，那么先对函数式求全微分；微分；v3 3〕将函数式〔或微分关系式〕写成矩阵方式〔〕将函数式〔或微分关系式〕写成矩阵方式〔有时要顾及单位的一致〕；有时要顾及单位的一致〕；v4 4〕运用协方差传播律公式求方差或协方差阵〕运用协方差传播律公式求方差或协方差阵 例：如下图导线, A为知点，α0为AB方向的方位角， β为观测角，其方差为±4.0(″)2，观测边长S为600.00 m，其方差为0.5cm2， 试求C点的点位方差 点位方差点位方差为 解：解：〔〔1〕列函数式，〕列函数式， 由由图知知: 〔〔2〕〕线性化性化 〔〔3〕运用〕运用协方差方差传播公式可得坐播公式可得坐标方差方差计算式算式〔〔4〕〕 计算点位方差算点位方差 3-3 3-3 协方差传播律的运用协方差传播律的运用一、水准丈量的精度一、水准丈量的精度 函数式函数式那么由协方差传播律得那么由协方差传播律得即即利用这公式的前提是：设各测站观测高差是等精度独立观利用这公式的前提是：设各测站观测高差是等精度独立观测值！测值！ ü假设水准道路敷设在平坦地域，设前后两测站间间隔大致相等，那么得：ü上式ü1.σ公里是指一公里观测高差的中误差；ü2.运用前提是当各测站的间隔大致相等〔s)。
二、同精度独立观测值的算术平均值的精度二、同精度独立观测值的算术平均值的精度 算术平均值算术平均值( (函数式〕为函数式〕为由协方差传播律知，平均值的方差为由协方差传播律知，平均值的方差为可见：算术平均值的精度提高了可见：算术平均值的精度提高了 三、假设干独立误差的结合影响三、假设干独立误差的结合影响 一个观测结果同时遭到许多独立误差的结合影响，一个观测结果同时遭到许多独立误差的结合影响，如：照准误差、读数误差、目的和仪器的偏心误差如：照准误差、读数误差、目的和仪器的偏心误差对测角的影响即对测角的影响即那么可以得到：那么可以得到：即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和 §3-4 §3-4 权与定与定权的常用方法的常用方法ü方差是表征精度的一个绝对目的；ü自然，方差之间的比例关系也可比较各观测值之间的精度；ü表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权，故权是表征精度的相对的数字目的 一、一、权的定的定义v设有观测值Li〔i=1，2…，N〕的方差为σi2，如选任一常数σ0，那么定义：v v 并称Pi为观测值Li的权。
v不不难看出看出Ø权与方差成反比；Ø权是表征观测值之间的相对精度目的〔权是不独一的，单个权没意义的〕；Ø对同一问题中，为使权能起到比较精度高低的作用，σ0应取同一定值〔否那么就破坏了权间的比例关系〕 例：知两个观测值的中误差为σ1=2cm、σ2=4cm，试确定它们的权解：〔1〕设σ0=2cm， 那么： p1=σ02/σ12=1 p2=σ02/σ22=1/4 〔2〕设σ0=1cm，那么 p1=σ02/σ12=1/4 p2=σ02/σ22=1/16思索：两种解法，得出怎思索：两种解法，得出怎样结论？？ 例：一个角度是由两个等精度的方向值之差求得的知方向值中误差为σ，求角度及方向值的权解：解：由题意 二、单位权中误差二、单位权中误差Ø““单位位权〞的定〞的定义：等于：等于1 1的的权为单位位权Ø对应的的观测值为单位位权观测值；；Ø对应观测值的中的中误差称差称为单位位权中中误差Øσ02σ02称称为单为单位位权权方差〔 〔即：所即：所选选的的σ02σ02值值一一经选经选定，就有定，就有详细详细含含义义了了〕 〕 例：在例：在边角网中，知角网中，知测角中角中误差差为1.01.0´´，，测边的中的中误差差为2.02.0厘米，厘米，试确定它确定它们的的权。
解：解：设σ0= σβ=1.0σ0= σβ=1.0´´ 那么由那么由权定定义得：得： v阐明了权有时是由量纲的阐明了权有时是由量纲的 三、丈量上常用定三、丈量上常用定权的方法的方法举例例1.1.水准丈量的水准丈量的权Ø公式中公式中C C的含的含义：〔：〔1 1〕〕1 1个个测站的站的观测高差高差权；；Ø 〔〔2 2〕〕单位位权观测高差的高差的测站数Ø公式的运用前提：公式的运用前提：Ø〔〔1 1〕当各〕当各测站的站的观测高差高差为同精度同精度时；；Ø〔〔2 2〕当每公里〕当每公里观测高差高差为同精度同精度时或 例：如下图的水准网，各水准道路长度 分别为〔设每公里观测高差中误差相等〕： S1=2.0(km) S2=2.0(km) S3=3.0(km) S4=3.0(km) S5=4.0(km) S6=4.0(km) 试确定各道路 观测高差的权。
ADCBh1h6h5h2h4h3 解：设取4KM的观测高差为单位权观测(C=4KM)，那么由水准丈量 常用定权公式得： P1=2， P2=2， P3=1.3， P4=1， P5=1， P6=1， v经过上例可知上例可知v实践定践定权时，并不需求知道，并不需求知道观测值方差的方差的详细数字，而只需知数字，而只需知道公里数或道公里数或测站数就可以了；站数就可以了；v在同一个在同一个问题中，只能中，只能选取一个取一个C C值，一旦，一旦选好就不能再好就不能再变了；了；v运用常用定运用常用定权公式公式时，留意运用前提！，留意运用前提！ 2 2、同精度观测值的算术平均值的权、同精度观测值的算术平均值的权v运用前提运用前提: n: n次等精度独立反复观测次等精度独立反复观测 例：设对A角和B角进展观测，A角测了4次，B角测了16次，知σA=2.0´´，求单位权中误差σ0和σB解：解：〔〔1 1〕〕设C=1C=1 那么：那么：PA=4PA=4，，PB=16PB=16 [ [因因σA=2.0σA=2.0´´，而，而PA=σ02/σA2PA=σ02/σA2 故：故： σ02=4*4=16 σ02=4*4=16〔〔´´〕〕2 2 那么：那么： σB2=σ02/PB=1 σB2=σ02/PB=1〔〔´´〕〕2]2]〔〔2 2〕〕设C=4C=4，那么，那么PA=1PA=1，，PB=4PB=4 [ [ 同上法得：同上法得：σ02=1*4=4σ02=1*4=4〔〔´´〕〕2 2 σB2=σ02/PB=1 σB2=σ02/PB=1〔〔´´〕〕2]2]可可见：：绝对精度是不精度是不变的！的！ 3-5 3-5 协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律一、协因数与协因数阵、权阵一、协因数与协因数阵、权阵1.1.协因数：协因数就是权倒数，用协因数：协因数就是权倒数，用QiiQii表示。
表示即：即：v阐明：任一观测值的方差总是等于单位权方差与该观测值协阐明：任一观测值的方差总是等于单位权方差与该观测值协因数〔权倒数〕的乘积因数〔权倒数〕的乘积或：或： 2.2.协因数因数阵互互协因数〔相关因数〔相关权倒数〕倒数〕对于两个随机于两个随机变量之量之间的互的互协因数，可表示因数，可表示为 ：：协因数因数阵QXXQXX 将将t t维随机向量随机向量X X的方差的方差阵DXXDXX，乘以一个，乘以一个纯量量因子因子1/ σ021/ σ02，那么得，那么得协因数因数阵QXXQXX，即：，即： v关于关于协因数因数阵的几点的几点阐明明v协因数因数阵同同协方差方差阵一一样，是一个，是一个对称方称方阵；；v主主对角角线元素元素QiiQii为随机随机变量量XiXi的的协因数，即因数，即权倒数；倒数；v非主非主对角角线元素元素Qij(i≠jQij(i≠j〕那么〕那么为XiXi关于关于XjXj的互的互协因数，是比因数，是比较观测值之之间相关程度的相关程度的一种目的一种目的 3、互、互协因数因数阵对于于那么有那么有协因数因数阵v其中非主其中非主对角角线元素称元素称X X关于关于Y Y的互的互协因数因数阵。
4 4、、权逆逆阵、相关、相关权逆逆阵称称QXXQXX和和QYYQYY为X X关于关于Y Y的的权逆逆阵；；QXYQXY为X X关于关于Y Y的相关的相关权逆逆阵 5 5、、权阵定定义：：协因数因数阵的逆的逆阵为权阵 即即 PXX=QXX-1 PXX=QXX-1例：知例：知观测向量向量L L的的协因数因数阵为：：试求求观测向量向量L L的的权阵P P及及观测值L1L1、、L2L2的的权 解：由权阵定义得又由 得观测值的权为v可可见：：v1 1〕〕观测值的的权与与权阵中的两个主中的两个主对角角线元素并不一定相等！元素并不一定相等！v2 2〕〕这时权阵中的各个元素不具有中的各个元素不具有权的意的意义！！ 例：例： 设有独立有独立观测值LiLi〔〔i=1i=1，，2…n2…n〕，其方差〕，其方差为σi2σi2，，权为PiPi，，单位位权方差方差为σ02σ02，写出，写出观测向量向量L L的的协因数因数阵以及以及权阵 解：解： v由此可见：由此可见：v当观测值是独立向量时，其协因数阵以及权阵均为当观测值是独立向量时，其协因数阵以及权阵均为对角阵；对角阵；v这时权阵中主对角线上元素才是对应观测向量的权！这时权阵中主对角线上元素才是对应观测向量的权！v思索：思索：v1、相关观测时，权阵、相关观测时，权阵 PX中主对角线元素中主对角线元素Pii是不是不是观测值是观测值L的权？假设不是的话，的权？假设不是的话，Lii的权又如何求的权又如何求得？得？v2、当观测值独立时，情况又怎样？、当观测值独立时，情况又怎样？ 例：知观测向量L的权阵为： 求观测值L1、L2、L3的权。
解：解：v可以看出：当可以看出：当QXXQXX是非是非对角角阵时，不可从，不可从权阵中来直接中来直接““提取〞提取〞权！！ 二、二、协因数因数传播律播律Ø知观测向量的协因数阵QLLØ求其函数的协因数阵QFF？ v下面由协方差传播律来导出协因数传播律下面由协方差传播律来导出协因数传播律v称称“协因数因数传播律〞或播律〞或“权逆逆阵传播律〞〔公式〔公式5〕〕 v将以上将以上协方差方差传播律、播律、协因数因数传播律合称播律合称为“广广义传播律〞 例：知观测向量X1和X2的协因数 和互协因数 ， 或写为设有函数 试求Y关于Z的协因数 解：解：函数式可写为函数式可写为运用协因数传播律得运用协因数传播律得 例：知观测向量 试求函数 的协因数以及权 解：非线性函数线性化得：按协因数传播律：那么权为：〔代入知数据求解即可〕 解〔1〕：由题可得运用协因数传播律得由于故有 〔2〕先运用协因数传播律求QWW：而：故：那么由：得：求QVW方法一样 v运用协因数传播律的步骤：运用协因数传播律的步骤：1 1〕按要求写出函数式；〕按要求写出函数式；2 2〕假设是非线性函数式，那么先对函数式求全微分；〕假设是非线性函数式，那么先对函数式求全微分；3 3〕将函数式〔或微分关系式〕写成矩阵方式〔有时要顾及〕将函数式〔或微分关系式〕写成矩阵方式〔有时要顾及单位的一致〕；单位的一致〕；4 4〕运用协因数传播律公式求协因数或协因数阵。
〕运用协因数传播律公式求协因数或协因数阵 v几种特例情况〔独立几种特例情况〔独立观丈量〕丈量〕1〕现有独立观测值 ，假定各 的权为 ，那么L的权阵为对角阵其协因数阵也为对角阵可以可以阐明，独立明，独立观丈量的丈量的权阵主主对角角线上元素就是上元素就是对应的的权！！ 2〕假设有函数 ： Z=f〔L1，L2，…Ln〕 那么全微分为由协因数传播律展开后得纯量方式为v以上以上为独立独立观测值权倒数与其函数的倒数与其函数的权倒数之倒数之间的关系式的关系式通常称之通常称之为“权倒数倒数传播律〞 3 3〕知独立〕知独立观测值LiLi〔〔i=1i=1，，2 2，，…n…n〕的〕的权均均为P P，，试求算求算术平均平均值的的权PXPXv即算术平均值之权等于观测值之权的即算术平均值之权等于观测值之权的n n倍 4〕知独立观测值 的权为 ，试求加权平均值的权 v即带权平均值的权等于各观测值权之和即带权平均值的权等于各观测值权之和 3-6.3-6.由真由真误差差计算中算中误差及差及实践运用践运用一、用不同精度的真一、用不同精度的真误差差计算算单位位权中中误差的根本公式差的根本公式假假设有一有一组同精度独立同精度独立观测的真的真误差差为：： 那么那么该组观测的中的中误差差为：：u思索：求出的是什么量的中思索：求出的是什么量的中误差？差？ ü现有一组不等精度的独立观测值，它们对应的：现有一组不等精度的独立观测值，它们对应的：ü那么其中误差又怎样？那么其中误差又怎样？ Ø设有一有一组虚虚拟的的观测值：：Ø由由权倒数倒数传播律得〔播律得〔阐明什么？〕明什么？〕Ø对应的真的真误差关系〔怎差关系〔怎样得到？〕得到？〕Ø利用上公式得到的中利用上公式得到的中误差〔或差〔或单位位权中中误差？〕：差？〕： v不等精度不等精度观测值的真的真误差差计算算单位位权中中误差估差估值的公式：的公式：v同理，可得用不同精度同理，可得用不同精度观测值的的矫正数正数计算算单位位权中中误差的差的根本公式根本公式为：： v观测值的中误差为：观测值的中误差为：v留意：单位权中误差不是一个定植，随着选择的不同而不同！留意：单位权中误差不是一个定植，随着选择的不同而不同！ 二、由真二、由真误差差计算中算中误差的差的实践运用践运用1.1.由三角形由三角形闭合差求合差求测角中角中误差差知等精度独立知等精度独立观测三角形之内角，由此得到内角和三角形之内角，由此得到内角和闭合差合差为：： W1W1，，W2W2，，…,Wn…,Wn求求测角中角中误差差σβσβ？？ Ø内角和的中内角和的中误差差为Ø而内角和与角度的函数关系式而内角和与角度的函数关系式Ø那么由那么由误差差传播律得播律得Ø上式称上式称为菲列菲列罗公式，在三角丈量中用来初步公式，在三角丈量中用来初步评定定测角的精角的精度。
度 2 2、由双、由双观测值之差求中之差求中误差差在丈量任在丈量任务中，中，经常常对一系列一系列观丈量分丈量分别进展展成成对的的观测，成，成对的的观测称称为双双观测设对量量X1X1，，X2X2，，…Xn…Xn各各测两次，得独立两次，得独立观测值为又又设同一同一对观测是等精度的，不同的是等精度的，不同的观测对精精度不同，且各度不同，且各观测对的的权为求求单位位权中中误差？差？ Ø一对观测的差数为一对观测的差数为Ø那么差数的真误差那么差数的真误差Ø按权倒数传播律可得差数的权为按权倒数传播律可得差数的权为Ø用不等精度观测的真误差计算单位权中误差估值的公式用不等精度观测的真误差计算单位权中误差估值的公式Ø可得：可得：Ø以上就是由双观测值之差求单位权中误差的公式以上就是由双观测值之差求单位权中误差的公式。